Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Количественная возвращаемость 12
1.1 Понятие возвращаемости в эргодической теории 12
1.2 Доказательство теоремы 1.3 15
1.3 Некоторые следствия из теоремы 1.3 18
1.4 N - возвращаемость 19
1.5 Повторяемость неполных частных у цепных дробей. Форму лировка основного результата 21
1.6 Вспомогательные утверждения 23
1.7 О пространстве последовательностей 25
1.8 Доказательство теоремы 1.8 27
Глава 2. Критерии нормальности траектории точки в динамиче ской системе 31
2.1 Критерии нормальности Постникова и Пятецкого-Шапиро. 31
2.2 Общая постановка задачи 33
2.3 Случай конечного начального разбиения 37
2.4 Теорема Пятецкого для марковских цепей 39
2.5 Теорема Пятецкого для динамических системах с ip~ перемешиванием, /-растяжения 40
2.6 Примеры со счетным разбиением. Цепные дроби 42
2.7 Примеры со счетным разбиением. Обобщенный сдвиг Бернулли. 48
Глава 3. Аддитивные задачи с показательной функцией 51
3.1 Постановка задач и формулировка результатов 51
3.2 Доказательство теорем 54
Список литературы
- Доказательство теоремы
- Повторяемость неполных частных у цепных дробей. Форму лировка основного результата
- Общая постановка задачи
- Доказательство теорем
Введение к работе
0.1 Актуальность темы.
Диссертация подготовлена на кафедре теории чисел Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к эргоди-ческой теории чисел.
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена изучению феномена возвращаемости и нормальности почти всех точек произвольной динамической системы. Кроме того, в диссертации рассматривается задача о представлении почти всех чисел в виде суммы двух элементов некоторых множеств.
Постановки задач, связанных с этими объектами, восходят к А. Пуанкаре, Г. Вейлю,Э. Борелю и другим математикам. Ими занимались такие выдающиеся математики, как А. Я. Хиичин, П. Эрдеш, И. И. Пятецкий-Шапиро, А. Г. Постников, С. В. Конягин, А. Шаркози, X.Фестеиберг, М.Кац, В.Шмидт, Г.А.Фрейман, А.Реньи.
Исследованию феноменов возвращаемости и нормальности посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также их приложениям уделено внимание в монографиях А.Г.Постникова [30], X. Фестенберга [16], Л.Кейперса и Г. Ниддерейтера [20], М.Дрмоты и Р. Тихого [21], А. Я. Хинчина [35], С. В. Конягина и И, Шпарлинского [44] и других.
Понятие возвращаемости точки в динамической системе впервые появилось в работе А.Пуанкаре [9]. Там же был доказан ставший классическим результат о возвращаемости почти всех точек произвольной динамической системы. Впоследствии эта теорема была несколько уточнена М. Кацем [34]. X. Фестенберг [16] обобщил результат Пуанкаре на случай действия в фазовом пространстве группы коммутирующих операторов.
Тем не менее, в перечисленных работах не рассматривался вопрос о количественных аспектах возвращаемости. Только в 1993 году М. Д. Бошерницан [10] и независимо от него Н. Г. Мощевитин [11] в 1997 году получили количественные результаты о скорости возвращения. В настоящей диссертации теоремы М. Д. Бошерницана и Н. Г. Мощевитин а уточняются и обобщаются.
Также в диссертации исследуется одно из классических понятий теории чисел : нормальность орбиты точки или, другими словами, ее равномерная
распределенность. Теория равномерной распределенности последовательностей действительных чисел берет начало в работе Г. Вейля [22]. Вопрос о критерии равномерной распределенности орбиты конкретной точки в динамической системе, связанной с разложением чисел по фиксированному основанию, был впервые поставлен и решен И. И. Пятецким-Шапиро в [29]. Для произвольной динамической системы подобный критерий был найден А. Г. Постниковым [30]. В нашей работе мы доказываем теорему, обобщающую указанные критерии. Кроме того, мы получаем точные результаты о нормальности орбиты точки в динамических системах, связанных с конечными цепями Маркова, /-расширениями, цепными дробями и обобщенным сдвигом Вернулли.
Вопрос о представлении произвольного числа в виде суммы элементов из некоторого множества является, возможно, одним из самых старых и популярных в теории чисел. Например, знаменитая теорема И.М.Виноградова [17] о представлении всех достаточно больших нечетных чисел в виде суммы трех простых как раз относится к этой проблематике. Мы доказываем ряд теорем о представлении почти всех чисел мультипликативной группы вычетов Г в виде суммы двух элементов некоторого подмножества Г.
Научная новизна. Доказанные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:
Найдена неулучшаемая верхняя оценка среднего значения функции возвращаемости, а также функции iV-возвращаемости точки в динамической системе. Найдено точное значение константы возвращаемости для топологического случая. Доказана теорема о повторяемости неполных частных у цепных дробей и найдена точная по порядку оценка длины повторяющегося отрезка неполных частных.
Получены неулучшаемые аналоги критерия нормальности Пятецкого-Шапиро для конечных цепей Маркова, /-растяжений, цепных дробей, обобщенного сдвига Бернулли. Доказана теорема обобщающая классические критерии нормальности Постникова и Пятецкого-Шапиро.
Решена задача о представимости почти всех чисел мультипликативной групы вычетов Г в виде суммы элементов произвольной подгруппы, задача о представлении почти всех элементов Г в виде суммы и разности степеней первообразного корня, а также задача о представимости почти всех чисел Г в виде произведения двух элементов множества с пропущенными цифрами.
