Содержание к диссертации
Введение
1. Определяющие аналитические свойства некоторых классов рядов Дирихлеиихприложения 20
1.1. Аналитические свойства рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами и проблема обобщённых характеров 20
1.2. Аналитические свойства одного класса рядов Дирихле и граничное поведение некоторых классов степенных рядов 33
1.2.1. Аналитические свойства рядов Дирихле, отвечающих степенным рядам, имеющим полюсы конечного порядка в точке единица 33
1.2.2. Об одном критерии рациональности степенных рядов с целыми коэффициентами 44
1.2.3. Об одном классе степенных рядов, которые определяют функции, не являющиеся мероморфными в единичном круге 46
2. Аналитические свойства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, определяющих целые функции 51
2.1. О рядах Дирихле с периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа 53
2.2. Аналитические свойства рядов Дирихле, отражающие их поведение в критической полосе 55
2.2.1. Аппроксимационный подход для исследования поведения рядов Дирихле в критической полосе 55
2.2.2. Некоторые сведения из теории почти-периодических функций класса 59
2.2.3. Плотностные теоремы для нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, лежащих в критической полосе 61
2.2.4. Результаты численного эксперимента, связанные с поведением рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе 73
3. Некоторые задачи, связанные с поведением L-функций Дирихлевкритической полосе 79
3.1. Основная и расширенная гипотезы Римана и нули целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами 79
3.2. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана 90
3.3. О численных экспериментах, связанных с поведением L-функций Дирихле в критической полосе 96
Заключение 100
Список литературы 102
- Аналитические свойства одного класса рядов Дирихле и граничное поведение некоторых классов степенных рядов
- Об одном критерии рациональности степенных рядов с целыми коэффициентами
- Аналитические свойства рядов Дирихле, отражающие их поведение в критической полосе
- Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана
Аналитические свойства одного класса рядов Дирихле и граничное поведение некоторых классов степенных рядов
А именно, в работе [15] было показано, что ряды Дирихле с конечнозначны-ми коэффициентами тогда и только тогда определяют функции, мероморф-ные в комплексной плоскости с единственным возможным полюсом первого порядка в точке s = 1, модуль которых удовлетворяет условию где А — некоторая положительная константа, когда соответствующие степенные ряды определяет функции, либо регулярные в точке z = 1, либо имеющие в этой точке полюс первого порядка. Этот результат позволил воспользоваться известным фактом в теории степенных рядов с конечнозначными коэффициентами — теоремой Сёге [6] о том, что коэффициенты степенных рядов с конечнозначными коэффициентами тогда и только тогда являются периодичными, начиная с некоторого номера, когда степенной ряд имеет на границе сходимости хотя бы одну точку регулярности.
В работах [17], [18], [16] рассматривались ряды Дирихле, для которых соответствующие степенные ряды не являлись регулярными и не имели полюса конечного порядка в точке z = 1. Задача аналитического продолжения в этих случаях сводилась к задаче существования конечных радиальных производных степенных рядов в точке z = 1. В этих же работах подход изучения аналитических свойств рядов Дирихле, основанный на изучении граничного поведения соответствующих степенных рядов в точке z = 1, впервые получил название метода редукции к степенным рядам. Дальнейшее развитие метода редукции к степенным рядам было связано с расширением класса рядов Дирихле, где указанный подход приносил свои результаты. При этом приходилось использовать известные и получать новые результаты относительно граничного поведения степенных рядов. Нужно отметить, что и результаты относительно аналитических свойств рядов Дирихле позволяли получать новые факты относительно граничных свойств степенных рядов. Так, в работе [26] было получено усиление известной теоремы Адамара об особенностях композита двух степенных рядов с известными изолированными особенностями на границе сходимости (см., например, [44]), что позволило в отдельных случаях (см. [42]) решить известную гипотезу Ю. В. Линника о целостности скалярного произведения L-функций числовых полей. По этому поводу см., например, [46].
Обратно, в работе [21] была доказана аналитическая непродолжимость за границу сходимости степенных рядов, отвечающих L-функциям Дирихле числовых полей в случае их отличия от поля рациональных чисел.
Укажем ещё два результата в направлении первой поставленной задачи, полученных методом редукции к степенным рядам.
В работе [19] было показано, что в классе рядов Дирихле с конечнознач-ными коэффициентами ряды Дирихле с периодическими, начиная с некоторого номера, коэффициентами, определяющие целые функции, выделяются порядком их приближения в любой полосе: 0 7о 7 оо, \t\ Т полиномами Дирихле. А именно, в этой работе доказано следующее утверждение: ряд Дирихле определяет функцию, регулярную в полуплоскости а 0, для которой существует последовательность полиномов Дирихле Qn{x), приближающих f(s) в любой полосе 0 то а оо, \t\ Т , с показательной скоростью, т.е. существует такая величина р 1, не зависящая от Т, что для любой точки из этой полосы
Отметим, что результат теоремы 3 даёт аппроксимационную характеристику L-функций Дирихле с неглавными характерами Дирихле в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами.
В работе [27] было показано, что в классе рядов Дирихле, имеющих конечные абсциссы сходимости, ряды Дирихле, для которых соответствующие степенные ряды регулярны в точке z = 1, определяются как целые функции с определённым порядком роста модуля в левой полуплоскости комплексной плоскости. А именно, доказана имеющих конечные абсциссы сходимости, следующие условия эквивалентны: 1. соответствующий степенной ряд g{z) = У anzn n=l определяет функцию, регулярную в точке z = 1; 2. ряд Дирихле определяет целую функцию, модуль которой удовлетворяет следующему условию роста в левой полуплоскости комплексной плоскости где А — некоторая положительная константа.
В диссертационной работе метод редукции к степенным рядам получил свое дальнейшее развитие, что позволило изучить аналитические свойства отдельных классов рядов Дирихле.
Первая глава посвящена изучению определяющих свойств отдельных классов рядов Дирихле и их приложениям к некоторым задачам теории L-функций Дирихле и теории степенных рядов.
В первом разделе этой главы изучается задача определения таких аналитических свойств рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами, которые обеспечивали бы периодичность этих коэффициентов. Эта задача встала в связи с известной проблемой обобщённых характеров. Ещё в 1950 году [49], [48] Н. Г. Чудаков выдвинул гипотезу о том, что конечнозначная мультиплкативная функция натурального аргумента h(n), удовлетворяющая условиям:
Числовой характер h(n), удовлетворяющий условиям этой гипотезы, получил название обобщённого характера: главного в случае а/0и неглавного в противном случае. Проблема, связанная с решением или опровержением гипотезы Н. Г. Чудакова носит название проблемы обобщённых характеров.
В 1964 году [9] гипотеза Чудакова была доказана для главных обобщённых характеров В. В. Глазковым. В случае неглавных обобщённых характеров эта проблема остаётся открытой. В связи с этим в данном разделе изучаются аналитические свойства рядов
Об одном критерии рациональности степенных рядов с целыми коэффициентами
В работе [27] была получена аналитическая характеристика рядов Дирихле, для которых соответствующие степенные ряды регулярны в точке z = 1. В этом разделе мы опишем аналитические свойства таких рядов Дирихле, для которых степенные ряды имеют полюсы конечного порядка в точке z = 1.
Отметим, что в работе [38] были получены условия на свойства рядов Дирихле, отвечающих таким степенным рядам. Здесь будет доказан более общий результат методами, отличными от тех, которые применялись в работе [38].
Ниже будет указано приложение этого результата в теории степенных рядов с целыми коэффициентами. А именно, будет получен критерий рациональности степенного ряда с целыми коэффициентами, выраженный в терминах аналитических свойств соответствующего ряда Дирихле, а также указан простой способ построения степенных рядов с целыми коэффициентами, которые аналитически непродолжимы за границу сходимости.
Нужно отметить, что полученный критерий рациональности степенных рядов позволяет говорить об аналитической непродолжимости за границу сходимости для достаточного широкого класса рядов с целыми коэффициентами, в частности, для степенных рядов, коэффициенты которых определяются известными теоретико-числовыми функциями.
