Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Наилучшие приближения линейных форм 11
1.1 Наилучшие приближения и односторонние наилучшие приближения линейных форм 11
1.2 Асимптотические направления 14
1.3 Некоторые свойства освещаемости 16
1.4 Аналог теоремы о сигнатуре для односторонних наилучших приближений линейных форм 18
1.5 Вспомогательные утверждения 20
1.6. Доказательство теорем 30
Глава 2. Полиэдры Клейна 33
2.1 Плохо приближаемые числа и полигоны Клейна 33
2.2 Паруса и норменные минимумы 34
2.3 Связь с проблемами Литтлвуда и Оппенгейма 37
2.4 Двойственный конус 38
2.5 Доказательство теоремы 2.2 40
2.6. Доказательство теоремы 2.3 в случае п = 3 42
2.7 Доказательство теоремы 2.3 для произвольного 44
2.8 Паруса и базисы Гильберта
2.9 Доказательства теорем о базисе Гильберта
Список литературы 72
- Наилучшие приближения и односторонние наилучшие приближения линейных форм
- Аналог теоремы о сигнатуре для односторонних наилучших приближений линейных форм
- Связь с проблемами Литтлвуда и Оппенгейма
- Доказательство теоремы 2.3 для произвольного
Введение к работе
Диссертация подготовлена на кафедре теории чисел Московского гсудар-ственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к геометрии чисел.
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию двух классических многомерных обобщений понятия наилучших приближений действительного числа рациональными: наилучших приближений линейных форм и полиэдров Клейна.
Постановки задач, связанных с этими объектами, восходят к Г.Минковскому, Г.Ф.Вороному, Ф.Клейну, К.Якоби, и другим классикам. Ими занимались такие известные математики, как Л. Я.Хинчин, К.Л.Роджерс, В.И.Арнольд, А.Д.Брюно, М.Л.Концевич, Дж.Касселс, Г. Супннертон-Даер.
Исследованию многомерных обобщений понятий цепной дроби и наилучшего приближения числа посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также их приложениям уделено внимание в монографиях Дж.Касселса [1], [2], М.Грубера и К.Г.Леккеркеркера [3], П.Эрдеша, М.Грубера и Дж.Хаммера [4], Ж.Лашо [5] и других.
Наилучшие совместные приближения и наилучшие приближения линейных форм тесно связаны, по сути являясь двойственными объектами. Это отражается, например, в различных теоремах переноса (см. [2]). В настоящей диссертации получен ряд новых фактов о наилучших приближениях линейных форм, аналогичных известным утверждениям о наилучших совместных приближениях, полученным К.А.Роджерсом [G], [7], Н.Г.Мощевитиным [8], В.Т.Сош и Г.Секерешем [9].
В диссертации также исследуется одно из классических многомерных обобщений цепных дробей: так называемые полиэдры Клейна. Теория полиэдров Клейна берет начало в работе [10], опубликованной еще в конце 19-го века, однако, первые содержательные многомерные результаты были получены почти столетие спустя В.И.Арнольдом [11], [12], Х.Цушихаши [13], Ж.Лашо [14], [5], Е.Коркиной [15], [16], [17], А. Д. Брюно и В. И. Парусниковым [18] и посвящены полиэдрам Клейна, соответствующим алгебраическим решеткам. Отметим также недавнюю работу М.Л.Концевича и Ю.М.Сухова [19], в которой получен ряд статистических разультатов о полиэдрах Клейна. В настоящей диссертации мы уточняем результат Ж.-О. Муссафира [20], а также доказываем многомерный
аналог теоремы о плохо приближаемых числах, позволяющий переформулировать гипотезу Оппенгейма в терминах свойств полиэдров Клейна.
Научная новизна. Полученные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:
— Доказано существование для любого асимптотически допустимого множества Q на сфере такого континуального набора линейных форм, что для любой формы из этого набора множество всех асимптотических направлений для односторонних наилучших приближений этой формы совпадает
с а
— Доказана равносильность положительности норменного минимума п-мерной иррациональной решетки Л и равномерной ограниченности сверху определителей граней каждого из 2п парусов, порожденных решеткой Л.
— Приведен критерий в размерности п = 3,4 того, что точки решетки Л, лежащие в приведенном парусе этой решетки, образуют базис Гильберта полугруппы точек Л с неотрицательными координатами.
Методы исследования. В работе используются методы геометрии чисел, теории выпуклых многогранников, теории двойственных многогранников, теории подрешеток простого индекса, а также результаты о распределении простых чисел.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории полиэдров Клейна, теории относительных минимумов решеток, теории наилучших приближений линейных форм, а также при исследовании решеток с положительными норменными минимумами.
Апробация работы. Результаты настоящей диссертации неоднократно докладывались автором на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ:
1. Научно-исследовательский семинар но теории чисел под руководством Ю. В. Нестеренко, Н. Г. Мощевитина, А. Б. Шидловского,
2. "Арифметика и геометрия" под руководством Н. Г. Мощевитина, А. М. Рай городского,
3. "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством С. С. Рыш-кова,
4. "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством Н. П.Дол-билина, Н. Г. Мощевитина,
5. Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством Н. Г. Мощевитина, А. В. Устинова,
G. Теория функций и ее приложения" под руководством С. В. Конягина,
а также на международных конференциях
"Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула,
19-24. X. 2003),
"XXIII-rd Journee Arithmdtiques" (Graz, Austria, G-12. VII. 2003), "Diophantine analysis, uniform distribution and their applications" (Минск,
24-30. VIII. 2003).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [21], [22], [23], [24] н [25].