Методы исследования. В работе используются методы теории динамических систем, теории вероятностей, теории равномерно распределенных последовательностей, теории цепных дробей, теории размерности Хаусдор-
фа, а также результаты о тригонометрических суммах.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в эргодической теории, метрической теории чисел, теории равномерно распределенных последовательностей, теории цепных дробей, аддитивной теории чисел.
Апробация работы. Результаты настоящей диссертации неоднократно докладывались автором на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ:
1. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством
Ю. В. Нестеренко, Н. Г. Мощевитина, А. Б. Шидловского,
2. "Арифметика и геометрия" под руководством Н. Г. Мощевитина,
A, М. Райгородского,
3. "Гамильтоновы системы и статистическая механика" под руководством
B. В. Козлова, Д. В. Трещева,
"Динамические системы и эргодическая теория" под руководством Д.В.Аносова, А. М.Степина, Р. И. Григорчука
"Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством Н. Г. Мощевитина, А. В. Устинова,
6. "Теория функций и ее приложения" под руководством С. В. Конягина,
а также на международных конференциях
"Modern Theory of Dynamical Systems and Applications to Theoretical Celestial Mechanics" (Москва, 23-28. XI. 2002),
"Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 19-24. X. 2003),
"XXHI-rd Joumee Arithmetiques" (Graz, Austria, 6-12. VII. 2003),
"Diophantine analysis, uniform distribution and their applications" (Минск, 24-30. VIIL 2003).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[8].
Структура и объем работы. Диссертация изложена на G8 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 58 наименований.
0.2 Содержание работы.
Содержание работы. Пусть X пространство с сигма-алгеброй измеримых множеств Ф и мерой /і, а Т измеримое эргодическое отображение пространства X в себя.
Определение 0.1. Отображение Т : X —* X называется сохраняющим меру, если для любого /z-измеримого множества Е выполнено fi(T~lE) =
№).
Пусть отображение Т сохраняет меру ц. Основным объектом наших исследований будет четверка (Х,Ф,ц,Т), которая называется динамической системой.
Рассмотрим точку Xq из X.
Определение 0.2. Орбитой или траекторией точки xq Є X называется множество Хо, Txq, T2Xq, ....
1. Пусть X — метрическое пространство с метрикой d(', ). Говорят, что точка Xq X возвращается, если для любого є > 0 и для всякого натурального К существует такое натуральное t, t > К, что й{Тьх$,хо) < є. Другими словами, точка xq возращается, если ее орбита попадает в произвольную ОКреСТНОСТЬ Xq беСКОНЄЧНОЄ ЧИСЛО рЭЗ.
В первой главе диссертации доказываются результаты о скорости возвращения точки х в свою е-окрестность.
Для формулировки соответствующих теорем вводится понятие Хаусдор-фовой меры.
Определение 0.3. Пусть Е некоторое подмножество X. Пусть h(t) неотрицательная (h(0) — 0) непрерывная возрастающая функция действительного аргумента. Хусдорфовой мерой Н^Е) множества Е называется величина
ЯА(Я) = ПтЯ*(Я),
О—>\)
/#(Я) = inf {$>&)}, (0-1)
причем инфинум в формуле (0.1) берется по не более чем счетным покрытиям Е открытыми множествами {Bj}, спат(Д) = 5j < 6.
Нам понадобится следующее определение
Определение 0.4. Меры \i и Нь, согласованы, если любое //-измеримое множество является Лд-измеримым.
Рассмотрим функцию
С(х) = liminffn hid^x.x))} .
л—изо
Величина С(х) называется константой возвращения точки х. Сформулируем основной результат первой главы.
Теорема 0.1. Пусть X — метрическое пространство, имеющее Hh{X) — С < со , а Т — отображение X в себя, сохраняющее меру (і. Будем считать, что р и Hh согласованы.
Тогда С{х) интегрируемая (по мере ц) функция и для любого рь измеримого Л выполнено
f C(x)dpi < Hh(A). Ja
Если же Hh(A) = 0, то fA C(x)dpi — 0 без условия согласованности мер pi и Hh.
Эта теорема уточняет результаты работ [10] и [11].
Кроме того, в первой главе диссертации, применяя теорему М. Бошерни-цана о количественной возвращаемости почти всех точек, к динамической системе, связанной с преобразованием Гаусса, мы доказываем теорему о повторяемости неполных частных почти всех цепных дробей.
2, Пусть теперь X произвольное (не обязательно метрическое) пространство с сигма-алгеброй измеримых множеств Ф и конечной мерой pi. Пусть снова Т — измеримое, сохраняющее меру fi отображение X в себя.
Определение 0.5. Измеримое множество Е Q X называется Т-инвариантным, если Т~~ Е = Е.
Определение 0.6. Измеримое отображение Т пространства X в себя, сохраняющее меру pi называется эргодинеским, если для любого Т-инвариантного множества Е либо ц(Е) = О, либо ц(Х \ Е) = 0.
Предположим, что Т эргодичио. Для произвольной измеримой функции f(x) рассмотрим сумму
1-і
го=0
Пусть xi ~ характеристическая функция измеримого множества /, Точка xq Є X называется нормальной, если для произвольного измеримого множества / выполнено условие
lim S»{x = /,(/). (0.2)
Хорошо известно, что почти всякая точка динамической системы (X, Ф, Т, р) является нормальной.
Во второй главе диссертации изучается вопрос о необходимых условиях для того, чтобы для точки xq было выполнено условие (0.2).
Определим понятие множества анормальных точек.
Определение 0.7. Пусть 5 > 0 любое действительное число и I произвольное натуральное. Пусть также / некоторая интегрируемая функция. Рассмотрим множество
Al(TJ,S)^Al(f,S) = {xeX : \Sl{T^J) - J fdy\> 5}.
