Содержание к диссертации
Введение
2 Общие сведения о расслоениях на поверхности дель Пеццо 14
2.1 Модели поверхностей дель Пеццо малых степеней и расслоений на них 14
2.2 Проблема бирациональной жёсткости 18
2.3 Перестройки слоя 23
2.4 О методе максимальных особенностей 31
3 Неособые расслоения на поверхности дель Пеццо степени 1 37
3.1 Конструкция 37
3.2 Бирационально жёсткие расслоения 42
3.3 Расслоения се 2 47
3.4 Двойной конус над поверхностью Веронезе . I 49
3.5 Двойной конус над поверхностью Веронезе. II 70
4 Неособые расслоения на поверхности дель Пеццо степени 2 94
4.1 Конструкция 95
4.2 Бирационально жёсткие расслоения 97
4.3 Нежёсткие случаи 122
4.4 О двойном пространстве индекса 2 125
Список литературы
- Проблема бирациональной жёсткости
- О методе максимальных особенностей
- Двойной конус над поверхностью Веронезе
- Бирационально жёсткие расслоения
Введение к работе
1. Настоящая диссертация посвящена вопросам бирациональной классификации неособых трёхмерных многообразий, расслоенных над прямой на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2. Сама по себе проблема бирациональной классификации относится к одной из наиболее классических задач алгебраической геометрии, над которой, начиная с середины 19-го века, работали многие математики из разных стран и разных школ. Основной же объект диссертации -расслоения на поверхности дель Пеццо - тесно связан с бирациональными теориями, возникшими в последние 20 лет, такими, как программа минимальных моделей и программа Саркисова.
В настоящее время существуют несколько методов в бирациональной гео-ч метрни, ориентированных, как правило, на решение проблемы рациональности. Это, в частности, метод Клеменса-Гриффитса [32], основанный на анализе структуры промежуточного якобиана алгебраического многообразия, и его обобщения ([29]), применяемые к вырождениям многообразий ([27], [28]). Затем, метод Артина-Мамфорда [26], где рассматривается такой бирациональный инвариант многообразия, как группа Брауэра. В середине 90-х годов появился метод Коллара, в котором доказательство нерациональности многообразия достигается спуском в конечную характеристику и рассмотрением чисто несе-парабельных накрытий. Совсем недавно И.А.Чельцов [33] предложил еще один приём, когда исходное многообразие деформируется к многообразию, бирацио-нально изоморфному расслоению на коники над линейчатой поверхностью.
Все перечисленные методы обладают своими достоинствами и недостатками, но наиболее универсальным и информативным является метод максимальных особенностей. По всей видимости, появление этого метода следует связывать с Максом Нётером, сформулировавшим и частично доказавшим результат о порождающих группы Кремоны (группы бирациональных автоморфизмов) проективной плоскости ([43]). Сам результат выглядит удивительно просто: группа Cr(f2) порождена бирегулярными автоморфизмами, то есть элемента-
ми Aut(P2), и каким-нибудь квадратичным преобразоанием. Заметим, что для CrfP3), хотя прошло больше 130 лет, ничего похожего пока даже сформулировать не удалось (и, вероятно, не скоро удастся).
Нётер рассуждал следующим образом. Если бирациопальный автоморфизм X Є Cr(F2) не является бирегулярным, то он линейную систему без базисных точек, например, полную линейную систему прямых , переведёт в какую-то (неполную) линейную систему Т> со свойством deg> > deg = 1. Но, поскольку размерности линейных систем совпадают, Т> обязательно имеет предписанные базисные точки, в том числе, возможно, и бесконечно близкие. Нётер установил важный факт: сумма трёх наибольших кратностей V в этих точках строго больше степени Т>. Если теперь предположить, что эти кратности соответствуют различным точкам плоскости, то элементарные вычисления показывают, что при помощи квадратичного преобразования с центром в этих точках мы можем понизить степень линейной системы. Последовательно так действуя, мы в конце концов получим композицию квадратичныю преобразований, являющуюся бирегулярным автоморфизмом, то есть переводящую в себя. Проблемы, возникшие у Нётера с доказательством, связаны были с исключением бесконечно близких точек, но и эти трудности были преодолены к началу 20-го века.
Ключевая идея метода максимальных особенностей, таким образом, уже в двумерном случае, на примере теоремы Нётера, выявлена: необходимо следить за базисными подмножествами "большой"кратности в линейных системах. В этом духе рассуждал и Дж. Фано (Gino Fano), пытавшийся распространить эти идеи уже на трёхмерные многообразия. Трёхмерная геометрия, разумеется, много сложнее и богаче, но Фано выяснил, что многообразия, которые он рассматривал (как правило, они принадлежали классу, впоследствии названному В.А.Исковских многообразиями Фано), во многих случаях устроены так, что на подмножества "большой кратности"существуют очень сильные ограничения, и это либо исключало их существование вообще, либо позволяло найти подходящий бирациональный автоморфизм, как в случае квадратичного преобразования на плоскости, и "открутить"кратности, понизив степень линейной системы. Опять, как и в двумерном случае, основные трудности были связаны с бесконечно близкими особенностями. Фано сформулировал целый ряд очень сильных утверждений ([34]). К сожалению, доказательства его не отличались прозрачностью, во многих случаях до сих пор не ясно, насколько точны его рассуждения. Любопытно, что его тексты практически полностью лишены формул.
Тем не менее, многое из того, что было анонсировано Фано, впоследствии было доказано. И первой в новой истории метода максимальных особенностей была теорема Ю.И.Манина и В.А.Исковских о квартике ([11]). Им удалось дать строгое доказательство утверждения, сформулированного Фано, о том, что группа бирациональных автоморфизмов неособой трёхмерной кварти-ки совпадает с группой бирегулярных автоморфизмов. До этого и Ю.И.Манин,
и В.А.Исковских много времени уделяли изучению геометрии поверхностей над незамкнутыми полями, в том числе и функциональными, пытаясь таким образом подойти к геометрии многомерной. В последствии это вылилось в целый ряд исключительно сильных результатов ([12]), которые служат одним из опорных моментов настоящей диссертации.
