Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Особый ряд аддитивной задачи с полной совокупностью простейших форм заданной степению
1 .Предварительная оценка показателя сходимости осокого ряда 11
2. Преобразование полной рациональной тригономв і рической суммы 13
3. Леммы о полиномиальных сравнениях по модулю равному степени простого числа 19
4. Арифметическая природа особого ряда 25
5. Eopema о сходимости особо ряда 28
6. Оценка снизу показа і еля сходимости особого ряда 35
ГЛАВА II. Особый ряд аддитивной задачи с неполной совокупностью простейших форм заданной степени 38
1. Полные рациональныетригонометрические суммы с выщербленной формой 38
2. Оценка снизу показа геля сходимости особого ряда 40
ГЛАВА III. Особый интеграл одной многомерной аддитивной задачи 44
ГЛАВА IV. асимптотическая формула для числа решений одной многомерной аддитивной задачи 49
Список литературы 52
- Преобразование полной рациональной тригономв і рической суммы
- Арифметическая природа особого ряда
- Оценка снизу показа і еля сходимости особого ряда
- Оценка снизу показа геля сходимости особого ряда
Введение к работе
Актуальность темы
Метод тригонометрических сумм был разработан И.М. Виноградовым . В основе его метода лежат оценки моментов тригонометрических сумм Г. Вейля. И.М. Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм . Данная задача была решена Г.И. Архиповым в начале 70-х годов прошлого века. Г.И. Архипов получил первые оценки двукратных сумм Г. Вейля для многочленов общего вида. В 1975 г. Г.И. Архипов и В.Н. Чубариков3'4 дали обобщение результатов Г.И. Архипова на кратный случай.
К.К. Марджинишвили и Хуа Ло-Кен дали применение метода тригонометрических сумм к аддитивным задачам теории чисел. Это привело к новым постановкам задач, связанным с показателями сходимости особого ряда и особого интеграла рассматриваемых аддитивных проблем.
В 1976 г. В.Н. Чубариков ' получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных
1 Виноградов И. М. Об одной общей теореме Варинга // Мат. сб. - 1924. - Т. 31. - С. 490-
507.
2 Виноградов И.М. Новый метод в аналитической теории чисел // Тр. МИАН. - 1937. - Т.
10.-С. 5-122.
3 Архипов Г.И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах //Докл. АН СССР.
- 1975. - Т. 222, № 5. - С. 1017-1019.
4 Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР.
Сер. мат. - 1976. - Т. 40. - С. 209-220.
Марджанишвили К.К. Об одновременном представлении чисел суммами полных первых, вторых, ..., П - ых степеней //Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1937. - Т. 1. - С. 609-631.
6 Хуа Ло - ген Аддитивная теория простых чисел // Тр. МИАН. - 1947. - Т. 22.
Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат. заметки. - 1976. 20, №1. 61-68.
8 Чубариков В.Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле // Докл. АН СССР. -1976.-Т. 227, №6.-С. 1308-1310.
тригонометрических сумм. Итоги данных исследований были подведены в его диссертации .
В 1978 г. Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков10 решили проблему Хуа Ло-Кена о точном значении показателя сходимости особого ряда и особого интеграла проблемы Терри. Итоги данных исследований по кратным тригонометрическим суммам были подведены в 1980 г.
В 1952 г. Хуа Ло-Кен нашел точное значение показателя сходимости особого ряда в проблеме Терри для полной системы уравнений. В 1981 г. В.Н. Чубариков нашел точное значение этого показателя для неполной системы уравнений .
В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, и В.Н. Чубариков ' продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Г. Вейля, равномерные по всем параметрам ( по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена).
В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Г. Вейля составили содержание монографии
Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы: Дис. ... канд. физ.мат. наук. -М. -1977.
10 Архипов Г. И., Карцуба А. А., Чубариков В. Н. Показатель сходимости особого интеграла
проблемы Терри // Докл. АН СССР. - 1979.- Т. 248, № 2. - С. 268-272.
11 Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы. // Тр.
МИАН.-1980.-С. 151.
12 Ниа Loo-keng. On the number of solutions of Tarry's problem II Acta Sci. Sinica. - 1952. - V
1.N1.-P. 1-76.
Чубариков В.Н. Об асимптотических формулах для интеграла И.М. Виноградова и его обобщений // Тр. МИАН. - 1981. - Т. 157. - С. 214-232.
14 Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Равномерные оценки кратных
тригонометрических сумм // Докл. АН СССР. - 1980. -Т. 252, № 6. - С. 1289-1291.
15 Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их
приложения // Изв. АН СССР. Сер. мат. -1980. - Т. 44. - С. 723-781.
«Теория кратных тригонометрических сумм» . В середине 80-х годов прошлого века В.Н. Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте ' .
