Введение к работе
Актуальность темы. Эрмитовой поверхностью называется двумерное комплексное многообразие, на котором фиксирована положительно определенная эрмитова форма, называемая эрмитовой метрикой многообразия. Такие многообразия / аналогично, как и риыано вы поверхности/ обладают весьма своеобразной геометрией, которая в настоящее время пока мало изучена..
К исследованию геометрии эрмитовых поверхностей посвящались ряд работ известных геометров; И.Вайсмана, Ф.Тричери» Т.Коды и А,Грея. Так. в работах СП » I 3.1 получены некоторые результаты ^сающиеся свойств кривизн, характеризующих эрмитовы поверхности, а в работе \_ Ъ~] получены тождества кривизн, которыми обладают автодуальные и антиавтодуальные эрмитовы поверхности.
Диссертационная работа посвящена изучению геометрик эрмитовых поверхностей, внутренним образом возникающей на пространстве касательного расслоения над двумерным римановш многообразней. Эту структуру можно описать в терминах теории полного лифта относительно индринитезимальяой связности, разработанного Ф.И.Каганом / Г 51/. Насколько известно автору, несмотря на немалое количество работ,посвященных изучению геометрических структур на касательных расслоениях, почти эрмитова структура подобная введенной нами еще не явлалась предметом рассмотрения. В работе подробно изучены некоторые свойства этого класса эрмитовых поверхностей / названного нами классом тангенциальных эрмитовых поверхностей/, в частности доказано, что они являются локально конформно келеровыми многообразиями весьма общей природы. Тем самым получен целый класс принципиально новых примеров 4-мерны» локально конформно келеровых многообразии, играющих важную роль при построении нелинейных С - моделей в теории супергравитации tk]
Цель диссертационной работы состоит в изучении некоторых /определенных внутренним образом/ геометртеских структур, возникающих на пространстве касательного расслоения над двумерным /ориентированным/ римановым многообразием. Основными задачами данного исследования является следующие і
-
Показать, что на касательном расслоении над двумерным ориентированным ришновым многообразием каноническим образом индуцируется два типа почти эрмитовых структур. Выразить вти факты исходя из метода полного лифта относительно инфинитезимальной связности, разработанного Ф.И.Каганом.
-
Изучить геометрию введенню: почти эрмитовых структур методом присоединенной Q - структуры.
Новизна результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Отметим некоторые из них :
-
Показано, что на касательном расслоении над двумерным ориентированным рямановш многообразием каноническим образом индуцируется семейство эрмитовых структур. Более того, доказано, что эти эрмитовы структуры являются локально конформно-келеравыми структурами.
-
Построена G - структура, присоединенная к построенным эрмитовым структурам, найдена полная группа ее структурных объектов. На базе этих результатов получены сведения об особенностях геометрии этих эрмитовых структур, а именно :
а) Найдено необходимое и достаточное условие того, что рас
сматриваемые эрмитовы структуры являются келеровыми структурами.
б) Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении
которых касательное расслоение, снабженное таким семейством
эрмитовых структур, является, соответственно, обобщенным многооб
разием Хопфа, пространством Эйнштейна, R U. - многообразием и
многообразием постоянной голоморфной секционной кривизны.
3) Показано, также, что на касательном расслоении над двумерным
римановым многообразием каноническим образом индуцируется почти
келерова структура. Найдено необходимое и достаточное условие
интегрируемости атой структуры.,
Методы исследования. Основные результаты получены систематическим использованием метода внешних форм Картана. Исследование проводится на пространстве присоединенной G - структуры, элементами пространства тотального расслоения которой являются А- реперы.
Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения введенного нами класса эрмитовых поверхностей, а также при чтении спецкурсов в ВУЗах.
Апробашя -работа. Основные результаты диссертации два раза докладывались и обсуядались на научно-исследовательском семинаре по дифференциальной геометрии кафедры геометрии МИГУ под руководством доктора физико-математических наун, профессора В.Ф.Кириченко, также, на научно-практическом семинаре по теоретической физике МПГУ под руководством кандидата физико-математических наук Б.Н.Фролова и научно-исследовательском семинаре по дифференциальной геометрии кафедры функционального анализа и геометрии Тверского госуниверситета под руководством доктора физико-математических наук, профессора А.М.Шелехова.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в пяти публикациях
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 46 работ отечественных и зарубежных авторов. Работа выполнена на S9 листах печатного текста.