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 74 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 42 наименования.
Содержание работы. Пара чисел (q, р) Є Z2 такая, что q 0, называется наилучшим приближением числа а, если для всех {q ,p ) Є Z2 : 0 q q имеет место строгое неравенство
\qa-p\ \q a-p \
и для всех целых р/ имеет место нестрогое неравенство
\qa-p\ , \qoc-p \.
Геометрический смысл этого определения весьма прост: точка (q, р) Є Z2 при q 1 является наилучшим приближением а в том и только том случае, если в параллелограме
Vqjua = {( 1, 2) Є Z2 I si q, \ax\ - x2\ \qa -p\}
нет целочисленных точек, за исключением ±( 7,р) и (0,0).
Существует множество многомерных обобщений этой конструкции. Настоящая диссертация посвящена изучению двух из них. Первый подход основан на интерпретации параллелограма Vq a как цилиндра в 4о-норме с осью (1, а). Второй — на интерпретации этого параллелограма как параллелепипеда с вершиной (q,p), центрально-симметричного относительно начала координат.
В первой главе диссертации изложены результаты, касающиеся первого подхода, во второй — соответственно, второго.
1. Первый подход может быть описан следующим образом. Пусть а = (ai,..., ап) Є Rn, Ca:Rn - R, a(x) = (a i + ... + anxn). Будем также через I • I обозначать -норму в Rn.
Определение 0.1. Точка (q, a) = (q, а\,..., ап) Є Zn+1 такая, что q О, называется наилучшим совместными приближением вектора а если
\qa — а \q a — а для всех (q , а ) Є Z"+1 : 0 q q, и
\qa - а ga - а для всех а Є Z".
Определение 0.2. Точка (q,m) = (q,mi,... ,mn) Є Zn+1 называется наилучшим приближением линейной формы а, если
а(т) -q\ а(т ) - q \ для всех (q , т ) Є Z"+1 : т т, т ф О, ±т, и
а(т) -q\ Q(m) - q \ для всех q Є Z.
Оба определения классические (см. [2], [2G]). Эти две конструкции весьма тесно связаны, будучи наилучшими приближениями двойственных объектов, что дает возможность получать различные теоремы переноса (см. [2]).
Все наилучшие совместные приближения к вектору а располагаются в виде последовательностей ( #, а,-) Є Z"+1 таких, что #1 q2 • • • 7Ї • • • и
\qiat - аі \q2a - а2 ... \qtot - af ... ,
причем эти последовательности являются конечными или бесконечными, в зависимости от того, лежит а в Qn или нет.
Аналогично, все наилучшие приближения линейной формы Са располагаются в виде последовательностей ±( 7г-,тг) Є Zn+1 таких, что mi m2 ... nij ... и
a(mi) - 7i \CQ(m2) - 72І •. • \Ca{mt) -qt\ ... ,
и эти последовательности являются конечными или бесконечными, в зависимости от того, являются числа l,ai,... ,ап линейно зависимыми над Q или нет.
Для усиления аналогии можно выбрать из каждой пары ±( 7,-, тг) ту точку, для которой Q(mj) — qi 0, и таким образом рассматривать
"односторонние" наилучшие приближения формы CQ. Это дает возможность сформулировать и доказать ряд утверждений об односторонних наилучших приближениях, аналогичных уже известным фактам, полученным К. А. Роджерсом [6], [7], Н. Г. Мощевитиным [8], В. Т. Сош и Г. Секерешем [9], о наилучших совместных приближениях. Формулировке и доказательству этих утверждений и посвящена первая глава диссертации.
В первых теоремах главы 1 речь идет об асимптотических направлениях для наилучших приближений и для односторонних наилучших приближений линейной формы, то есть для предельных точек последовательности {іпьтШі и предельных точек множества {irjM? . Вводится понятие осве-щаемости:
Определение 0.3. Пусть М — замкнутое выпуклое множество, b Є дМ, а ф. М. Тогда будем говорить, что М освещается точкой а в точке Ь, если существует такое Л 0, что b + A(b — а) содержится в intA/.
Затем вводится понятие асимптотически допустимого множества:
Определение 0.4. Подмножество Q единичной сферы S будем называть асимптотически допустимым, если на сфере S найдется последовательность {Ok}kL\ такая, что
1) для любого к единичный шар с центром в точке 0k+i освещается точкой вк в точке начала координат,
2) О, совпадает с множеством всех предельных точек последовательности
т.
И доказываются следующие теоремы, аналогичные теоремам о наилучших совместных приближениях из [G], [8]:
Теорема 0.1. Пусть Q — асимптотически допустимое множество па сфере S. Тогда существует континуальный набор векторов а из Rn такой, что для любого а из этого набора множество всех асимптотических направлений для односторонних наилучших приближ.сний Са совпадает с П.
Теорема 0.2. Пусть О. — центрально симметричное замкнутое множество на afiepc S. Тогда существует континуальный набор векторов а из Rn такой, что для любого а из этого набора множество всех асимптотических направлений для наилучших приближений Са совпадает с Q.
Также в главе 1 доказывается аналог теоремы о сигнатуре для односторонних наилучших приближений линейных форм. Сигнатурой вектора ш = (LJI, ...,шп) называется набор sign ш = (sign ш\,..., sign сип).