Исследования кратных тригонометрических интегралов были
продолжены И.Ш. Джаббаровым , И.А. Икромовым , М.А. Чахкиевым и др. Они получили оценки показателя сходимости особых интегралов для некоторых многомерных аддитивных задач.
Цель работы
Целью работы является нахождение оценок сверху и снизу показателей сходимости особых рядов и особых интегралов в многомерной аддитивной задаче с полной и неполной совокупностью простейших форм от двух переменных.
Методы исследования
В основу исследований был положен метод тригонометрических сумм.
Научная новизна
Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // Докл. АН СССР. - 1984. - Т. 278, № 2. - С. 302—304.
Чубариков В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1985. - Т. 49, № 5. - С. 1031—1067.
19 Джаббаров И.Ш. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН. - 1994.
- Т. 207. - С. 82-92.
20 Икромов И.А. On the convergence exponent of trigonometric integrals II Тр. МИАН. - 1997.
-T. 218.-C. 179-189.
Чахкиев М.А. О показателе сходимости особого интеграла многомерного аналога проблемы Терри // Изв. Российской АН. Сер. мат. - 2003. - Т. 67 (2). - С. 211-224.
Найдены оценки сверху и снизу для показателя сходимости особого ряда в аддитивной задаче с полным набором простейших форм от двух переменных.
Найдено новое преобразование полной кратной рациональной тригонометрической суммы и получена оценка сверху ее абсолютной величины. Доказаны теоремы о полиномиальных сравнениях по модулю, равному степени простого числа. Изучены свойства цепочки показателей и свойства решений системы сравнений в частных производных по модулю, равному степени простого числа. Изучена арифметическая природа особого ряда, связывающая значения суммы особого ряда с предельными значениями нормированной величины числа решений системы сравнений по модулю, равному степени простого числа.
Доказана теорема об оценке сверху и об оценке снизу для показателя сходимости особого ряда в аддитивной задаче с неполной совокупностью простейших форм заданной степени от двух переменных.
Доказана теорема об оценке сверху показателя сходимости особого интеграла многомерной проблемы Терри для системы форм одной степени.
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы исследований могут быть применены к дальнейшим исследованиям тригонометрических сумм.
Апробация диссертации
Результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах по аналитической теории чисел под руководством Г.И. Архипова и В.Н. Чубарикова на механико-математическом факультете МГУ им. М.В.
Ломоносова, на Пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике в Кисловодске в 2004 г. (2.05.2004 - 8.05.2004), а также были доложены на Четвертой Китайско-японской конференции по теории чисел, прошедшей в Академическом центре Шеньдунского университета в г. Вейхай (КНР) в 2006 г. (30.08.2006 - 3.09.2006).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Текст диссертации изложен на 58 страницах. Список литературы включает в себя 73 библиографические ссылки.
Преобразование полной рациональной тригономв і рической суммы
В настоящей работе уючняется оценка показателя сходимости ряда о (Tn = (7Qyk). Заметим, чготригонометрическаясумма Далее, пусть для любого кормя (4о»7о) С1СТСМЬ сравнений (4) наибольший общий делитель коэффициентов многочлена в совокупности взаимно просты с р. Таким образом, имеем выражение для тригонометрической суммы: Определим теперь число /, зависящее от наборов (4 o 7o) ( p 7i) , , ( / 7/) корней соответствующих систем сравнений Рассмотрим случай Ь). Пусть /?г я, АГ О.Если рк 1(0(,...,0 ),10 система сравнений имеет единственное решение (0,0) . Ксли же рг \\(а19...,ап_Л9/ П, ю случай Ь) сподится к уже разобранному случаю а). Рассмотрим, наконец, случай с). Пусть Если у /С + у0+\,то система сравнений (6) имеет единсівенное решение (0,0). Если же у ЛГ + 0,то случай с)сводиіся к случаю а). Теорема полносіьіо доказана. 3 Леммы о полиномиальных сравнениях по модулю, равному степени простого числа
Для дальнейшею нам необходимо изучить свойства цепочки показаіелей ll U2,...,Ul и свойства решений системы сравнений в частных производных по модулю равному степени простого числа. Делима 3.1. Пусть Щ,и2 ...,Ы1 - величины, введенные в 2. Тогда справедливы неравенства Доказательство. Проведем индукцию по переменной S, 1 5 ?. Пусть S — I. Рассмотрим многочлен при некоторых "0,?70 из полной системы вычетов по модулю р, О 0, //о Р Этот многочлен Ф0 можно представить в виде где степень многочлена G меньше П. Пусть р 1 наибольшая степень р, которая делит все коэффициенты многочлена Ф0. Заметим, что коэффициенты многочлена F в совокупности взаимно просты с р. Следовательно, Щ п. Более того, имеем где Gf (лг,_у) форма сіепени t от переменных Х,у, причем хотя бы один коэффициент G„ [Х У) взаимно прост с р. Пусть, теперь, набор ( Co Jh) будет решением системы сравнений имеет целые коэффициенты, делящиеся на р . Следовательно, W, 2. Таким образом, при Л = 1, имеем П Щ 2. 1 Іредположим, чю утверждение верно при S — 1, т.е. и хотя бы один из коэффициентов формы Gu \ХіУ) степени UsA взаимно прост с р, причем Докажем лемму при значении параметра, равном s. Имеем где и — Щ +... + Us, функции G{ [х-,у\ являются формами сіепсни t и представляют собой дифференциалы Fyx,y) порядка / вточке Поскольку Gu \Хуу\ - форма наивысшей степени, у которой имееіся коэффициент взаимно простой с /?, величина US US_X ввиду того, что показатели степени р у форм степеней выше Us_] будут не меньше Us . Так как (CS-I J-I) является корнем системы сравнений іо линейная форма Gl \Х,у] делится на р .