Принципиально важным оказалось то, что в статье [11] метод максимальных особенностей впервые обрёл и строгость, и стройность. Довольно быстро появился целый ряд результатов в бирациональной геометрии трёхмерных многообразий ([13]). В конце 70-х В.Г.Саркисов доказывает теорему о, выражаясь современным языком, бирациональной жёсткости "сильно закрученных по ба-зе"трёхмерных расслоений на коники ([22]), опираясь, помимо метода максимальных особенностей, на результаты А.А.Загорского о стандартных расслоениях на коники ([10]) и В.А.Исковских о поверхностях с пучком рациональных кривых (это, и многое другое, можно найти в [12]). Было доказано, что стандартное расслоение на коники, удовлетворяющее условию "четырёх канонических классов"(то есть \С + 4К$\ ф 0, где С кривая вырождения), не имеет других структур.
Ситуация, однако, вскоре ухудшилась. Связано это было, вероятно, с изначальной направленностью схемы метода максимальных особенностей, предложенной Ю.И.Маниным и В.А.Исковских, на решение слишком конкретных задач (неособые многообразия Фано с малой степенью антиканонического класса). Технически это выражалось в идее пробного класса и ориентации на использование характерного для метода квадратичного неравенства. В это время осуществляются неудачные попытки исследования многообразий Фано индекса 2 (в работах С.И.Хашина, подробнее об этом в конце главы), не удаётся усалить результат о расслоениях на коники, не получается применить схему к исследованию расслоений на поверхности дель Пеццо, и так далее.
Определённый успех в то время был достигнут в работах А.В.Пухликова, успешно применившего метод максимальных особенностей к многообразиям с особенностями (квартика с обыкновенной двойной точкой). Тогда же был сделан важный шаг к большим размерностям: была доказана теорема совпадении би-рациональных и бирегулярных автоморфизмов четырёхмерной квинтики ([15]).
Положение изменилось в 90-х годах благодаря новым работам А.В.Пухликова. Он переработал схему метода, отказавшись от техники пробного класса благодаря тщательному анализу структуры максимальных особенностей и применив язык дискретных нормирований ([16], [45]). Новые идеи оказались чрезвычайно плодотворными: метод теперь работал во всех размерностях и обрёл большую гибкость, благодаря чему, например, удалось "зацепить"расслоения на поверхности дель Пеццо ([46]). Так, был доказан аналог результата Исковских-Манина во всех размерностях (гиперповерхности степени М в Рм; [17], усиление результата в [21]), для расслоений на поверхности дель Пеццо малых степеней
доказана бирациональная жёсткость при выполнении К2-условия ([17], [18]), причём стало возможным комбинировать подходы (например, [20]) и исследовать многообразия с несколькими различными структурами расслоения ([2]). В новом своём виде метод макимальных особенностей оказался исключительно хорошо приспособленным к другим теориям. Скажем, он стал основным (и, видимо, единственным) практическим средством в программе Саркисова - общем подходе к факторизации отображений между расслоениями Мори, основанном идеях В.А.Исковских, В.Г.Саркисова, М.Рида и доказанной А.Корти в [31].
Метод максимальных особенностей является главным техническим средством предлагаемой диссертации. Из общих теорий используются основные понятия и результаты программы минимальных моделей и программы Саркисова.
2, Основная задача диссертации - изучение бирациональной геометрии неособых трёхмерных расслоений Мори на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2, не подпадающих под К2-условие (подробнее об этом условии сказано ниже, где формулируются основные результаты). Многообразия указанного типа, удовлетворяющие такому условию (что является общей ситуацией), были одной из тем докторской диссертации А.В.Пухликова ([17]). Тем не менее случаи, в которых /^-условие не выполнено, относятся не только к более трудным, но и к более содержательным. Например, среди них находятся многообразия, содержащие (в бирациональном смысле) различные структуры расслоений на рациональные подмногообразия, в частности, бирационально изоморфные многообразиям Фа-но основной серии индекса 2 и степеней 1 и 2. Кроме того, хотя метод максимальных особенностей, используемый в диссертации в качестве основного технического средства, принципиально применим к исследованию любых многообразий отрицательной кодаировой размерности, в частности, к описанию трёхмерной группы Кремоны, важной проблемой остаются границы практической применимости метода. В диссертации удалось расширить эти границы, впервые успешно применив метод к многообразию Фано индекса 2 (так называемому двойному конусу над поверхностью Веронезе). Таким образом, разработанная в диссертации методика позволяет вплотную подойти к исследованию многообразий Фано индекса 2 и степеней 2 и 3, тем самым осуществив "смычку"различных методов бирациональной геометрии, в данном случае метода промежуточного якобиана (и его обобщения на вырождения многообразий) и метода максимальных особенностей.
Прежде, чем сформулировать основные результаты диссертации, необходимо напомнить ряд важных понятий и известных фактов. Мы придерживаемся стандартного алгебро-геометрического языка. Основные положения программы минимальных моделей можно найти в [41] и [36].
Напомним, что тройка ц : X —> S называется расслоением Мори, если X проективное многообразие с Q-факториальными терминальными особенностя-
ми, S нормальное многообразие размерности строго меньшей, чем размерность X, к р, экстремальное стягивание расслоенного типа, то есть относительное число Пикара p(X/S) = р(Х) — p(S) равно 1 и (—Кх) относительно обилен.
В размерности 3 (на данный момент наивысшая размерность, где доказана программа минимальных моделей) есть три возможных типа расслоений Мори:
многообразие Фано (иногда называют Q-Фано), если dim S = О, то есть S точка;
расслоение на поверхности дель Пеццо степени d, если dim S = 1 и слой над общей (схемной) точкой S есть поверхность дель Пеццо степени d;
расслоение на коники, если S поверхность.
В дальнейшем, чтобы не загромождать текст, расслоения Мори обозначаются не только р. : X —> 5, но и X/S или даже просто X, если из контекста ясно, о каких базах и структурных морфизмах идёт речь.
Пусть даны два трёхмерных расслоения Мори V/S и U/T и бирациональное отображение х ' V —» U. Тогда программа Саркисова утверждает ([31]), что существует конечная цепочка бирациональных отображений
v XI v Х2 v XS XN-l xn v
Aq —+ Лі —* Аг —* —+ -Ajy-i —> Лдг
So Si S2
где X0/So,Xi/Su.: -,XN/SN расслоения Мори, X0/So = V/S, XN/SN = U/T, такая, что x = Xff Хлг-і X2 Xi и каждый x» принадлежит одному из четырёх элементарных л инков (Саркисова). Эти линки изображены на рисунке 1.1 (для примера показано разложение отображения xi ' Xi —* ^2)-
На этом рисунке во всех типах линков -ф изоморфизм в коразмерности 1 (последовательность лог-флипов). Для линка типа I: р обозначает морфизм со связными слоями и 7 экстремальное дивизориальное стягивание. Отметим, что pfS^/Si) = 1. Для типа II: 7i и 72 экстремальные дивизориальные стягивания и р бирациональное отображение. Линк типа III это обращение типа I. Наконец, в линках типа IV: 5і и ( морфизмы со связными слоями, R нормальное многообразие и p[S\/R) — /э(5г/Л) = 1. Отметим, что разложение отображения на линки неоднозначно. В частности, композиция элементарных линков может быть элементарным линком.
