Содержание к диссертации
Введение
1 Триангулированные категории, полуортогональные разлоисения и зеркальная симметрия . 16
1.1 Триангулированные категории, исключительные последовательности, группа Гротендика, действия группы кос 16
1.2 Зеркальная симметрия для многообразий с исключительными после довательностями 18
2 Свойства триангулированных категорий коммутативных и некомму тативных многообразий. 24
2.1 Генераторы и резольвенты в триангулированных категориях 25
2.1.1 Генераторы 25
2.1.2 Сильные генераторы 26
2.1.3 Резольвенты 29
2.1.4 Конструкция резольвент 32
2.1.5 Контрпример 33
2.2 Генераторы и сильные генераторы для схем 34
2.2.1 Формулировка результатов 34
2.2.2 Поднятие компактных объектов 36
2.2.3 Компактные генераторы для производных категорий квазикогерентных пучков 39
2.2.4 Сильные генераторы для гладких схем 45
2.2.5 Производные категории аналитических поверхностей 46
2.3 Производные категории градуированных колец 47
2.3.1 Общие сведения 47
2.3.2 Насыщенность 51
2.3.3 Случай когерентного R 57
3 Симплектический группоид треугольных билинейных форм. 59
3.1 Действие группы кос и инварианты 59
3.1.1 Полуортонормальные базисы и группа кос 60
3.1.2 Инварианты 65
3.2 Алгебраический группоид Ли и его алгеброид Ли 67
3.2.1 Общие сведения об алгебраических группоидах 68
3.2.2 Группоид верхне-треугольных билинейных форм 69
3.2.3 Алгеброид Ли 71
3.2.4 Гладкость группоида 75
3.2.5 Флаги и билинейные формы 77
3.2.6 Случай n = 2 83
3.2.7 Общие уравнения для матриц перехода 84
3.3 Симплектическая структура 86
3.3.1 Общие сведения о симплектических группоидах 87
3.3.2 Формулы для симплектической структуры 88
3.3.3 Замкнутость формы 89
3.3.4 Невырожденность формы 90
4 Скобка Пуассона, центр алгеброида Ли, гамильтонианы кос. 94
4.1 Скобка Пуассона па Л 95
4.1.1 Формулы для скобки Пуассона 96
4.1.2 Функции Казимира 99
4.1.3 Пуассонова пара 101
4.1.4 Симплектические листы нулевой размерности и еще одна пуассонова пара 102
4.1.5 Слои группоида и описание симплектических листов 104
4.1.6 Размерность симплектических листов 107ч
4.1.7 Пласты 112
4.2 Центр алгеброида 116
4.3 Лагранжевы бисечения и гамильтонианы кос 120
4.3.1 Реализация группы кос лагранжевыми бисечениями 120
4.3.2 Гамильтонианы кос 121
4.4 Приложение: Характеры группоида 122
5 Симплектические группоиды, связанные с группами Пуассона-Ли. 125
5.1 Группы Пуассона-Ли, тройки Манина и симплектические группоиды. 125
5.1.1 Группы Пуассона-Ли, биалгебры, тройки Манина 126
5.1.2 Алгебраические тройки Манина и симплектические группоиды. 128
5.2 Группоид из алгебраической тройки Манина с инволюцией 133
5.2.1 Группоиды из редуктивных групп и реализация Г 134
5.2.2 Основная конструкция 136
5.3 Двойственный группоид 142
5.3.1 Формулы для двойственного группоида 142
5.3.2 Инварианты двойственного группоида 145
- Зеркальная симметрия для многообразий с исключительными после довательностями
- Сильные генераторы для гладких схем
- Группоид верхне-треугольных билинейных форм
- Центр алгеброида
Введение к работе
Важная часть исследований в гомологической алгебре посвящена изучению свойств триангулированных категорий. Введенные сначала Вердье [81] с целью поставить на твердую почву подход Гротендика к алгебраической геометрии, триангулированные категории оказались платформой объединяющей различные области математики. Причина этого кроется в том, что производные категории от абелевых категорий различной природы оказываются эквивалентны как триангулированные категории.
В применениии к алгебраической геометрии триангулированные категории возникают в следущем контексте. Геометрия и топология алгебраического многообразия может быть описана производной категорией подходящих пучков на нем. Для изучения топологии многообразия удобно использовать конструктивные пучки, а для изучения геометрии многообразия в классическом смысле итальянской школы начала 20-го века - когерентные пучки.
В работах А. Гротендика и его учеников (Дж.-Л. Вердье, Л. Иллюзи и др.) были исследованы формальные свойства производных категорий пучков различной природы и даны важные приложения построенной теории, среди которых можно отметить доказательство общей формулы Римана-Роха. Венцом этого периода исследований можно считать доказательство П. Делинем гипотез Вейля. Успех П. Делиня предопределил то обстоятельство, что в течение десяти и более лет большинство гомологических исследований алгебраических многообразий были посвящены производным категориям пучков топологической природы.
Изучение производных категорий когерентных пучков было предпринято для конкретных классов гладких алгебраических многообразий представителями мос-
ковской школы в 80-е годы. Были получены описания производных пучков для проективных пространств [8],[7], квадрик и многообразий флагов [41],[42], [43].
В работе [11] было введено понятие исключительной последовательности в триангулированной категории и его обобщение - понятие полуортогонального разложения. Было установлено, что на множестве полуортогональных разложений действует группа кос. Далее, в работе [14] было исследовано при каких условиях действие группы кос можно распространить на множество полуортогональных разложений. Для того, чтобы объяснить свойство спиральности, в [14] было введено понятие функтора Серра, которое впоследствии получило широкое применение.
