Некоторые приложения метода редукции к степенным рядам в задачах теории чисел Коротков, Александр Евгеньевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Избранные вопросы метода редукции к степенным рядам 12

1.1 О рядах Дирихле, определяющих целые функции первого порядка 12

1.2 Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента 22

2 Приложение метода редукции к степенным рядам к задаче о трансцендентности значений некоторых функций 30

2.1 Общие факты о трансцендентности значений некоторых функций в алгебраических точках 30

2.1.1 Теоремы Эрмита и Линдемана 31

2.1.2 Аппроксимационный подход Гельфонда при решении 7 проблемы Гильберта 32

2.1.3 О трансцендентности значений -функции Римана в четных натуральных точках 37

2.1.4 Анализ приведенных результатов и выбор направления исследований при решении поставленных задач 43

2.2 О граничном поведении одного класса степенных рядов 47

2.3 О транцендентности значений одного класса рядов Дирихле в натуральных точках 53

2.4 Аппроксимационный подход в задаче о трансцендентности значений L-функций Дирихле в алгебраических точках на положительной полуоси 55

3 Приложение метода редукции к степенным рядам к задаче определения нулей L-функций в критической области 59

3.1 Известный метод определения нулей 61

3.2 Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами 65

3.2.1 О нулях целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами 66

3.2.2 О приближении целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами в полосе а do 0, Т, полиномами Дирихле 67

3.3 Алгоритм и вычислительная схема определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, в правой полуплоскости 69

3.4 Об оценке необходимой степени аппроксимационного полинома 72

Список литературы

• Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента
• Аппроксимационный подход Гельфонда при решении 7 проблемы Гильберта
• Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами
• Алгоритм и вычислительная схема определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, в правой полуплоскости

Введение к работе

Актуальность темы. Данная диссертационная работа посвящена некоторым приложениям в теории чисел так называемого метода редукции к степенным рядам. Суть метода редукции к степенным рядам заключается в том, что доказательство отдельных аналитических свойств рядов Дирихле сводится к проверке определенных граничных свойств соответствующих (с теми же коэффициентами, что и ряды Дирихле) степенных рядов и наоборот. Основные положения метода редукции к степенным рядам были заложены в работах В. Н. Кузнецова'''. В работе¹ было показано, что ряды Дирихле с конечнозначными коэффициентами тогда и только тогда определяют меро- морфную функцию с единственным возможным простым полюсом в точке s = 1, и с определенным порядком роста модуля в левой полуплоскости комплексной плоскости, когда соответствующий степенной ряд определяет функцию либо регулярную в точке z =1, либо имеющую в этой точке полюс первого порядка. В работах²'³'⁴ изучается взаимосвязь между аналитическими свойствами рядов Дирихле и граничным поведением соответствующих степенных рядов без условия регулярности этих рядов в точке z =1. Кроме того, в этих работах рассматривались задачи, которые требовали изучения граничного поведения соответствующих степенных рядов во всех точках единичной окружности. Здесь же подход изучения аналитических свойств рядов Дирихле, основанный на изучении граничного поведения соответствующих степенных рядов, впервые получил название метода редукции к степенным рядам.

Дальнейшее развитие метод редукции к степенным рядам получил в работах В. Н. Кузнецова и его учеников''''', что позволило получить новые результаты в теории L-функций и в теории степенных рядов.

Так в работе⁵ была получена аппроксимационная характеристика классических L-функций Дирихле в классе эйлеровых произведений с конечнознач- ными коэффициентами. А именно, показано, что L-функции в этом классе характеризуются тем свойством, что в любой полосе допускают аппроксимацию полиномами Дирихле с показательной скоростью. Более того, указывается явная конструкция этих аппроксимирующих полиномов.

