Содержание к диссертации
Введение
Глава І. К-когомологии гладких проективных многообразий . 14
1. Предварительные сведения . 14
2. Одна точная последовательность . 19
3. Кручение в К2~когомэлогиях . 25
4. Кручение в S гладких кривых . 33
5. Поля с нулевым Kg 35
Глава II. Многообразия Севери-Браузра . 39
I. Определение и простейшие свойства . 39
2. Две конструкции 45
3. Циклы на многообразиях Севери-Брауэра . 53
4. Вспомогательные утверждения 59
Глава III. К-теория гензелевых нормированных колец . 65
1. Про-объекты и про-категории . 65
2. Нильпотентные пространства 66
3. Теорема Уайтхеда для про-пространств . 78
4. Вспомогательные леммы. 79
5. Теорема Гуревича для про-пространств и гомотопий с конечными коэффициентами . 82
6. Приложение к алгебраической К-теории . 92
Литература 97
- Одна точная последовательность
- Циклы на многообразиях Севери-Брауэра
- Теорема Уайтхеда для про-пространств
- Теорема Гуревича для про-пространств и гомотопий с конечными коэффициентами
Одна точная последовательность
Вариационные методы основаны на экстремальных принципах механики сплошной среды. Согласно этим принципам интегриро -вание дифференциальных уравнений при заданных краевых уело -виях можно заменить нахождением функции, которая сообщает минимальное значение некоторому функционалу, соответствующему данной системе дифференциальных уравнений. В механике сплошной среды, в частности, в теории пластичности,этот функ ционал выражает диссипацию энергии деформации.
Решение вариационной задачи представляет большие мате -матические трудности, в связи с чем применяют так называемые прямые (приближенные) методы. Эти методы сводят задачи тео -рии дифференциальных и интегральных уравнений к конечным системам алгебраических уравнений.
Из существующих прямых методов наибольшее распространение получил метод Ритца. Этот метод состоит в том, что решение для перемещений отыскивается в виде ряда, состоящего из подходящих функций, одна часть которых удовлетворяет граничным условиям, другая - нулевым условиям на границе области деформирования. Коэффициенты при координатных функциях находятся из условия минимума функционала. При достаточно большом количестве членов ряда можно получить решение близкое к точному, однако трудности, возникающие при выборе координат -ных функций, громоздкость математических выкладок ив то же время бурное развитие вычислительной техники заставили обратить внимание исследователей на дискретные методы решения задач пластичности.
Развитием вариационного метода в этом направлении является метод локальных вариаций,предложенный Ф.Л.Черноусько [Зі] и развитый в работах [32-35]. Идея этого метода заключается в том, что область, ограниченная контуром, разбивается на прямоугольные ячейки.Уеловия на контуре переносятся на граничные точки полученной прямоугольной области. Интеграл по области переписывается в виде суммы интегралов по каждой ячейке. Этот интеграл приблизительно определяется через усредненные по ячейке значения функций скорости перемещения и ее производных, представленных в конечно-разностном виде. При варьировании функции скорости в узле изменяется не вся сумма интегралов, а только те интегралы, которые включают эту функцию. Поэтому варьирование носит локальный характер.
Этот метод, в отличие от вариационного, прост,экономичен, не связан с выбором координатных функций. Метод локальных вариаций получил распространение в основном при решении задач теории упругости. При использовании этого метода необходимо учитывать, что удовлетворительные результаты получаются тогда, когда уравнения связи между параметрами сводятся к граничным условиям. В противном случае обеспечивается только частичная локальность вариаций и при разработке алгоритма решения задачи необходимо учитывать влияние каждого параметра в исследуемой области.
Дня решения дифференциальных уравнений в частных производных был разработан метод конечных разностей - работы В.Ва зова и Дж.Форсайта Г 38], Ш.Е.Микеладзе [37], Л.Коллатца [Зб1 А.А.Самарского [39] и других ученых. Наибольшее распростра -нение этот метод получил при решении плоских задач [40-42І . Внимание к этому методу в последнее время обусловлено внед -рением в практику расчетов ЭВМ и успешным использованием аппарата матричной алгебры. Это привело к упрощению записи алгоритма задач и возможности решения задач, имеющих боль -шой объем вычислений.