Для наилучших совместных приближений в [9] показано, что для любой последовательности сигнатур { -} такой, что а тг+і существует набор абМ" чисел (QI, ..., an), независимых вместе с 1 над Z таких, что sign г- = 7j, где f г — отклонение от г гого наилучшего приближения вектора а.
Теорема об односторонних наилучших приближениях линейных форм, доказываемая в диссертации, формулируется следующим образом:
Теорема 0.3. Если задана последовательность сигнатур {04} такая, что С{ ф 7;+і и все координаты этих сигнатур отличны от пуля, то существует вектор aeR" такой, что sign m = ОІ для всех і, где m; — г-тое одностороннее наилучшее приблиоісспие Са.
2. Второй подход многомерного обобщения понятия наилучшего приближения числа восходит к Г. Ф. Вороному (см. [27]) и Г. Минковскому (см. [28]) и приводит к одному из возможных многомерных обобщений понятия цепной дроби. Пусть У1 С S"- n-мерная решетка, т.е. Л = {&ууі + ... + Аууп ki,..., А:п Є Z}, где 71,... ,7„ Є R" линейно независимы.
Определение 0.5. Ненулевая точка v = {v\,...,vn) Є Л называется относительным минимумом решетки Л, если не существует таких ненулевых точек v Є Л, что \иЦ \vi\ для всех г = 1,...,п и при некотором г = j имеет место строгое неравенство \v j\ \VJ\.
Множество всех относительных минимумов решетки Л будем обозначать 9Л(Л). Как оказалось, данная конструкция весьма тесно связана с еще одним многомерным обобщением цепных дробей, берущим начало в работе Ф.Клейна [10]. Рассмотрим полугруппу Є(Л) ненулевых точек решетки с неотрицательными координатами:
&{Л) = {х Є Л\{0} ХІ 0, г = 1,..., 7г}.
Определение O.G. Выпуклая оболочка К(Л) = сош/((5(Л)) называется полиэдром Клейна.
Заметим, что можно рассмотреть выпуклую оболчку точек решетки в любом из 2п октантов. Таким образом, решетка Л порождает 2п полиэдров Клейна.
Как показал В. А. Быковский (см. [29]), экстремальные точки полиэдра Клейна являются относительными минимумами решетки Л. Следовательно,
К (Л) = conv{v Є 9Л(Л) Vi 0, г = 1,..., тг}.
Таким образом, конструкция Вороного-Минковского, так же, как и конструкция Клейна, приводит к полиэдрам Клейна. В последнее время эта тематика пользуется все большей популярностью. Наиболее изученными яв- j ляются полиэдры Клейна, соответствующие алгебраическим решеткам (см.
[5], [11]—[18]). О некоторых свойствах произвольных полиэдров Клейна см. [22], [23] и [20]. Стоит также отметить работу [19], в которой получен ряд , статистических результатов о полиэдрах Клейна.
Во второй главе формулируются и доказываются несколько новых фактов о полиэдрах Клейна.
Сначала доказывается многомерный аналог известного утверждения о том, что число плохо приближаемо тогда и только тогда, когда его неполные частные равномерно ограничены. Напомним, что число а называется плохо приближаемым, если существует такая константа О 0, что для всех целых р и натуральных q выполняется соотношение
\ч -р\ - В многомерном случае аналогом свойства числа быть плохо приближаемым является свойство решетки Л иметь положительный норменный минимум, то есть
JVM) = inf \xi •... -xJ 0.
В качестве многомерного аналога цепных дробей мы рассматриваем полиэдры Клейна. Аналогами неполных частных будут грани полиэдров Клей- ч на, а их численными характеристиками — "определители" этих граней:
det F = vol„(conv(F U {0})) • п\ .
Теперь мы можем сформулировать упомянутый выше многомерный аналог утверждения о плохо приближаемых чмслах:
Теорема 0.4. Норменный минимум n-мерной иррациональной решетки Л С R" отличен от нуля тогда и только тогда, когда определители граней каждого из 2п парусов, порожденных решеткой Л, равномерно ограничены.
Эта теорема имеет отношение к следующим двум классическим гипотезам:
Гипотеза Литтлвуда. Если а,(3 Є R, то inf mmam/? = 0.
тєИ
Гипотеза Оппенгейма. Если п 3 и Л С Rn — п-мерпая решетка, такая, что N(A) 0, то Л — алгебраическая решетка (то есть, подобна решетке полного модуля чисто вещественного алгебраического поля степени п).
Известно (см. [30]), что в силу трехмерной теоремы изоляции, из трехмерной гипотезы Оппенгейма следует гипотеза Литтлвуда. Б.Ф. Скубенко доказал многомерную теорему изоляции (см. [31] и [32]) и предпринял попытку применить ее для доказательства гипотезы Оппенгейма (см. [33] и [34]). Однако в его рассуждении, как сообщил автору Н. Г. Мощевитин, имеется весьма существенный пробел. По этой причине обе гипотезы остаются недоказанными.
Теорема 0.4 позволяет переформулировать гипотезу Оппенгейма в терминах свойств полиэдров Клейна:
Переформулировка гипотезы Оппенгейма. Если п 3, то равномерная ограниченность определителей граней всех 2п полиэдров Клейна, порожденных п-мерпой решеткой Л С R", влечет (п — \) периодичность гранті, этих полиэдров.