В работах⁶'⁷ изучалась задача о целостности композита двух рядов Дирихле, что позволило частично решить известную гипотезу Ю. В. Линника о целостности скалярного произведения L-функций Дирихле числовых полей. Показано, что степенные ряды, отвечающие L-функции Дирихле числовых полей, допускающих разложение в произведение классических L-функций Дирихле, аналитически непродолжимы за границу граничного круга. Там же⁷ изучалась задача описания рядов Дирихле с произвольными коэффициентами, для которых соответствующий степенной ряд имеет конечные радиальные производные любого порядка в точке z = 1. Показано, что в этом случае ряд Дирихле определяет целую функцию, значения которой в отрицательных натуральных точках выражаются через радиальные производные степенного ряда в точке z =1.

В работе⁸ показано, что в классе эйлеровых произведений с конечнознач- ными коэффициентами только L-функции Дирихле удовлетворяют функциональному уравнению типа Римана.

В работах⁹'¹⁰ получено описание рядов Дирихле в случае произвольных коэффициентов, для которых соответствующий степенной ряд либо регулярен в точке z = 1, либо имеет в этой точке полюс конечного порядка. Эти

результаты нашли применение в теории степенных рядов ' .

Объектом исследования в диссертации являются степенные ряды и ряды Дирихле, в частности L-функции Дирихле.

Предметом исследования являются определение характера значений степенных рядов и рядов Дирихле в алгебраических точках, а также построение алгоритма поиска нулей L-функций Дирихле.

Цель и задачи работы. Используя основные положения метода редукции к степенным рядам получить новые результаты в направлениях решения следующих задач:

1. Для степенных рядов, полученных в результате произведения по Дирихле двух степенных рядов с периодическими коэффициентами, определить характер значений (алгебраичность или трансцендентность) радиальных производных в точке z = 1.

2. Исследовать задачу о характере значений (алгебраичность или трансцендентность) в алгебраических точках функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа. В частности о характере значений в алгебраических точках L-функций Дирихле.

3. Провести численные эксперименты, основанные на численных методах.

Разработать новые численные алгоритмы и провести численные эксперименты, связанные с определением нулей функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе.

Как следует из вышесказанного эти задачи являются актуальными.

Методы исследования. В работе использовались аналитические методы, применяемые в теории степенных рядов и рядов Дирихле, методы трансцендентной теории чисел и методы компьютерных вычислений.

Научная новизна. К новым результатам, полученным в данной работе в направлении решения поставленных выше задач, нужно отнести следующие.

2. 1. Показано, что для произведения по Дирихле двух степенных рядов с алгебраическими периодическими коэффициентами, регулярными в точке z =1 существуют радиальные производные в точке z =1 любого порядка, которые являются алгебраическими числами.

   2. Для рядов Дирихле с алгебраическими периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа показано, что они принимают трансцендентные значения в четных или нечетных натуральных точках в зависимости от величины 6 (6 = 0 или 6 =1), входящей в функциональное уравнение.

   Тем самым получено новое доказательство о трансцендентности значений L-функций Дирихле в четных или нечетных натуральных точках в зависимости от четности характера Дирихле.

   2. 3. Для рядов Дирихле с алгебраическими периодическими коэффициентами, определяющих целые функции задачу о трансцендентности значений

      этих функций в положительных алгебраических точках удалось свести к задаче определения порядка роста последовательности высот алгебраических чисел Q_k (а), где Q_k (s) — последовательность полиномов Дирихле (которые определяются явным образом) с алгебраическими коэффициентами, аппроксимирующих функцию, заданную рядом Дирихле на положительной полуоси с показательной скоростью.

      2. 4. Разработана численная схема относительно определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. Проведены численные эксперименты связанные как с расширенной гипотезой Римана, так и с проблемой о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана, которая, как показано в, связана с нулями целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

         5. Составлена программа на языке python, реализующая эту численную схему, которая достаточно быстро выдает результаты относительно нулей аппроксимируемых функций в заданном прямоугольнике критической полосы.

