Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. О расстоянии между соседними нулями L-функции Дирихле, лежащими на критической прямой 12
1. Функция Zx(t) 14
2. Преобразование формулы для Zx(i) 16
3. Основная теорема 18
Глава 2 . О существовании малых значений дзета-функции Римана и L-функции Дирихле на коротком промежутке критической прямой 36
1. О существовании малого значения дзета-функции Римана на коротком промежутке критической прямой 36
2. О существовании малого значения L-функции Дирихле на коротком промежутке критической прямой 44
Глава 3. О постоянной в оценке числа последовательных квадратичных вычетов 50
1. Новый вариант неравенства Дэвенпорта—Эрдёша 52
2. Леммы из теории диофантовых приближений 56
3. Основная теорема 59
Список литературы
- Преобразование формулы для Zx(i)
- О существовании малого значения дзета-функции Римана на коротком промежутке критической прямой
- О существовании малого значения L-функции Дирихле на коротком промежутке критической прямой
- Леммы из теории диофантовых приближений
Введение к работе
Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Предметом исследования является распределение значений L-функций Дирихле с характером по модулю, равному степени простого нечетного числа, на критической прямой. Эти функции для произвольного модуля к ввел в 1837 г. Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Дирихле доказал, что в любой арифметической прогрессии Ь, Ь + т, Ъ + 2т, ..., где (m, b) = 1, имеется бесконечно много простых чисел. В полуплоскости Res > 1 L-функции Дирихле задаются равенством
п=1
где х ~ характер по модулю к.
Теория L-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей L-функций Дирихле.
Преобразование формулы для Zx(i)
Харди и Литтлвуд [1] в 1918 г. оценили расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой. А именно, они доказали, что при Т TQ(E) 0 и Я ) j"i/4+e промежуток (Т, Т -f Я) содержит нуль нечетного порядка функции Z{t). В работе 1976 г. Я. Мозер [11] показал, что можно взять Я TllG\og2T. В 1981г. А. А. Карацуба [13] доказал это утверждение при Я T5/32log2r.
В настоящей главе рассматривается аналогичная задача для L-функций Дирихле с характером по модулю, равному степени простого нечетного числа.
Пусть d = рк, р—простое нечетное число, к 2. Обозначим через д наименьший из первообразных корней по модулю d (как известно, по модулю, равному степени простого нечетного числа, первообразные корни существуют). Пусть indп—индекс числа п, (n,d) = 1, по модулю d при основании д, т.е. такое число у — indn, что д1 = п (modd).
Определение 1.1. Характером Дирихле по модулю d = pk, р 2— Глава 1. О расстоянии между соседними нулями L-функции Дирихле простое, к 2—натуральное, называется функция х(п) определенная на множестве целых чисел, такая, что 0, если (n,d) 1, о -m indn е ЗГ, если (n, d) = 1, где т—целое число. Как видно из определения, функция х(п m d) зависит от параметра га, является периодической поте периодом (f(d), т.е. существует p(d) характеров по модулю d, которые получаются при т = 0, ..., p(d) — 1. Определение 1.2. Характер х(п) равный 1 на числах, взаимно простых с модулем, называется главным. Наименьший период характера х(п) может быть меньше, чем его модуль d. Далее будут рассматриваться характеры, называемые примитивными, наименьший период которых равен их модулю. Определение 1.3. Неглавный характер х{п) по модулю d = pk, р 2—простое, k 2, называется примитивным, если (m,d) = 1. Определение 1.4. Пусть d—некоторое натуральное число, х какой-либо характер по модулю d. L-рядом Дирихле называется ряд оо (». ) = 71s п=1 Если характер Дирихле отличен от тривиального, то L-ряд сходится при Res 0; в случае