При наличии полной исключительной последовательности доказывается эквивалентность триангулированной категории с производной категорией модулей над конечномерной алгеброй этой последовательности [11]. Таким образом вся информация о геометрии многообразия кодируется соответствующей конечномерной алгеброй. Проективные пространства, квадрики, флаговые многообразия обладают исключительными последовательностями. Вопрос о том для каких многообразий существуют полные исключительные последовательности и как строить такие последовательности тесно связан с гипотезой о гомологической зеркальной симметрии в формулировке М. Концевича [54] и в настоящее время является предметом интенсивных исследований.
Важнейшей составляющей частью алгебраической геометрии является бирацио-нальная геометрия. Современные исследования по бирационалыюй геометрии сфокусированы вокруг так называемой программы минимальных моделей, сформулированной в работах С. Мори и М. Рида. Двумерный случай был известен еще итальянской школе алгебраической геометрии начала 20-го столетия. Минимальные модели для трехмерных многообразий были построены в 80-х годах в результате усилий многих выдающихся математиков, среди которых С. Мори, В. Шокуров, М. Рид, Я. Коллар, Ю. Кавамата и др. Была обнаружена важность специальных типов бира-циональных преобразований, таких как флип и флоп. Существенный прогресс был достигнут в последнее время в размерности 4 в работах В. Шокурова и Ю. Ка-ваматы. Однако для многомерных многообразий программа минимальных моделей остается открытой.
В работе [16] был предложен новый подход к программе минимальных моделей
через производные категории когерентных пучков. Было обнаружено на классе примеров, что при флопах производные категории многообразий эквивалентны, а при флипах имеется строго полное вложение одной категории в другую. Было вскрыто значение функтора Серра и поведение канонического класса при эквивалентностях производных категорий. В частности было доказано (см. [17]), что если канонический класс обилен или анти-обилен, то многообразие однозначно восстанавливается по своей производной категории.
В результате удалось придать новый смысл программе минимальных моделей как "минимизации"производной категории когерентных пучков (как триангулированной категории) в бирационалыюм классе многообразия. Причем в процессе минимизации от категории отщепляются слагаемые ее полуортогональных разложений. Флопы и флипы были интерпретированы как трансформации триангулированных категорий и t -структур в них. Были сформулированы общие гипотезы о поведении производных категорий при флопах и флипах, а также гипотеза обобщающая соответствие Маккея (см. [18]).
Эквивалентность производных категорий когерентных пучков при флопах 3-мерных многообразий была доказана Т. Бриджландом [24]. В настоящее время активно ведутся дальнейшие исследования по теме эквивалентностей производных категорий при бирациональных преобразованиях (см. свежий обзор Р. Рукье на семинаре Бурбаки [73]).
В последнее время триангулированные категории приобрели особое значение в физике. В теории струн объекты триангулированных категорий интерпретируются как D-браны, т.е. граничные условия для распространяющихся струн. При более широком взгляде, сами топологические теории поля можно понимать как триангулированные категории с подходящими условиями на функтор Серра.
Несмотря на несомненную пользу, которую принесла аксиоматика триангулированных категорий для развития теории, она оказалась недостаточной для решения многих вопросов, что отмечалось еще на раннем этапе (ср. [9]). В течении долгого времени стоял вопрос о подходящем усилении этой аксиоматики. В работе [15] была предложена аксиоматика так называемых оснащенных триангулированных категорий - дифференциально-градуированных категорий с подходящими свойствами. На практике, категории, удовлетворяющие этой аксиматике являются модельными
категориями, из которых некоторой "выжимкой"можно получить триангулированную категорию. Новый технический аппарат (вместе со своей вариацией - Лто -категориями) оказался достаточно гибким и нашел многочисленные применения как в математике так и в физике, где он приобрел струнную интерпретацию.
Триангулированные категории оказались также полезны в некоммутативной геометрии. В работе [13] был сформулирован новый подход к проблеме некоммутативных деформаций алгебраических многообразий через деформации производных категорий когерентных пучков и вычислено касательное пространство к таким деформациям в когомологических терминах. В случае многообразий Фано такие деформации описываются в полном согласии с классической теорией голоморфными скобками Пуассона на многообразии. Были предложены гипотезы относительно свойств многообразий вырождения скобок Пуассона и доказаны в размерности 2 и 3.
В докладе [18] обрисованы перспективы категорной некоммутативной геометрии в бирациональной геометрии, в частности введено понятие некоммутативного разрешения особого коммутативного многообразия и сформулирована гипотеза о существовании минимального категорного разрешения.
Цель данной работы — определить важнейшие гомологические свойства производных категорий многообразий как триангулированных категорий, изучить триангулированные категории с такими свойствами в рамках некоммутативной геометрии, а также исследовать численные характеристики триангулированных категорий, обладающих полной исключительной последовательностью в дифференциально-геометрических терминах.
Мы разрабатываем теорию генераторов в триангулированных категориях и определяем подходы к исследованию триангулированных категорий посредством сим-плектических группоидов.
Основные результаты диссертации кратко можно сформулировать следующим образом.
Построена теория генераторов в триангулированных категориях. Доказано, что существование сильного генератора в категории влечет представимость всех точных функторов со значениями в производной категории векторных пространств.
Построен генератор в категории совершенных комплексов на произвольной
квазикомпактной квазиотделимой схеме. Доказано, что гладкость схемы влечет существование сильного генератора. Доказано существование сильного генератора для гладкой проективной некоммутативной схемы.
Построен симплектический группоид треугольных билинейных форм. Установлена его связь с пространством флагов. Исключительным объектам в триангулированной категории соотнесены соответствующие сечения естественного расслоения над группоидом.