Идея метода состоит в замене обыкновенных и частных про изводных, входящих в дифференциальные уравнения и соотноше -ния, их приближенными выражениями, в которых дифференциалы заменены конечными приращениями. Для этого на исследуемую область наносится сетка, чаще всего прямоугольная. При этом действующую нагрузку и правые части дифференциальных уравнений представляют в виде факторов, отнесенных к узлам сетки. Для реализации граничных условий они переносятся на аппрок -симирующий контур. В случае криволинейного контура исследуемой области граничные условия удовлетворяются путем последовательных приближений, так как для переноса их на контур сеточной области необходимо знать значения функций во внутренних точках области, а последние известны после решения задачи. После аппроксимации получается линейная или нелинейная система алгебраических уравнений и задача состоит в отыскании эффективных методов решений системы. На создание компакт ных, универсальных,экономичных по затрате машинного времени алгоритмов и сосредоточено внимание исследователей.
К недостаткам метода следует отнести неоднородность ко - ю нечно-разностной схемы и то, что его применение к сложным по конфигурации областям связано с индивидуальным подходом к каждой из них.
В последнее время, наверное, основным численным методом решения прикладных задач стал метод конечных элементов. Возникший в начале 30-х годов, как инженерный метод расчета на прочность металлических конструкций, он получил математиче -ское обоснование в трудах Дж.Аргириса [44,65],
Циклы на многообразиях Севери-Брауэра
Для плоского случая это чаще всего тре -угольники, а для пространственного - тетраэдры. По каждому элементу задаются некоторые функции, позволяющие определить перемещения внутри элементов по перемещениям в узлах. Определяя затем деформации и напряжения, получают выражение для энергии, как функцию узловых смещений, при вариации ко -торых формируется система алгебраических уравнений. Из ее ре шения определяются искомые перемещения узлов. Необходимо отметить, что распределенная нагрузка заменяет узловой. Метод конечных элементов часто трактуется как метод Ритца. Различие между ними заключается в выборе системы ко -ординатных функций. В методе Ритца эти функции задаются для всей рассматриваемой области, а в методе конечных элементов-для каждого элемента и через множество этих функций опреде -ляется состояние всей системы. В первом случае варьируют по параметрам, имеющимся в каждом члене ряда, а во втором - по перемещениям узлов. Необходимо отметить, что метод конечных элементов хорошо разработан для решения упругих и упруго-пла стических задач - работы В.Г.Корнеева [59], Л.А.Розина [60], Дж.Аргириса [44], О.Зенкевича [46], Р.Клафа [47І Особенности постановки и конечно-элементной аппроксимации для задач с жестко-пластической и вязко-пластической средами рассмотрена в работах В.Н»Сегала и Г.П.Свирида 48,49 , В.Г.Корнеева и С .Пономарева 68 .
К достоинствам метода надо отнести свободу расположения узлов внутри исследуемой области, возможность использования физических предпосылок,что позволяет корректировать задачу в процессе счета. В отличие от аналитических методов он поэво ляет значительно приблизить расчетную схему к реальной, дает возможность учитывать такие свойства объекта,как анизотропия и слоистость, наличие трещин,а также реальную геометрию тела
Но возможности метода ограничены необходимостью решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, что явля -ется, даже при наличии мощных ЭВМ, существенным фактором.Кро ме того, иногда на границах элементов нарушаются условия совместности из-за несоблюдения условий непрерывности пере -мещений между смежными элементами. И, наконец, сосредоточи -вая усилия в узлах, мы удовлетворяем уравнения равновесия в среднем по всему телу, но не по каждому элементу Эти недостатки отсутствуют в численном методе решения дифференциальных уравнений пластического течения,предложен -ным В.И.Одиноковым Г6ІІ# Суть его состоит в следующем. Рас -сматриваемая область делится на элементы конечных размеров, для каждого элемента записывается полная система дифференциальных уравнений пластического течения в конечно-разностной форме через значения скоростей перемещений и напряжений по граням элемента. При записи полной системы уравнения состояния получаются из условия коаксиальности девиаторов напряжений и скоростей деформаций,на наклонных площадках, примыкающих к поверхности области течения, записываются уравнения Ко-ши. С учетом граничных условий получается замкнутая опреде -ленная система алгебраических уравнений. Данный метод позво -ляет построить такие рекуррентные соотношения, при которых значительно уменьшается количество неизвестных (в 6-7 раз). В полученной эквивалентной системе коэффициенты вычисляются численным методом. Весь процесс состоит из нескольких итераций. В каждой из них коэффициент пропорциональности между девиато-рами напряжений и скоростей деформаций, который является функ цией от температуры тела, степени и скорости деформации, принимается постоянным. Для решения системы линейных уравнений используется метод Гаусса. Результат решения - поля напряже -ний и скоростей перемещений по граням элементов. Решение этим методом ряда модельных и прикладных задач показывает соответствие полученных результатов экспериментальным - работы В.И. Одинокова, Б.Г.Каплунова, Е.И.Макеранца [63, 69-74].