Следовательно, us 2. Тем самым, лемма 3.1 доказана. Без ограничения общности можно считать, чго набор [CC,\j решение сисіемьі сравнений (4). Действительно, так как Fx (х; y),F \Х , у) являюіся формами, то вместе с решениями (Со о) % 0 Для любого (/?,/?) = ! решением является (/?Со / о) Возьмем вычет (3 из сравнения /?7/0 = 1 у mod р J. Далее, в силу того, чю p r Fx , p PyF едиисгвенным образом представляется и виде где сіепени многочленов Н(х,у), Рух,у) меньше тх и т2 соответственно и то после замены переменных получим, что точка \&Х) является корнем системы сравнений (4). Таким образом, имеем
Арифметическая природа особого ряда
По данном параграфе мы связываем значения суммы особого ряда с предельными значениями нормированной величины числа решений системы сравнений по модулю равному сіепени простого числа. Лемма 4.1. Имеет место равенство -г(4Ьн-1) rV-1 //-1 2к где Nipj- количество решений системы сравнений ҐУі + - ГЧ = іЧ+і +...x27V2t(mod/), х, иЧ +... зд""1 = % 1 + ...x2kynnl(modpr), (7) где неизвестные ,..., 1,.- пробегают полную систему сравнений по модулю //, А У) ІКІ р S{p ,F) = tP х=1 у=\ F(x,y) = aQx" + alxn-iy + ... + an_]xyn-l+anyn. Доказательство. Имеем or 1 2яі— Я х=1 1, если л = 0(mod р) О, в противном случае. Следовательно, число решений ЛЧ// J системы сравнений (7) равно p pr pr p p pr P o0=! оя=1 J, =! [=] x2k=\y2k=\ xe - _ I p p і-(и+і) 2-i "Lu P %-\ on=\ P P 2n,tM ZZ =1 v=l 2A где F{x, у) = 0 /. i=0 Пусть 11( , ,,..., ), іогда as=plbs,p\{b0,bx,...,bn), Следонателыю, / " -l 1 _!L / .- / / 2,/ .f- zz 2k p - -l } r P - -\ IX ... s /,,,=0 /7 = № pfa. A) .eljl 2m%) / 2/ZZ JC=1 =l 2k где Ф(х У) = "-у. j=0 Таким образом, получим Ґ-\ Ґ-\ =и . АГ" /=0 4,=0 „.,; М / „=0 "У 2я,ФМ .г- ZZ =1 у=І 2к І Іоложим / = / — г. Тогда г p -1 p -1 Z - z 4А(г-/ )-г(и+1) — / 2,Д 2k / =0 л=1 =I r p -\ //-1 =P YL - Z У У 2„їМ p"2 ZZ 2A Таким образом, лемма 4.1 доказана. Лемма 4.2. Справедливо следующее предельное соотношение ap = \\mp-r{4M)N(pr). Доказательство. Из предыдущей леммы Г-ая частичная сумма ряда О" ра»на p N(pr). Тогда из определения суммы ряда имеем a =\\mp r{4k-"-l)N{pr). Лемма 4.2 доказана. 5 Теорема о сходимости особого ряда Итак, мы определили корень (ьо о) как кореш, системы сравнений (4), Щ - степень р, которая в точности дели г коэффициенты мноючлена Из системы сравнений ґ г p- iF yJl Oimodp), I p {Fx(x\ у))у Щто \р), находим ее решения \CXirfA. Получим p-"{Fx{x;y)X ={V- T G2(x,y) +рН,(х,у), t р-" (F, {х;у))у = (щх-by)" & {х,у) + РР2(х,у). Далее, аналогично определим многочлены F2 (х,у),... Имеем F1{x,y) = p-(F,{Cl + i«,4l + fy)-F1(i;l,ni)), и т.д. Аналогично, на .S -м шаге мы получаем систему (4.1), для многочленов Далее с помощью сдвига неизвесшых (x,_yl заменяем произвольный корень [CQ,T]Q), а затем и (р?7) на корень (О, а). Это удобно, так как позволяет относительно одной переменной- у. Получим сооїношения между коэффициентами F yx,yj и FyX,yj. Получим, что козффициешы F X y) лежат в арифметических прогрессиях, связанных с коэффициентами Fyx,y). Так как Fx{x,y) = p Ul(F(px,py + a)-F(0,a)), ю имеем ґ \n-v v= " (X Y " = /Z v — + a КУ J v=0 Y,bs{x + ay)sy" 5=0 a„ = K Я„-1 =4,-1 + A as=b + s + fl V s J bs+la0 +...+ fn\ KSJ h И-І a\ - b\ + t) Ч СЛ n I Vі; A a0=60 По определению величины Щ справедливо соотношение p"\\{p\,...,p\,pbx).