Построена новая реализация группы кос лагранжевыми сечениями группоида. Определены гамильтонианы кос.
Описаны симплектические листы скобки Пуассона на треугольных билинейных формах. Описана структура центра соответствующего алгеброида Ли. Построены две пуассоновых пары, включающие скобку Пуассона на треугольных билинейных формах и определены соответствующие интегрируемые системы.
Дана интерпретация группоида треугольных форм в терминах теории групп Пуассона-Л и.
Теперь опишем содержание и структуру диссертации.
Во введении обоснована актуальность темы исследования, кратко рассмотрена история задач и их современное состояние, сформулированы основные результаты и описано содержание работы.
Зеркальная симметрия для многообразий с исключительными после довательностями
Кососимметризация А і— А — Ат отождествляет пространство Л верхнетреугольных матриц с единицами на диагонали с пространством кососимметричных билинейных форм. При этом отождествлении группа кос реализуется полиномиальными преобразованиями кососимметричных матриц. Аналогично при симметризации получается пространство симметричных форм, имеющих двойки на диагнали, и их преобразования. В таком виде действие группы кос изучалось в теории функций с изолированными особенностями (см. [25]). При этом V - это пространство исчезающих циклов, а (косо)симметрическая форма - это форма пересечения. Действие группы кос соответствует действию на множестве отмеченных базисов исчезающих циклов. Для изолированных особенностей естественный кандидат на роль не(косо)симметричной билинейной формы также известен - это форма Зейферта (см. [3],[36]). На базе этих соображений возникла следущая программа, предложенная автором более 10 лет назад. Гипотетически, должна существовать естественная триангулированная категория Vj , связанная с изолированной особенностью / (или ее морсов-ской деформацией), такая что ее группа Гротендика естественно отождествляется с группой исчезающих циклов особенности. Эта категория должна обладать полными исключительными последовательностями, которые соответствуют отмеченным базисам исчезающих циклов. Форма Зейферта должна соответствовать форме Эйлера на группе Гротендика K0(Vf) . Пусть X - гладкое собственное алгебраическое многообразие. Рассмотрим ограниченную производную категорию Т (Х) когерентных пучков на X , и предположим, что она имеет полную исключительную последовательность. Форма Эйлера для Т (Х) вычисляется по формуле Римана-Роха. Заметим, что действие группы кос на исключительных последовательностях (комплексов) когерентных пучков в высшей степени негеометрично: к примеру, ранги исключительных пучков изменяются при этом действии. В качестве попытки придать геометрический смысл действию группы кос в этой ситуации автор предлагал следущий подход: для заданного многообразия X с полной исключительной последовательностью попытаться найти (возможно, не изолированную) особенность / , такую что (подходящим образом определенная) категория V/ эквивалентна V(X) как триангулированная категория.
Это позволило бы интерпретировать действие группы кос преобразованиями Гурвица и локальными монодромиями для / . Автор также выдвинул идею, что зеркальная симметрия должна интерпретироваться как похожая эквивалентность для производных категорий многообразий Калаби-Яу. Однако зеркальная симметрия должна быть другим проявлением этого феномена, поскольку производные категории многообразий Калаби-Яу (КЯ) не содержат исключительных объектов. В настоящее время эта программа, приобрела более ясные очертания благодаря математическому осмыслению некоторых физических предсказаний. Во-первых, предположение, известное как гомологическая зеркальная симметрия, было сформулировано М.Концевичем [54]. Напомним, что согласно этой гипотезе категория V(X) для КЯ-многообразия X должна быть эквивалентна гипотетической "категории Фукая", которая должна строится из двойственного КЯ-многообразия, рассматриваемого как симплектическое многообразие. С физической точки зрения объекты V(X) и "категории Фукая"многобразия X суть граничные условия для открытых струн, распространяющихся в X для соответственно А— и В— топологических твистов суперконформных теорий ПОЛЯ. Во-вторых, А.Капустин и Д.Орлов [45], следуя интуиции физиков, предложили включить в определение категорий, участвующих в зеркальной симметрии, так называемое В -поле. Это произвольный элемент В Є Н2(У, R/Z) , который допускает подъем в H2(F, R) . Пусть он представляется 2-формой Б на У . На "симплек-тической стороне"они предлагают рассматривать А -категорию с объектами, состоящими из четверок (L,i,E,V) со ел едущими инградиентами: L - это лагран-жево подмногообразие в Y ; г - градуировка, т.е. поднятие L в пространство СХ - расслоение на X со слоем, являющемся универсальным накрытием лагран-жевого грассманниана касательного пространства к X (такое расслоение может быть выбрано канонически для любого КЯ-многообразия); Е - комплексное векторное расслоение на L ; а V - связность на Е с кривизной 2-кг id B\L . Параллельный перенос вдоль V должен иметь собственные собственные значения, равные по модулю единице. Морфизмы в этой категории, когда лагранжевы циклы пересекаются трансверсально, суть Rom(Ex, Е х) , где сумма берется по всем точкам пересечения циклов. Композиции (включая высшие) морфизмов определяются путем подсчета с весами, которые учитывают В - поле, голономии V вдоль границы псевдоголоморфных дисков с граничным условием, состоящим в том, что дуги между отмеченными точками граничной окружности диска должны лежать на соответствующих лагранжевых циклах (см. детали в [45]). В этом контексте вышеописанная программа может рассматриваться как аналог зеркальной симметрии для многообразий, обладающих исключительной последовательностью. Слои / имеют смысл двойственного к X семейства. Категорию Vj нужно представлять себе как "категорию типа Фукая "двойственного семейства. Отсюда можно сделать первый вывод: симплектическая форма, геометрия лагранже-вых циклов и некое В -поле существенны для построения категории Vj . Статьи П.Зайделя [74], [75] можно рассматривать как отражение исследований, имеющих целью определить категорию T f . В теории особенностей функция / с изолированной особенностью изучается путем деформации в функцию с элементарными особеннстями. Зайдель предлагает рассматривать точные расслоения Морса / : Е — S . В общих чертах, это точное симплектическое многобразие Е с (вертикальной и горизонтальной) границей, расслоенное над комплексной кривой S с границей, так что слои преобретают структуру симплектического многообразия вне конечного числа критических точек / морсовского типа с различными критическими значениями во внутренности S . Предпологается тривиализация / вдоль горизонтальной границы. Кроме того, фиксируются подходящие комплексные структуры вокруг критических точек (см. детали в [74]).