Множество A((T, /,5) называется множеством анормальных точек динамической системы (X, Ф, /і, Т), относительно функции /.
Затем дается определение Хаусдорфовой меры, относительно некоторого семейства множеств {Сп}.
Определение 0.8. Пусть {Сп} не более чем счетное семейство измеримых подмножеств X, & (p(t) — монотонно возрастающая положительнознач-ная функция аргумента t R+. Определим меру Hv(-) для множества Е относительно этого семейства, как nrfQ^
Обозначим через Г семейство /х — измеримых множеств {V}, которые с любой точностью аппроксимируются множествами семейства {Сп}. Иными словами для произвольного V из Г и любого є > 0 существуют наборы непересекающихся множеств {М{\ и {N{} из семейства {Сп}, так что, UMiQVC\jNiH EmW) - є < fi{V) < /z(Mt) + є.
Сформулируем наш основной результат второй главы.
Теорема 0.2. Пусть точка Xq Є X. Если для произвольного множества I из семейства {Сп} выполнено
\imsupSl/{xo,Xl) <<р(/л(1))
и—»оо V
и для любого 6 > 0 выполнено Hp(Ai(xi, 5)) —> О, при I —> со, то для произвольного мпооїсества I из Г имет место асимптотическое равенство
Um W^Xi) = №. (0.3)
v—»00 V
Также в главе 2 рассматриваются приложения теоремы 0.2 к конкретным динамическим системам.
3. Для простого числа р обозначим через Ър кольцо вычетов по модулю р, а через Z* - группу обратимых элементов Ър. Пусть А некоторое подмножество Z* Поставим вопрос о представлении произвольного элемента п группы Z* в виде суммы нескольких элементов А.
Пусть А некоторая подгруппа Z* Тогда (см. [44]) справедлива следующая теорема
Теорема 0.3. Пусть А — подгруппа Tip. Если для некоторого натурального I > 2 выполнено \А\ > pxl7+li21, то для произвольного Ъ Є Z* существуют Хі,..., ос і R, что
Ъ = х\-\----+Х1 (modр). (0.4)
В главе 3 мы докажем теорему 0.4, аналогичную теореме 0.3.
Теорема 0.4. Для любого натурального I > 2, любого є > 0 существует Сє > 0, что для любой подгруппы А С Z* мощности \А\ > Сєр1^21~1\ количество iZ*
х = Х\ Ч— + xi (mod р), яті,..., Ж( Є І2 (0.5)
больше, чем (1 — )р.
Таким образом, теорема 0.4 представляет собой результат о представлении почти всех чисел Z* в виде суммы элементов подгруппы А.
Пусть g некоторый первообразный корень группы Z*. Пусть N натуральное число, N < р. Случай, когда А является множеством вида
A:={gn (modp) : l
был разобран в [45], [4G].
В главе 3 мы докажем несколько результатов о представлении почти всех чисел Z* в виде суммы и разности элементов А.
В работах [47, 48, 49, 52] исследовались свойства чисел с ограничениями на цифры. Пусть s > к > 2 - натуральные числа, D = {d0,di,... , d*} С
No = N U {0} , 0 = do < di < d,2 < < dfc < s - некоторое фиксированное множество цифр в системе счисления по основанию s. Рассмотрим множества чисел с пропущенными цифрами
K? = {xN : х = X^V> $з Щ,
3=0
K?(N) = {хЄК? : х < N}, K*(N) = K*atD(N) = {xKf : x ^0 (mod p), x < Щ. В [52] был доказан результат о числе сравнений.
Теорема 0.5. Пусть р — простое число, s > 3, (р, s) = 1, I > 2 и (Л,р) = 1. Для любого положительного є найдется натуральное Тч — r2(s,e) такое, что при N > рТ2 для числа ТД (N) решений сравнения а\... щ = A (mod р), а\,..., щ Є K^(N), имеет место формула
В третьей главе настоящей диссертации мы рассмотрим вопрос о о представлении почти всех чисел из Z* в виде произведения двух элементов K^(N) и докажем следующий результат.
Теорема 0.6. Для любого є > 0 существет такое натуральное r$ = ro(s,e) и такая константа Сє, что для всех простых р, {p,s) — 1, р> s и любого N > рГ количество вычетов А Z* не представимых в виде
А = аха2 (mod р), аиа2 Є K?{N), (0.6)
меньше, чем Сєр.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Н. Г. Мощевитину за постановку задач и постоянное внимание к работе.
Доказательство теоремы
Теорема 1.4. Пусть X — метрическое пространство и Т отображение X в себя, сохраняющее Борелевскую меру р. Тогда для почти всех точек х Є X выполнено R{x) dim jjfi.
Определение 1.2. Пусть X — метрическое пространство и Т отображение X в себя, сохраняющее Борелевскую меру pt. Энтропией конечного или счетного разбиения Z пространства X называется величина
Для каждого п N определим новое разбиение Zn = Vfclo T kZ (об этих разбиениях будет сказано подробно в главе 2). Пусть х Є X и п Є N. Обозначим через Zn(x) Є Zn элемент разбиения Zn, содержащий х. Заметим, что для почти всех х Є X элемент 2п(х) определен однозначно.
Атомом меры ц на X называется такая точка а X, что рь{{а}) 0. Мера р, называется не содержащей атомов, если на X нет атомов.
Справедлива следующая теорема [26].