Теперь дадим важное определение:
Определение 1.0.1. Будем говорить, что бирациональное отображение х ' V —* V между расслоениями Mopup :V —^ S и р1 : V' —* S' бирационально над базой, а сами расслоения имеют одну и ту же структуру Мори (посредством отображения х)> если
- —u.
\
U----X,
/Ul
її ft
-s.
Al \ Y
—X,
I*
(
-»- Si
Рис. 1.1: элементарные линки Саркисова.
в ситуации dim S = dim S' > 0 существует бирационалъное отображение ф : S —* S' такое, что pi о х — Ф р,
а ситуации dim 5 = dim 5' = 0 Q-Фано многообразия V и V изоморфны (и тогда х можно рассматривать как бирационалъный автоморфизм на V).
Указанное отношение (то есть "быть бирациональным над базой") разбивает всё множество расслоений Мори, бирационально эквивалентных некоторому многообразию X, на классы эквивалентности, и множество этих классов эквивалентности мы будем обозначать M.S(X) и называть множеством структур Мори на X.
Очевидно, множество структур Мори является бирациональным инвариантом. Отметим важный частный случай:
Определение 1.0.2. Будем говорить, что многообразие X является бирационально жёстким, если множество структур Мори M.S{X) состоит из одного элемента.
Бирационально жёсткие многообразия образуют обширный и важный класс многообразий. Например, бирационально жёсткие многообразия нерациональны. Это немедленно следует из того, что Р3 бирационально изоморфно Р1 х Р2, то есть MS(Vs) содержит, как минимум, два элемента (на самом деле, столько, какова мощность основного поля).
Понятие множества структур Мори очень полезно при определении бираци-онального типа многообразия. Во многих случаях простое сравнение множеств
структур Мори сразу даёт ответ (например, у одного это множество содержит расслоение на коники, у другого - нет). Если же к описанию множества структур Мори добавить описание "хорошей"модели в каждом классе бираци-ональной эквивалентности над базой, то мы получаем полноценное с практической точки зрения описание бирационального типа многообразия, сведя задачу бирациональной классификации к задаче классификации бирегулярной. Под "хорошей"моделью понимается такой класс многообразий, который удобен для описания и сравнения. Пример такого подхода приведён в диссертации для неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1. Нетрудно видеть, что это даёт практическое решение задачи бирациональной классификации.
3. Кратко опишем основные результаты диссертации. Пусть р : V —> Р1 неособое расслоение Мори на поверхности дель Пеццо степени d, где d равно 1 или 2. Это означает, что V неособо, все слои структурного морфизма р приведены и неприводимы и являются нормальными поверхностями дель Пеццо степени d. Общий слой, по теореме Бертини, неособ. Обозначим г; общую схемную точку Р1, и пусть VJ, слой над г]. Тогда Vv неособая поверхность дель Пеццо степени d над полем функций прямой.
Одним из первых в диссертации доказывается следующий результат:
Теорема 1.0.3. Пусть р : V —> S и р1 : V —» S неособые расслоенная на поверхности дель Пеццо степени 1 или 2 над кривой S, ф :V —+ Vі бирационалъное отображение такое, что следующая диаграмма коммутативна:
v Л v
1р 1р' S -^- S
Предположим также, что ф индуцирует изоморфизм слоев V^ и V' над общей схемной точкой т] кривой S. Тогда ф продолжается до изоморфизма V и V.
Это не что иное, как утверждение о единственности неособой модели в классе всех бирациональных отображений над базой. Таким образом, неособые модели для рассматриваемого класса многообразий удобно выбрать в качестве "хороших" (о которых говорилось чуть выше). Утверждение этой теоремы в виде гипотезы было сформулировано автором в [3] (гипотеза 4.1).
Отметим, что стержнем диссертации является гипотеза, впервые появившаяся в [5] (гипотеза 3.1) для d = 1. Напомним, что эффективный дивизор на многообразии называется подвижным, если соответствующая ему полная линейная система не имеет базисных компонент. По аналогии с конусом эффективных кривых NE(X) в программе минимальных моделей определяется конус подвижных дивизоров NM(X) в пространстве W^ (где р(Х) число Пикара
многообразия X) как выпуклая оболочка всех подвижных дивизоров наХ, а также замыкание этого конуса NM(X) в обычной вещественной топологии.
Определение. Будем говорить, что расслоение на поверхности дель Пеццо V/P1 удовлетворяет К-условию, если (—Ку) IntNM(V), и удовлетворяет К2-условию, если (-AV)2 0IntNE(K).
В диссертации А.В.Пухликова [17] было показано, что К2-условие является достаточным для бирациональной жёсткости неособых расслоений на поверхности дель Пеццо малых (не выше 3) степеней. Однако затем стало ясно ([3]), что оно не является необходимым. В связи с этим возникла следующая гипотеза:
Гипотеза 1.0.4 (Основная гипотеза). Расслоение Мори р : V -> Р1 на поверхности дель Пеццо степеней 1, 2 или S бирационалъно жёстко тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет К-условию, или, другими словами, когда линейные системы \n(—Kv) — F\ пусты либо имеют базисную компоненту при всех п > 0 (здесь F обозначает класс слоя).
Во всех известных доказанных жёстких и нежёстких случаях гипотеза (1.0.4) выполняется. Из сформулированных далее результатов этой диссертации и диссертации [17] следует важный факт:
Предложение 1.0.5. Для неособых расслоений (Мори) на поверхности делъ Пеццо степеней 1 или 2 гипотеза (1.0.4) верна (для d = 2 по модулю условий общности, упомянутых в главе 4)-
Далее, в настоящем тексте показано, что неособые расслоения на поверхности дель Пеццо определяются, с точностью до деформации, некоторым набором структурных констант (є,пі,П2,пз) при d — 1 и (а,пі,П2) при d = 2.