главного характера он сходится при Res 1. Как было сказано выше, мы будем рассматривать случай, когда d является степенью простого нечетного числа. Глава 1. О расстоянии между соседними нулями L-функции Дирихле 1. Функция Zx(t) Далее нам понадобятся следующие утверждения. Лемма 1.1 (Формула Стирлинга, см. [16]). В фиксированной полосе а с /3 при t - со 1оёГ( 7 + it) = (a-hit - і J log (і ) - it + log27r + О (- J . Лемма 1.2 (см. [17]). "сли x — примитивный характер mod d, s = a + it, 0 a 1, dt 2л , mo (s,x) - ns \K J Г( ) - n1 s „s- fdt X \ I / / dT + o((dt)- Vdlog2ty где a = i(l-x(-l)), ІХ) = Ш Лх) = E X(n)e n=\ Так как x(—1) = ±1, то а принимает значения 0 или 1. Рассмотрим случай а = 0. Случай а = 1 рассматривается аналогично. Известно, что т(х) I = \ЛЇ Поэтому є(х) — 1 + 0(( jYlog2t. (1.1)
Используя проведенные оценки и полагая Р = л/тЦг, получаем формулу: Re (х(«)ешв) + О Ш + o((dT)-J)+of()4log2TJ = = 2Е— —1+ пР Re(X(n)e ) = - + О (Т"1/6 logT) = 2 3. Основная теорема Ключевую роль в доказательстве теоремы о расстоянии между соседними нулями Х-функций Дирихле на критической прямой играют оценки «гибридных сумм». «Гибридной суммой» называется сумма вида Е х(»)»в Сформулируем несколько утверждений, которые понадобятся нам в дальнейшем.
О существовании малого значения дзета-функции Римана на коротком промежутке критической прямой
Далее заметим, что при замене верхней границы суммирования л//(27г) величиной у/Т/(27г) правая часть формулы Римана—Зигеля изменится на величину порядка не выше Т-1/4. Действительно, VTTH = VT + _J_ г- ( ВЛ _ VT_ __L В_ " у/ъГ V + 2Т) - + 2%/2 V? Оценим сумму Е cos(#() — tlogn) \7 %/Г/(2тг) п А/(Г+Я)/(27Г) Поскольку длина промежутка суммирования равна Jo JL 1, то сумма содержит не более одного слагаемого, модуль которого не превосходит 4 г. Поэтому Е у/Т/(2іг) п (Т+Н)/(2ж) cos (6(t) — tlogn) л/п 2тГ Глава 2. О существовании малых значений
Величина М jr не превосходит величины остатка в формуле Римана— Зигеля. Оценим погрешность, возникающую при замене 6(t) на 9i(t), с помощью следующих равенств: cos(A + В) = Re (ег (л+Б)) = Re (еІЛеІВ) = Re (еІЛ (і + е Ді)) = = Re (еІА) + Re (еІЛег Ді) = cos Л + О(В), где Ai = 0(B). В нашем случае Л = 9i(t) logn, В = 0 {H2T l). Используя проведенные оценки, получаем формулу cos(#i() — tlogn) Z{t) = 2 Y, у/й + о (н т-1) У] -i= + пу/Т/(2тг) п у/Т/Щ + + о(т-У 1оЕт)=2 C0s№(i)- l0Sn) \/п п у/Т/(2тг) + о (я2т-3/4) + О (T- logT) . Так как f + = 2тгА; и Я = О (Т к Т), то формула принимает окончательный вид: Z(t) = 2 C0S( y/n)) + О (г"1/ logr) , п Р ГДЄ Р=у/ТДЩ. Рассмотрим числа и, такие, что выполняются неравенства Т 7Т1У logP Т + Н. Возьмем 1/0 = TlogP 7Г + 1, r = [logT], Яі = #logP 7ГГ Глава 2. О существовании малых значений" и определим числа v равенством v = Ро+и\ + .. .-\-иг, где щ — фиксированное число, а 1/1,..., vT принимают целые значения из отрезка [О, Н\ — 1]. Рассмотрим сумму Hi—l Hi—l ry, . где tv = fijjjrp, v = Щ + v\ + ... + vr. По условию \Z{)\ M на интервале (T,T + H) и функция Z(t) непрерывна на (Т,Т + Н), следовательно, она сохраняет знак на этом интервале. Поэтому \S\ = Щ. Предположив, что Н есть величина порядка выше —JJ2-, и подставив соответствующее значение ії"і в полученную оценку, будем иметь проти Глава 2. О существовании малых значений воречивое неравенство Щ = \S\ « i5i « ±Щ (M(logT)"1 + M OogT)"1/2) П 2. О существовании малого значения L-функции Дирихле на коротком промежутке критической прямой
Как было показано в 1 главы 1, модуль L-функции Дирихле на критической прямой равен модулю функции Zx(t), которая при вещественных t принимает вещественные значения. Поэтому оценка \L ( + г,х).сводится к оценке х().