Теорема 1.5. Пусть X С Rd? d Є N и Т отображение X в себя, сохраняющее эргодическую меру р, не содержащую атомов. Пусть также Z есть не более чем счетное разбиение X с конечной энтропией. Предположим, что 1) существует к 0 так что для всех п,т Є N и для всех х Є X выполнено v(Zn+m{x)) w{Zn{x))ii{Zm{Tmx)); (1.2) 2) существует А 0 так что для всех достаточно больших п Є N справедливо неравенство sup diamZ e An ; (1.3) zezn 3) для почти всех х Є X существует 7 0, так что для всех доста точно больших п имеем В(х,е ",п) С Zn(x). Тогда для почти всех х X выполнено R(x) — R(x) = dnritfA . 1.2 Доказательство теоремы 1.3. Для начала докажем, что С(х) измеримая функция. Докажем, что для любого а, множество W = {х Є X С(х) а} — является /І - измеримым. Действительно, для любого и 0, множества W(u) = {х X in 1, такого, что d{Tnx,x) и выполнено п /i(d(T"x,a;)) а + и} — -измеримы и То есть С(х) — измеримая функция. Следующая лемма общеизвестна (см., например, [10]). Лемма 1.1. Если Y — -измеримое множество, t 1, Y{t) :— {х Є У Тгх . Y для всех натуральных г, 1 г і}. Тогда v(Y(t)) \/t. Лемма 1.2. Для любого измеримого V с H V) c[i(V) существует множество F CV, iiF 0 , что для любого х Є F выполнено С(х) с.
Доказательство леммы 1.2. Возьмем любое є 0. Пусть H (V) ф 0. Положим к — Hh(V)fniy) 1 и выберем параметр р так, что 1 р и р3 1/к. Возьмем покрытие V множествами {Ui} с diam(C/j) = ГІ є, так что 5ІІ ОМГЇ) і ГДе d = Hh(V)p. Можно считать U{ не обязательно открытыми, но не пересекающимися. Введем множество индексов : J = {і I dprn h{n)fi{V)}, (1.4) где щ = fi(Ui). Тогда (1.5) Для і J введем, как в лемме 1, множества t/j(tj) с д(/$( )) l/tf, где і, — c/ph(ri), то есть Рассмотрим множества: од = U и U U и&) и ОД= к \ ОД ІЄ.7 j J Тогда =/i(io-5T«i{i-A) Таким образом используя (1.5) получаем fi(F(e)) (і - A)I КУШ - А)(і - і). (1-е) Отсюда для любого х (г), х &Щ существует натуральное к, 1 к ti, что Т х Щ и сГ(ТАх,х) п. Следовательно, ft(d(7 a:,ar)) M»-0 = - . Теперь берем последовательность {ЄІ},ЄЇ — 0 и множество F = f] \jF(si) = {х Є X І х Є Fid) для бесконечного числа Ffe)} k lі к (1.7) Тогда fi(F) fi(V)(l - A)(l — ) 0, и для любого ібґ lim inf {n hid x, x))} c/p с (1.8)
Если же Hh(V) = 0, то к = 0. В этом случае возьмем произвольное 0 с 1, параметр р 1 и покрытие V множествами {/,-} с diam(i7j) = г І є, так что 5Zj- o Мг« ) гДе = CV( )/P2- Вводим, по формуле (1.4) множество индексов J, тогда Е". 5 "М(і-і) Для і . J введем множества f;(j) с p.{Ui(U)) l/j, где — с/р/г(г»), то есть КЩіі)) — — -Тул = "« и«-16 И, действуя, аналогично случаю Hh(V) ф 0, получаем вместо (1.G) / (F( 0) (1 - ) ,i(V)(l - )(1 - ї). Откуда для любого х Є ( ), х Є Ui существует натуральное к, l k U, что Ткх ЄІІІК d(Tkx, х) rt. То есть h{d(Tkx,x)) h(n) = 4- 4 pti pfc Следовательно, для Vx Є F (F определено, опять же, по формуле (1.7), /JF 0) имеет место (1.8). Лемма 1.2 доказана.
Доказательство теоремы 1.3. Возьмем произвольное измеримое множество А. Будем считать, что fi{A) 0. Возьмем любое натуральное тг и введем множества уровней для С(х) : М Є Л 1 ОД }, j = 1...2n.n, ЛГ(п) = рА, Б(п) = {х&А п С(гс)}. Тогда / 2лге с(х)ф 53м . В случае согласованности /і и Я/, из леммы 1.2 следует, что Hh{Aj) %г{г(АЛ, значит, E )+E N )+ (1-9) j=i 3=1 Опять же из леммы 1.2 получаем .ви г ш . Если же Hh{A) = 0, то ft(Aj) = 0 V? 1, ЕЙ Mj и / W = Рассмотрим измеримые неотрицательные функции /„ : fn(x) — С(х) на М(п) и fn(x) = 0 на В(гг). Так как рьВ(п) — 0 при п — со, то /„ — / почти всюду и из неравенства (1.9) получаем, что jA fndfi Hh(A) + —. То гда по теореме Фату вытекает утверждение теоремы. Если же мера А равна нулю, то доказывать нечего {С(х) интегрируема так как fJ,(X) = 1 0). Теорема доказана. D 1.3 Некоторые следствия из теоремы 1.3 Замечание 1.1. Так как интегрируемая функция почти всюду ограничена, то в случае согласованности мер /І и На из теоремы 1.3 вытекает теорема 1.1. Замечание 1.2. Из теоремы 1.3 следует теорема 1.2. Следствие 1. Для множества Е с Hh(E) = 0, либо fi{E) = 0, либо С(х) = 0 [і-почти всюду на Е. В частности, если для почти всех точек х Є X выполнено С(х) О, то мера ц абсолютно непрерывна относительно меры Н . Следствие 2. Пусть 0 С = Hh{X) со. (а) Если С(х) — С почти всюду (//); то для любого (і- измеримого Е (х{Е) = Hh(E)/C и \і-оргодична. (б) Если существует множество А положительной меры, что fi(A) ф Hh(A)/ С, то заменяя, если необходимо А на X \ А, получаем Hh(A) Cfi,(A). Следовательно, в А существует множество положительной ме ры на котором С(х) С, то есть в этом множестве константа возвра щения меньше.