Симплектическая форма определяет связность на этом расслоении. Последняя позволяет определить исчезающий цикл, связанный с путем с : [0,1] — S , идущим из некритического значения с(0) в критическое значение с(1) . Цикл состоит из точек в Е над с(0) , которые при параллельном переносе вдоль пути с помощью связности попадают в критическую точку над с(1) . В действительности, этот исчезающий цикл является лагранжевой сферой Sn — Е в слое над с(0) . Выбранные комплексные структуры позволяют снабдить цикл оснащением, которое состоит в выборе метрики на Sn . Оснащенная лагранжева сфера в симплектическом многообразии определяет скручивание Дена, которое является симплекто-морфизмом многообразия [74]. Рассмотрим петлю у в S , которая идет вдоль пути с , затем двигается вокруг критического значения с(1) в положительном направлении, а потом назад к с(0) вдоль обратного пути сорр . Симплектический вариант теории Пикара-Лефшеца утверждает, что параллельный перенос вдоль 7 изотопен скручиванию Дена вдоль оснащенной лагранжевой сферы, которая исчезает вдоль с . Пусть S - комплексный диск с некоторым числом фиксированных критических значений. Выберем систему простых путей q , которые попарно не пересекаются и связывают фиксированное некритическое значение на границе со всеми критическими значениями. Критические значения теперь упорядочены касательными направлениями путей в начальной точке. Пусть Si - соответствующая последовательность (так называемый отмеченный базис) исчезающих циклов в слое над некритическим значением. Градуировки Si можно подходящим образом зафиксировать, если выбрать относительный индекс Маслова [74]. Категория Vf может быть построена формально таким образом, чтобы Si задавали полную исключительную последовательность в V/ . Действительно, согласно [15] после оснащения триангулированной категории DG -структурой, или, что эквивалентно, Аоо -структурой, триангулированная категория, порожденная исключительным последовательностью, может быть реконструирована из полной подкатегории на объектах последовательности как 0-когомологии категории скрученных комплексов (в loc. ей. рассматривались только DG -категории, однако А -случай вряд ли чем-то сложнее).
Сильные генераторы для гладких схем
Лемма 2.2.23 Пусть fi:X— W, /2 : У — W - квазикомпактные отоб-раэюепия квазикомпактных квазиотделимых схем. Предполоо/сим, что Е , F -компактные генераторы для DQC\L{X) и Дэсь(У) Тогда EH\yF -компактный генератор для DQ X Xjy У) . Доказательство. Тот факт, что Е Иуу F компактен, следует из теоремы 2.2.1. Таким образом, нам надо только показать, что Е Sjy F является генератором. Предположим, что Z ортогонален справа к Е Ш-w F . Пусть рг12 - это проекции схемы X Хцг Y на первый и второй фактор. Так как EomXxwY(Е №w F, Z[m + п]) = HomXxwY(Lpr\E, RUomxxY(Lpx 2F, Z[m])[n)) то мы выводим, что RpTuR/Homxxwy( Pr2 [Tn]) = О для произвольного т. Теперь пусть U , V и Т - открытые аффинные подсхемы в X , Y и W такие, что /i(U) С Т , fziy) С Т . Мы находим, что О = Г(С/, Дргь RHomXxwY(Lpr 2F, Z[m + n])) = Homy(F, Rpr2.(Z[m] U xw Y)[n]) Отсюда выводим, что Rpx2t(Z[m] \ U xwY) = 0 . Ограничение на V дает T(Ux\y V, Z[m\) = T{U Так как U,V,T,m произвольны и так как схема X xzY покрыта аффинными открытыми подмножествами U Хт V , то в силу следствия 2.2.19 это влечет, что Z = 0. Доказательство теоремы 2.2.4. Предположим, что X гладкая схема над полем к и пусть Е - компактный генератор для DQCb(X) . Тогда X х X также гладкая схема, и если Д С ХхХ -диагональ, то по теореме 2.2.1 Од - компактный объект . Следовательно, в силу теоремы 2.1.2 и предыдущей леммы Од Є (Е й Е)к для некоторого к Є N . Пусть Z Є о.сь(Х) . Тогда Z = Rpxu(px Z ОА) , и значит Z Є (Яргь(рг$Я ЕИЕ))к = (ERY(EZ))k .Так как RF(EZ) является комплексом векторных пространств, то мы получаем, что Z Є (Е)к . Следовательно, в силу предложения 2.1.6 Аз лРОс = (Е)к Так как для гладких многообразий DQch(X)c = Db(coh(X)) , то это завершает доказательство теоремы 2.2.4. Мы показали в следствии 2.2.5, что если X - гладкое собственное проективное алгебраическое многобразие над полем к , то Db(coh(X)) насыщена. Так как гладкие собственные алгебраические многообразия и компактные аналитические многообразия имеют похожие свойства, естественно задаться вопросом остается ли этот результат верным для компактных аналитических многообразий X над полем комплексных чисел. Упомянем здесь одну теорему, доказанную в [19] с использованием довольно изощренной техники, которая показывает, что ответ отрицательный. Теорема 2.2.24 Пусть X - компактная комплексная аналитическая поверхность, не имеющая гладких компактных комплексных кривых. Тогда категория Db(coh(X)) не насыщена.