Теорема 4. Пусть % —примитивный характер по модулю d = pk , р — простое нечетное, р ехр (Alog2/3 ), А 0, к Є N, к 2, Т То О, Г d3, М = M(d,T)— некоторая функция, такая, что (dT)- \og\dT) « М « (dT)V - 4og2(dT), Н » W Vm где 7 0 — постоянная из леммы об оценке «гибридной суммы». Тогда на промежутке (Т, Т+Н) найдется точка Т\ такая, что \ZX(T\)\ М.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство проведем методом от противного. Рассмотрим промежуток (Т, Т + Я), где Я = О ((dT) 1, причем Т таково, что Т/2 + 7г/8 + catX = 2irl, где I — некоторое целое число, Р = л/ г. Предположим, что для всех t Є (Т,Т + Н) имеет место неравенство \Zx(t)\ М. Глава 2. О существовании малых значений Рассмотрим числа і/, такие, что выполняются неравенства 7TU logP Т - - Т + Н. Возьмем vo = TlogP 7Г + 1, r = [\ogdT], Я1 = tflogP 7ГГ и определим числа v равенством v = V0+V1+.. .+vr, где щ — фиксированное число, а щ,..., vr принимают целые значения из отрезка [О, Н\ — 1]. Рассмотрим сумму ZX(U) \ZX(U)\ Ні-l Яі-1 5=Е-Е i/1=0 i/r=0 где tv = їгр, v = VQ-\-V\-\- .. . + vr. По условию x(OI M па интервале (T,T+H) и функция Zx{t) непрерывна на (T,T+H), следовательно, она сохраняет знак на этом интервале. Поэтому \S\ = Щ. Получим для \S\ оценку сверху. В силу условий теоремы выполняются неравенства:
О существовании малого значения L-функции Дирихле на коротком промежутке критической прямой
Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Предметом исследования является распределение значений L-функций Дирихле с характером по модулю, равному степени простого нечетного числа, на критической прямой. Эти функции для произвольного модуля к ввел в 1837 г. Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Дирихле доказал, что в любой арифметической прогрессии Ь, Ь + т, Ъ + 2т, ..., где (m, b) = 1, имеется бесконечно много простых чисел. В полуплоскости Res 1 L-функции Дирихле задаются равенством п=1 где х характер по модулю к. Теория L-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей L-функций Дирихле.
Вопрос о расстоянии между соседними нулями L-функций, лежащими на критической прямой, рассматривается в первой главе диссертации. Отметим, что подобную проблему для дзета-функции Римана исследовали Г. Харди, Д. Литтлвуд, Я. Мозер, А.А. Карацуба. Г. Харди ввел в рассмотрение действительную функцию Z(t), задава Введение емую равенством: z(i) = e -"("cg + «), где е»« = л-"/2Т (I + f Г (1 + f) Г1. Поскольку модуль функции Z{t) равен модулю дзета-функции на критической прямой, то оценка ( + it) свелась к оценке ().