Одним из основных результатов диссертации является следующий:
Теорема 1.0.6. Пусть V/F1 неособое расслоение (Мори) на поверхности дель Пеццо степени d — \, не удовлетворяющее К2-условию. Тогда V нерационально и:
V/P1 бирационалъно жёстко, за исключением случаев структурных констант (0,2,2,2) и (0,0,1,2). Из свойства единственности неособой модели в классе отображений над базой следует, что V/F1 единственное неособое расслоение Мори в своём классе бирациональной эквивалентности;
для набора (0,2, 2,2) имеем MS(V) = {V/F1, U/F1} (то есть имеется ровно две различных структуры Мори), где tJ/P1 неособое расслоение на поверхности дель Пеццо степени 1 с тем же набором структурных констант, причём V и U связаны через флоп с центром в некотором сечении V/F1 и являются
единственными неособыми расслоениями Мори в своём классе бирациональной
эквивалентности;
3) для набора (0,0,1, 2) имеем
MS{V) = {U} U {рс : Uc -J- Р\ где С Є V) .
где U некоторое неособое многообразие Фано индекса 2 и степени 1 (так называемый двойной конус над поверхностью Веронезе), V семейство кривых степени 1 и арифметического рода 1 на U, рс : Uc — Р1 раздутие кривой С С U, V — Ut для некоторой кривой І Є V, в классе бирациональной эквивалентности V все неособые расслоения Мори представлены U и теми Uc, для которых кривая С неособа, и группа бирациональных автоморфизмов U совпадает с группой бирегулярных автоморфизмов (она конечна и, в общем случае, состоит из двух элементов).
Сформулированный результат вместе с результатами [17] даёт полное решение проблемы бирациональной классификации неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1. Отметим также, что класс бирационально жёстких расслоений без К"2-услови:я (то есть (—Ку) $, IntNM(F) и (—Ку)2 Є IntNE(V)) непуст и представлен многообразиями с наборами структурных констант (2,2,6,12), (0,0,2,4), (0,0,3,6) и (0,2,3,4).
Другим основным результатом является решение проблемы бирациональной жёсткости для неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 2:
ТЕОРЕМА 1.0.7. Пусть F/P1 неособое расслоение (Мори) на поверхности дель Пеццо степени 2 со структурным набором (а, щ, щ), не удовлетворяющее К2-условию. Положим Ь = П\ 4- %. Тогда 0<Ь + 2а<4и
а) если Ь + 2а = 3, то V/P1 бирационально жёстко;
б) если Ь + 2а = 2, то возможны только структурные наборы
Ї) (0,0,2),
(-2,8,4),
(-3,2,6),
(ЮЛ
(0,1,1),
(-1,2,2),
и в первых трёх случаях V/V1 бирационально жёстко при некоторых условиях общности положения, в остальных - нежёстко.
в) если b + 2a= 1, то возможны только случаи
(0,0,1),
(-1,1,2),
и оба случая бирационалъпо нежёсткие.
Замечание. Условия общности положения, упомянутые в теореме, воспроизведены в соответствующем месте диссертации (4.2). Они не являются принципиальными и, как это часто бывает в практике метода максимальных особенностей, носят технический характер.
Кроме основных, в диссертации доказан ряд дополнительных достаточно важных результатов. Например, утверждается, что гипотетический критерий жёсткости (1.0.4) верен "в одну сторону "для любых расслоений Мори на поверхности дель Пеццо степени 1 (именно, если Y/P1 жёстко, то выполняется К-условие), показывается, что классическое многообразие Фано индекса 2 и степени 2, кроме уже известных бирациональных моделей в виде расслоений на поверхности дель Пеццо степени 2 и 3, имеет также иные модели в виде многообразий Фано (в категории Мори) и расслоений на поверхности дель Пеццо степени 2 с кратным слоем. Последнее, кстати, приводит к интересным примерам линейных систем на многообразии Фано с бесконечно близкими максимальными особенностями.
4. Кроме введения, диссертация содержит три главы. В главе 2 рассматриваются в целом круг проблем, связанный с бирациональной геометрией рассматриваемых многообразий. В 2.1, имеющим вводный характер, даются общие конструкции неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1 и 2. В следующем 2.2 исследуется постановка проблемы бирациональной жёсткости для этого типа многообразий, в частности, доказывается теорема 2.2.5, утверждающая, что для расслоений Мори (в том числе, имеющих особенности) на поверхности дель Пеццо степени 1 /^-условие является необходимым для бирациональной жёсткости. Далее, 2.3 посвящен вопросам перестройки слоя в расслоениях на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2. Там же доказывается теорема 1.0.3 о единственности неособой модели в классе бирациональных отображений над базой. В заключительном 2.4 приводится основная информация о методе максимальных особенностях и его модификациях, используемых в диссертации.
Проблема бирациональной жёсткости
Пусть р : V —ї S расслоение на поверхности дель Пеццо степени d, tj общая схемная точка (неособой) кривой S, Vn слой над общей схемной точкой базы. Тогда, очевидно, Pic(F) Q = Q[—Kv] Q[F], где F слой морфизма p, затем (—Ку)2 — d и Pic(V ,) = Z[—.KVJ, то есть Vv минимальная неособая поверхность дель Пеццо степени d над полем функций кривой S. Рассмотрим следующую диаграмму: V --+ U ХР 4-М S т где ц, : U — Т некоторое расслоение Мори. Мы хотим узнать об этой ситуации как можно больше (по сути, это и является целью диссертации). В частности, нас интересует, в каких случаях х бирационально над базой, в каких - нет, и так далее.
Предположим для начала, что кривая S нерациональна. Тогда U не может быть многообразием Фано. Аргументировать это можно различным образом, например, используя то, что группа Пикара V содержит непрерывную часть, что невозможно для U или его разрешения особенностей. Или можно воспользоваться тем фактом, что любое многообразие Фано рационально связно ([40]), в то время как V/S не содержит рациональных кривых, накрывающих базу, то есть V не рационально связно.
Таким образом, U/T либо расслоение на поверхности дель Пеццо, либо расслоение на коники. Во всех случаях слои морфизма jj, покрываются рациональными кривыми. Образы этих кривых на V не могут накрывать 5, тем самым определено рациональное отображение Т — + S, на самом деле являющееся морфизмом. Получаем коммутативную диаграмму V Л U 4-/0 1(Л S - Т
Обозначим С общую схемную точку TYLUQ слой над ней. Предположим, что U/T расслоение на поверхности дель Пеццо, то есть Т кривая. Так как х бирацио-нальный изоморфизм, то ф : Т — S изоморфизм, так что имеем бирациональное отображение V —+ U = Un.