Докажем (а). Пусть существует разбиение X на Т-инвариантные множества положительной меры Лі и Л2, {Aj) 0,1, j = 1,2. Если бы Нь{А\) или Я/і(Лг) была равна 0, то по теореме 2.1 С{х) = 0 на множестве положительной меры. Таким образом, 0 Н (А{) С и опять из теоремы, для меры рь\{Е) := р,(ЕП Ai)/ц(А\) имеем С(х) С на множестве положительной меры в Лі. Но тогда С(х) С на множестве положительной меры в А\ и для меры \1.
Из этого рассуждения видно, что для не эргодических преобразований существует множество точек положительной меры на котором С(х) С/п, где п — число эргодических компонент (об эргодических компонентах динамических систем см. [14]). Следствие 3. Пусть мера Н /С сохраняется и эргодична. Тогда С{х) = 0 почти всюду для любой другой сохраняемой эргодической меры.
Следствие 3 вытекает из того, что любые две эргодические меры сингулярны (см., например, [14]). Другими словами, для Нь, и другой эргодической меры р, существует множество В с Hh{B) = 0 и р,{В) — 1. Значит, по теореме 1,3 для почти всех, относительно меры ц, точек х выполнено С(х) = 0.
Повторяемость неполных частных у цепных дробей. Форму лировка основного результата
Лемма 1.3. 1) Пусть In = /„(ai,... ,ап) интервал ранга п и pn/qn = [ai,..., ап]. Тогда точки pn/qn и (рп + рп-і)/(Яп + Яп і) являются концами интервала 1п. 2) Пусть s произвольное натуральное число. Если 7„+i = Ли-і(аь -- ат s) интервал ранга п + 1, то \In\ = l/qn(qn + qn-\) и \In+i\/\In\ 1/2. Доказательство леммы 1.3. Докажем первое утверждение леммы. Пусть число a = [ai,a,2,... ,anian+i,...] принадлежит In. Тогда а может быть записано в виде (см. [35]) о.- , (1.15) ЯпГп+1 + qn-i где rn = an+i + [ап-_2,ага+з,...]. Величина гп+\ пробегает все числа от 1 до оо. Полагая rn+i = 1 и гп+\ —+ оо в формуле (1.15), получаем в качестве концов интервала 1п точки pn/qn и (рп + Pn-i) / (qn + Яп-і) Докажем теперь второе утверждение леммы. Найдем длину интервала 1п. Хорошо известно (см. [35]), что \pnQn-i — ЯпРп-і\ — 1- Пользуясь этим равенством и первой частью леммы, находим /п = Рп Рп + Рп-1 Яп Яп + Яп-1 \РпЯп-1 - ЯпРп-11 _ 1 Яп{Яп + QVi-i) ЯПІЯП + Qn-l) (1.16) Применяя формулу (1.15), получаем pns + рп-г pn(s + 1)+ pn-i 1п+1\ — Яп$ + Яп-\ Яп(з + 1)+Яп-\ (Яп8 + Яп-і){Яп($ + 1) + Qn-l) (1.17) Отсюда I г І і 1 + % \In\ (1 + ) + 1 + ) (LIS) Пусть s — 1. Тогда из формулы (1.18), очевидно, вытекает, что /п+і/Лі 1/2. Пусть теперь s 2. Так как qn qn-i, то 1 + Яп-іІЯп 2и, следова тельно, /„+i/J„ 2/s2 1/2. Лемма 1.3 доказана полностью. Как известно, преобразование Гаусса Тх {1/х},х ф О, ТО = 0 является левым сдвигом при разложении в цепную дробь и сохраняет меру 1 [ 1 и(А) = ;— / dx, которая эквивалентна мере Лебега. Интервалом к го ранга h = /fc(ai,... ,а&) называются все числа а, у которых цепные дроби начинаются с а,\,..., а . Пусть / = { (Д)}ьІі Лемма 1.4. Нуль является единственной предельной точкой множества I.
Доказательство. Из леммы 1.3 вытекает, что нуль является предельной точкой множества {ІАІ} , а, значит, и множества /. Докажем, что других предельных точек у / пет. Пусть а 0 предельная точка I. Множество / счетно. Докажем, что в промежутке (а/2,1] найдется лишь конечное число точек из /. Пусть Ik = Д(аі,... ,() = (61,62) некоторый интервал ранга А: и пусть Pk/Qk = . і йк]. По лемме 1.3 числа Si, 62 равны рк/Як и (рк + ри-іЖЯк + Фь-i)- Тогда и{1к) = ± Ґ - - = Л 1п(1 + -г -) (1-19) v к ІП2Д 1+1 1п2 l + cfc; ч ; где Cfc — 5i, если &2 6\ vi Ск = о 2, если 5\ 5г- Заметим, что для любого к и любого интервала к-го ранга число Ск принадлежит отрезку [0,1]. Следовательно, для любого А; и любого интервала Ат-го ранга величина 1/(1 + Ск) ограничена.
По лемме 1.3 длина интервала / (аі,. ,а,к) равна 1/яп{Яп + Яп-і)- Из этой формулы и закона образования подходящих дробей (1.12), вытекает, что длина интервала /fc(ai, - -1 ак) является убывающей функцией по каждому аргументу. Более того, для любого I = 1,..., к выполнено lim [/fc(oi,...,a;_1,m,ai+1,...,Ojt)-О (1.20) m-+oo
Из второго утверждения леммы 1.3 получаем, что длина произвольного интервала ранга к для всех к больших некоторого ко, меньше, чем а/2. Рассмотрим множество А всех интервалов ранга к, к ко, длины которых не меньше, чем а/2. Из формулы (1.20) вытекает существование некоторой константы М 0, так что неполные частные всех интервалов множества А ограничены М. Следовательно, множество А конечно. Лемма доказана. 1.7 О пространстве последовательностей.