В отличие от метода конечных элементов данный метод прост и при этом количество неизвестных при решении линей -ных уравнений меньше, чем при использовании метода конечных элементов при одинаковой степени дискретизации рассматривав -мой области. Отсюда меньше затраты машинного времени.
Кроме этих достоинств, необходимо отметить возможность единого подхода к различным классам задач, простоту формали -зации для программирования, независимость постановки и алго -ритма задачи от использования различных моделей физического состояния исследуемой среды.
Целью данной работы является разработка на основе чис -ленногометода решения дифференциальных уравнений численной схемы решения широкого класса плоских прикладных задач теории пластичности. Эти задачи включают в себя определение напря -женно-деформированного состояния в неоднородных телах, находящихся под действием неоднородных нагрузок и температурных полей с учетом свойств упрочняющейся среды.
Теорема Уайтхеда для про-пространств
В первой главе приведено построение математической модели решения плоской задачи теории пластичности.Для этого за писывается полная система дифференциальных уравнений пластического течения,с учетом граничных условий и уравнения Стефана-Бол ьцмана, на границе двух сред с разным агрегатным состоянием; выбирается модель деформируемой среды, описывающая поведение изотропно-упрочняющегося вязко-пластического материала. На основе численного метода решения дифференциальных уравнений пластического течения строится численная схема, в которой дается конечно-разностная аппроксимация основопола -гающих уравнений и приводится алгоритм решения. В конце главы на численных примерах рассматривается вопрос о сходимости решения. Доказывается единственность решения при использовании применяемой разностной схемы.
Во второй главе рассматривается задача о кристаллизации стального двутаврового профиля в свободном, замкнутом и ча -стично-замкнутом пространствах. Результаты решения приведены в виде эпюр напряжений и скоростей перемещений в области деформирования.
В третьей главе рассматривается задача о деформации стальной неоднородной полосы наклонными штампами. Приводятся решения для деформации полосы с учетом неоднородности температурного поля и физических свойств материала. Рассматрива ется случай, когда штамп имеет сложную форму.
В четвертой главе рассматривается задача о деформации стальной полосы под действием системы плоскопараллельных штампов. Здесь приводятся решения в случаях, когда нагрузка приложена несимметрично и когда свойства по какому-либо направлению неодинаковы (биметалл). Дается решение задачи о внедрении штам пов различной конфигурации в ограниченное полупространство.
В пятой главе обсуждаются вопросы применения полученных решений к анализу некоторых технологических процессов, связанных с изготовлением изделий способом непрерывного литья и с оп ределением усилий и формоизменения при горячем деформировании стальных изделий, что определяет практическую важность результатов, полученных в диссертации.
В приложении представлены акты о внедрении результатов теоретических исследований и программа решения задач на языке Фортран.
Рассмотрим следующую краевую задачу. Область.D , кон -тур которой описывается ортогональной системой координат, находится под действием внешних нагрузок X; , заданных на контуре S и неравномерного поля температур & . Определим воз никающие в рассматриваемой области напряжения 6ij и скорости перемещения /j в начальной стадии деформации ( / =1,2), если в области выполняются уравнения равновесия и неразрывно-сти, деформируемый материал принимается изотропно-упрочняющий ся, а при записи уравнений состояния используется ассоцииро -ванный закон течения. В целях упрощения массовыми и инерционными силами будем пренебрегать.