Предположим теперь, что U/T расслоение на коники. Мы, очевидно, можем полагать, что х представлено линком Саркисова типа I. Композиция U — Т — 5 позволяет определить иц как слой над общей схемной точкой базы расслоения U -4- S. Тогда иц неособая поверхность, расслоенная на коники над рациональной кривой Тч. Так как p(U/T) = р(С/ /Тп) = 1, то слои С/ч — Тч не содержат (—1)-кривых. У нас две возможности. Либо С/ч не минимальна, содержит (—1)-кривую, накрывающую Тч, и тогда, стянув её, мы получаем поверхность дель Пеццо и возвращаемся к уже рассмотренной ситуации. Либо Uv минимальна, тогда Ріс(Е/„) Ріс(Гч) Є Z.
В любом случае мы приходим к ситуации, когда есть бирациональное отображение Vv — Un, где U4 минимальна и является либо поверхностью дель Пеццо, либо расслоением на коники над рациональной кривой. Ситуация эта полностью изучена в работе [12] для всех значений 1 d 9.
Таким образом, с точки зрения вопросов, рассматриваемых в диссертации, нам нужно исследовать случай S = Р1. Так как поле функций на IP1 является Сі полем, то из результатов в [30] следует, что VJJ содержит точку, то есть что V/P1 всегда имеет сечение. На самом деле, в [40] показано, что Ц имеет плотное в топологии Зарисского множество точек. В этих условиях при d 5 доказано, что поверхность VT) рациональна над полем функций прямой ([42]), а значит, само многообразие V рационально и, в частности, бирационально нежёстко.
Пусть d = 4. Тогда, раздув сечение V/P1 и, при необходимости, сделав нужные лог-флипы в слоях, мы получим расслоение на коники. На уровне слоев над общими схемными точками такое преобразование описано в [12] (теорема 2.6). Таким образом, всегда существует линк Саркисова типа I на расслоение на коники, так что V/P1 бирационально нежёстко. Кроме того, в неособом случае исследование проблемы рациональности для пучков поверхностей дель Пеццо степени 4 (использован метод промежуточного якобиана) можно найти в [1].
Итак, с точки зрения проблемы бирациональной жёсткости нам интересны только случаи S = Р1 и d 3. Случаи d = 1,2 рассмотрены подробно далее в диссертации. Что касается расслоений на кубические поверхности, то, хотя такие многообразий остались за рамками диссертации (правда, в конце главы 4 они естественно возникают при описании моделей и перестроек двойного пространства индекса 2), мы сейчас приведём несколько результатов и примеров на эту тему, главным образом, для того, чтобы проиллюстрировать основную гипотезу 1.0.4. Основной на сегодня результат, относящийся к расслоениям на кубические поверхности, доказан А.В.Пухликовым в [18]: ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2.1. Пусть V/F1 неособое расслоение на кубические поверхности, слои которого содержат лишь простейшие особенности. Если 1-цикл (—Ку)2 удовлетворяет условию {—Ку)2 Int NE(V), то V/P1 бирационально жёстко.
Условие в этом предложении - известное как / -условие - было предложено А.В.Пухликовым для измерения "закрученности по базе"расслоений. Иная его формулировка выглядит так: 1-циклы п(—Ку)2 — /, где / класс прямой в слое, неэффективны при всех п 0. Отметим, что при выполнении /Г2-условия доказана там же ([18]) бирацнональная жёсткость и для случаев d = 1 или 2. Тем не менее, АГ2-условие не является достаточным, как это будет видно из результатов диссертации. Заметим, что оно сильнее (более ограничительное), чем if-условие в гипотезе 1.0.4. Это видно из того, что если (—Ку) Є Int NM(V), то, очевидно, {-Kv)2 Є IntNE(V).
Приведём несколько примеров нежёстких расслоений на кубические поверхности. ПРИМЕР 2.2.2 (КВАРТИКА С ПЛОСКОСТЬЮ). Пусть X с Р4 трёхмерная квар-тика, содержащая плоскость. В общем случае такая квартика имеет 9 обыкновенных двойных точек, лежащих на плоскости. Многообразие X не лежит в категории Мори: действительно, два общих гиперплоских сечения, содержащих плоскость, высекают две вычетные кубические поверхности, пересекающиеся по 9 точкам, что невозможно для Q-факториальных многообразий. Плоскость и любая из таких вычетных кубик порождают группу дивизоров Вейля на X. Если раздуть плоскость (как подмногообразие в Р4), то собственный прообраз
О методе максимальных особенностей
В настоящей диссертации метод максимальных особенностей используется как основной при исследовании бирациональной геометрии расслоений на поверхности дель Пеццо. Базовая схема этого метода изложена в [45], его модификация для расслоений - в [18]. С точки зрения задач диссертации не потребовалось вносить серьёзных изменений в схему метода, все усилия были направлены на уточнение и модификацию его отдельных сторон с целью получить приемлемые по сложности и длине доказательства. Важно отметить, что доказательства в принципе оказалось возможным найти, что говорит о далеко не исчерпанном потенциале метода максимальных особенностей, по-крайней мере, для трёхмерных задач (как уже отмечалось, никаких принципиальных ограничений метод не имеет, существует проблема его практической применимости). Данный параграф посвящен некоторым специальным моментам метода.
Пусть to нормирование поля функций трёхмерного алгебраического многообразия X, и BQ = Center t является неособой точкой на X. В практике метода максимальных особенностей с таким нормированием связывают его некоторое специальное разрешение и ориентированный граф следующим образом. Пусть ірі : Х\ — X XQ раздутие точки Во, 2 — Р2 исключительный дивизор. Тогда либо Ei реализует 0, либо В\ = Center 0 является точкой или кривой на Е\. Если ?! - точка, раздуем её, tp2 : Х2 - Хь смотрим на В2 — CenterХ2 ) и так Далее. Предположим, что для некоторого L 1 мы получили, что BL — CenterxL й кривая на EL. Раздуем BL, и тогда либо BL+± = 2?L+I, либо JE?L+I также кривая. В последнем случае раздуем BL+I, И так далее. На каком-то шаге N (то есть на .Ejv) процесс оборвётся, если нормирование to геометрическое, то есть реализуется исключительным дивизором некоторого бирационального морфизма. При этом можно полагать, что BL является прямой на EL = Р2, a BLJri - сечения соответствующих линейчатых поверхностей EL+І Ориентированный граф F(w) нормирования содержит вершины 1,..., JV, при этом существует стрелка из вершины j — і из вершины j в вершину і, если j г и Bj i С Е? 1. Здесь и далее в тексте, если не оговорено иное, верхний индекс указывает, что рассматривается собственный прообраз кривой или дивизора на соответствующем многообразии. Скажем, если Е2 - дивизор на Х2, то " обозначает собственный прообраз Е2 на Хь (в данной ситуации - применительно к цепочке раздутий Хм —...— Х\ —± XQ). Заметим, что всегда существуют стрелки г +1 —м\ Кроме того, в "верхней"части (то есть для г L, что соответствует раздутиям кривых) графа нет стрелок j —ь і, если j і + 1. Далее, если существует стрелка j — і, то существуют стрелки к — г для всех і к j. Наконец, не существует стрелок j -)-1--1 для всех j L. Все эти ограничения и свойства прямо следуют из базовых положений метода максимальных особенностей ([13], [45]) и определения графа нормирования.