Следовательно, в условиях теоремы категория Db(coh(X)) не является сильно конечно-порожденной. Теорема приложима к поверхностям типа КЗ, двумерным торам и поверхностям типа VII в классификации Кодаиры [66]. Замечание 2.2.25 Представлятся вполне вероятным, что этот контрпример долоісен обобщаться до утверждения о том, что компактное аналитическое многообразие насыщено если и только если оно является алгебраическим пространством. Это означало бы, что насыщенность является критерием триангулированных категорий алгебраической природы. 2.3 Производные категории градуированных колец В этом параграфе мы сопоставляем градуированному кольцу R категорию QGr(il) , которая является некоммутативным аналогом категории квазикогерентных пучков на проективном многообразии [4]. Мы докажем, что при подходящих гомологических условиях на R категория компактных объектов D(QGr(i?))c в производной категории от абелевой категории QGr(i?) является сильно конечно порожденной и, следовательно, насыщенной. Если R - когерентное кольцо, то можно рассмотреть также категорию qgr(i?) , которая аналогична категории когерентных пучков на проективном многообразии. При выполнении гомологических условий, похожих на те, что упоминались выше, имеем: D(QGr(R))c = Db(qgi(R)) . Таким образом, мы получаем полный некоммутативный аналог теоремы 2.2.4. В этом пункте мы развиваем некоторые понятия некоммутативной геометрии для градуированных колец. Мы начинаем изложение со стандартного материала о функторах, связанных с категорией градуированных R -модулей. Так как мы не пред- полагаем изначально, что R нетерово или когерентно, нам приходится установить некоторые базисные факты и дать их доказательства. Ниже R = к ф i?i ф Яг Ф - градуированное кольцо над полем к с градуированным максимальным идеалом т = фп о п Мы будем всегда предполагать, что dimExt H(A;, к) оо для любого г 0 ( Ext ы берутся в градуировнной категории). В частности, R конечно представимо и, следовательно, dimi со для любого п . Обозначим через Gr(R) категорию левых градуированных R -модулей. Для п Є Z , категория Gr(i?) снабжена функтором сдвига М (-» М(п) , где М(п) определяется по правилу M{n)j = Mn+j . Мы пишем Extcr(H)(M, N) для Ext-групп в Gr(R) и ExtlR(M,N) для градуированных Ext-групп nExtQr(R)(M,N(n)) . Таким образом, ExtlGl. (M,N) = ExtlK(M, N)0 . Мы говорим, что модуль М Є Gi(R) является кручением, если он локально конечномерный, или, что эквивалентно, что для любого а Є М существует п такой, что тпа = О . Пусть Tors (Л) обозначает соответствующую полную подкатегорию в Gr(.R) . Так как R конечно-порождено, то Tors(i?) является локализующей подкатегорией в Gi(R) . Далее, конечно-порожденные модули в Tors(i?) конечномерны. Пусть QGr(iZ) = Gr(i?)/Tors(i?) . Определим г как функтор, который сопоставляет градуированному R модулю его максимальный подмодуль кручения. Через 7Г : Gi(R) - QGr(il) обозначим функтор факторизации. Согласно стандартной теории локализации 7г точен и коммутирует с копределами.
Мы обозначим через и (строго полный) правый сопряженный функтор к 7Г и через Q - композицию функторов илг . Так как ТТШ - тождественный функтор, то Q2 = Q . Функторы сдвига М н- М(п) определяют функторы сдвига в QGr(i?) , для которых мы будем использовать то же обозначение. Кроме того, мы будем использовать обозначение геометрического происхождения: О = TTR . Заметим, что из сопряженности получаем, что (КиМ)0 = ExtlQGr(H) (0,М) (2.9) для М Є QGr(i2) . Лемма 2.3.1 Для любой направленной системы (iV,-)i6/ и для любого п имеем Доказательство. Из того факта что dimExt1 , к) оо следует, что R/R n имеет градуированную резольвенту, состоящую из конечно-порожденных свободных модулей. Отсюда утвержденте леммы легко следует. Лемма 2.3.2 Функторы Rlr коммутируют с фильтрованными копределами (и, следовательно, с прямыми суммами) для любого г . Доказательство. Это следует из описания, которое можно найти в [78]: и леммы 2.3.1. Лемма 2.3.3 Предположим, что Т есть модуль кручения. Тогда Доказательство. В силу леммы 2.3.2 достаточно доказать утверждение в случае когда Т конечномерен. Но тогда это ясно из (2.10), если посмотреть на степени порождающих модулей, встречающихся в свободной резольвенте модуля R/R n . Лемма 2.3.4 Функтор Q задается формулой Доказательство. Стандартная теория локализации [78] говорит, что Таким образом, нам надо показать, что lim Ext%R(R n, тМ) = 0 для і 1 . Зануле- Лемма 2.3.5 Для М Є Gi(R) существует длинная точная последовательность и изоморфизмы R%QM = Rl+1rM для і 1 . В частности, функтор RlQ зану-яется на Tors(i?) для всех г и коммутирует с фильтрованными копределами. Доказательство. Это следует из длинной точной последовательности, полученной применением Ит п Нотд(—, М) к системе точных последовательностей 0 -» R n -» R — R/R n — 0 и использованием лемм 2.3.4 и (2.10). Лемма 2.3.6 Имеем RlQ — Rlu о ж . Доказательство. Нужно показать, что если модуль Е Є Gr(i?) инъективен, то модуль itE ацикличен по отношению к функтору ш . Пусть есть инъективная резольвента для ТГЕ . Так как пш тождественный функтор, то применяя из к этой последовательности, получаем, что когомологии комплекса лежат в Tors(.R) . Так как морфизм Е - Q-E имеет кручением и ядро и коядро, то применяя RlQ к этому морфизму, мы находим (используя зануление функтора RlQ на объектах кручения по лемме 2.3.5 и инъективность модуля Е ), что QE, если і = 0 0, в противном случае Аналогично, K Q(ojFi) = 0 для j 0 , потому что uFi инъективен по сопряженности. Тогда спектральная последовательность для гипер-когомологий дает, что (2.11), становится точной, если применить Q.
