Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 3.
ГЛАВА I 7.
§1. Полная модулярная группа и целые точки на поверхности 7.
§2. Некоторые сведения о специальных функциях 15.
§3. Собственные функции оператора Лапласа-Бельтрами и их свойства 16.
§4. Вспомогательные леммы 19.
ГЛАВА II 28.
§1. Формула суммирования для Pq ( -) 28.
§2. Оценка суммы
ГЛАВА III 38.
§1. Вспомогательные леммы 38.
§2. Среднее значение функции числа делителей квадратичного полинома 49.
БИБЛИОГРАФИЯ
Введение к работе
В 1964 году Сельберг в [22] предложил новый подход к решению некоторых теоретико-числовых задач, использующий созданную им спектральную теорию автоморфных функций. Развивая идеи Сельберга, Н.В.Кузнецов в работе [8] получил принципиально новые результаты на пути к доказательству гипотезы Линника, касающейся поведения суммы сумм Клостермана.
В настоящей работе спектральная теория автоморфных функций применяется к изучению сумм вида /0.3/ и /0.5/. При этом существенно используются приёмы и методы из работ [8] , [іб}.
Работа состоит из трёх глав. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней изложены некоторые известные факты, связанные с полной модулярной группой, действующей на верхней полуплоскости, теорией положительно определённых квадратичных форм, специ - 5 альными функциями и спектральной теорией автоморфных функций. Исключение составляет лемма 4, которая является новым результатом. Эта лемма, несмотря на простоту доказательства, играет важную роль в настоящей работе, так как устанавливает связь между теоретико-числовым выражением типа /0.3/ и теорией автоморфных функций.
Во второй главе изучается сумма /0.3/. В первом параграфе этой главы доказывается теорема, в которой суммы вида произвольная функция, с достаточно хорошими аналитическими свойствами/ выражаются через коэффициенты Фурье собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами.
В главе III изучается сумма /0.1/. В первом параграфе главы сформулированы некоторые известные результаты и доказаны вспомогательные леммы. Во втором параграфе доказывается асимптотическая формула
Этот результат улучшает /0.6/.
Основные результаты работы опубликованы в статьях И, W.
Автор выражает глубокую благодарность Н.М.Коробову за научное руководство. Автор также благодарен А.И.Виноградову, Н.В.Кузнецову, А.Б.Венкову, Л.А.Тахтаджяну и Н.В.Проскурину, общение с которьми в значительной мере способствовало появлению настоящей работы.