Общеизвестно, что в случае п = 2 утверждение гипотезы не верно, так как числа с ограниченными неполными частными не исчерпываются квадратичными иррациональностями.
II в завершение уточняется результат работы [20] о базисе Гильберта полугруппы 6(Л).
Определение 0.7. Базисом Гильберта полугруппы @(Л) называется минимальное множество образующих этой полугруппы.
В [20] доказано, что в трехмерном случае базис Гильберта полугруппы &(Л) содержится в границе полиэдра Клейна в том и только том случае, если грани полиэдра Клейна находятся на целочисленном расстоянии 1 от точки начала координат.
Мы приводим критерий того, что базис Гильберта полугруппы в (Л) содержится в границе полиэдра Клейна, работающий и в трехмерном, и в четырехмерном случае:
Теорема 0.5. При п = 3 и п = 4 базис Гильберта полугруппы 6(Л) содержится в границе полиэдра Клейна в том и только том случае, если для любой точки х из любой ограниченной грани К существует (замкнутый) симплекс Л С дК с вершинами, образующими базис Z", содержащий х.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Н. Г. Мощевитину за постановку задач и постоянное внимание к работе.
Наилучшие приближения и односторонние наилучшие приближения линейных форм
Введем сначала несколько обозначений, которыми мы будем пользоваться на протяжении всей главы. Для х = (xi,... ,хп) Є Rn положим х = (#2,... ,n) Є Rn_1. Для х = (хі,...,хп) Є Z" положим Mn(x) = {(x0,xh... ,хп) є Rn+1 І х0 Є Z}. Иначе говоря, Mn(x) = {X є Zn+1 X = х}. Для а Є R" положим
Пусть — расстояние до ближайшего целого числа, {} — дробная часть числа, — произвольная фиксированная норма в Rn, задаваемая выпуклой симметричной лучевой функцией /(х), линейно независимы над Z}. Ясно, что Sj всюду плотно в Sf. Определим функцию натурального аргумента х(п) следующим образом. Положим х(1) равным произвольному фиксированному числу, меньшему 65/49. При п 2 положим х{п) — 1 Мы будем считать, что норма такова, что в единичном шаре Bj(0) есть ненулевые целые точки, причем все они лежат на границе этого шара. Это требование не ограничивает общности, однако оно помогает избежать лишних нагромождений при определении некоторых констант. Определение 1.1. Если aeR", meZ" и a(m) a(m ) для любого m Є Z"\{0,±m} такого, что m m, то m будем называть f-наилучшим приближением (сокращенно /-НП) линейной формы Са . Определение 1.2. Если а Rn, meZ" и {Q(m)} {a(m )} для любого m Є Zn\{0, m} такого, что m m, то m будем называть односторонним f-наилучшим приближением (сокращенно /-ОНП) линейной формы Са . Определение 1.2, в отличие от определения 1.1, уже в одномерном случае отличается от классического (последнее см., например, в [26]). Кроме того, оба определения 1.1 и 1.2, формально говоря, отличаются от определений, данных во введении. Однако легко видеть, что определения 0.2 и 1.1 эквивалентны, то есть если точка (q, m) є Z"+1 является наилучшим приближением Са в смысле определения 0.2, то m является наилучшим приближением Са в смысле определения 1.1. И наоборот, если точка m Є Zn является наилучшим приближением Са в смысле определения 1.1, то найдется такое q Є Z, что (q, m) Є Z"+1 будет наилучшим приближением Са в смысле определения 0.2. Из определения 1.1 видно, что если m является /-НП линейной формы Са, то и —m также является /-НП Са. То есть множество всех /-НП Са разбивается на пары точек. Более того, ясно, что если m — такое /-НП Са, что 0 (a(m)} \у то m является еще и /-ОНП Са. В обратную сторону: если m — /-ОНП Са, то m — /-НГТ Са- Таким образом, множество всех /-ОНП Са — это "половина" множества всех /-НП Са. Мы будем исследовать линейные (рормы только для тех а = (ai,..., a„) Є R", для которых ai,..., ап линейно независимы вместе с единицей над Z. В этом (и только в этом) случае множество всех /-НП Са бесконечно. Упорядочим все /-ОНП линейной формы Са по возрастанию нормы т. Получим последовательность {т }? . Ясно, что множество {im }? — это множество всех /-НП Са. Если для произвольной ненулевой точки m соответствующим направлением т в норме назвать точку ш = йе 5/, то последовательности {mj ! /-ОНП Са будет однозначно соответствовать последовательность {т } ! направлений /-ОНП Са (все точки этой последовательности различны). На направления последовательных наилучших приближений не имеется никаких ограничений. Однако, направления последовательных односторонних наилучших приближений не могут находиться слишком близко друг к другу. Для этих направлений имеет место факт, аналогичный теореме о направлениях отклонений наилучших совместных приближений из [8]: Теорема 1.1. Пусть {mj j — последовательные f-ОНП Са, а {ш } ! — направления последовательных f-ОНП Са. Тогда тг і ші и(ті+і), mj . intBlf{m i+l). Доказательство. По определению /-ОНП, в слое Я={х= (x0,xh...,xn)GRn+l x mi+i, (х) (a(mi)}} ненулевых целых точек нет. Имеет место неравенство {а(тг+і)} {а(тг)}, откуда получаем, что {Са{ші - mi+i)} {Q(mz)}. ДОПУСТИМ теперь, ЧТО ГПі Є intBy. і+1(тг+і), т.е. что m-mf+i m,-+i. Тогда получим, что существует ненулевая целая точка из Mn(nij — m,-+i), которая попадает в Н{. Пришли к противоречию. Стало быть, m intB K+i)-Из этого соотношения следует, что Поскольку О Є dBj(m i+l), a m-J . — внутренняя точка отрезка [0,m ], то в силу выпуклости Bj(m i+l) имеем: Заметим, что если норма строго выпукла, то m- . Z?j(m +1), так как иначе m-J" ! будет внутренней точкой шара Bj(m i+1). D 1.2 Асимптотические направления. Определение 1.3. Пусть {т }? — множество всех /-ОНП Са. Тогда и Є S/ будем называть асимптотическим направлением для f-ОНП линейной формы CQ, если из является предельной точкой последовательности {тіШі- Соответственно, из будем называть асимптотическим направлением для f-НП линейной формы Са, если ш является предельной точкой множества {±mj } 1.