Обозначим через Р отображение из пространства бесконечных цепных дробей в пространство fc-мерных векторов P ([ai,a2,...]) = (oi,... ,ajt). Рассмотрим неархимедову метрику D(-, ) на пространстве последовательностей [ai,аг,...]. Пусть А = [а\,аг,...] и В = [bi,62, ] две последовательности. Расстояние между последовательностями А и В задается формулой D(A В) = і 1 ССЛИ рі([аь«2,-..])т Л([Ьі,Ь2 ...]) [ і/(/ (аі,... ,а )) в противном случае , где к 1 — максимальное, такое что Pj..([ai,a2, . ]) = Pk([h,b2,...]). Используя метрику D( , ) построим по формуле (1.1) хаусдорфову меру i i( ), заданную на пространстве последовательностей.
Утверждение 1.1. Меры Н\ uv согласованы. Доказательство. Достаточно проверить согласованность мер Н\ и v на ци-линдрах СПі Пк(Аі,..., Ak) — {а ат,1 Є Аи . -, аПк є Ак], где А С N. Ясно, что любой интервал к-ro ранга / = /jt(ai,...,a&) является цилиндром. Мы назовем такие цилиндры элементарными. Ранг элементарного цилиндра равен, по определению, рангу интервала If.. Заметим, что диаметр в метрике D( , ) любого элементарного цилиндра Ik равен Ц/fc).
Пусть 5 любое положительное число. Разобьем произвольный цилиндр = Сщ пк(Аі,... ,Ак) на совокупность элементарных цилиндров 1 . Пусть J — {щ,... ,rik}. Тогда C=U U /K...,aB) = U/v (L21) 1=1 atBt j где Bi — Ai, если І Є J и Bi = N, если / J. Разбивая, если это необходимо, каждый элементарный цилиндр / . на элементарные цилиндры большего ранга, находим новое покрытие цилиндра С элементарными цилиндрами /. /, І так что диаметр в метрике (-, ) каждого 1к меньше, чем S. Из определения меры Яі(-), вытекает, что Ні(С) ХЖ- .) — V{C)
Мы доказали, что для произвольного цилиндра С выполнено Н\{С) (С). Докажем теперь обратное неравенство. Возьмем произвольное є 0. Хорошо известно (см., например, [19]), что предел в правой части формулы (1.1) может быть заменен на верхний предел. Следовательно, существует такое S 0, для которого выполнено #і(С) - є Н({С) Щ{С) (1.22) Отсюда, #i(C) Hf(C). Из определения величины #f(C) вытекает, что найдется не более чем счетное покрытие цилиндра С множествами ЕІ, так что 2diamEi -є Н{{С) diam (1.23) і і Отсюда, #i(C) diamSi - є (1.24) і Рассмотрим произвольное множество Е{. Если diam-Ej = 0, то множество 1 содержит не более одной точки. Обозначим объединение всех множесв Е{ с нулевым диаметром через R. Тогда u(R) = 0.
Пусть diami?j = di 0. Рассмотрим множество / = { (Л-)}і- Множество / счетно, кроме того, по лемме 1.4 нуль является единственной предельной точкой этого множества. Значит, di принадлежит /. Более того, расстояние dj достигается на некоторой паре точек х и у из Е{. Пусть 1Т — 1(а\,..., аг) интервал ранга г, такой, что D(x,y) — di — v{Ir) и разложения точек х, у в цепную дробь начинаются с [оь... ,аг]. Докажем, что Е С. 1т. Пусть z произвольная точка из Д-. Тогда D(x, z) di — v(Ir). Значит, разложение точки z в цепную дробь начинается с [ai,..., аг]. Другими словами, z Є Ir и, следовательно, ЕІ С Ir.
Общая постановка задачи
Пусть теперь х характеристическая функция Е\ П Т 1Е2 ПТ-Д:+1і?&, j G ( элемента _ для некоторого &. Рассмотрим преобразование Т и будем считать разбиение Г} — "k с qk элементами начальным для этой но вой динамической системы. Условие (2.14) для этой динамической системы выполнено. Также выполнено (2.11). Следовательно, применяя теорему 1 , получаем (2.16) для характеристической функции % произвольного множе ства Е из Г. Теорема доказана. 2.4 Теорема Пягецкого для марковских цепей. Пусть к, І {0,1,...} и к I. Обозначим через 1к итерированное разбиение Т к VV Т 1. Определение 2.1. Динамическая система обладает свойством ф перемешивания, если существует такая функция ф : N —» R, так что ф(т) — 0, когда т — со и для произвольных к,1,т Є N и Л Є о, В Є #ЙГ . имеем //(Л П В) - /і(Л)/ (В) 0(m)p(A) (2.18)
Пусть xt O характеристическая функция произвольного элемента Еп. Рассмотрим функцию f(x) — xix) J Х Р- Нам понадобятся теоремы больших уклонений из [43] для вероятностей Р(х : [;(/, S)/l\ 5). Теоремы о больших уклонениях при наличии перемешивания устанавливают оценки следующего вида : ti(At(x,5))=р(х : Щ$. б\ « е-гМ (2.19) с некоторой функцией р(1) — ps(l,x) . Формулировки этих результатов в общем виде достаточно громоздки, поэтому в следующих двух пунктах мы сформулируем лишь необходимые нам следствия.