Аналитические свойства рядов Дирихле, отвечающих степенным рядам, имеющим полюсы конечного порядка в точке единица В этом разделе приведём доказательство следующего утверждения. Теорема 1.4. В классе рядов Дирихле an имеющих конечные абсциссы сходимости, следующие условия эквивалентны: 1. ряд Дирихле определяет функцию, мероморфную в комплексной плос кости с возможными простыми полюсами в точках s = 1, 2,..., & (в точке s = к полюс обязателен), модуль которой в левой полуплоско сти комплексной плоскости удовлетворяет следующему условию ро
Доказательство. Для определённости будем считать, что для абсциссы абсолютной сходимости ряда Дирихле j(s) = } — 2—f ns абсолютно сходится при любом s = a + it, где а По + 2. Следовательно (см. [41]), при а щ + 2 имеет место преобразование Меллина Г
Условия (1.28) и (1.30) доказывают ограниченность функции hp(s) на действительной полуоси а По + 2, и, кроме того, в силу произвольности , о 1 выполнено условие (1.25).
Покажем, что функция hp(s) ограничена в полуплоскости D\ : а По + 2. Действительно, в силу сходимости ряда anpn в этой полуплоскости
Покажем теперь ограниченность функции hp(s) в полуплоскости D2 : (г щ + 2. Выше было показано, что hp(s) ограничена вдоль отрицательной полуоси. Разбив полуплоскость D2 полуосью в отрицательном направлении на две части и применив к каждой из этих частей теорему Фрагмена-Линделёфа об оценке модуля функции в угловой области (см., например, [45]), получаем ограниченность hp(s) на рассматриваемых частях, а следовательно, и в полуплоскости D i. Таким образом, получаем, что hp(s) = const, а в силу условия (1.25) hp(s) =
Доказательство. При доказательстве этой леммы мы будем использовать обозначения и результаты, полученные в лемме 1.6. Рассмотрим функцию Ч/Js + щ + 1) = т q(e x)xno+lxs ldx, О о е"(А+1). О Как показано в лемме 1.6, интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится в полуплоскости о" 0. В силу следствия 1 леммы 1.6 имеем разложение в ряд в тех точках, где соответствующий ряд определён:
Об одном критерии рациональности степенных рядов с целыми коэффициентами В этом разделе остановимся на одном из приложений теоремы 1.4 в теории степенных рядов с целыми коэффициентами, а именно, получим критерий рациональности таких рядов, выраженный в терминах аналитических свойств соответствующих рядов Дирихле.
Нужно отметить, что вопросами рациональности степенных рядов с целыми коэффициентами занимались многие авторы, например, Борель, Фату, Полиа, Карлсон, Евграфов и другие. Более подробную информацию об их вкладе можно найти в [6]. Приведём здесь один из результатов Карлсона [2]. Теорема (Карлсона). Степенной ряд g(z) = У anzn
с целыми коэффициентами, схоящийся в единичном круге, тогда и только тогда определяет рациональную функцию, когда этот ряд либо регулярен в точке z = 0, либо имеет в этой точке полюс конечного порядка. В противном случае он аналитически непродолжим за границу единичного круга.
В работе [27] были описаны аналитические свойства рядов Дирихле, для которых соответствующие степенные ряды регулярны в точке Z = 1.
Этот результат, совместно с теоремой 1.4 и теоремой Карлсона позволяет сформулировать следующее утверждение.
Теорема 1.5. Степенной ряд g(z) = У CLnzn, \0"п\ Спп с целыми коэффициентами тогда и только тогда определяет рациональную функцию, когда соответствующий ряд Дирихле j{s) = У —і s = а + it п=\ определяет мероморфную функцию с возможным конечным числом простых полюсов в натуральных точках, модуль которой в левой полуплоскости комплексной плоскости удовлетворяет следующему условию роста:
В противном случае степенной ряд аналитически непродолжим за границу единичного круга. Отметим, что этот критерий рациональности позволяет в ряде случаев сразу получить ответ о том, определяет ли степенной ряд рациональную функцию, или этот ряд аналитически непродолжим за границу круга сходимости. В качестве примера рассмотрим степенные ряды вида gi(z) = У Lp(n)zn, где (p(n) — функция Эйлера,
В [44] даны выражения соответствующих рядов Дирихле через дзета-функцию Римана, из которых в силу теоремы 1.5 сразу следует аналитическая непродолжимость рассматриваемых степенных рядов за границу единичного круга. Об одном классе степенных рядов, которые определяют функции, не являющиеся мероморфными в единичном круге
В этом разделе как приложение теоремы 1.4 будет указана простая конструкция степенных рядов, которые не являются мероморфными в замкнутом единичном круге, в частности, построение степенных рядов с целыми коэффициентами, непродолжимых за границу единичного круга. А именно, докажем следующее утверждение.