Очевидно, что для любого Q6R" множество всех асимптотических направлений для /-ОНП Са замкнуто. Однако, в силу теоремы 1.1, не для всякого компакта О. на сфере S/ найдется такое а Є Rn, что множество всех асимптотических направлений для /-ОНП Са совпадает с О. Например, Q не может иметь диаметр, меньший 1, т.к. тогда, начиная с некоторого момента, никакие два элемента последовательности {т?}? не будут удовлетворять соотношению из теоремы 1.1. Тем не менее, наложив на множество Q некоторые ограничения, мы докажем аналог теоремы G из [8] для наилучших совместных приближений. Для этого нам понадобится понятие освещаемых точек. Вообще говоря, существует несколько определений осве-щаемости. Мы будем пользоваться определением из [35]:
Определение 1.4. Пусть М — замкнутое выпуклое множество, b є ОМ, а М. Тогда будем говорить, что М освещается точкой а в точке Ъ, если существует такое Л 0, что b Ч- Л(Ь — а) содержится в intA/.
Аналог теоремы о сигнатуре для односторонних наилучших приближений линейных форм
Можно дать следующую геометрическую интерпретацию этого факта. Рассмотрим две прямые в R2, порожденные векторами (1, а) и (1, /3), а, (З Є R\Q, а п (3 — 1. Эти прямые разбивают плоскость на четыре угла (которые мы будем называть конусами, согласно терминологии будущих многомерных обобщений). Во внутренности каждого конуса рассмотрим выпуклую оболочку целочисленных точек. Получившиеся четыре неограниченных выпуклых многоугольника называются полигонами Клейна. Имеет место замечательное соответствие (см. [4]) между вершинами полигонов Клейна и подходящими дробями чисел а и /?, при котором вершине ( 7,р), если q п, соответствует подходящая дробь p/q числа а или /3, и наоборот. Аналогичное соответствие имеется между неполными частными чисел а и /5 и целочисленными длинами ребер полигонов Клейна. Используя эти соответствия, получаем, что с одной стороны, числа а и р имеют равномерно ограниченные неполные частные в том и только том случае, если целочисленные длины ребер соответствующих полигонов Клейна равномерно ограничены, а с другой стороны, числа а и /? оба являются плохо приближаемыми тогда и только тогда, когда inf \(qa —p)(qfi —р)\ п, где inf берется по всем целым р и q, не равным одновременно нулю. Если теперь положить то утверждение 2.1 можно переформулировать так:
Утверждение 2.2. Если заданы произвольные различные иррациональные числа а и (3, то целочисленные длины ребер полигонов Клейна, построенных описанным выше способом, равномерно ограничены тогда и только тогда, когда
Оказывается, имет место многомерный аналог этого утверждения, доказывать которое мы и будем в следующих нескольких параграфах.
Если в двумерном случае главную роль играют границы полигонов Клейна, являющиеся, по сути, геометрической интерпретацией понятия цепных дробей, то в произвольной размерности основными объектами исследования будут так называемые паруса, границы полиэдров Клейна.