Группоид верхне-треугольных билинейных форм
Группоид Г , естественным образом связанный с билинейными формами типа (3.3), описывается следующим образом. Схема Л объектов, как и в п. 3.1.1, — это верхнетреугольные формы А с единицами на диагонали. Схема М морфизмов определяется так: Отображения начала и конца задаются формулами: s: (В, А) і— А, t: (В, A) t— BAB-\ Единичный морфизм є и морфизм обращения г задаются так: І{В,А) = {В-\В-ТАВ-1), где Е — единичная матрица. Наконец, умножение двух компонируемых морфизмов (В, А) и (С,В ТАВ 1) определяется по формуле: Теорема 3.2.1 Пара (А, М) с отобраоїсепиями s, t, є, т, і определяет гладкий алгебраический группоид. То, что (А, М) является алгебраическим группоидом, вполне понятно. Это в действительности является примером следующей общей конструкции. Предположим, мы имеем пространство X с действием группы Ли G на нем. Зафиксируем подпространство Y в X . Группа G может не действовать на Y , так как элементы из G , вообще говоря, не сохраняют Y . Мы можем подправить это действие, взяв для элемента у Є Y только те элементы g Є G , для которых g у Є Y . Существует очевидная частичная композиция на множестве таких пар ( ?)У) » которая определяет структуру группоида. В нашем случае G = GL(V) , X — пространство билинейных форм, a Y = А . Гладкость А очевидна, остается доказать гладкость М. . Идея доказательства похожа на доказательство для групп Ли. Напомним, что используя левые (или правые) сдвиги, гладкость группы Ли можно вывести из ее гладкости в единице. Касательное пространство группы Ли в единице является ее алгеброй Ли. Аналог алгебры Ли в теории группоидов — это алгеброид Ли. Прежде всего напомним определение алгеброида Ли. Для гладкого многообразия X обозначим Тх касательный пучок со стандартной структурой алгебры Ли на его локальных сечениях.
Определение. Алгеброид Ли над гладким многообразием X состоит из локально свободного пучка (векторного расслоения) g над X , снабоїсенного к -линейной структурой алгебры Ли на его локальных сечениях, и Ох -морфизмом пучков a : Q —» Тх , называемым якорным отображением, удовлетворяющим следующим условиям: і) морфизм а коммутирует со структурами алгебры Ли на Q и Тх , ii) для пары локальных сечений Z,Y Є T(U, g) , где U — открытое множество в X и f Є О (U) , выполняется равенство: здесь a(Z) f — это производная Ли от f вдоль векторного поля a(Z) . Если группоид (А, М) гладкий, то он определяет алгеброид Ли. В качестве многообразия X - базы алгеброида - возьмем А . Можно отождествить его со своим образом в М. при отображении е . Определим g как относительное касательное расслоение, связанное с отображением s , ограниченное с М на А (= ядро отображения d s вдоль А ). Якорное отображение есть дифференциал d t морфизма конца t в применении к расслоению 0 . Чтобы определить скобку Ли на сечениях, нам понадобится понятие правого (левого) инвариантного векторного поля на группоиде Ли. Заметим, что поскольку умножение элементов М. определено лишь частично, то понятие, скажем, правой инвариантности применимо лишь к s -вертикальным векторным полям на М. , т.е. к тем, которые являются касательными к s -слоям. Любой элемент х Є М с помощью правого умножения у і— ух определяет гладкое отображение Rx из s -слоев над t(x) в s -слои над s(x) . Назовем s -вертикальное векторное поле на М правоипвариантнъш, если оно инвариантно по отношению к дифференциалам dRx для всех х Є Л4 . Аналогично, t -вертикальное векторное поле на М. назовем левоинвариантным, если оно инвариантно по отношению к dLx для всех х Є М. , где Lx — это отображение умножения слева у і— ху из t -слоев над s(x) в t -слои над t(x) . Теперь любое сечение д из g над Л может быть единственным образом продолжено до инвариантного справа s -вертикального поля д на М. : Таким образом, мы получаем отождествление (глобальных) сечений g с (глобальными) правоинвариантными векторными полями на М . Так как коммутатор правоинвариантных векторных полей является снова правоинвариантным, это отождествление определяет скобку Ли на сечениях g . Очевидно, эта скобка локальна, т.е. может быть определена на локальных сечениях. Выполнение аксиом группоида Ли влечет выполнение аксиом алгеброида Ли. Для нашего группоида из того, что В ТА В 1 принадлежит Л , дифференцированием получаем, что ядро ds в точке {В, А) = (Е, А) естественным образом отождествляется с пространством матриц: дА = {д є EndF I Ад + дтА строго верхне-треугольная}. Касательное пространство ТА К Л в каждой точке А Є Л отождествляется с пространством строго верхне-треугольных матриц.