Аналитические свойства рядов Дирихле, отражающие их поведение в критической полосе
Вторая глава диссертационной работы посвящена выяснению аналитических свойств рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе. Нужно сказать, что этой задачей занимались многие авторы. Ещё в 1936 году Г. Дэвенпорт и Х. Хейльбронн в работе [3] привели пример ряда Дирихле с периодическими коэффициентами, который удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа некоторая константа; 5 — величина, равная либо 0, либо 1; к — период коэффициентов; f(s) — функция, заданная рядом Дирихле с коэффициентами, сопряжёнными к коэффициентам ряда Дирихле, определяющего функцию f(s). При этом не все нули этого ряда лежат на критической прямой. Тем не менее, как показано в [8], для числа No(T) нулей, лежащих на критической прямой при \t\ Т имеет место оценка
В связи с этим примером встают следующие вопросы: во-первых, насколько широк класс рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа (2.1)? Во-вторых, какова плотность расположения нулей в критической полосе и на критической прямой рядов Дирихле с периодическими коэффициентами?
Далее, известно [8], что L-функция Дирихле обладает свойством универ сальности в том смысле, что её сдвигами приближается всякая функция, аналитическая и отличная от нуля в круге радиуса r 14, лежащем в критической полосе. Опять встаёт вопрос относительно свойства универсальности для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, точнее, в какой форме свойство универсальности будет иметь место.
Встаёт вопрос и о порядке роста модуля ряда Дирихле с периодическими коэффициентами вдоль мнимой оси.
Что касается первого вопроса, то в начале данной главы диссертационной работы получены условия на коэффициенты, при выполнении которых ряд Дирихле с периодическими коэффициентами удовлетворяет функциональному уравнению вида (2.1).
Ответ на другие вопросы связан с изучением аналитических свойств рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе. С этой целью в работе предлагается новый подход, основанный на быстром приближении таких рядов полиномами Дирихле. При этом изучаются те свойства последовательности аппроксимирующих полиномов, которые можно перенести на ряды Дирихле. Например, хорошо известно, что полиномы Дирихле являются почти-периодическими функциями конечного класса. Известна (например, [29]) информация о распределении нулей почти-периодических функций. Эту информацию удалось использовать в данной главе для получения плотностных теорем относительно нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе. Отметим, что этот подход позволил в какой-то степени ответить и на другие приведённые выше вопросы.
Нужно сказать, что о возможном привлечении аппарата почти-периодических функций, связанных с задачами изучения тех или иных свойств рядов Дирихле, говорили многие авторы. Так, В. Е. Титчмарш [45] высказывал надежду о привлечении почти-периодических функций для решения задачи о разложении функций в ряды Дирихле.
Аппроксимационный подход, предложенный в данной главе, позволил использовать аппарат почти-периодических функций для решения конкретных задач, связанных с поведением рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. 2.1. О рядах Дирихле с периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа
В данном разделе исследуется вопрос о том, насколько широк класс рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, определяющих целые функции, удовлетворяющие функциональному уравнению римановского типа (2.1). Сделаем некоторые замечания относительно свойств коэффициентов таких рядов. Во-первых, сумматорная функция таких рядов должна быть ограничена (см. лемму 1.8). Во-вторых, известно [47], что при выводе функционального уравнения для L-функций Дирихле L(S, х) с первообразным характером х основным моментом в случае чётного характера является тот факт, что функция вида
Замечание 1. Известно [47], что условие (2.5) имеет место в случае ап = х(п), где х(п) первообразный характер Дирихле по модулю d. Ясно, что тогда условие (2.5) будет иметь место, когда ап = ax1{n) + f3x2{n), где а, (3 — действительные числа, а x1- Х2 чётные первообразные характеры по модулю d. Следовательно, существует достаточно много рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, которые определяют целые функции, удовлетворяющие функциональному уравнению римановского типа.