На протяжении всей главы мы будем через р( , ) обозначать евклидово расстояние, через aff(F) и volfcF — соответственно, аффинную оболочку и к-мерный объем fc-мерного множества F. Плоскость л- будем называть вполне рациональной относительно решетки А, если dim (ЛПтг) = dim тт. Стандартный ортонормированный базис Rn будем обозначать S = {еі,... ,е„} . Многогранник с вершинами в точках решетки А будем называть целочисленным относительно А. Целочисленный многогранник будем называть пустым, если он не содержит точек решетки А, отличных от вершин. Рассмотрим произвольную n-мерную решетку /1 С R" и произвольный невырожденный симплициальный конус CcRnc ребрами, порожденными векторами бь»і,... ,ип: Определение 2.1. Множество К = conv(C Г) Л\{0}) называется полиэдром Клейна. Мы огранчимся случаем, когда решетка А иррациональна относительно конуса С, то есть, когда в плоскостях гиперграней С нет точек решетки, кроме 0. Тогда, как показано в [40], полиэдр Клейна является обобщенным многогранником, то есть, его пересечение с любым ограниченным многогранником тоже будет многогранником. Стало быть, граница К в этом случае является (п — 1)-мерной полиэдральной поверхностью, гомеоморфной R"-1 и состоящей из выпуклых (п— 1)-мерных (обобщенных) многогранников, среди которых, вообще говоря, могут встретиться неограниченные. Но в любом случае, каждая точка, лежащая на границе К, принадлежит лишь конечному числу граней К. Определение 2.2. Граница П полиэдра Клейна К называется парусом. Грани паруса размерности п—\ будут играть роль неполных частных. В качестве численной характеристики этих "неполных частных" мы будем рассматривать их "определители". Определение 2.3. Если FcRn- произвольный (п — 1)-мерный многогранник, то под определителем F мы будем понимать величину Очевидно, что если F — симплекс, то (let F совпадает с определителем матрицы, составленной из координат вершин F. Следовательно, при п — 2, когда парус одномерен, определители ребер паруса равны целочисленным длинам этих ребер. В дальнейшем важную роль будут играть сечения конуса С, содержащие (п — 1)-мерные грани П. Если F — такая грань, то положим 5(F) = aff(F)nC. Вектора o i,... ,шп, порождающие ребра С, образуют базис Rn. Каждый из 2п наборов {±aii,..., ±шп} также является базисом R" и задает соответствующий конус, в котором можно взять выпуклую оболочку точек решетки Л и получить парус. Таким образом, решетка Л и конус С порождают 2П парусов. Обозначим через С0 конус, ребра которого порождены векторами еі,...,е„. До сих пор мы рассматривали парус, соответствующий произвольному симплициальному конусу С и произвольной решетке /1, иррациональной относительно С. Однако, очевидно, что любой парус, по модулю действия группы GL(n,R), совпадает с парусом, соответствующим конусу С0 и некоторой иррациональной относительно него решетке (такую решетку мы будем называть иррациональной, опуская слова "относительно С0"). С другой стороны, можно зафиксировать решетку Zn и брать произвольный конус, относительно которого Ъп иррациональна (в этом случае будем называть иррациональным конус). Мы будем использовать обе эти точки зрения. Положим и будем говорить, что форма у?(х) соответствует конусу С, если где W — матрица, составленная из координат векторов o i,... ,шп (в г-том столбце — координаты ш{). Форма у?0, очевидно, соответствует конусу С0. Определение 2.4. Нормсиным минимумом решетки Л называется величина Теперь, когда даны все основные определения, мы можем сформулировать теорему, доказательство которой займет большую часть данной главы. Теорема 2.1. Норменный минимум n-мерной иррациональной решетки Л С И" отличен от нуля тогда и только тогда, когда определители граней кажого из 2" парусов, порожденных решеткой Л и конусом С0, равномерно ограничены. Теорема 2.1 является непосредственным следствием следующих двух теорем: Теорема 2.2. Норменный минимум п-мерной иррациональной решетки Л С R" отличен от нуля тогда и только тогда, когда существует такая константа D, что для каждой грани F каждого из 2" парусов, порожденных решеткой Л, detS (F) D. При этом, D будет зависеть лишь от N(A) и от п. И наоборот, если задана константа D, то найдется константа ц п, зависящая только от D и от п, такая, что N(A) ft. Теорема 2.3. Пусть задана п-мерная иррациональная решетка Л С R". Пусть П — парус, соответствующий решетке Л и конусу С0. Пусть определители граней паруса равномерно ограничены константой D. Тогда все определители det S{F), где 5(F) — сечение конуса С0, содержащее грань F паруса И, также равномерно ограничены константой D , зависящей лишь от D и от п.
Связь с проблемами Литтлвуда и Оппенгейма
Докажем, что (0) = (0 ). При условии Xi + х2 1 выполнено хотя бы одно из двух уравнений совокупности ибо коэффициенты при х2 в последней совокупности положительны, поскольку 1 — &з &2 «з 2, b2 &з (см. неравенства, которые следуют из леммы 2.21). Стало быть, второе уравнение системы (0 ) следует нз системы (0). С третьим уравнением системы (0 ) та же ситуация: при условии х\+х2 1 выполнено хотя бы одно из двух уравнений совокупности поскольку а 3 b Д -- , т.к. біаз сц&з (это также следует из леммы 2.21).