По Г(о) определяются числа гі, r2,..., rN: полагаем r — 1, а г; при г N есть число всех путей в Г(ю) из вершины JV в вершину г. Эти числа связаны соотношениями П = Е (2-4Л) Отметим, что г; = 1 при г L — 1 ввиду вышесказанного. Коэффициенты ГІ играют существенную роль в методе максимальных особенностей. Мы также будем использовать "модифицированные"коэффициенты, которые определяются следующим образом: п = Ег" (2А2) i j L и ТІ = 1 для і L. Нетрудно убедиться, что при такой замене и неравенство Нётера-Фано, и квадратичное неравенство, и все основные свойства исходных коэффициентов, важные для приложений, сохраняются.
Предположим теперь, что X является трёхмерным проективным многообразием с Q-факториальными терминальными особенностями, V - линейная система без неподвижных компонент, имеющая максимальную особенность. Другими словами, существует нормирование v поля функций на X такое, что для него выполнено неравенство Нётера-Фано: v{V) p,8v, где 5„ - каноническая кратность относительно и, а р, - порог канонического при соединения (его определение дано в конце параграфа). Это же можно выразить иначе: пара имеет неканонические особенности. Можно предполагать, что Т является собственным прообразом некоторой (например, очень обильной) линейной системы при бирациональном отображении X на какое-то многообразие.
С точки зрения программы минимальных моделей такая ситуация приводит к следующему ([31], 2). Пусть с минимальное положительное число такое, что пара Кх 4- \7) канонична, е(Х, V) - число всех различных нормирований поля функций X, относительно которых кратность Кх + -Т равна в точности нулю. Заметим, что с \і по условию. Тогда существует максимальное кре-пантное разрешение tp : Y - X, то есть такое, что KY + \T Y = р {Кх + \V) и p(Y/X) = е(Х,Т ). Другими словами, tp ,1вытягивает"только дивизоры с нулевыми дискрепантностями для пары Кх + -V. Далее, относительная программа минимальных моделей для Y/X (относительно KY) должна оборваться через конечное число шагов, и последним шагом обязано быть экстремальное дивизо-риальное стягивание ф : Z —Ї X. Заметим, что морфизм -ф является крепантным для Kz + l z, то есть К2 + \"DZ — ф {Кх + \Т ). Поскольку с д, то исключительный дивизор Е стягивания ф реализует нормирование поля функций X, относительно которого пара Кх Л-\Т неканонична, то есть имеет максималь-ную особенность. Таким образом, в работе с максимальными особенностями линейных систем мы можем использовать следующий принцип: пусть линейная система ТУ имеет максимальную особенность относительно некоторого нормирования v поля функций на X, тогда существует нормирование v&v, реализуемое экстремальным раздутием в категории Мори, относительно которого Т также имеет максимальную особенность. Другими словами, мы можем сразу предполагать, что максимальная особенность линейной системы есть экстремальное дивизориальное раздутие, относительно которого пара Кх + Т неканонична.
Двойной конус над поверхностью Веронезе
Для завершения бирациональной классификации неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1 осталось рассмотреть самый сложный случай, когда є — 0, щ = 0, п2 = 1) "з = 2. Если V/P1 многообразие с таким набором структурных констант, то Gy изоморфно прямому произведению прямой и эллиптической кривой (лемма 3.2.4), причём этот дивизор может быть стянут бирациональным морфизмом, задаваемым линейной системой \3(—Ky)—3F\, на неособое многообразие Фано, называемым двойным конусом над поверхностью Веронезе. Описание бирациональной геометрии таких многообразий удобнее начать со структуры Фано.
Пусть U неособое трёхмерное многообразие Фано индекса 2 и степени 1 (двойной конус над поверхностью Веронезе). Класс обильных дивизоров, порождающих группу Пикара, обозначим Н, dim \Н\ = 2, так что Pic(t/) - Ztf, и выполняются соотношения Kv = —2tf и Я3 = 1. Линейная система \Н\ имеет единственную базисную точку, которую обозначим Р. Легко видеть, что U можно рассматривать как гиперповерхность степени 6 во взвешенном проективном пространстве Р = Р(1,1,1,2,3). Пусть \р, x,y,z, w] координаты в Р с весами wt(p, х, у, z, ю) = (1,1,1, 2,3). Заметим, что U не проходит через точки (0,0,0,1,0) и (0,0,0,0,1). Предположим, что U содержит точку BQ = (1,0,0, 0,0) и кривую IQ арифметического рода 1 и степени 1 (то есть /0 Є V) с двойной точкой в В0. Можно полагать, что /0 высекается гиперплоскостями {у = 0} иТ = {х = 0}, причём Т касается U в точке В0.
Чтобы не перегружать текст, мы сохраним обозначения ж, у, z, w за соответствующими координатами в аффинном куске {р ф 0}. Предположим, что 1о имеет ноду в BQ. Тогда уравнение U всегда может быть выбрано в виде
Ограничение проекции Р = Р(1,1,1,2,3) — Р(1,1,1,2) на U определяет конечный морфизм U — Р(1,1,1,2) степени 2, разветвлённый над неособым дивизором степени б. В свою очередь, Р(1, 1,1,2) получается как конус в Р9 над поверхностью Веронезе в Р5 (то есть над плоскостью, вложенной в Р3 при помощи полной линейной системы коник). Этим объясняется происхождение другого названия U - "двойной конус над поверхностью Веронезе". Дивизор ветвления является неособым сечением конуса над поверхностью Веронезе некоторой кубической гиперповерхностью в Р6, не проходящей через вершину конуса. Уравнение дивизора ветвления в Р(1,1,1,2) получается из уравнения для Е/, если отбросить моном w2.