Следовательно, имеем выражения: (ая,...,а0,/?) = 1; Получаем, что для любого S их — 1 имеем Из определения U2: Л = ри2ся ,рЬі = Р"2СЛ = УЧ; усп,...9с0,р) — 1, Получаем, что для любого У2 5Ї W2 — 1 имеем Выписывая аналогичные равенства для каждою показаіеля Ur (ґ ]\ и фиксируй при этом коэффициенты с номерами UriUr+i9...iUr_] — 1, при некоторых постоянных Аи_],...,А1, найдем: v.= " "Ч-.+4,-. (8) Так как ал,...,#0 Є( 1, р — 1L следовательно, число мноючленов с набором показателей (UV...,U 1 не превосходит р , где: v ; 2 2 2 Пусть W] +... + М =/j, следовательно / — 2d) — 1 /t /. Пусіь 5 = Л — (w + 1)(/ —/ j. Покажем, что справедливо неравенство: „ jn(n + \) 2 Из (8) следует: В = /, (п +1) - uf - и\ -... - и) + +(M[+W,-1 + ... + 1) + (W2+... + 1) + ... + (W/ +... + 1) + +(w, + ... + 2) = /,(/7- ,+1) + //,(/,-//, -...-//;_,) + ... ... + (w,-w2)(/-M,) + y(w;+... + l) + +(У-1)(«Н"1 + - + М;) + -... + (//, +... + w2). rt И, И2 ... W/—2 следовагелыю = (wH-w;) +(7-l)(wH+... + w;) y(wH+... + wy), (w,-w2)(/,-w,) + (//,+... + w2) = = (w, -м2)(м2 +... +му) +(w, +... +w2) (и,-И2)(У-і)и2+(Иі+- + «2) ЛМ1+- + М2)-Подставляя это в (9), получаем: 5 /,(/3 + 1- ) + /( ,+( -1) + ... + 1). Воспользуемся равенством: /, = W, +... + и ум, /3 /,(/7-/у,) + 7(М,+(и,-1) + ... + 1) j(n ux)ux +у(м, + (w, -l) + ... + l) (2и+(л-і)+...+і)= і1). Оценим теперь сверху количесіво наборов показателей (и,,...,и I с условием: п щ и2 .,. и] 2; / щ + щ +... + иj I - 2со -1. Пусть вп количество ит =П,...,е2 - количество Um = 2, (1 /77 j). Следовательно, ПЄп + ... + 2е2 =/ и количество наборов (w]v..,W 1 совпадает с количесівом наборов (еп,...,е2), так как П Щ Щ ... U 2 ил может принимать не более —Ь 1 значений, п е2 не более —hi, следовательно, количество наборов (б ,...,#2) не превосходит / . Количество корней с J коордииаіами превосходит pJ, количество наборов 1ц,...,М I не больше /" и количество многочленов, отвечающих набору показаіелей ІИ]}...,И ) не более: 0,5;п(п+3)+и(/-/,) Q,5jn(nr3)+n(2cj+\) I — / и Разобьем все мноючлены Р,\Х,У) = УауХп УуУ на классы в соответствии с длиной минимальной цепочки показателей fw,,...,w 1. В класс А отнесем все те многочлены, для которых минимальная длина цепочки равна j. Для таких многочленов пьшолняеіся следующая оценка: p-2ls(pv;F(x,y)Unp . А количество таких многочленов не превосходит in 1} 0,5jn(n3)+n(2a r\) /уу Следовательно, АІр ) Уп2кр"+]р"{2" І)р{Мп зу2 2к); j0 =тах(і,(/-2й?-і)/л) Вели р П\ /-2(У-І «,ю Л(р ) У пиГр№+№рШ- »-Щ{йМ»+№-и) Если / — 2й — І П,то ) a;V MWi+/w-!l ). J Jo Пусіь р П, югда CO logW log/? = 0и/,= /-І / Если / П, ю л(р ) У /72A/ "t2U"l)+l Д-5"("+3)+2-2А) ; Л2А « и(2 +0+І«(( -0/")(0.5«(«+3)+2-2 ) Если же р п\ 2 / п, то Если же р П\ І — 1, то из оценки Вейля еледуеі: р-і Р-\ І ) &=о / №„ А) Таким образом, при р П справедлива оценка: -КС ap-\ = fjA{p,) nup-i +„2 +bV )+y,4«3)+2-2 + !