Что касается импликации (1) =(Ґ), то легко видеть, что при условии х\ + х2 0 выполнены неравенства поскольку bi + b2 = 1 и Ь2 Ь3 Ьь Стало быть, (1) = (1 ). Импликация (2) Ф (2 ) очевидна. Осталось доказать, что (3) = (3 ). Рассуждения в этом случае аналогичны доказательству того, что (0) = (0 ). При условии х\ + х2 1 выполнено хотя бы одно из двух уравнений совокупности ибо коэффициенты при а:2 в последней совокупности положительны, поскольку Ь2 Ьз и fli(l — Ьз) яз 2 (снова пользуемся леммой2.21). Стало быть, второе уравнение системы (3 ) следует из системы (3). С третьим уравнением системы (3 ) опять та же ситуация: при условии х\ + х2 1 выполнено хотя бы одно из двух уравнений совокупности все той же леммы2.21). Итак, мы доказали, что из каждой системы с номером (к) следует система с номером (/У), следовательно, в выпуклом многограннике Г есть точка х Є Z3, удовлетворяющая одной из систем (А: ), к = 0,1,2,3. Но если х поскольку удовлетворяет (к1), то симплекс с вершинами х, {vj}3=0\{vfc} содержит точку ь потому как ь — это вершина конуса, задающегося системой (А/), а плоскости, в которых лежат грани этого конуса, содержат соответствующие вершины А Таким образом, мы доказали, что хотя бы одна из точек fo»f ь2,з со держится в Г. Лемма 2.23. Пусть Г с R3 — такой выпуклый целочисленный трехмерный многогранник, что Vc -Z3nr 3aba2Z3nr: a = -{al+a2). Тогда для любого х Є Г существует целочисленный симплекс Л С Г объема , содержащий х. Доказатсіьство. Рассмотрим произвольный пустой целочисленный симплекс Ау С Г объема с вершинами vo, vi, v2, V3, содержащий х. По лемме 2.22, существует у Є Г П Z3 такой, что при соответствующей перену и векторы vi — у, V2 — у, Уз — у образуют базис решетки Z3. Тогда симплекс Лу с вершинами vi,v2,V3,y имеет объем, равный . Разобьем Лу U Лу на три симплекса с вершинами vo, Vi, v2,у; vo, vi, V3,у; v0, v2, V3,у. Объем каждого из этих симплексов не больше jp, один из них содержит х. Повторяя аналогичные рассуж дения (конечное число раз), мы в итоге получим пустой целочисленный симплекс Л с Г объема , содержащий х. Приступим к доказательствам теорем. Доказательство теоремы 2.4- Допустим, условие PD не выполнено, то есть некоторая грань Г приведенного паруса П находится на целочисленном расстоянии d 2 от точки начала координат. Обозначим через (х) ту единственную (однородную) линейную форму, которая на грани Г равна d. Пусть точки аі, а2, аз, аі Є rnZ4 образуют пустой трехмерный симплекс. Пусть Л = spanz(ai,a2,a3,ai) — подрешетка в Z4 с базисным параллелепипедом V = {52i=i iai ; 0 Aj 1, г = 1,2,3,4}. Очевидно, Л ф Z4, стало быть, множество Q = Pn Z4\/l непусто. Если для всех х Є Q (х) кратно d, то d = 1, поскольку V — базисный параллелепипед. Но d 2 и, значит, суще ствует х Є Q такой, что (х) не кратно d. Множество Q симметрично отно сительно центра V, следовательно, существует хо Є Q такой, что (хо) 2d. Более того, d (хо) 2d, поскольку четырехмерный симплекс с верши нами в точках аі, аг, аз, зц и в точке начала координат пуст, т.к. ГСП. Найденный хо не лежит в П и в то же время содержится в базисе Гиль берта полугруппы 6, потому как для всех y,z Є в (у + z) 2d (х0). Следовательно, условие РВ не выполнено. Доказательство теоремы2.5. Достаточно доказать, что в R4 РВ = РМ. Остальное было доказано в [20] (см. диаграммы (1),(2)). Пусть для паруса П, соответствующего четырехмерному конусу С С R4, выполнено условие РВ. Тогда Применив лемму 2.23, получим, что для любого х Є Г существует трехмер ный целочисленный симплекс ЛСГ, базисный для решетки Л = Z4 П тгг и содержащий х. (Здесь тгг — гиперплоскость, содержащая Г). Но поскольку Г (а, стало быть, и Л) находится на целочисленном расстоянии 1 от точки начала координат (т.к. РВ = PD, по теореме 2.4), получаем, что свойство РМ выполнено. Для доказательства теоремы 2.6 введем следующие обозначения. Пусть П — парус, соответствующий конусу С. Пусть Г — грань П. Тогда через С(Г) будем обозначать конус, для которого Г является сечением, через П(Г) — парус, соответствующий конусу С(Г) (очевидно, можно говорить о парусе произвольного конуса, не только симплициального), через П(Г) — приведенный парус, через (Г) — полугруппу С(Г) П Zn\{0}.
Доказательство теоремы2.6. Мы приведем пример паруса, удовлетворяющего свойству РВ и одновременно не удовлетворяющего свойству PD. Пусть {ei,... ,ез} — стандартный базис в R5.
