Введение к работе
Актуальность темы исследования. Настоящая диссертация посвящена вопросам бирациональной классификации неособых трёхмерных многообразий, расслоенных над прямой на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2. Сама по себе проблема бирациональной классификации относится к одной из наиболее классических задач алгебраической геометрии, над которой, начиная с середины 19-го века, работали многие математики из разных стран и разных школ. Основной же объект диссертации - расслоения на поверхности дель Пеццо - тесно связан с бирациональными теориями, возникшими в последние 20 лет, такими, как программа минимальных моделей и программа Саркисова.
В настоящее время существуют несколько методов в бирациональной геометрии, ориентированных, как правило, на решение проблемы рациональности. Это, в частности, метод Клеменса-Гриф-фитса, основанный на анализе структуры промежуточного якобиана алгебраического многообразия, и его обобщения, применяемые к вырождениям многообразий. Затем, метод Артина-Мамфорда. где рассматривается такой бирациональный инвариант многообразия, как группа Брауэра. В середине 90-х годов появился метод Коллара, в котором доказательство нерациональности многообразия достигается спуском в конечную характеристику и рассмотрением чисто несепарабельных накрытий. Недавно И.А.Чельцов предложил ещё один прием, когда исходное многообразие деформируется к многообразию бирационально изоморфному расслоению на коники над линейчатой поверхностью.
Все перечисленные методы обладают своими достоинствами и недостатками, но наиболее универсальным и информативным является метод максимальных особенностей. По всей видимости, появление этого метода следует связывать с Максом Нётером1, сформули-
'N other М., U]x;r Flachen welche Schaaren rationaler Curven besitzen // Math. Ann. 1871. V. 3. P. 1G1 227
ровавшим и частично доказавшим результат о порождающих груп
пы Кремоны (группы бирациональных автоморфизмов) проектив
ной плоскости. Сам результат выглядит удивительно просто: груп
па порождена бирегулярными автоморфизмами, то есть эле
ментами Aut(Pa) „ и каким-нибудь квадратичным преобразоанием.
Заметим, что для , хотя прошло больше 130 лет, ничего похо
жего пока даже сформулировать не удалось (и, вероятно, не скоро
удастся).
Ключевая идея метода максимальных особенностей видна уже на примере теоремы Нётера: необходимо следить за базисными подмножествами "болыпой"кратности в линейных системах. В этом духе рассуждал и Дж. Фано (Gino Fano), пытавшийся распространить эти идеи на трёхмерные многообразия. Трёхмерная геометрия, разумеется, много сложнее и богаче, но Фано выяснил, что многообразия, которые он рассматривал (как правило, они принадлежали классу, впоследствии названному В.А.Псковских многообразиями Фано), во многих случаях устроены так, что на подмножества "большой кратности "существуют очень сильные ограничения, и это либо исключало их существование вообще, либо позволяло найти подходящий бирациопальный автоморфизм, как в случае квадратичного преобразования на плоскости, и "открутить"кратности, понизив степень линейной системы. Фано сформулировал целый ряд очень сильных утверждений, но, к сожалению, доказательства его не отличались прозрачностью, во многих случаях до сих пор не ясно, насколько точны его рассуждения. Любопытно, что его тексты практически полностью лишены формул.
Тем не менее, многое из того, что было анонсировано Фано, впоследствии было доказано. И первой в новой истории метода максимальных особенностей была теорема Ю.И.Манина и В.А.Исковских о квартикс2. Им удалось дать строгое доказательство утверждения, сформулированного Фано, о том, что группа бирациональных авто-
2ИсковскихВ.А, Мании ЮА, Трёхмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота И Матем. сборник. 1971. Т. 86, №1. С. 140-166
морфизмов неособой трехмерной квартики совпадает с группой бирегулярных автоморфизмов До этого и К) И Манин, и В А Псковских много времени уделяли изучению геометрии поверхностей над не замкнутыми полями, в том числе и функциональными пытаясь таким образом подоиіи к геометрии многомерной В последствии это вылилось в целый ряд исключительно сильных результатов, которые служат одним из опорных моментов настоящей диссертации
Несмотря на первые успехи в применении метода максимальных особенностей достигнутые к 80-м юдам в работах В А Псковских и В Г Саркисова (которому удалось применить эту технику к расслоениям на коники) ситуация вскоре ухудшилась Связано это было вероятно с изначальной направленностью схемы метода максималь ных особенностей предложенной Ю И Маниным и В А Псковских на решение слишком конкретных задач (неособые многообразия Фа-но с малой Степенью антиканонического класса) Технически зто выражалось в идее пробною класса и ориентации на использование характерного для метода квадратичного неравенства В это время осу ществляются неудачные попытки исследования многообразий Фано индекса 2 (в работах С И Хашина), не удается усилить результат о расслоениях на коники не получается применить схему к исследованию расслоений на поверхности дель Пеццо, и так далее
Некоторый успех в то время был достигнут в работах А В Пухли-кова успешно применившего метод максимальных особенностей к многообразиям с особенностями (квартика с обыкновенной двойной точкой) Тогда же был сделан важный шаг к большим размерностям была доказана теорема совпадении бирациональных и бирегулярных автоморфизмов четырехмерной квинтики