=\ +уй2 уй я(2ш+1)+1 ((/-1)/и)(0,5я(я+3)+2-2 ) -4 + 0,5л(л+3)+2-2А+5 Здесь 0 - сколь угодно мшше число, /" : р . Пусть /? п, тогда Кй 2-2А і , V л/ l\s\ і ( .1 \и+[ 2А я(2 ін-і)+1 Л , 0,5/7( 3)+2-2 (7,,=1 + 1/7 1 1 + (/7 + 2 ] Я ?1 11 + р 1 Ы + У П2кГ р 2(0 1 1 -(( -2«-1)/«Х-5я(« К2-2А) ; n+2w+i О і сюда получаем, что при 2 0,5я(я + 3) + 2 «1 Следовательно, ряд О" = І I О" = I [О" \ \(7 сходится при условии: р р п р П 2к 0,5п(п + 3) + 3. Таким образом, мы доказали следующую теорему: Теорема 2. Особый ряд Т сходится при 4к п(п + 3) + 6. 6 Оценка снизу показателя сходимости особого ряда По существу в оценке снизу показателя сходимости используется, чю существует достаточно много тригонометрических сумм с оценкой снизу а Q ", Иа всем классе многочленов тригонометрическая сумма оценнваеіся 1--+С сверху как Q п , где Є 0 - сколь угодно малая постоянная. Докажем расходимость особого ряда J при 4к (п + \)(п-\) + 3 = п2 + 2. Имеем, С С,, где -л-1 р р .=SI 1-Е Е Р" р" 2//ZSexp(2;r//r( )) 2к Покажем, что при р П справедливо неравенсіво Р" Р" -2 х=1 у=\ Сделаем подстановку вида У Уо+Р Уі л 1 \ х0,у0 р"-\ 0 Wl / -l Получим Е У\=0 U F(Xa,y0)ye р уе р x0=\y l jr,=0 поскольку
Оценка снизу показа і еля сходимости особого ряда
По существу в оценке снизу показателя сходимости используется, чю существует достаточно много тригонометрических сумм с оценкой снизу Q ", Иа всем классе многочленов тригонометрическая сумма оценнваеіся сверху как Q п , где Є 0 - сколь угодно малая постоянная. Докажем расходимость особого ряда J при Далее воспользуемся признаком сравнения рядов. Для общего члена ряда (J] имеем неравенство -4 +2в+(л-1) ( 1 У 1- V Р) -(л+1) 4к+п2+\ Из элементарной теории чисел известно, что ряд Х,Р расходится. р п Следовательно, ряд 7j, а также особый ряд (7 расходятся при -4А + и2+1 1, т.е. они расходятся при 4к П + 2. Таким образом, справедливо следующее утверждение Теорема 3. Особый ряд (7 расходится при 4к п2+2. Глава II. Особый ряд аддитивной задачи с неполной совокупностью форм заданной степени 1 Полные рациональные тригонометрические суммы с выщербленным многочленом Пусть 0 m r ... S n - натуральные числа и количество чисел m,r,.,.,S равно Я и пусть ЯФП + Х. Рассмоірим следующую систему из Я уравнений т _.п-т т _.п-т _т _.п т Х\У\ + + Хк У к Хк+\Уы + + Х2кУі г ..п-г п-г .Г ..П-Г J ..п-г Х\У\ " ХкУк Хк+\Укг\ + + Х2кУік (1.1) .n-s .s ..n-s .s ..n-s J ..n-s Х\У\ - - + ХкУк =Хк+\Ук+\ + " + Х2кУік ПрИЧЄМ неизвестные 1, 2,..., 24 9 1) 2 -- 24 ЭТ0И СИСТСМЫ уравнений моїуі принимай значения натуральных чисел от 1 до Р. Система уравнений (1.1) называется неполной в отличие от полной, рассмотренной в їлаве I. Форма j (x,yj = amx у +агх у -..Ла3ху степени П называется выщербленной, если число Я мономов в ней, отлично от И + 1. Определим среднее значение полной рациональной тригономеїрической с выщербленной формой в экспоненте следующим образом: » Ц„-\ 9,-1 - =1 I Z I G=i к. )НЧ=о в,=о Q 2S {ат v ") \Чк ч ) ос = 4(6) A{Q)« Е р{ч„)МШ "(ЬіЄ) . где v = max (s, п-пг) п. Из формулы Гаусса У,фЫ) = а находим da ( V Z Р{ Іт)--ф{Я ) ЕИ ?) = QX Имеем 2k , —+л \A{Q)\«Q (inef. Следовательно, по признаку сравнения, последний ряд сходится, когда + А -\ т.е. при 2к v(A. + \). Таким образом, справедлива следующая іеорема Теорема 4. Пусть 0 Ш Г ... 5 /3 - натуральные числа и количество чисел т,/ ,...,S равно Л, причем ХФпЛ-\. Тогда особый ряд =14(6) сходится при 2& v(/l + l), где 0=] K = max( ,w-/w) /?. 2