Доказательство теоремы 2.3 для произвольного
Тогда симплекс Лу с вершинами vi,v2,V3,y имеет объем, равный . Разобьем Лу U Лу на три симплекса с вершинами vo, Vi, v2,у; vo, vi, V3,у; v0, v2, V3,у. Объем каждого из этих симплексов не больше jp, один из них содержит х. Повторяя аналогичные рассуж дения (конечное число раз), мы в итоге получим пустой целочисленный симплекс Л с Г объема , содержащий х. Приступим к доказательствам теорем. Доказательство теоремы 2.4- Допустим, условие PD не выполнено, то есть некоторая грань Г приведенного паруса П находится на целочисленном расстоянии d 2 от точки начала координат. Обозначим через (х) ту единственную (однородную) линейную форму, которая на грани Г равна d. Пусть точки аі, а2, аз, аі Є rnZ4 образуют пустой трехмерный симплекс. Пусть Л = spanz(ai,a2,a3,ai) — подрешетка в Z4 с базисным параллелепипедом V = {52i=i iai ; 0 Aj 1, г = 1,2,3,4}. Очевидно, Л ф Z4, стало быть, множество Q = Pn Z4\/l непусто. Если для всех х Є Q (х) кратно d, то d = 1, поскольку V — базисный параллелепипед. Но d 2 и, значит, суще ствует х Є Q такой, что (х) не кратно d. Множество Q симметрично отно сительно центра V, следовательно, существует хо Є Q такой, что (хо) 2d. Более того, d (хо) 2d, поскольку четырехмерный симплекс с верши нами в точках аі, аг, аз, зц и в точке начала координат пуст, т.к. ГСП. Найденный хо не лежит в П и в то же время содержится в базисе Гиль берта полугруппы 6, потому как для всех y,z Є в (у + z) 2d (х0). Следовательно, условие РВ не выполнено. Доказательство теоремы2.5. Достаточно доказать, что в R4 РВ = РМ. Остальное было доказано в [20] (см. диаграммы (1),(2)). Пусть для паруса П, соответствующего четырехмерному конусу С С R4, выполнено условие РВ. Тогда Применив лемму 2.23, получим, что для любого х Є Г существует трехмер ный целочисленный симплекс ЛСГ, базисный для решетки Л = Z4 П тгг и содержащий х. (Здесь тгг — гиперплоскость, содержащая Г). Но поскольку Г (а, стало быть, и Л) находится на целочисленном расстоянии 1 от точки начала координат (т.к. РВ = PD, по теореме 2.4), получаем, что свойство РМ выполнено. Для доказательства теоремы 2.6 введем следующие обозначения. Пусть П — парус, соответствующий конусу С. Пусть Г — грань П. Тогда через С(Г) будем обозначать конус, для которого Г является сечением, через П(Г) — парус, соответствующий конусу С(Г) (очевидно, можно говорить о парусе произвольного конуса, не только симплициального), через П(Г) — приведенный парус, через (Г) — полугруппу С(Г) П Zn\{0}.
Доказательство теоремы2.6. Мы приведем пример паруса, удовлетворяющего свойству РВ и одновременно не удовлетворяющего свойству PD. Пусть {ei,... ,ез} — стандартный базис в R5. Положим
В качестве С возьмем симплициальный конус с ребрами, задающимися векторами ші, из2, з, 4, и)$. Докажем, что условие РВ для паруса П, соответствующего этому конусу, выполняется, а условие PD — нет. Для этого докажем, что приведенный парус П состоит из двух граней Г\ и Г2: Г2 == conv(e2, сз, е4, е5, о/2, о;3, 4, з) Точка Cj лежит на отрезке (а і,а ,-), для всех г = 2,3,4,5, поскольку о; = из\ + 3(ег- —бь і) для всех і = 2,3,4,5. Следовательно, конус.С распадается на два конуса: симшшциальный С{Г{) и несимплициальный С(Г2). Кроме того, равенства показывают, что Єї Є Г2. Все ег лежат в Г"2, стало быть, -Г2 находится на целочисленном расстоянии 1 от точки начала координат, откуда следует, что і 2 = П(Г2). Очевидно также, что det(2a;i,e2,e3,e4,e5) = 2 и что \ (2 1 + е2 + е3 + е4 + ез) Є Z5. Следовательно, пятимерный симплекс с вершинами в точках 2а;і,е2,ез,е4,Є5 и точке начала координат пуст, что означает, что Г\ = П(/ і). Для доказательства равенства П = ГЇ U Г2 остается заметить, что если і(х) и 4(х) — линейные формы, равные 1 на Г\ и Г2 соответственно, то 2(2а і) 1 и СІ(ШІ) 1, і = 2,3,4,5. Итак, мы показали, что
Грань Г\ находится на целочисленном расстоянии 2 от точки начала координат, стало быть, условие PD не выполняется. Остается доказать, что базис Гильберта полугруппы 6 содержится в П. Полугруппа 6(Д) порождается точками 2о»і, е2, ез, е4, ез, (2о і+Є2 + Є3+Є4+С3). Точки 2ши е2, е3, е4, е5 Є Гі,аточка (2о;і+е2+ез+е4+Є5) = Ъл}\ + ei. Но сі Є Г2, следовательно, любая точка х Є (А) представима в виде суммы точек из П П Z5.
Рассмотрим полугруппу (Лг)- Объем симплекса с вершинами в точках Ш\, u 2, а з, ь 4, ш5 в З 1 = 81 раз больше, чем объем симплекса с вершинами в точках Wi, е2, ез, е4, Є5. Следовательно, объем пирамиды с основанием Гч и вершиной в точке начала координат равен 80- . Разобьем эту пирамиду на 80 целочисленных симплексов (очевидно, они будут пустыми и объема ). Для этого необходимо и достаточно разбить Г2 на 80 целочисленных (четырехмерных) симплексов. Точка Єї лежит во внутренности Г2, следовательно, достаточно разбить 9Г2 на 80 трехмерных (сІітдГг = 3) целочисленных симплексов. дГі СОСТОИТ из шести трехмерных многогранников:
Первый разбивать не нужно, второй разбивается на 27 целочисленных симплексов, каждый из последних четырех разбивается на 13 целочисленных симплексов. В сумме имеем 1 + 27 + 4-13 = 80 симплексов.
Таким образом, мы показали, что пирамида с основанием Лг и вершиной в точке начала координат, объем которой равен 80- jjy, разбивается на 80 целочисленных пустых симплексов объема j?j, т.е. базисных для решетки Z5. Это значит, что 11(/) удовлетворяет свойству РМ и, стало быть, свойству РВ, то есть полугруппа 6(Гг) порождается множеством Г2 nZ5.