Положение изменилось в 90-х годах благодаря новым работам А В Пухликова Он переработал схему метода отказавшись от тех ники пробного класса благодаря тщательному анализу структуры максимальных особенностей и применив язык дискретных нормирований3 Новые идеи оказались чрезвычайно плодотворными ме-
3Пухликов А В Замечание к теореме В А Псковских и Ю И Манииа о трехмерной квар
тод теперь работал во всех размерностях и обрёл большую гибкость, благодаря чему, например, удалось "зацепить"расслоения на поверхности дель Пеццо. Так, был доказан аналог результата Исковских-Манина во всех размерностях (гиперповерхности степени U в Рл/), для расслоений на поверхности дель Пеццо малых степеней доказана бирациональная жёсткость при выполнении К2-условия, причём стало возможным комбинировать подходы и исследовать многообразия с несколькими различными структурами расслоения. В новом своём виде метод макимальных особенностей оказался исключительно хорошо приспособленным к другим теориям. Скажем, он стал основным (и, видимо, единственным) практическим средством в программе Саркисова - общем подходе к факторизации отображений между расслоениями Мори, основанном идеях В.А.Иековских, В.Г.Саркисова, М.Рида и доказанной А.Корти
Цель работы - исследование бирационалыюй геометрии неособых трёхмерных расслоений Мори на поверхности дель Пеццо степеней
-
и 2. не подпадающих под К2- -условие (подробнее об этом условии сказано ниже, где формулируются основные результаты). Многообразия указанного типа, удовлетворяющие такому условию (что является общей ситуацией), были одной из тем докторской диссертации А.В.Пухликова. Тем не менее случаи, в которых К -условие не выполнено, относятся не только к более трудным, но и к более содержательным. Например, среди них находятся многообразия, содержащие (в бирациональном смысле) различные структуры расслоений на рациональные подмногообразия, в частности, бирацио-нально изоморфные многообразиям Фано основной серии индекса
-
и степеней 1 и 2. Кроме того, хотя метод максимальных особенностей, используемый в диссертации в качестве основного технического средства, принципиально применим к исследованию любых многообразий отрицательной кодаировой размерности, в частности, к описанию трёхмерной группы Кремоны, важной проблемой остатке // Труды МИ РАН 1995. Т. 208. С. 278 289
ются границы практической применимости метода. В диссертации удалось расширить эти границы, впервые успешно применив метод к многообразию Фано индекса 2 (так называемому двойному конусу над поверхностью Веронезе). Таким образом, разработанная в диссертации методика позволяет вплотную подойти к исследованию многообразий Фано индекса 2 и степеней 2 и 3, тем самым осуществив "смычку" различных методов бирациональной геометрии, в данном случае метода промежуточного якобиана (и его обобщения на вырождения многообразий) и метода максимальных особенностей.
Методы исследования. В диссертации используются как общие алгсбро-гсометрическис методы - теория дивизоров и линейных систем дивизоров на многообразиях, теория пересечений, теория кратностей, так и специфически бирациональные - метод максимальных особенностей, программа Саркисова, программа минимальных моделей.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Исследована проблема бирациональной жёсткости для неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2, не удовлетворяющих К -условию. Как результат, доказан критерий бирациональной жёсткости для указанного класса многообразий.
Доказан результат о единственности неособой модели для расслоений на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2 в классе всех бирациональных отображений над базой.
Дополнительно для неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1 исчерпывающе исследованы все нежёсткие случаи, в частности, найдены все различные структуры Мори. Среди таких случаев оказываются многообразия, бирационально эквивалентные многообразию Фано индекса 2 и степени 1.
Научная значимость работы. Результаты, полученные в диссертации, завершают бирациональную классификацию неособых трёхмерных расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1 и реша-
ют проблему бирациональной жёсткости для степеней 1 и 2. Развитие метода максимальных особенностей, достигнутое в диссертации, позволяет применить его к исследованию бирациональной геометрии "трудных"с классической точки зрений многообразий, таких, как многообразия Фано индекса 2.
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по алгебраической геометрии в Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН, на семинаре по бирациональной геометрии на механико-математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова, на семинарах по алгебраической геометрии в Институте Макса Планка (Бонн, 2000, 2003), Корейском институте высших исследований (Сеул, 2001), Ливерпульском университете (2002). Берлинском университете (2003). а также на различных международных конференциях (по геометрии многомерных алгебраических многообразий, институт Исаака Ньютона, Кембридж, 2003: конференции но случаю 70-летия кафедры алгебры механико-математического факультета МГУ, и других).
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 40 наименований. Объём диссертации 130 страниц.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах, список которых приведён в конце автореферата.