Точно так же пространство 1А дифференциальных 1-форм на Л в каждой точке отождествляется со строго нижне-треугольными матрицами. При этом отождествлении якорное отображение а преобразует элемент д Є QA следующим образом: Следующее предложение утверждает, что расслоение g над Л со слоями QA над всеми точками А Є Л является в действительности векторным расслоением. Предложение также содержит точное описание QA И изоморфизма дд QA ( ЄІЛ — это расслоение 1-форм на Л), составляющего существенную часть конструкции скобки Пуассона, которая будет изучаться в главе 4. Введем систему обозначений: пусть р_ , р+ , diag — проекторы в пространстве матриц, которые каждой матрице сопоставляют ее строго нижний треугольник, строго верхний треугольник и диагональ соответственно. Предложение 3.2.2 Для верхнетреуголъпой матрицы А , имеющей единицы на диагонали, выполнены следующие утверждения: і) QA имеет постоянный ранг, равный s л—L (независимо от точки А Є Л), іі) пусть форма со Є ClA представлена строго ниоіснетреугольной матрицей; тогда соответствие up : со і— g , где задает изоморфизм Q\ QA обратный к которому имеет вид Ш) спаривание QA ТА І—У k , задаваемое формулой: (д,$) = ТгдА-1, где g Є бл, f Є Тд , является невырожденным. Доказательство. Пусть g принадлежит QA Разложим: где из - строго нижнетреугольная, a из+ — (не строго) верхнетреугольная матрицы, в частности: где матрица Со диагональна, а С+ - строго верхнетреугольная. Далее получаем, что матрица является строго верхнетреугольной. Обозначим D = Аи + Атшт + CQ + С+ . Применяя проектор р_ к (3.17), получаем: Поскольку А является верхне-треугольной матрицей с единицами на диагонали, легко следует, или, после транспонирования: Так как p (D) = 0 , то diag DA = diag D . Применяя проектор diag к (3.17), получаем: Следовательно, diag (AUJ + ATuF) + 2Со = 0 . Таким образом: Со = --diag(Aj + Атшт) = --diag( w + и А). Далее, вычисляя р_,р+ и diag из (3.16), получаем формулу для д : Поскольку си = р-(дА г) , это доказывает, что рф является тождественным отображением на дд . Но р является мономорфизмом, поскольку самые нижние ненулевые диагонали у p_(w А) и и (а также у р(ш) ) совпадают. Поэтому (р и ф — взаимно обратные изоморфизмы.
Центр алгеброида
Для любого группоида g пространство глобальных сечений Н(Х, д) является алгеброй Ли. В этом параграфе мы дадим описание центра этой алгебры Ли для алгеброида Ли, соответствующего группоиду Ли Г , в терминах функций Казимира. Этот подход применим к другим алгеброидам, построенным из скобок Пуассона. Для любой скобки Пуассона Р на X можно построить алгеброид Ли др (даже биалгеброид Ли, см. [61]) следующим образом. Как векторное расслоение др является кокасательным расслоением Г21 на X . Якорное отображение совпадает с пуассоновой структурой. Структура алгебры Ли для пары локальных сечений OJ , 9 из О,1 определена с помощью Р ел едущим образом: где Lf — производная Ли вдоль векторного поля , или, что эквивалентно, Здесь ц обозначает внутреннее произведение с векторным полем . Если g — алгеброид Ли, соответствующий симплектическому группоиду, то g = gp для индуцированной пуассоновской структуры Р на пространстве объектов. Отождествление ip : Q1 g — это то, которое описано в начале п. 4.1.1. Для алгеброида Ли g рассмотрим ядро К, якорного отображения a : g — Т , которое можно считать морфизмом локально свободных пучков Ох -модулей. Тогда К является когерентным пучком. Назовем его централизатором алгеброида Ли g . Пространство (локальных) сечений К, является идеалом Ли в алгебре Ли (локальных) сечений g . Более того, из (3.14) следует, что структура алгебры Ли на сечениях /С (и даже присоединенное действие /С на g ) Ох -линейно. Кроме того, на ядре линейного отображения дх -» Тх над каждой точкой х Є X существует структура алгебры Ли. Над точкой общего положения х геометрический слой Кх совпадает с ядром дх — Тх (но не над произвольной точкой). Для алгеброида Ли треугольных билинейных форм геометрический слой К над точкой А Є Л из регулярного пласта является централизатором Сд , определенным (4.7). Стабилизатор билинейной формы — это тор размерности [] . Далее до конца этого пункта для простоты считаем X гладким аффинным многообразием. Рассмотрим алгебру Ли Н(д) глобальных сечений д над X . Обозначим через Z(Q) центр этой алгебры.