На U существует двумерное семейство V эффективных кривых арифметического рода 1 и степени 1 (относительно пересечения с Н). Класс / таких кривых порождает кольцо одномерных циклов, A2(U) = Ш, причём Н2 = L Все кривые из V непр вводимы, общая кривая - неособа, ив? существует одномерное подсемейство рациональных кривых с нодальной или каспидальной двойной точкой.
Для всякой кривой С V линейная система \Н — С\ будет пучком поверхностей дель Пеццо степени 1, причём сама кривая С является полным пересечением любых двух элементов пучка. Таким образом, раздутие ipc : Uc - U кривой С имеет естественную проекцию рс : V = Uc — Р1, снабжающую V структурой расслоения Мори. Заметим, что V неособо, если С неособа, V имеет обыкновенную двойную точку, если С рациональная кривая с нодой, и для каспидальной кривой С многообразие V обладает "косоймдвойной точкой вида ху + z2 + ад3 = 0 в подходящих локальных координатах.
Расслоение F/P1 имеет структурные константы е = 0, п\ = О, пг = 1, щ = 2, даже если V имеет особую точку. Просто в особом случае дивизор ветвления R\Q имеет соответствующую особенность (дювалевскую точку типа Лі или Л2).
Несложно выписать соотношения между дивизорами на U и V Uc- Рассмотрим линейную систему Т и С \аН — ftC\, где С Є V- Другими словами, Т и состоит из дивизоров класса аН, имеющих кратность не ниже и вдоль кривой С. Рассмотрим собственный прообраз T v = (фс) 1и С \п( Kv) + mF\ линейной системы Т и на V. Числа а, /х, п и m связаны соотношениями п — а — и, m = 2/i — а, то есть Vv С (й - u)(-Kv) + 2/1 - a)F\.
Главный результат этого и следующего параграфов сформулирован в теореме: ТЕОРЕМА 3.4.1. Пусть U неособое трёхмерное многообразие Фано индекса 2 и степени 1, Тогда MS(U) = {U} U {рс : Uc - Р\ где CeV].
Группа бирациональных автоморфизмов U совпадает с группой бирегулярных автоморфизмов, Bir(U) = Aut(U), эти группы конечны и в общем случае порождены инволюцией двойного накрытия (если U рассматривать как двойное накрытие конуса над поверхностью Беронезе с ветвлением в неособом сечении кубикой). Многообразие U нерационально и не имеет структур расслоения на коники.
Кроме того, неособые модели U в классе расслоений Мори исчерпываются самим U и теми Uc, которые получаются раздутиями неособых кривых.
Доказательство теоремы разбито на два этапа. На первом, в этом параграфе, рассматриваются максимальные особенности линейных систем на U.
Вначале напомним (2.4), что для любого нормирования Х поля функций на неособом многообразии, реализуемого экстремальным раздутием, его граф Г (to) не имеет лишних инцидентностей (в наличии только стрелки г + 1 -+ г), и для реализации нормирования и в виде цепочки раздутий с центрами в точках Во,..., BL-I И кривых BL,- -Bjv-i выполняется также условие Д П Е\_х — 0 Мы начнём с доказательства следующего предложения:
Пусть нормирование t» задаёт максимальную особенность линейной системы Т С \пН\ на U без неподвижных компонент, BQ = Center и о. Согласно 2.4 мы можем полагать, что t реализуется экстремальным раздутием. 1) Предположим, что В0 - кривая. Тогда В0 ЄР. 2) Предположим, что В0 - точка, и Т не имеет максимальных особенностей вдоль кривых. Тогда В$ ф Р = Вая#, так что существует единственная кривая IQ Є С, содержащая BQ. Далее, IQ имеет особенность в В0, причём для реализации to в виде цепочки раздутий выполняется: а) если BQ - нодальная точка IQ, то L = 1 и 2 JV 5; б) если Во - каспидальная точка 10, то L — 1 и N = 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Случай 1), то есть когда BQ - кривая, был разобран в работе [13]. В дальнейшем всегда будем предполагать, что В0 точка. Таким образом, существует экстремальное раздутие ф :U — U точки Ва, являющееся, по предложению 2.4.1, взвешенным раздутием с весами (1, L, N). Это же нормирование реализуется цепочкой раздутий Vjv -+ VN-I Va U с центрами в точках Д ,..., BL-\ и кривых Ви, Вы-и и соответствующий граф Г = Г(о) не имеет лишних стрелок.
Покажем вначале, что Ва Ф Р. В нашем случае порог канонического присоединения есть г \п, так что для общих элементов Di и D2 линейной системы V выполняется multBo D1oD2 (-J v LNJ n\ откуда, если B0 — F, немедленно получаем противоречие из пересечениях общим элементом S Є \Н\ (напомним, что Р = Bas \Н\)\ п2 = Вг о Di о 5 multSo DxoDi п2. Итак, Ва ф Р, и существует единственная кривая IQ Є V, содержащая точку В0. Положим Z i о 2 = Ыо + %а, где ZQ - эффективный 1-цикл, IQ SuppZo- Поскольку Di о D2 пЧ, то, очевидно, ZQ (п2 — а)1о. Заметим, что для общего элемента S Є \Я — BQ\ имеем limits, ZQ Zo о S — п2 — а. Предположим, что BQ - неособая точка IQ. Тогда тиИв0 D\ о L 2 ос 4- п2 — а = п2
Бирационально жёсткие расслоения
Предположим, что х не изоморфизм. Тогда Т и имеет максимальную особенность на [7, или, что то же самое, лог-пара Ку + Т и неканонична. Согласно предложениям 3.4.2, 3.4.3 и 3.4.4, максимальная особенность имеет своим центром кривую, а по результатам работы [13] это некоторая кривая С Є V. Пусть /i = multcXV- По условию, /л \а. Рассмотрим раздутие ipc : V = Uc — U и собственный прообраз Vv линейной системы ТУ и на V. Тогда Vv С \n(-Kv)+mF\, где п = a — fj, a m 2р. — а 0. Заметим, что п п (предложение 2.4.3), По результатам [18], линейная система TV не имеет максимальных особенностей вдоль кривых, а по предложению 3.5.1, она не имеет сверхмаксимальных особенностей. Таким образом, условие п п не выполнено, откуда тг = тг , а тогда отображение х Рс V — У бирационально над базой (предложение 2,4.3). Тем самым доказано утверждение теоремы 3.4.1 о множестве структур Мори M.$(U), а также утверждение о группе бирациональных автоморфизмов, то есть что Віг(їУ) — Aut(f/). Таким образом, U не рационально и не имеет структур расслоения на коники. Наконец, то, что неособые расслоения Мори в классе бирациональной эквивалентности U представлены самим U и теми / ?, которые получены раздутием неособой кривой, вытекает из теоремы 2.3.1. Теорема 3.4.1 доказана.
