Введение к работе
Актуальность темы. Развитие численных методов и вычислительной математики связано с необходимостью решения многих задач науки и техники. Большое место среди этих методов занимают конечно-разностные методы (разностные схемы). Благодаря своей универсальности они широко применяются при исследовании многих задач математической физики, а также ряда других задач.
Внимание как отечественных, так и зарубежных математиков в последние несколько десятилетий привлекают задачи с нелокальными краевыми условиями. Они принадлежат к классу актуальных задач, на необходимость изучения которых неоднократно указывалось А.А.Самарским и другими авторами.
Основополагающие результаты по теории исследования нелокальных краевых задач были получены в работах А.В. Бицэдзе, В.А. Ильина, А.А. Самарского. Эти работы дали мощный импульс исследованию ж всестороннему развитию этого направления современной науки.
Большое число различных типов нелокальных задач характеризуется разнообразием приемов и методов их исследования. До настоящего времени не существует законченной теории исследования такого типа задач. Нередко авторам приходится применять новые или модифицированные методы, так как применение классических методов, таких как метод разделения переменных, принцип максимума, метод энергетических неравенств, затруднено.
К указанному типу задач относится и задача, которая является предметом рассмотрения в данной диссертации. Исследуемая задача является сопряженной к задаче Самарского-Ионкина. Особенностью рассматриваемой задачи является несамосопряженность, по-
роаденная краевыми условиями. Это определяет трудности ее теоретического изучения и исследования дискретного аналога. Результаты общей теории разностных схем и дифференциальных уравнений невсегдз удается перенести на исследование данной задачи.
Настоящая работа возникла как продолжение исследования одной неклассической краевой задачи, сформулированной А.А. Самарским и изученной в работах Н.И. Ионкина.
Для указанной задачи в случае постоянных коэффициентов было доказано существование и единственность классического решения, получены априорные оценки решения по начальному условию и правой части уравнения. Кроме того, были найдены собственные значения, а также построена система собственных и присоединенных функций. По-видимому, это первый конкретный пример в теории несамосопряженных задач, в котором для каждой собственной функции, за исключением собственной функции, отвечащей нулевому собственному значению, построена присоединенная функция, так что присоединенных функций бесконечно много.
Были также изучены разностные схемы для задачи Самарского-Ионкина. В частности, были рассмотрены вопросы существования, единственности и устойчивости разностного решения. Получено представление разностного решения в виде разложения по собственным и присоединенным функциям в биортогональную сумму. Выведены
априорные ОЦеНКИ решения В Метрике Lr,(W}]).
Исследование устойчивости решения в более сильной метрике с в случае, когда правая часть уравнения зависит только от переменной х, проведено в работе Н.И. Ионкина и Н. Зидова. Для получения априорных оценок используется представление решения в виде разложения в биортогональную сумму по собственным и присоединен-
ным функциям, а также теоремы вложения С.Л. Соболева .
Н.И. Ионкиным был также предложен и обоснован новый метод изучения равномерной устойчивости и сходимости разностных схем, который основан на использовании алгоритма нахождения численного решения и свойств матрицы, обратной к матрице, порожденной системой разностных уравнений.
В работах Н.И. Ионкина, Д.Г. Фурлетова этот метод получил дальнейшее развитие. Он был обобщен на случай переменных коэффициентов. Предложенный метод позволяет получить априорные оценки, из которых вытекает устойчивость и сходимость разностного решения в равномерной метрике ев случае переменных коэффициентов, которые удовлетворяют следующим условиям:
с(х, t)=с(1~х, Ь). к(х. t)=kCl-x,t), q(x. t)=g(l-x, t!.
Цель работы. Основными вопросами, исследованными в диссертации, являются:
і). изучение дифференциальной задачи в случае постоянных коэффициентов на предмет существования и единственности классического решения, устойчивости по входным данным;
2). исследование разрешимости разностной схемы, а также ее равномерной устойчивости и сходимости в случае переменных коэффициентов ;
3). детальное численное изучение спектра задачи.
Общая методика. В настоящей работе для исследования дифференциальной задачи в простейшей постановке используется методика, предложенная Н.И. Иошшным. Для случая произвольных коэффициентов применяется метод исследования устойчивости разностного решения, позволяющий получить априорные оценки в равномерной метрике с. Спектр задачи в случае постоянных коэффициентов
изучается аналитически, а в случае переменных коэффициентов -путем проведения вычислительного эксперимента.
Научная новизна. В диссертации получила дальнейшее развитие теория исследования несамосопряженных задач, предложенная в работах Н.И. Ионкішз. Доказано существование и единственность классического решения рассматриваемой краевой задачи в случае постоянных коэффициентов. Получены априорные оценки решения разностной задачи для случая произвольных коэффициентов, зависящих как от переменной х, так и от переменной t, в равномерной метрике с. Детально изучен спектр задачи путем проведения вычислительного эксперимента.
Результаты, представленные в диссертации, являются новыми, математически строго обоснованными.
Приложения. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты представляют определенный интерес как в теории несамосопряженных разностных схем, так и в построении методов исследования неклассических краевых задач. Предложенный алгоритм может быть использован для численного исследования некоторых прикладных задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМиК, руководимой А.А. Самарским, э также на Международной конференции по фундаментальным наукам "Ленинские горы - 95" (г.Москва, 1995 г.).
Публикации. По теме диссертации опубліковано 4 работы автора , перечисленные в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация изложена на 70 страницах; состоит из введения, трех глав, каждая из которых разбита на
параграфы, и заключения. Список литературы содержит 47 наименований.