Аппроксимационный подход в задаче исследования аналитических свойств рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе заключается в том, чтобы аналитические свойства последовательности полиномов Дирихле (2.9) перенести на ряды Дирихле. Быстрая сходимость (см. (2.10)) полиномов Дирихле позволяет это сделать при решении отдельных задач.
При реализации аппроксимационного подхода, как мы увидим ниже, наряду с теоретическими исследованиями применяются и результаты численных экспериментов. В работе [14] была разработана численная схема построения полиномов Дирихле. приближающих ряды Дирихле в критической полосе с показательной скоростью. то она имеет полюсы в корнях из единицы и регулярна в точке z = 1. Предположим, что эта функция регулярна в точке z = —1, что соответствует нечётному периоду d. Тогда эта функция будет регулярной в некоторой области, ограниченной эллипсом, фокусы которого находятся в точках ±1. Пусть р — сумма полуосей этого эллипса
Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана
Во второй главе была описана численна схема построения полиномов Дирихле Qn(s). приближающих ряды Дирихле с периодическими коэффициентами с показательной скоростью в критической полосе Было показано, что при малых периодах при п [2Т] + 1 нули аппроксимирующих полиномов, лежащих в прямоугольнике 0 а 1, 0 Т, совпадают с нулями ряда Дирихле. При больших периодах это свойство будет иметь место при п АТ, где константа А каждый раз вычисляется.
Там же было показано, что полиномы Дирихле Qn(s) являются почти-периодическими функциями класса А = 4р, и для нулей такого полинома N(T), с учётом кратности лежащих в полосе 0 t Т, имеет место асимптотическая формула N(T) = —Т1пТ + шТ , (3.35)
2-7Г
где uj(t) — некоторая ограниченная функция, своя для каждого полинома Qn(s). Как показали результаты численного эксперимента, величина w(T) ведёт себя по-разному для отдельных классов полиномов Дирихле. Её порядок может достигать и величины Tin Т.
Нужно сказать, что в случае L-функций Дирихле применима та же самая вычислительная схема построения аппроксимационных полиномов, что и в случае рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. Но результаты аппроксимационного подхода в этом случае несколько отличаются от результатов, имеющих место для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами.
Во-первых, в случае полиномов Дирихле Qn(s), аппроксимирующих L-функции Дирихле, в оценке (3.35) величина ш(Т) для нулей, лежащих в прямоугольнике 0 о", 0 t t, имеет следующий порядок роста модуля: Действительно, известно (см., например, [41]), что в случае L-функций Дирихле для числа нулей N(T), лежащих в прямоугольнике 0 а 1, 0 Т (с учётом их кратности), имеет место оценка вида где константа Л зависит только от модуля характера Дирихле.
Как было показано в теореме 2.4, нули L-функции Дирихле, лежащие в данном прямоугольнике, с учётом кратности совпадают с нулями аппроксимирующих полиномов Qn(s), п Т. Отсюда в силу оценок (3.35) и (3.37) имеет место оценка (3.36).
Отметим, что серия численных экспериментов, связанных с различными характерами Дирихле, говорит в пользу расширенной гипотезы Римана.
Ещё раз стоит отметить, что соверешенно другая картина расположения нулей наблюдается в случае рядов Дирихле, которые являются линейной комбинацией L-функций Дирихле. Так, в работе [14] было показано, что в случае, когда коэффициенты ряда Дирихле аn определяются следующим образом:
Дирихле в основной массе не лежат в окрестности критической прямой. Этот и другие примеры говорят не в пользу предположения С. М. Воронина [8], о том, что для нулей рядов Дирихле, являющихся линейной комбинацией L-функций Дирихле, для нулей ЛГ0(Т), лежащих на критической прямой, имеет место оценка вида
Щ(Т) ОТ In Т. Укажем здесь ещё одну положительную сторону аппроксимационного подхода и его численной реализации. Например, известная гипотеза Линделёфа о росте модуля L-функции Дирихле на прямой а = о допускает переформулировку в терминах аппрокси-мирующих полиномов. А именно, имеет место следующее утверждение.