Если алгеброид Ли 0 = 0Р постороен из скобки Пуассона, то д = О,1 и локальные сечения К над регулярным пластом являются 1-формами, которые равны нулю на векторах, касательных к симплектическим листам. Из (4.15) легко следует, что Н(/С) — коммутативный идеал Ли в Для скобки Пуассона Р : С11 - Т определим морфизм пучков по формуле получается естественным спариванием в с первым тензорным аргументом в fi . Из определения Р следует равенство: ip(e)V= 9,P{v) для любого локального сечения в Є Сі1 и vefi2. Предложение 4.2.1 Если Р — скобка Пуассона на гладком аффинном многообразии, то тогда 1-форма со принадлеоісит Z(gp) тогда и только тогда, когда: Доказательство. Если условия і) и ii) выполнены, то, согласно (4.16), со Є Докажем обратное. Выберем из Є Z(gp) , произвольную 1-форму в и функцию / . Тогда с помощью (3.14) получаем Поскольку в произвольная, то Pdu3 = О . Предложение доказано. Заметим, что если / — функция Казимира для Р и из Є Z(gp) , то, согласно (3.14), /ш Є Z(gp) . Таким образом, Z(gp) является модулем над алгеброй функций Казимира. Теорема 4.2.2 Центр Z(gp) алгеброида Ли др треугольных билинейных форм является свободным модулем над алгеброй функций Казимира с множеством образующих dfi , где {/І}І=І,...,[2] — образующие алгебры функций Казимира. Другими словами, любая форма из Є Z(gp) имеет единственное разложение где все gi — функций Казимира, a /j , г = 1,..., [] , — образующие алгебры функций Казимира, скажем, те, которые были описаны в п. 3.1.2. И наоборот, любая форма из такого вида лежит в центре. Доказательство. Прежде всего, если ш — форма вида (4.17), где & и /j — функции Казимира, то из предложения (4.2.1) легко следует, что из Є Z(QP) . Наоборот, предположим, что из Є Z(gp) . Снова из предложения (4.2.1) получаем, что Р(из) = 0 , т.е. из Є Н(/С) . Мы утверждаем, что Н() является свободным к[А] -модулем со свободными образующими dfi , і = 1,..., Щ] , где /І — образующие алгебры функций Казимира. Чтобы это увидеть, рассмотрим подпучок О А -модулей /Со в К, , порожденных dfi . Как пучок /Со является свободным О А -модулем: /Со О J . Так как согласно следствию 4.1.9 для любой точки регулярного пласта dfi порождают конормальпое пространство к симплектическому листу, содержащему эту точку, то носитель /С//Со находится в дополнении к регулярному пласту. Это дополнение имеет коразмерность не меньше 3 (см. п. 4.1.7). Таким образом, любое сечение s из /С индуцирует сечение из /Со , корректно определенное вне коразмерности 3. Поскольку пучок /Со является свободным, то последнее имеет единственное расширение до сечения s0 из /Со , которое корректно определено всюду. Тогда s — s0 является сечением из кручения в О,1 , а, значит, оно тривиально. Таким образом, /Со с /С и /С свободно порождается dfi , і = 1,...,[ ] . Итак, мы доказали, что w имеет разложение и = gidfi , где / — образующие алгебры Казимира. Из предложения (4.2.1) имеем: Так как dfi независимы над Од , то Pdgi = 0 , т.е. gi являются функциями Казимира. Пример. Пусть п = 3 . Если А имеет вид то минимальное полиномиальное решение линейного уравнения СТА + АС = 0 , единственное с точностью до постоянного множителя, задается матрицей: Желание объяснить смысл коэффициентов этой матрицы привело к появлению скобки Пуассона на верхнетреугольных матрицах. Используя приведенное выше описание центра алгеброида, получим следующий рецепт: 1) возьмем образующую алгебры многочленов Казимира 2) рассмотрим ее дифференциал 3) проинтерпретируем da , db , dc как элементарные нижнетреугольные мат рицы Ei\ , Ez\ , Ею соответственно. 4) Применим к ним р по формуле из предложения 3.2.2,ii). 5) заменим получившимися матрицами дифференциалы da , db , dc в формуле для d/ . В результате, получим приведенную выше формулу для С . 4.3 Лагранжевы бисечения и гамильтонианы кос. В этом параграфе мы дадим интерпретацию группы кос и ее расширения с помощью Z как регулярных лагранжевых бисечений группоида треугольных билинейных форм. 4.3.1 Реализация группы кос лагранжевыми бисечениями.
Бисечением гладкого алгебраического группоида Г = (М., Л) называется гладкое подмногообразие пространства морфизмов М , которое является сечением и для s , и для t . Мы будем рассматривать бисечение как отображение j : Л —У М , являющееся сечением s , т.е. S7 Множество Bisec(r) всех бисечений группоида Г имеет естественную структуру группы: произведение 7 = Ъ Ъ Д-713 72 и Ъ п0 определению является отображением у : Л-У М. , таким, что для любого х Є Л . Единичное сечение е является единицей в этой группе, обратным элементом для 7 Є Bisec(r) будет 7-1 ) := Kz) » гДе z е т7 однозначно определяется из условия z Є ІШ7 и t(z) = х для любого X Є Л . Любое бисечение 7 группоида индуцирует регулярное обратимое отображение на пространстве объектов А . Это отображение переводит элемент х Є Л в (to На этом языке реализация расширенной группы кос Bn х Z универсальными преобразованиями верхне-треугольных билинейных форм (см. п.2.1) интерпретируется как вложение расширенной группы кос в группу бисечений группоида Г верхне-треугольных билинейных форм. Действительно, отображение Bn х Z - В(п) из (3.12) представляет элементы расширенной группы кос матрицами В (А) , которые можно считать бисечениями группоида. Далее, умножение универсальных преобразований из (3.9) повторяет умножение в группе бисечений. Напомним, что пространство Л4 снабжено симплектической структурой w . Бисечение называется лагранжевым, если соответствующее подмногообразие в Л4 является лагранжевым относительно w . Если бисечение симплектического группоида лаграпжево, то соответствующее отображение на пространстве объектов Л сохраняет индуцированную пуассонову структуру. Лагранжевы бисечения образуют подгруппу в группе всех бисечений. Предложение 4.3.1 Элементы расширенной группы кос представляются лагран-жевыми бисечениями в Г . Доказательство. Так как лагранжевы бисечения образуют группу, справедливость утверждения достаточно проверить для стандартных образующих {о } группы кос и элементов из Zi% . Для ОІ это можно сделать, заметив, что все три члена в (3.33) равны нулю при подстановке В = СТІ(А) . Элементы группы Z представляются постоянными диагональными матрицами Qa с ±1 на диагонали.