Введение к работе
Актуальность темы. В 1957 г. Холлидей обнаружил глубокую связь между натуральными сплайнами п многоточечными вариационными задачами. Им было установлено, что единственным решением задачи
feW22[a,b]; /(*,) = %, з Є 1:п,
где a = t\ < І2 < ... < f„ = 6 п Wlfai^] — линейное пространство функций, вторая производная которых суммирз'ема с квадратом на [а,Ь], является натуральный интерполяционный кубический'сплайн, т. е. функция из класса С2[а, Ь], сужение которой на каждый отрезок [tj-i,tj] есть алгебраический полином степени не выше трех и вторая производная которой на концах отрезка [а. Ь) обращается в ноль.
В дальнейшем систематическое исследование разного ища сплаігнов, получающихся при решешш некоторых экстремальных задач в классах гладких функции п удовлетворяющих определенным интерполяционным условиям, получило, интенсивное раЗНІі-тие. В последние два десятилетия широкое внимание привлекло г теория вариационных неравенств ы численных методов их решения. В связи с вариационными неравенствами особую актуальность приобрели контактные задачи. В частности, контактные задачи активно изучаются в теории упругости.
В 1988 г. Опфср ц Оберлс рассмотрели контактную задачу
F(f)~J*\j"(x)}2Jx->mL м
/ Є ИІМІ; f(tj) = yj, j.e l:n; f(jr) > 0 на [a.b\.
где a = ti < 1-2 < ... < t„ = b; t/j > 0, j Є hп. В своей р;п".-;.-они указали необходимые условия оптимальности для задачи (> >. Приведем их результат.
Обозначим через ,И+ множество функций, удоплеГ«е.р^ч.;;:;-v ограничениям задачи (1).
Теорема. Пусть /» доставляет минимум функционалу F(f) на М-+. Тогда /, имеет следующие свойства:
(і) /*, является натуральным кубическим сплайном на системе узлов
fl=Ti < т<х < ... < Тн = b, N > п,
где г; содержат исходные узлы tj и, возлюжно, новые узлы (называемые дополнительными узлами); дополнительные узлы являются нулями /*, в любой окрестности которых имеюпіся положительные значения /».
(іі) Между двумя соседними узлами tj находится не более двух дополнительных узлов. В случае двух дополнительных узлов /* = О между ними.
(ш) Если г является дополнительным узлом, то
Г(т + 0)-Л"(г-0)>0.
Промежуток \Tk-i,Tk], на котором /„ = 0, называется промежутком выстилания.
В 1989 г. Даунер и Райнш свели задачу (1) к задаче проектирования -элемента гильбертова пространства на непустое замкнутое выпуклое множество. Тем самым был установлен факт существования и единственности решения задачи (1).
В своей статье Даунер и Райнш предложили также алгоритм с линейной скоростью сходимости для построениа неотрицательного кубического сплайна, интерполирующего положительные значения. Поскольку исследуемая задача — нелинейная, то численный метод имеет итерационный характер. На каждом шаге решается 'глобальная' задача сплайн-интерполяпин а "локальная'. задача уточнения положения промежутков выстилания и изолированных нулей.
Идея метода состоит п следующем. По исходным узлам ],
/» tn строится натуральный интерполяционный кубический
сплайн 5 ('глобальный'' сплайн). На каждом интервале (lj-i,tj), на котором S принимает отрицательные значения, сплайн S за-
.меняется неотрицательным кубическим сплайном Sj. Сплайн S,-имеет на интервале [tj-utj) один или два дополнительных узла (с нулевыми ординатами) и удовлетворяет определенным граничным условиям в узлах y_i и tj.
В'алгоритме предусмотрены два варианта решения ^локальной'1 задачи. Первый вариант связан с интерполяцией по значениям "глобального" сплайна и его первых производных в узлах f,-_i п tj. Именно этот вариант и исследовали Даунер и Рапнш. Второй вариант связан с интерполяцией по значениям "глобального" сплайна а его вторых производных в узлах t}_i л tj. .
Далее, по расширенной системе узлов, включающей в себя исходные и дополнительные узлы, строится "глобальный" сплайн S. На каждом интервале ({,-_i,t,), на котором S принимает отрицательные значения, сплайн 5 снова заменяется неотрицательным кубическим сплайном Sj. Формируется новая расширенная система узлов и пронесе повторяется.
Алгоритм заканчивает свою работу, когда решение "глобальной" задачи становится неотрицательным на [а,Ь].
Цель работы..
-
Разработка численного метода решения задачи (1) со вторым вариантом решения "локальной" задача.
-
Формулировка и доказательство необходимых и достаточных условий оптимальности для задачи
. n/):-y^{iin?)]a+g/(i)}rfx-.inf/ . (2)
fWl[a,b}- f(tj) = yitjl:h; /(*)> 0 на [с, І),
где а — ti < Ц < . < tn = 6; щ > 0, j Є 1: п; q —- положптельная константа.
-
Разработка, численного метода для построения решения задачи (2).
-
Характеризадия решения задачи
FW := Г {ІИ42+їФ/(*)} лг - ш,.
/ Є Ц%(Ж+); /(*,) = Ул І Є .1: п; . /(* j > 0 на R+,
где 0 = 11 < t2 < ... < tn; Vj > 0, j Є 1: n; q(x) — функция, определенная на полуоси R+ = [0,+сс), неотрицательная, локально суммируемая п такая, что J д{х) dx = +со; Wj,?!-*-) ~~ линейное пространство функций /, у которых і q{z)\f{x)\dx < +оо п вторая -производная /" суммируема с квадратом на R+.
-
Разработка численного метода для построения решения задачи (3).
-
Разработка программного продукта, реализующего численные методы решения задач (1)-(3).
Методика исследования опирается на вариационное исчисление и теорию сплайнов..
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты.
-
Разработан численный метод решения задачи (1) со вторым вариантом решения "локальмой" задачи.
-
Установлен критерий оптимальности для задачи (2) и доказана теорема единственности решения. .
-
Разработан численный метод решения задачи (2).
-
Установлен критерий оптимальности и теорема единственности решения задачи (3).
о. Разработан численный метод решения задачи (3).
С. Разработан программный продукт, реализующий численные
методы решения задач (1)-(3). ;
Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при численном решении контактных задач теории упругости, в частности, выстилания упругоц балки, лежащей ни нескольких опорах, на горизонтальное основание под действием положительной нагрузки.
Апробация работы я публикации. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Optimization of Finite Element Approximations" ( С.-Петербург, КТО г.). в а семинаре кафедры исследования операций и на семинарах хю нелинейным экстремальным задачам при С.-Петербургском
университете. По теме диссертации опубликованы четыре работы.
Структура п объем работы. Диссертация состоит т ппс-денпя, трех глав, разбитых на 19 параграфов, списка литературы и приложения. Объем диссертации — 102 стр. основного текста и 22 стр. приложения. Список литературы насчитывает 43 найме нованпе. В диссертации имеется 10 рисунков nil таблиц.