Оценка снизу показателя сходимости особого ряда Теорема 5. 5. Пусть т = О, S = П. Тогда особый ряд 7 расходится 4к Яп-Я + 3. 6. Пусть т = 0. Тогда особый ряд 7 расходится при 2kuAn-m-...-r — t-...-s + \. 7. Пусть s = П. Тогда особый ряд (X расходится при 2k m + ... + r + t + ... + s + \. п 8. Пусть тФ0,s n,0 m ... r — t ... s n. Тогда особый ряд Т расходится при 2к т + „. + г + (л/-/) + ... + (и-л ) + 1. Доказательство. Рассмотрим утверждение 1). Определим ряд (Jj J следующим образом р « / =1 6Л=] Л,=1 ь„=\ где " р" S{F\ ix y))=LHeM27riFi (х )} Е(х,у) = - —+ ... + -—т- + Л—г- + --- + -Имеем S{FXx,y)) = p1-1. Действительно, нолаїая, M-l получаем .и-І х = и ря г,\йи рп \\ г р, y = u + pn-lo),\ u p"-\\ co p х"=ип + пр"-1іи"-1(то6рп), yn=vn+npn-lu)Vn-l(modpn). Следовательно, p"-[ р"л ( ))=ЕЕЄХРН( )1 U=I v=\ X X p p LLQXv Z = ] & =\ ІЖІП zunA+ 6)0 ==/7 2«-2 Позі ому для ряда 7, имеем оценку снизу р" р" 1 р"-] .=IE-Z I -1 2 2н+(Л-2}(«-])-4 (ho,p)=\ (MH {b,,p)=\ (V/ )=1 /J « 2У p n G при условии Гак как ряд Ур расходится, то расходится ряд 7,, а вместе с ним и ряд р п 2п + (Л-2)(п-\)-4к -\, т.е. при 4 2Л + 1 + (Я-2)(Й-1) = ЛИ-Л + 3. Утверждение 1) доказано. Рассмотрим утверждение 2). Определим ряд Т2 ? так: := Ї \p-24F y)f (Мя1 (V/ H ( ,./ Н іде S(F2(x,j )) = exp{2;n 2 ( ,;;)}, vi \ V brxn rf bsxn sy Имеем .. . /)-5 р р р S(F2(x,y)) = p2"-]. Полаї ая x = u + pn ]z, \ и р" ] ,\ z p, получим S(F2(x,y)) = ZU І 2д-1 р" р"-1 р = SZeXP{2;r//r2(W )}SeXP У=\ U=\ 2=1 Поэтому для ряда У2 имеем оценку снизу л-1 І71І— \ = р р рп г р" -s-гк г2=Е ...... І/И г уу— р п Ьц=\ 6Г=1 6,=1 р п {Ь,,р)=1 (Ь„р)=\ (А„р)=І Следовательно, (Т2 ряд расходиіся при 2k Xn-m-.,,-r-..,-s + \. Сооївеїственно, вместе с рядом 72 расходится и ряд (7 при условии 2k Xn-m-...-r-...-s + \. У іверждеиие 2) доказано. В случае 3) рассмотрим ряд (73 вида = -Е- k2"5(F3( )) , ( „,/ )=] (ft„/ )=l (A„/ )=1 где Л = І JV=1 Имеем s(f,( ))=/»2"- . Но аналогии со случаем 2) имеем, что при 2k m + ... + r + .., + s + \ ряд (Т3, а значит, и ряд С расходятся. Рассмотрим теперь случай 4), По аналогии с предыдущими случаями рассмотрим ряд 74, где _,, v bmxn mym brx"-ryr Ьгхячу Ьчхв У 4І Л = — = - + ... + - + — + ... + — —. Рассмагривая замены переменных x = u + p" lz,\u pn-\] z p, либо у = о + р"-1й),\ и р"-\\ а) р, получим требуемый результат. Теорема доказана. Глава III. О сходимости особого интеграла. Пусть П 2, Р 1 - натуральные числа. Рассмотрим систему из И +1 - го уравнения, определенную в главе I. Х\ + + - -Х ЬІ + + Х2к (1) ад""1+ +здя" = ХшУІЇ + +ЛГ2 2І! причем неизвестные Х,Х2,...,Хц,_У,_у2,...,_у2Л этой системы уравнений могут принимать значения натуральных чисел от 1 до Р. Рассмоірим 00 особый интеграл, определенный также в первой главе, который имеет следующий вид 2к -ко +» 1 1 da0da}...dan, ea=]-]\\emS(x-y)dxdy О О -00 -X f(x,y) = aQx" +а{хГху + ... + а х)Гх + апу"; Рассмотрим сходимость особого иніеграла (90, Теорема 6. Пусть интеграл (90 отвечает многочлену fix,у) следующего вида: п п f, =0 іг =0 Тогда 6Q сходится при 2к п(п + \) + 2. Доказательство. Оценим объем области