Отметим, что использованное нами утверждение из предыдущего пункта (принадлежащее Пятецкому-Шапиро) как раз является простейшим примером теоремы о больших уклонениях (см. [40] гл. 1, 6; гл. 4, 5).
Применим теорему 2.2 в случае марковской цепи. Пусть матрица Р = {pij}ij=o,...,n-i - стохастическая, то есть такая, что Рц 0 и YljPij = 1- Р называется транзитивной, если для некоторого т все элементы матрицы Рт положительны. Тогда [39, 40] существует вектор 7Г = (л"і,..., 7ГП) с положительными компонентами, ЧТО Р 1Г — 7Г (Р -транспонированная матрица).
Рассмотрим пространство бесконечных вправо последовательностей Г2, составленных из знаков 0,..., п—Х. Меру рь элементарного цилиндра, то есть множества, у которого фиксировано какое-то количество первых знаков положим равной 7 если фиксирован первый знак 5\ и равной 1 .. .pss_iS„ если фиксированы знаки Si,...,Ss. Мера пустого множества равна 0, всего пространства — 1. Эту меру можно продолжить на минимальную а - алгебру, содержащую алгебру цилиндрических множеств. Легко проверить, что полученная таким образом мера р,, будет инвариантна относительно сдвига влево Т. Это преобразование эргодично (см. [39, 42]).
Конечная транзитивная цепь Маркова обладает свойством ф-перемешивания с ф{т) — ae bm, а, Ь О (см. [41], гл. 4, 20 и [43]). Более того, для мер множеств Ai(Tk,x,5), где х(х) характеристическая функция элементарного цилиндра с к фиксированными знаками, выполнена оценка (см. [43] лемма 2.4 и теорема 4.2G) , ))«e-fJ (2.20) с некоторым с = с(6, к) 0. Теорема 2.3. Пусть XQ Є Х Пусть также для всякого положительного т) выполнено ф(і) = Ofi" 7) — 0. Если для любого элементарного цилиндра I выполнено iirasup Q р{і)фмі)), то для произвольного множества К из Г имеет место асимптотическое равенство v—юо If Доказательство. Рассмотрим начальное разбиение пространства Q на элементарные цилиндры с первым фиксированным знаком. Возьмем любой элементарный цилиндр Д у которого к первых знаков фиксировано. Ясно, что Ік Є к. Обозначим через х его характеристическую функцию, и пусть f(x) xix) J Х&11- Из оценки (2.20) имеем Hm max {/х(А( , X, )), щ] фф = 0. Применяя теорему 2.2 получаем теорему 2.3. D 2.5 Теорема Пятецкого для динамических системах с —перемешиванием. /—растяжения. Определение 2,2. Динамическая система обладает свойством ф-перемешивания, если существует такая функция ф : N — R, так что ф(т) — 0, когда m - ос и для произвольных к,1,т Є N и А є о \р(А П В) - Ц(А)ІЛ(В)\ ф{т)іл(А)ц{В) (2.21) Для систем с - -перемешиванием в работе [54] была получена оценка для мер множеств Ai(T, f, 6).
Предложение 1. Пусть п натуральное число и х характеристическая функция произвольного элемента I разбиения п. Тогда существует такое IQ — Q(5, п,/), что для всех I IQ выполнено ti{Ai{T, х,5)) 2М{5, п)е-ийи , (2.22) где М(б, п) = min{m Є N : ф(т — п) 52/2}.
Следствие. Пусть динамическая система (X, Т, р) с конечным начальным разбиением , обладает свойством ф-перемешивания. Пусть точка XQ Є X. Пусть также для всякого положительного ц выполнено w(i) = 0(i_T)), —» 0. Если для любого п и характеристической функции \ произвольного элемента I п выполнено limsUp Щ х) ц(1)ш(р(1)), (2.23) то для характеристической функции % произвольного мнооїсества Е Є Г имеет место асимптотическое равенство lira SIJ{X0,X) =}г(Е)- (2.24) v—юо V Доказательство. Достаточно восспользоватеся оценкой (2.22) и применить теорему 2.2. Вероятно, наиболее общим примером динамических систем с -перемешиванием и обладающих конечным начальным разбиением являются f-pac-тляснеєния.
Пусть М Є {2,3,... }. Пусть непрерывная функция / либо строго убывает на [1, М + 1], так что /(1) = 1, f{M) = 0, либо строго возрастает на [0, М], так что /(0) = 0 и ДМ) = 1. Существует обширная литература (см., например, [55], [56], [57]) в которой изучается вопрос о представлении числа х Є (0,1) в форме х = f{ai(x) + f(a2(x) + /(Q3(I) + ...)--)» (2.25) где цифры аі(х) Є N и остатки ГІ(Х) определяются рекурентно по формулам аа(х) = 0, Го(х) = х и І+І{Х) = [ГЧГІІХ))], ri+i(x) = и Ых))}, где і 0. Здесь обозначают целую и дробную часть, соответственно. Если Tj{x) — 0, то для всех і j имеем «j(x) = 0. В этом случае мы будем говорить, что число х Є (0,1) имеет конечное /-представление. Ясно, что для фиксированного / количество таких х не более чем счетно. Реньи [55] показал, что если функция / удовлетворяет некоторым условиям регулярности, то для всех х Є (0,1) правая часть (2.25) сходится к х. Если / строго убывает, то условия регулярности состоят в том, что найдется такое к Є (0,1) для которого выполнено /() — f(s)\ к\1 — s\ для всех 5, t, таких что 1 + /(2) s t и /() — f(s)\ \t — s\ для всех s,t, таких что 0 s t. Если же / строго возрастает, то условие регулярности состоят в том, что \f(t) - f(s)\ \t - s\ для всех 0 S t.
Пусть Ik = f(k, к + 1) для 1 к М в случае, когда / убывает и h f(k,k + l) для 0 к М — 1в случае, когда / возрастает. Тогда преобразование Тх — f lx - [f x] гомеоморфно отображает каждый интервал Ik на (0,1). Кроме того, для каждого х Є Ukh мьі имеем щ(Тх) = аі+і(х). Если Тгх Є Іь для всех г 0, то х единственным образом представляется в виде последовательности цифр o i+i(x) = fc;, і 0. Следуя [58] предположим дополнительно, что (і) ограничение Т на каждый интервал / принадлежит классу С ; (Іі) существует такое I, что inf /b eN \{Т1) (х)\ = /? 1; Тогда, согласно теореме 22 из [58], существует Т-инвариантная мера рг, так что 0 4ег е С[0,1]. Кроме того, преобразование Т обладает свойством -перемешивания, причем для некоторых констант С 0 и А Є (0,1) выполнено ф{т) СХт (2.2G) Таким образом /-расширения являются примером систем для которых применимо указанное выше следствие.
Доказательство теорем
Диссертация подготовлена на кафедре теории чисел Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к эргоди-ческой теории чисел.
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена изучению феномена возвращаемости и нормальности почти всех точек произвольной динамической системы. Кроме того, в диссертации рассматривается задача о представлении почти всех чисел в виде суммы двух элементов некоторых множеств.
Постановки задач, связанных с этими объектами, восходят к А. Пуанкаре, Г. Вейлю,Э. Борелю и другим математикам. Ими занимались такие выдающиеся математики, как А. Я. Хиичин, П. Эрдеш, И. И. Пятецкий-Шапиро, А. Г. Постников, С. В. Конягин, А. Шаркози, X.Фестеиберг, М.Кац, В.Шмидт, Г.А.Фрейман, А.Реньи.
Исследованию феноменов возвращаемости и нормальности посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также их приложениям уделено внимание в монографиях А.Г.Постникова [30], X. Фестенберга [16], Л.Кейперса и Г. Ниддерейтера [20], М.Дрмоты и Р. Тихого [21], А. Я. Хинчина [35], С. В. Конягина и И, Шпарлинского [44] и других.
Понятие возвращаемости точки в динамической системе впервые появилось в работе А.Пуанкаре [9]. Там же был доказан ставший классическим результат о возвращаемости почти всех точек произвольной динамической системы. Впоследствии эта теорема была несколько уточнена М. Кацем [34]. X. Фестенберг [16] обобщил результат Пуанкаре на случай действия в фазовом пространстве группы коммутирующих операторов.
Тем не менее, в перечисленных работах не рассматривался вопрос о количественных аспектах возвращаемости. Только в 1993 году М. Д. Бошерницан [10] и независимо от него Н. Г. Мощевитин [11] в 1997 году получили количественные результаты о скорости возвращения. В настоящей диссертации теоремы М. Д. Бошерницана и Н. Г. Мощевитин а уточняются и обобщаются.
Также в диссертации исследуется одно из классических понятий теории чисел : нормальность орбиты точки или, другими словами, ее равномерная распределенность. Теория равномерной распределенности последовательностей действительных чисел берет начало в работе Г. Вейля [22]. Вопрос о критерии равномерной распределенности орбиты конкретной точки в динамической системе, связанной с разложением чисел по фиксированному основанию, был впервые поставлен и решен И. И. Пятецким-Шапиро в [29]. Для произвольной динамической системы подобный критерий был найден А. Г. Постниковым [30]. В нашей работе мы доказываем теорему, обобщающую указанные критерии. Кроме того, мы получаем точные результаты о нормальности орбиты точки в динамических системах, связанных с конечными цепями Маркова, /-расширениями, цепными дробями и обобщенным сдвигом Вернулли.
Вопрос о представлении произвольного числа в виде суммы элементов из некоторого множества является, возможно, одним из самых старых и популярных в теории чисел. Например, знаменитая теорема И.М.Виноградова [17] о представлении всех достаточно больших нечетных чисел в виде суммы трех простых как раз относится к этой проблематике. Мы доказываем ряд теорем о представлении почти всех чисел мультипликативной группы вычетов Г в виде суммы двух элементов некоторого подмножества Г.
Научная новизна. Доказанные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:
— Найдена неулучшаемая верхняя оценка среднего значения функции возвращаемости, а также функции iV-возвращаемости точки в динамической системе. Найдено точное значение константы возвращаемости для топологического случая. Доказана теорема о повторяемости неполных частных у цепных дробей и найдена точная по порядку оценка длины повторяющегося отрезка неполных частных.
— Получены неулучшаемые аналоги критерия нормальности Пятецкого-Шапиро для конечных цепей Маркова, /-растяжений, цепных дробей, обобщенного сдвига Бернулли. Доказана теорема обобщающая классические критерии нормальности Постникова и Пятецкого-Шапиро.
— Решена задача о представимости почти всех чисел мультипликативной групы вычетов Г в виде суммы элементов произвольной подгруппы, задача о представлении почти всех элементов Г в виде суммы и разности степеней первообразного корня, а также задача о представимости почти всех чисел Г в виде произведения двух элементов множества с пропущенными цифрами.
Методы исследования. В работе используются методы теории динамических систем, теории вероятностей, теории равномерно распределенных последовательностей, теории цепных дробей, теории размерности Хаусдор фа, а также результаты о тригонометрических суммах.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в эргодической теории, метрической теории чисел, теории равномерно распределенных последовательностей, теории цепных дробей, аддитивной теории чисел.