         Основные положения, выносимые на защиту. Автором защищаются следующие положения:

         2. 5. 1. У ряда, являющегося произведением по Дирихле двух степенных рядов с алгебраическими периодическими коэффициентами, регулярными в точке z = 1, существуют радиальные производные в точке z = 1 любого порядка, которые являются алгебраическими числами.

               2. Ряды Дирихле с алгебраическими периодическими коэффициентами, удовлетворяющие функциональному уравнению римановского типа принимают трансцендентные значения в четных или нечетных натуральных точках.

               3. Сведение задачи о трансцендентности значений целых функций, определяемых рядами Дирихле с алгебраическими коэффициентами, в положительных алгебраических точках к задаче определения порядка роста последовательности высот алгебраических чисел Q_k (а), где Q_k (s) — последовательность полиномов Дирихле с алгебраическими коэффициентами, аппроксимирующих функцию, заданную рядом Дирихле на положительной полуоси с показательной скоростью.

               4. Описание численной схемы относительно определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

               5. Результаты численных экспериментов связанных как с расширенной гипотезой Римана, так и с проблемой о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана, которая, связана с нулями целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

               Все приведенные выше результаты опубликованы в журналах, входящих в список ВАК и материалах Международных конференций по алгебре и теории чисел.

               Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа в основном носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть полезны специалистам, работающим в области теории L- функций, в области диофантова анализа и трансцендентной теории чисел, а также в области степенных рядов. Результаты работы могу быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов студентам Саратовского государственного университета, Самарского государственного университета, Тульского государственного педагогического университета.

               Достоверность. Достоверность результатов, полученных в данной работе, обеспечивается строгими теоретическими выкладками и доказательствами, опирающимися на методы теории чисел и функций комплексного переменного.

               Апробация работы. Основные результаты и вопросы диссертации обсуждались в виде выступлений на следующих конференциях и семинарах:

               1. VIII Международная конференция «Алегбра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященная 190-летию П. Л. Чебышева и 120-летию И. М. Виноградова (Саратов, 2011);

               2. X Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (Волгоград, 2012);

               3. Научные конференции на механико-математическом факультете Саратовского Государственного Университета (2009-2012);

               4. Семинары кафедры компьютерной алгебры и теории чисел Саратовского Государственного Университета.

               Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 3 статьи в журналах из списка ВАК. Список статей приведен в конце автореферата.

               Личный вклад автора. Все результаты, приведенные в диссертации и выносимые на защиту получены либо самостоятельно автором, либо в соавторстве, причем вклад диссертанта был определяющим.

               Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 45 наименований. Общий объем диссертации 80 страниц. Диссертация содержит 2 рисунка.

               Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента

               Разработана численная схема относительно определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициента ми. Проведены численные эксперименты связанные как с расширенной гипотезой Римана, так и с проблемой о взаимосвязи основной и расши ренной гипотез Римана, которая, как показано в [32], связана с нулями целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффи циентами.

               В основе численной схемы лежат основные положения аппроксимаци-онного критерия целостности функции, заданной рядом Дирихле с периодическими коэффициентами.

               Составлена программа на языке python, реализующая эту численную схему, которая достаточно быстро выдает результаты относительно ну 10 лей аппроксимируемых функций в заданном прямоугольнике критической полосы.

               Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 45 наименований. Общий объем диссертации 80 страниц. Диссертация содержит 2 рисунка.

               Первая глава является вводной. В ней излагаются те результаты метода редукции к степенным рядам, которые нашли непосредственное приложение в задачах, решаемых в диссертации.

               Во второй главе приводится решение ряда задач, связанных с трансцендентностью значений функций, заданных степенными рядами, рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, в натуральных точках, а также в алгебраических точках положительной полуоси. В основе доказательства этих результатов лежат приведенные в первой главе положения метода редукции к степенным рядам.

               Третья глава посвящена задаче определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, заданными в прямоугольнике 0 а 1, 0 t Т с помощью аппроксимирующих полиномов. В частности, определению нетривиальные нулей L-функций Дирихле.

               В заключний подводятся итоги проведенной работы, анализируются полученные результаты и намечаются направления дальнейших исследований.

               Апробация работы. Основные результаты и вопросы диссертации обсуждались в виде выступлений на следующих конференциях и семинарах: VIII Международная конференция «Алегбра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященная 190-летию П. Л. Чебышева и 120-летию И. М. Виноградова (Саратов, 2011); X Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (Волгоград, 2012); Научные конференции на механико-математическом факультете Саратовского Государственного Университета (2009-2012); — Семинары кафедры компьютерной алгебры и теории чисел Саратовского Государственного Университета.

               Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах [15—22; 28; 30], три из которых опубликованы в изданиях ВАК. 1. Избранные вопросы метода редукции к степенным рядам

               Как уже отмечалось во введении, метод редукции к степенным рядам устанавливает зависимость между аналитическими свойствами рядов Дирихле и граничным поведении соответствующих степенных рядов. При этом известные или новые факты относительно граничного поведения степенных рядов позволяют получить результаты относительно аналитических свойств соответствующих рядов Дирихле и наоборот.

               В данной главе приводятся некоторые результаты, полученные при использовании метода редукции к степенным рядам. А именно, показана зависимость, между регулярностью степенного ряда в точке z = 1 и тем фактом, что соответствующий ряд Дирихле определяет целую функцию с определенным условием роста модуля. Также, для ряда Дирихле с коэффициентами, имеющими ограниченную сумматорную функцию, показана эквивалентность условия периодичности этих коэффициентов и условия существования последовательности аппроксимационных полиномов Дирихле, равномерно сходящихся к ряду Дирихле с показательной скоростью.

               Аппроксимационный подход Гельфонда при решении 7 проблемы Гильберта

               В данной главе проводится анализ характера значений для некоторых классов функций. Рассматриваются классические подходы Эрмита, Линде-мана, Гельфонда и других для решения этой задачи.

               Также, рассматривается класс степенных рядов, являющихся произведением по Дирихле степенных рядов с алгебраическими периодическими коэффициентами, имеющими ограниченную сумматорную функцию. Для таких рядов установлено существование и алгебраичность радиальных производных.

               Дается новое доказательство о трансцендентности значений L-функций Дирихле в четных (нечетных) положительных точках. Приводится сведение задачи о трансцендентности значений L-функций Дирихле в алгебраических точках положительной полуоси к задаче оценки высот аппроксимационных многочленов.

               Общие факты о трансцендентности значений некоторых функций в алгебраических точках В данном разделе будут приведены известные факты теории чисел, касающиеся задачи о трансцендентности значений некоторых функций. Особый интерес представляют классические подходы для определения характера значений функций. 2.1.1. Теоремы Эрмита и Линдемана

               Вопросы об арифметической природе классических констант е и 7Г стояли задолго до появления неравенства Лиувилля. Так, от природы числа 7г зависело положительное или отрицательное решение проблемы квадратуры круга, которой занималась ещё древнегреческая математика. Впервые, в 1873 году, Ш. Эрмит [2] связал арифметическую природу значения функции в алгебраической точке с ее аналитическим поведением и арифметической природой ее коэффициентов.

               Теорема (Эрмита). Константа е - трансцендентна. Доказательство Эрмита основано на тождестве для функции ех: х exF{Q)-F{x) = ex fe- ftydt, о где оо к=0 a f(x) — есть любой многочлен относительно X.

               Через некоторое время после работы Эрмита, в 1882 году Линдеман [5] использовал тождество Эрмита для доказательства общей теоремы относительно природы значений функции ех.

               Теорема (Линдемана). Пусть а\,&2 as — произвольные, попарно раз личные алгебраические числа, а А\, А ±, ..., As — произвольные, отличные от нуля алгебраические числа. Тогда соотношение невозможно.

               Из этой теоремы и тождества Эйлера е2т = 1 сразу следует трансцендентность числа 7Г. После работ Эрмита и Линдемана появился ряд работ принадлежавших самым крупным математикам, которые давали различные новые доказательства теорем Эрмита и Линдемана, не меняя по существу основ метода. Тождество Эрмита, лежащее в основе общей теоремы Линдемана, специфично для функции ег, для других функций того же типа, например для функций Бесселя, аналогичного тождества построить не удалось. Более общий метод, позволяющий исследовать арифметическую природу значений достаточно широкого класса целых функций, имеющих алгебраические коэффициенты ряда Тейлора в нуле и удовлетворяющих алгебраическим дифференциальным уравнениям с полиномиальными коэффициентами, был опубликован К. Зигелем [б] в 1929-1930 годах.

               Аппроксимационный подход Гельфонда при решении 7 проблемы Гильберта В 1900 году, выступая с докладом на международном математическом конгрессе в Париже, Д. Гильберт [3] высказал 23 математические проблемы, к решению которых не было видно никаких подходов средствами современной ему математики. В числе этих проблем под номером 7 содержалось следующее утверждение:

               Если а, /З Є А, а 0 1; а Р иррационально, то число аР трансцендентно. В частности, трансцендентны числа иг = е .

               Седьмая проблема Гильберта является обобщением предположения, высказанного Л. Эйлером ещё в 1748 году [45], о трансцендентности чисел вида loga 6, где a, b Є Q, а b f ac, при с Є Q. Гильберт заменил в предположении Эйлера рациональность чисел а и Ь на их алгебраичность и придал ему несколько иную, но эквивалентную форму.

               Постепенно большинство проблем Гильберта были решены. Но к решению 7-й проблемы почти 30 лет не было видно никакого подхода. Применить метод Эрмита-Линдемана к решению этой проблемы было нельзя. Хотя функция az = e]naz удовлетворяет простому дифференциальному уравнению первого порядка и теореме сложения, для нее не выполняется основное уеловиє, используемое в методе Эрмита-Линдемана, — алгебраичность коэффициентов ряда Тейлора рассматриваемой функции и, соответственно, алгебраичность коэффициентов дифференциального уравнения, которому она удовлетворяет. Поэтому для решения проблемы необходимо было создать новый метод.

               Первый шаг в этом направлении был сделан А. О. Гельфондом в 1929 году [10; 11]. Он разработал новый аналитический метод, построенный на интерполяционной идее, с помощью которого установил частный случай 7-й проблемы Гильберта. Теорема (Гельфонда). Пусть а Є А, а Ф 0, 1, а /3 — мнимая квадратичная иррациональность. Тогда число а трансцендентно. Приведем идею метода Гельфонда, которым была доказана сформулированная теорема. Рассмотрим сначала следующую интерполяционную задачу. Пусть f(z) — функция, аналитическая в области D, a z\,...,zn — заданный набор точек из D. Определим многочлен Pn-i{z) степени, не превосходящей п — 1, такой, что функция

               Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами

               В данном разделе излагаются основные положения, так называемого, аппроксимационного подхода в задаче о трансцендентности значений L-функций в алгебраических точках на положительной полуоси, суть которого заключается в построении полиномов Дирихле с алгебраическими коэффициентами, приближающими L-функцию на числовой оси с показательной скоростью. Это сводит задачу о трансцендентности значений L-функции в алгебраических точках к оценке скорости роста высот значений таких многочленов в алгебраических точках в зависимости от их степени.

               В разделе 1.2, на основании идей метода редукции к степенным рядам показано, что L-функцию Дирихле в полосе: а 0, \t\ Т можно приблизить полиномами Дирихле с показательной скоростью. Более того, такие полиномы допускают явную конструкцию. Действительно, степенной ряд, отвечающий L-функции Дирихле определяет функцию, регулярную в точке z = 1. Тогда, в силу известных результатов теории приближений [12], существуют алгебраические полиномы Pn{z), приближающие функцию g{z) на отрезке [0; 1] с показательной скоростью. Как показано в [12], в качестве таких полиномов можно взять полиномы Бернштейна:

               Тогда, согласно теореме 1.2, полиномы Дирихле вида: будут аппроксимировать L-функцию Дирихле с показательной скоростью. Относительно коэффициентов ап полиномов Дирихле (2.33) имеет место следующее утверждение Лемма 2.7. Коэффициенты ап полиномов Дирихле (2.33) принадлежат полю К = Q{\fl), где d — период характера х L-функции Дирихле. Доказательство. В формуле (2.32), для вычисления коэффициентов с&, сделаем замену: t = arccos . Тогда получим:

               Обозначим через Нуп высоты этих чисел. При данных обозначениях имеет место Теорема 2.5. Пусть а — такое алгебраическое, положительное, для которого последовательность высот Ндп удовлетворяет условию: имеет конечное число решений из фиксированного алгебраического поля К. Отсюда, в силу (2.35) и (2.36), сразу следует утверждение теоремы 2.5.

               Замечание. Теорема 2.5 сводит задачу о трансцендентности значений L-функций Дирихле в алгебраических, положительных точках к задаче оценки высот Ндп алгебраических чисел, определяемых коэффициентами многочленов Бернштейна. В связи с этим, представляет интерес построение других многочленов с алгебраическими коэффициентами, аппроксимирующих рациональную функцию д(х) на отрезке [0; 1] с показательной скоростью. 3. Приложение метода редукции к степенным рядам к задаче определения нулей L-функций в критической области

               В данной главе рассматривается задача поиска нулей целых функций. Эта задача связана с проблемой о соотношении основной и расширенной гипотез Римана.

               Что касается проблемы о соотношении основной и расширенной гипотез Римана, то как отмечено в [42], ей занимались многие авторы, в том числе и Ю. В. Линник.

               Класс таких функций он обозначил через А. Ясно, что Q{s) Є А. Условия 1) и 2) выполняются автоматически, а условие 3) следует из функционального уравнения для ("-функции.

               В работе [42] доказано следующее утверждение Теорема (В. Г. Спринджука). Пусть т 1 — произвольное натуральное число, х — неглавный характер mod т, 5(s) Є А и удовлетворяет равен 60 ству 52\6(р)\е- = 0(т-ч), р где суммирование ведется по всем нетривиальным нулям р функции (,{s), 0 77 оо; г — +0. Если верна гипотеза Римана, то все нули Ь-функции, лежащие в полуплоскости а тах(1/2, г/); являются таксисе нулями функции Sx(s), где оо Sx(s) = 2a{n)x(n)n s. Отметим, что вопрос о том, насколько широк класс функций Л и проверка условия теоремы В. Г. Спринджука является достаточно сложным. В работе [32] приведены более простые условия, при выполнении которых расширенная гипотеза Римана является следствием основной. Установлен факт, который заключается в том, чтобы нашлись две различных целых функции, определяемые рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, не имеющие общих нулей.

               В связи с этим, задача нахождения нулей целых функций является актуальной.

               Кроме того, в данной главе строится достаточно простой численный алгоритм определения нулей L-функций в критической полосе.

               Результаты численного эксперимента, связанного с этим алгоритмом, дают основание делать утверждения не только о геометрической картине расположения нулей, но и о их кратности. В первом разделе данной главы рассматривается известная методика численного определения нулей ("-функции Римана, которая подходит и для определения нулей L-функций Дирихле. Отметим, что по сравнения с этой известной методикой, рассмотренный в работе численный алгоритм позволяет значительно быстрее определять нули L-функций Дирихле.

               Алгоритм и вычислительная схема определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, в правой полуплоскости

               В результате численного эксперимента, основанного на приведенной здесь схеме, установлено, что в области 0 а 1, \t\ 105 нет общих нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, что позволяет предположить, что расширенная гипотеза Римана является следствием основной гипотезы.