Теорема Гуревича для про-пространств и гомотопий с конечными коэффициентами
Из записей (1.22) следует, что система уравнений, запи -санная по каждому элементу К -го столбца, состоит из конеч -ного множества уравнений пк , включающих неизвестные, при -надлежащие только К -му столбцу (1.22,а,б); из конечного мно жества уравнений Ак , включающих неизвестные ( -/)-го столбца (1.22,в) - это (2/j) ( СJ -/j\ из конечного множества уравнений Ак і включающие неизвестные (/Г-// )-го столбца (1.22,г)-это неизвестные Следова -тельно, множество уравнений по К -му столбцу лк ,можно за -писать в виде
Покажем, что система линейных уравнений, составляющая множество п к является линейно независимой. Рассмотрим систему .01.22), записанную для элемента т хг-го столбца. Докажем, что данная система линейно независимая. Преобразуем уравнения (1.22,а). Решая совместно первое и третье уравнения относительно б , и б у и подставляя в них значения 6j , найденные из уравнения второго, запишем (1.22а) Рассмотрим систему (1.22) с учетом преобразования (1.23), полагая, что (1.22,6) подставлены в (1.23), а четвертое ра -венство (1.23) по (2 Л подставлено в (1.22,в). Тогда уравнения (1.22) будут линейно независимыми, так как каждое из уравнений содержит неизвестное, не входящее ни в одно другое. Так, например, одна из последовательностей 6 f/ , Єг/ , GJ2 , \ следует, что системы уравнений, составляющие множества Ли п/ , 4 линейнонеза-висимы как сами по себе, так и между собой. Рассмотрим множество уравнений \п \ , состоящее из уравнений (1.22) в К -ом столбце по элементам Ы /) и ( )— А , Ли UA-j Докажем, что система линейных уравнений,со ставлягощая множество п, . , линейнонезависима. Система уравнений множества "/ состоит из системы уравнений (1.22) для элемента ( ), системы (1,22,а), (1.226) элемента и равенств для и соответственно си стем (1.22,в), (1.22,г) элемента (Т У) с учетом, что точки о и а для ) есть точки & и С элемента (" ). Таким образом, системы (1.22,в) и (1.22,г) дают для элементов ( ) и Ы / ) шесть уравнений. Эти уравнения будут линейнонезависи мы как между собой, так и относительно уравнений (1.22,а) для элементов (Ї ) и (г -/), так как содержат неизвестные, вхо -дящие только в эти уравнения. Так, если рассмотреть последо -вательность точек Є ,CL, О\г\с , У, то соответствующие не известные будут ty)i-0-f . (rf )-6-/, »(Vf %/?+ /» fy ) -, У (Vf )4+0 dVf )4+/7+/ 3Десь следует учесть, ч (tf/) = (% ЬЛтт/ и так Далее. Следовательно, для того чтобы доказать линейную незави -симость системы уравнений множества л, , достаточно установить, что системы уравнений (1.22,а) для элементов (" ) и (-/-/ ) - линейнонезависимы. Перепишем систему уравнений в виде ( Значит доказано, что система линейных уравнений множест ва л _1 линейнонезависима. , . Система линейных уравнений множества At4 - линейно -независимая, так как системы (1.22,а) для (zf-J6/ ) элемента и (г -/ ) элемента не содержат общих переменных и, следователь но, являются линейнонезависимыми. Касательные же напряжения в точках, как было показано ранее, содержат переменное по каждо му уравнению, не входящее ни в одно из других уравнений систе мы, записанной для /С -го столбца. , Рассмотрим систему уравнений множества ftj„/ в случае, когда элемент (х-/ ) находится в углу области К /-0 Хг=0\ примыкая с двух сторон к внешней поверхности; элемент (" ) при мыкает к внешней поверхности со стороны - = 0. Положим, что внешняя поверхность 3Zf= 0, = 0 является свободной. При -мем т = 2, тогда Для того, чтобы доказать линейную независимость уравнений множества Af примыкающих к внешним свободным поверхностям, достаточно показать линейную независимость уравнений (1.22,а) с учетом (1.22,6) для элемента (I) и элемента (2). Уравнения (1.22,в), (1.22,г) в множестве "/ - это уравнения по точкам С и а , которые являются линейнонезависимыми относительно других уравнений, так как включают параметры, входящие только в эти уравнения: соответственно (&/ Х/ (ч J +n Уравнения (1.22,а), записанные для элементов (І) и (2), являются линейнонезависимыми, так как выражаются через пара -метры (б,,), ,fet), (V/)f (%), Л6г )& (6tz)z » (&/jL » (%J каждое из которых содержится только в одном из уравнений:
