Введение к работе
Актуальность проблемы.
В классической дифференциально? геометрии евклидова пространства выделяются два направления. Одно из них, называемое геометрией "в малом", изучает локальные свойства геометрических объектов, а второе исследует геометрические объекты на всем их протяжении и называется геометрия "в целом".
Геометрия "в целом", по-видимому, берет свое начало от знаменитов теоремы О.Коши о том, что два замкнутых выпуклых многогранника, одинаково составленные из равных гране?, равны. В своем развитии геометрия "в целом" связана с именами выдающихся математиков таких, как Д.Гильберт, Г.Минковский, Г.ВеРль, С.Кон-Фоссен и.другие.
Истоки современного этапа развития геометрии "в целом" связаны со ставшими ныне классическими работами А.Д.Александрова, А.В.Погорелова и их многочисленных учеников.
Многие результаты геометрии "в целом", полученные в евклидовом пространстве, обобщены на случай поверхностей в пространствах постоянной кривизны.
Прежде всего, изучен случай поверхностей в эллиптическом пространстве Лобачевского. Геометрические методы,развитые в евклидовом пространстве и в пространствах постоянно? кривизны, дали возможность обобщить эти результаты на поверхности обших римановых пространств. В настоящее время сравнительно хорошо изучены основные вопросы геометрии "в целом" в псевдоевклидовом пространстве.
Однако перечисленные выше пространства являются лишь частным случаем в обшей схеме Кели-Клейна. Имеются 27 трехмер-
ных пространств с проективными метриками, в которых кроме перечисленных выше пространств имеются галилеевы: изотропное, флаговое, квазиэллиптическое и другие пространства.
Общая теория в малом поверхностей этих пространств приведена в монографии Б.А.Розенфелда "Неевклидовы пространства".
В связи с вышеизложенным приобретает актуальность постановка следующего вопроса: возможна ли содержательная постановка и решение задач геометрии "в целом" в пространствах с проективными метриками, то есть в пространствах с вырожденной метрикой?
Подчеркнем, что изучение геометрии галилеева пространства представляет безусловный интерес и с точки зрения теоретической физики. Дело в том, что это пространство представляет собой пространство-время классической механики, и, сравнивая его геометрию с геометрией псевдоевклидовой, мы более глубоко понимаем соотношение релятивистической и не релятивистической динамики.
Цель.работы
Основной целью работы является изучение основных задач геометрии "в целом", поверхностей в полуевклидовом пространстве. В это{* связи появилась необходимость изучения теории поверхности полуевклидова пространства. Была построена тео--рия поверхностей, пригодная к постановке и решению задач по геометрии "в целом". Выяснить, какие из задач геометрии "в целом" возможно обобщать для полуевклидовых пространств, а также определить новые задачи, приводящие к изучению поверхности на всем ее протяжении.
Научная новизна .
В работе получило развитие новое направление - геометрия "в целом" в полуевклидовом пространстве. Определена и изучена внешняя кривизна выпуклой поверхности полуевклидова пространства. Задача восстановления поверхности по внешне? кривизне применена к решению широкого класса уравнении Монжа-Ампера. Рассмотрены аналоги основных задач геометрии "в целом" в галилеевом пространстве. Введено понятие внутреннее кривизны выпуклой поверхности в галилеевом пространстве и изучены связанные с ним вопросы.
Исследованы седловые поверхности галилеева пространства и рассмотрены некоторые задачи, связанные с седловыми поверхностями.
Апробация работы
По материалам диссертации сделаны доклады на следуших конференциях: Всесоюзной конференции по геометрии "в целом" (Новосибирск, 1987), Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (Новосибирск, 1989), Всесоюзном совещании молодых ученых по дифференциальной геометрии, посвященном 80-летию Н.В.Ефимова (Ростов-на-Дону, 1990), Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 1992).
Кроме того, сделаны доклады на семинарах: семинарах Московского Государственного Университета (рук. Фоменко А.Т. и рук. Н.В.Ефимов), семинаре Ленинградского педагогического Университета им. А.И.Герцена (рук. А.Л.Вернер), семинаре математического института им. В.А.Стеклова Ленинградское отделение (ЛОМИ), семинаре Новосибирского Института математики СО РАН, семинаре Ташкентского Государственного Университета.
Структура и объем работы