               Нужно отметить, что в численном эксперименте при \t\ 105 были задействованы только ряды Дирихле с периодами коэффициентов d = 3 и d = 5. Возможно, что таких рядов Дирихле будет достаточно, чтобы получить ответ на вопрос, поставленный в начале раздела.

               Представляет интерес и другой вопрос, возникший в процессе численного эксперимента, выяснить почему и как это зависит от степени: нули аппроксимационных полиномов, в мультипликативном случае коэффициентов, с ростом степени этих полиномов до определенного роста модуля величины t t: располагаются на критической прямой:

               Об оценке необходимой степени аппроксимационного полинома Пусть дана некоторая L-функция Дирихле L(s,x), а к — период характера Х- Как было сказано выше, можно построить последовательность полиномов Дирихле Qn(s), приближающую L-функцию с показательной скоростью о у у

               Приведем рассуждения, которые могут помочь оценить достаточную тепень аппроксимационного полинома Дирихле для того, чтобы определить расположение всех нулей L-функции Дирихле, расположенных на отрезке а 1/2, Т. qn\r(l+it)\ qn (3.12) где q 1 — явно вычислимая константа, зависящая от периода к характера Дирихле х С другой стороны, данная разность должна быть не больше, чем среднее расстояние между нулями L-функции на указанном прямоугольнике. Известно [40], что количество нулей в можно оценить как действительная константа, зависящая от периода характера х и не зависящая от Т. Таким образом, среднее расстояние между нулями

               Практические вычисления показали, что все нули аппроксимационных многочленов степеней N и 27V на отрезке а = 1/2, \t\ Т = N-\nq являются общими. Это позволяет предположить, что степень аппроксимационного многочлена, выбранная таким образом, является достаточной для определения нулей L-функции Дирихле. Заключение

               В заключении отметим, что в работе разработан подход к задаче о трансцендентности значений L-функций Дирихле в положительных алгебраических точках, в результате которого эту задачу свели к задаче оценки высот некоторой последовательности алгебраических чисел. Автор надеется, что данный подход может быть эффективным в случае алгебраических чисел не превосходящих единицы. Автор надеется также, что удастся показать, что нули полиномов Дирихле, аппроксимирующих L-функции Дирихле, имеют ту же кратность, что и нули L-функций. Наконец, нужно сказать, что перечень приложений, указанных в начале автореферата и рассматриваемых в данной диссертации, далеко не исчерпывают все приложения метода редукции к степенным рядам в задачах теории чисел.

               Стоит также отметить, что в случае L-функций числовых полей к (к ф Q) можно строить полиномы Дирихле Qn(s), аппроксимирующие функции L(s,x, fc) в прямоугольнике 0 а 1, 0 t Т, со скоростью О( г), где m — любое натуральное, а L-функции Дирихле числового поля определяются следующим образом:

               Похожие диссертации на Некоторые приложения метода редукции к степенным рядам в задачах теории чисел

               

               Аналитические свойства определённых классов рядов Дирихле и некоторые задачи теории L-функций ДирихлеМатвеева Ольга Андреевна

               Приложения дискретного эргодического метода к арифметике бинарных и изотропных тернарных квадратичных формПачев Урусби Мухамедович

               

               Вероятностные методы в теории чисел и приложения в теории аргумента дзета-функции РиманаБояринов, Роман Николаевич

               

               Исследование особого ряда и особого интеграла одной многомерной аддитивной задачиКрахт Борис Вячеславович

               

               Решение некоторых задач теории алгоритмов с использованием игровых методовМучник Андрей Альбертович

               

               Применение спектральной теории автоморфных функций к некоторым задачам аналитической теории чисел Быковский Виктор Алексеевич

               О теоретико-числовых задачах в теории кодированияСеменовых Денис Николаевич

               

               Две задачи алгебраической теории графовЕрмакова Галина Михайловна

               

               О некоторых задачах эргодической теории чиселШкредов Илья Дмитриевич

               

               Аддитивные задачи в теории чиселТолев Дойчин Иванов