Оценка снизу показа геля сходимости особого ряда
Пусть т = О, S = П. Тогда особый ряд 7 расходится 4к Яп-Я + 3. 6. Пусть т = 0. Тогда особый ряд 7 расходится при 2kuAn-m-...-r — t-...-s + \. 7. Пусть s = П. Тогда особый ряд (X расходится при 2k m + ... + r + t + ... + s + \. п 8. Пусть тФ0,s n,0 m ... r — t ... s n. Тогда особый ряд Т расходится при 2к т + „. + г + (л/-/) + ... + (и-л ) + 1. Доказательство. Рассмотрим утверждение 1). Определим ряд (Jj J следующим образом р « / =1 6Л=] Л,=1 ь„=\ где " р" S{F\ ix y))=LHeM27riFi (х )} Е(х,у) = - —+ ... + -—т- + Л—г- + --- + -Имеем S{FXx,y)) = p1-1. Действительно, нолаїая, M-l получаем .и-І х = и ря г,\йи рп \\ г р, y = u + pn-lo),\ u p"-\\ co p х"=ип + пр"-1іи"-1(то6рп), yn=vn+npn-lu)Vn-l(modpn). Следовательно, p"-[ р"л ( ))=ЕЕЄХРН( )1 U=I v=\ X X p p LLQXv Z = ] & =\ ІЖІП zunA+ 6)0 ==/7 2«-2 Позі ому для ряда 7, имеем оценку снизу р" р" 1 р"-] .=IE-Z I -1 2 2н+(Л-2}(«-])-4 (ho,p)=\ (MH {b,,p)=\ (V/ )=1 /J « 2У p n G при условии Гак как ряд Ур расходится, то расходится ряд 7,, а вместе с ним и ряд р п 2п + (Л-2)(п-\)-4к -\, т.е. при 4 2Л + 1 + (Я-2)(Й-1) = ЛИ-Л + 3. Утверждение 1) доказано. Рассмотрим утверждение 2). Определим ряд Т2 ? так: := Ї \p-24F y)f (Мя1 (V/ H ( ,./ Н іде S(F2(x,j )) = exp{2;n 2 ( ,;;)}, vi \ V brxn rf bsxn sy Имеем .. . /)-5 р р р S(F2(x,y)) = p2"-]. Полаї ая x = u + pn ]z, \ и р" ] ,\ z p, получим S(F2(x,y)) = ZU І 2д-1 р" р"-1 р = SZeXP{2;r//r2(W )}SeXP У=\ U=\ 2=1 Поэтому для ряда У2 имеем оценку снизу л-1 І71І— \ = р р рп г р" -s-гк г2=Е ...... І/И г уу— р п Ьц=\ 6Г=1 6,=1 р п {Ь,,р)=1 (Ь„р)=\ (А„р)=І Следовательно, (Т2 ряд расходиіся при 2k Xn-m-.,,-r-..,-s + \. Сооївеїственно, вместе с рядом 72 расходится и ряд (7 при условии 2k Xn-m-...-r-...-s + \. У іверждеиие 2) доказано. В случае 3) рассмотрим ряд (73 вида = -Е- k2"5(F3( )) , ( „,/ )=] (ft„/ )=l (A„/ )=1 где Л = І JV=1 Имеем s(f,( ))=/»2"- . Но аналогии со случаем 2) имеем, что при 2k m + ... + r + .., + s + \ ряд (Т3, а значит, и ряд С расходятся. Рассмотрим теперь случай 4), По аналогии с предыдущими случаями рассмотрим ряд 74, где _,, v bmxn mym brx"-ryr Ьгхячу Ьчхв У 4І Л = — = - + ... + -
Рассмагривая замены переменных x = u + p" lz,\u pn-\] z p, либо у = о + р"-1й),\ и р"-\\ а) р, получим требуемый результат. Теорема доказана. Глава III. О сходимости особого интеграла. Пусть П 2, Р 1 - натуральные числа. Рассмотрим систему из И +1 - го уравнения, определенную в главе I. Х\ + + - -Х ЬІ + + Х2к (1) ад""1+ +здя" = ХшУІЇ + +ЛГ2 2І! причем неизвестные Х,Х2,...,Хц,_У,_у2,...,_у2Л этой системы уравнений могут принимать значения натуральных чисел от 1 до Р. Рассмоірим 00 особый