Пусть для последовательности полиномов Дирихле Qm(s), аппроксимирующих в критической полосе L-функцию Дирихле, выполнены оценки вида С не зависит от п. Тогда для L-функции Дирихле имеет место гипотеза Линделёфа. В связи с этим представляет интерес провести серию численных экспериментов, связанных с вычислением величины max Ц/г + it Отдельные вычисления, которые мы здесь не приводим, дают оценки вида max Ц/г + it С Inn, где константа не зависит от п. Это даёт повод высказать предположение, что для L-функций Дирихле имеет место оценка вида
Далее, в работе [8] было доказано свойство универсальности L-функций Дирихле, заключающееся в том, что любую функцию, регулярную и отличающуюся от нуля на границе круга размера г , можно с любой степенью точности приблизить сдвигами значений L-функции вдоль мнимой оси.
Это свойство допускает переформулировку в терминах аппроксимирующих полиномов Qn(s): для любого є 0 существует такое щ, что для п щ существует Т , для которого выполняется неравенство Представляет интерес доказать это свойство аппроксимирующих полиномов, не опираясь на свойство универсальности соответствующей L-функции Дирихле. Заключение
Здесь обсудим те вопросы, которые в той или иной форме вставали при выполнении диссертационной работы и остались открытыми.
Во-первых, в теореме 1.2 было показно, что, если h(n) — конечнозначная мультипликативная функция, сумматорная функция которой ограничена, то ряд Дирихле определяет функцию, ограниченную в любой полосе: 0 7 оо, 0 t Т. Следует ли отсюда, что все точки оси а = 0 являются регулярными для f(s)? Отметим, что аналогичный результат имеет место для степенных рядов. Известная теорема Даффина и Шеффера [6] утверждает, что, если степенной ряд с конечнозначными коэффициентами определяет функцию. ограниченную в каком-либо секторе единичного круга, то все точки единичной окружности, соответствующие такому сектору, буду регулярными для этой функции.
Во-вторых, как следствие теоремы 1.2 было получено следующее утверждение: Главный обобщенный характер тогда и только тогда является главным характером Дирихле, когда соответствующий ряд Дирихле определяет функцию, аналитическую в полуплоскости а 0 за исключением точки z = 1, в которой она имеет полюс первого порядка, и на оси а = 0 не имеет точек «типа полюса». Желательно получить аналогичное утверждение в случае неглавных обобщенных характеров.
Далее, в работе были использованы далеко не все возможности аппрок-симационного подхода применительно к рядам Дирихле. По мнению авто 100 ра этот подход можно использовать в связи с ответом на предположение Е. К. Титчмарша о привлечении аппарата почти-периодических функций в задаче о разложении функции в ряды Дирихле [45].
Как уже отмечалось во второй главе, неверным является предположение С. М. Воронина [8] о том, что для числа нулей No(T) ряда Дирихле, который является линейной комбинацией L-функций Дирихле с характерами Дирихле одного и того же модуля, лежащих на критической прямой, ординаты которых не превосходят Т, имеет место оценка
Аппроксимационный подход пока не дал нужных результатов в задаче об универсальности рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. Результаты численного эксперимента показали, что в задаче о росте модуля ряда Дирихле с периодическими коэффициентами необходим новый подход, не связанный с плотностью нулей в полуплоскости (7 2.
Много вопросов осталось открытыми и в связи с изучением аналитических свойств L-функций Дирихле: нет окончательного решения о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана.
В работе не рассматривались задачи, связанные с изучением аналитических свойств эйлеровых произведений в случае конечнозначных характеров группы идеалов числовых полей.
Каждая из перечисленных выше задач представляет самостоятельную тему исследований.Эти задачи указывают на то, что исследования данной диссертационной работы допускают различные варианты их продолжения, т.е. результаты, полученные в диссертации, имеют важное значение для дальнейшего развития аналитической теории чисел.