Как уже отмечалось во Введении, этот параграф завершается разбором ошибок работ С.И.Хашина ([24], [25]). Им анонсировался следующий результат: любое бирациональное отображение двойного конуса над поверхностью Веронезе на многообразие Фано основной серии является изоморфизмом. Результат, как мы теперь знаем, верный. Тем не менее, в указанных работах он совершенно не доказан.
Следует отметить, что существует сильное отличие между [24], единственной публикацией С.И.Хашина на эту тему, и соответствующим местом в его диссертации. Часть того, что опущено в статье, доказывается в диссертации, при этом удивительным образом в диссертации отсутствует существенный момент статьи, где рассматривалось исключение бесконечно близких особенностей над двойными точками кривых степени 1 и рода 1 (тема 3.4 настоящей диссертации). Кроме того, вычисления, проводимые С.И.Хашиным, выполнены
крайне неряшливо и полны несуразных ответов. Поэтому мы не будем разбирать все его ошибки, а ограничимся лишь двумя случаями, относящимися к бесконечно близким особенностям. Первый - тот, что пропущен в диссертации, но присутствует в статье. Другой соответствует исключению бесконечно близких особенностей на расслоенном многообразии, полученном раздутием кривой степени 1 и рода 1 с двойной точкой в ситуации, когда центр максимальной особенности лежит на кривой особенностей исключительного дивизора (дивизор Gy в обозначениях 3.5), причём доказательства, приведённые в статье и в диссертации, совершенно различные (и оба неправильные). Мы будем придерживаться в точности тех обозначений, которые использует Хашин.
Начнём с исключения бесконечно близких особенностей линейной системы Мх С \пН\ над точкой Во, являющейся особой точкой кривой С степени 1 и рода 1 (3 статьи [24], абзац перед последней выключной формулой). Сразу отметим грубую ошибку в рассуждениях. С.И.Хашин полагает, что если линейная система Мх содержит кривую С с кратностью ц, то одномерный эффективный цикл М — \)?С не содержит С в качестве компоненты. Это, разумеется, совершенно неверно. Как результат, он утверждает, что для пробного класса у, который может содержать собственный прообраз С в качестве базисной компоненты и, следовательно, отрицательно с ним пересекаться, на некотором разрешении выполнено (М І — іі2Сі)у 0. Это, однако, надо доказывать.
Далее, приводимая в том же абзаце оценка М у —Rn2 просто неверна: в обозначениях Хашина пересчёт показывает, что і t Щ& = Rn2 - riv) Rn% - vl ri - поскольку R = ri +... +ГІ и v\ га по условию. Во всяком случае, подсчитанная им величина меньше нуля быть никак не может. Кстати, если теперь провести остаток его вычислений при правильной оценке, никакого противоречия, как у него, не получается. Отметим также совершенно непонятно как получившееся вычисление для СІУ в выключной формуле. Кстати, здесь как раз получаемую им оценку молено улучшить: на самом деле dy — Я. В целом, проведённое в статье вычисление никаким образом не может привести к противоречию, поскольку более точный аналог его, без необходимости доказывать нужные свойства пробного класса, подсчитанный при помощи современной техники ([45]), не приводит к нужному результату. Это, собственно, и было продемонстрировано в начале 3.4 данной диссертации.
Теперь второй случай. В статье это второй абзац на странице 16. С.И.Хашин пытается доказать, что если линейная система на V имеет максимальную особенность вдоль кривой В рода 1 и степени 1 (в данном случае с двойной точкой), то собственный прообраз этой линейной системы на многообразии Vg, полу ченном раздутием вначале точки, где В имеет особенность, затем собственного прообраза В, и затем ещё некоторой выделенной бесконечно близкой кривой (на данный момент не существенно, какой), не будет иметь максимальных особенностей. Доказательство, предлагаемое им, не очень внятное, но в конце концов он применяет метод пробного класса. И опять, выделяя в линейной системе \МХІ\ базисные кривые Zk, вдоль которых система имеет кратности jik и которые могут быть отрицательными для пробного класса, он утверждает, что одномерный цикл не содержит в качестве компонент кривые Zk. Конечно, на столь грубой ошибке можно "доказать"чего угодно. Любопытно, что в диссертации предложено другое доказательство этого места. Там его автор предлагает ограничить линейную систему на VB на некоторый неприводимый дивизор и показать {сам он это не делает, ссылаясь на очевидную лемму), что эта линейная система пуста. Но дело всё в том, что дивизор этот никак не является неприводимым, и ссылка на лемму (даже если всё остальное было бы правильным, что сомнительно) уже не срабатывает.
Вряд ли есть смысл продолжать разбор ошибок дальше. Есть, однако, одно обстоятельство общего плана, которое необходимо упомянуть. В настоящей диссертации на расслоениях исключались сверхмаксимальные особенности. В работах Хашина делалось нечто иное: исключались просто максимальные (то есть более слабые, чем сверхмаксимальные) особенности, и исключались следующим образом. Предполагая, что линейная система \МХ\ С \пН[ имеет максимальную особенность вдоль кривой В рода 1 и степени 1 (а такое действительно может быть) с кратностью VB , Хашин раздувает эту кривую, и уже на многообразии VB исключает максимальные особенности собственного прообраза линейной системы. Там, как нетрудно видеть, все кратности привязаны уже не к п, а к п — ь в. Такой случай, собственно, только что и был рассмотрен. Но всё дело в том, что линейные системы на Уд, вероятно, могут иметь максимальные особенности (но не могут иметь сверхмаксимальные, как было доказано в предложении 3.5.1 в этом параграфе). Причина заключается в возможности перестроек слоя. К сожалению, у меня нет конкретного примера, но если представить себе, что существует какая-нибудь перестройка слоя, на манер примеров в 2.3 {при этом не обязательно ограничиваться горенштейновыми случаями), то мы в точности получим ситуацию линейной системы, имеющей максимальную несверхмакси-мальную особенность. Априори ничто не препятствует существованию таких перестроек (и они, скорее всего, есть), в противном случае мы получили бы ситуацию слишком удивительную, чтобы поверить в неё: описание множества структур Мори двойного конуса над поверхностью Веронезе, данное в теореме 1.0.6, есть на самом деле описание вообще всех расслоений Мори в данном