интеграл, определенный также в первой главе, который имеет следующий вид 2к -ко +» 1 1 da0da}...dan, ea=]-]\\emS(x-y)dxdy О О -00 -X f(x,y) = aQx" +а{хГху + ... + а х)Гх + апу"; Рассмотрим сходимость особого иніеграла (90, Теорема 6. Пусть интеграл (90 отвечает многочлену fix,у) следующего вида: п п f, =0 іг =0 Тогда 6Q сходится при 2к п(п + \) + 2. Доказательство. Оценим объем области тех точек a(Aj,&2),(0 k k2, , +k2 =nj, где величина H не превосходит Р. Величина Н в общем виде определяеіся для мноючлена оі Г переменных следующим образом: п п t +... + кг и, .,...,. 0. і a »-yfo,...,xf) А, А, » При 1 5,, Л", Р положим uys) = - h s {Р Р) и рассмотрим область п(д ) = П( ;а) тех точек а, где выполняется неравенство: р{к\иЩ Зя +"г; Д2 0; + =/7. Оценим сверху JU [ ПIS) j - объем области Q. I J. Имеем: /іШш = J... \da. Сделаем в интеграле замену переменных. Новые переменные /и Л j определяются из равенсіва n n st =0 s2 =0 n n = EE a{h,h) hyh /,=0/;=O /+ 2=« lK l 2= 2 Якобиан этого преобразования равен 1, следовательно n n «( ,. 0=IEH s,-/,+ -(2 v v ., .О v 2y /?(.?1, ГЧ г (П(ї))= J-J rf/? = (2-3")"P4. /Ї(А) ЗП/ (+ 2 іде L? - количество коэффициентов /?(&], V = ft + \, а величина Л определяется равенством и я А=ЕЕ ( + )=ЕЙ=,(Й+1) л=0 /,=0/,=0 /,+г2=м Покажем, что если в точке а выполняйся неравенство Н Р, ю зіа точка при некотором S = yS{,S2J принадлежит ПІ 5"). В силу данного неравенства найдется точка С, —\С\- Сг) такая, чго для каждых к\ ,к2 0; , + к2 =П имеем тс р, т.е. K .f) р ,+ 2 Положим Sj = ,/ , S2 = /1 j и покажем, чю а принадлежиі п(;). Пусть _L -2. {P pj Тої да по формуле Тейлора имеем: /?p;M(s)j = /?( ;J + z) = + ... = /?(ї;фі(/ (ї;?)г+й ( ;J)z2 г An-s) zi T7 + z2 , р{к Л У Pki+k\ {n-s)\\xdx d2) l Таким образом, точка а принадлежит области Q.. Следовательно, Обозначим через 7ГІР) область точек а, для которых Р Н 2Р, Тогда для интеграла вй имеем: КС і і 2A m= ,(2-) 00 Jl 1 + J ... J J jexp 12л"// (x, у)} б/хф n(5j) 00 Уд. /a + Применим оценку из теоремы 8 главы 1 [28], которая оценивает сверху интеграл /: /«тіп(і;/Г ). Получим в « У (2 3" ){n+i) 2n{n+i)+2 2 ( 0+2-2 ) + /2. з" V"Tl) Следовательно, 0Q сходится при 2k n(n + )) + 2. Тем самым, іеорема доказана. Глава IV. Асимптотическая формула для числа решений одной многомерной аддитивной задачи. Данная глава носит характер подведения итогов рабоїьі. Напомним, что мы полагаем П 2, Р \ - натуральные числа и рассматриваем следующую сисіему из YI +1 - го уравнения Х\ + + - Ы + + 2А А ХУ\ + + ГЧ = Оы + +xy2k (1) ЬУҐ ++здв = хыу+...+w2V +-+ = ,+-+ причем неизвестные ДГ, Х2,..., Х2Д, "t, 2 — -V2A этои системы уравнений могут принимать значения натуральных чисел от 1 до Р. Система уравнений (1) дает многомерное обобщение уравнения Барині а х" , +г" =х" + + х" неизвестные, в котором пробегают натуральные значения от 1 до Р. Jк п\Р) -количество решений системы уравнений (1). При фиксированном П 2 и & kQ, где 0 = 0 (tl) некоторое J In л натуральное число, имеющее порядок П , справедлива асимптотическая формула