Для решения обозначенной проблемы функцию Харди было удобно представить в следующем виде (формула Римана-Зигеля): т = 2 cos( )-Hogn)+0 _1/4log у/п где В 1918 Харди и Литтлвуд [1] доказали, что при Т TQ(E) 0 и Н j11/4"1"6 промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Z(t). В работе 1976 г. Я. Мозер [11] показал, что можно взять Н ТЩо Т. В 1981 г. А. А. Карацуба [13] доказал это утверждение при Я T5/32log2T.
В настоящей диссертации для исследования вопросов, связанных с распределением значений L-функций Дирихле на критической прямой, вводится в рассмотрение действительная функция 2х( ) = Єів і(і + й,х) где 9(t) = tlog JTJ — I — f + Cd,x, Cd,x — некоторая константа, зависящая от d и х- Формула для Zx(t) получена из приближенного функционального уравнения А.Ф. Лаврика [17] для L-функций Дирихле и является
Введение аналогом формулы Римана-Зигеля для функции Харди: Zx{t) = 2 Е Re(X(n)eJ- )+jm гдеЛх(«) = о(( ) 1о62 ).
В получении оценки расстояния между соседними нулями L-функций Дирихле ключевую роль играют оценки так называемых «гибридных сумм», имеющих вид Х(п)пи. Впервые на тесную взаимосвязь сумм характеров Дирихле по модулю, равному степени простого числа, с суммами Г. Вейля обратил внимание в 1955 г. А. Г. Постников. Он получил принципиально новые оценки та N ких сумм. Последние оценки для сумм вида 2 x(n)n%t были получены п=1 Б.А. Турешбаевым [19] методом тригонометрических сумм И.М. Виноградова [2]—[5] с использованием формулы А. Г. Постникова [15]. Мы используем следующую лемму об оценке «гибридных сумм».
Леммы из теории диофантовых приближений
Харди и Литтлвуд [1] в 1918 г. оценили расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой. А именно, они доказали, что при Т TQ(E) 0 и Я ) j"i/4+e промежуток (Т, Т -f Я) содержит нуль нечетного порядка функции Z{t). В работе 1976 г. Я. Мозер [11] показал, что можно взять Я TllG\og2T. В 1981г. А. А. Карацуба [13] доказал это утверждение при Я T5/32log2r.
В настоящей главе рассматривается аналогичная задача для L-функций Дирихле с характером по модулю, равному степени простого нечетного числа.
Пусть d = рк, р—простое нечетное число, к 2. Обозначим через д наименьший из первообразных корней по модулю d (как известно, по модулю, равному степени простого нечетного числа, первообразные корни существуют). Пусть indп—индекс числа п, (n,d) = 1, по модулю d при основании д, т.е. такое число у — indn, что д1 = п (modd).
Определение 1.1. Характером Дирихле по модулю d = pk, р 2— Глава 1. О расстоянии между соседними нулями L-функции Дирихле простое, к 2—натуральное, называется функция х(п) определенная на множестве целых чисел, такая, что 0, если (n,d) 1, о -m indn е ЗГ, если (n, d) = 1, где т—целое число.
Как видно из определения, функция х(п m d) зависит от параметра га, является периодической поте периодом (f(d), т.е. существует p(d) характеров по модулю d, которые получаются при т = 0, ..., p(d) — 1.
Определение 1.2. Характер х(п) равный 1 на числах, взаимно простых с модулем, называется главным.
Наименьший период характера х(п) может быть меньше, чем его модуль d. Далее будут рассматриваться характеры, называемые примитивными, наименьший период которых равен их модулю. Определение 1.3. Неглавный характер х{п) по модулю d = pk, р 2—простое, k 2, называется примитивным, если (m,d) = 1. Определение 1.4. Пусть d—некоторое натуральное число, х какой-либо характер по модулю d. L-рядом Дирихле называется ряд оо (». ) = 71s п=1 Если характер Дирихле отличен от тривиального, то L-ряд сходится при Res 0; в случае главного характера он сходится при Res 1. Как было сказано выше, мы будем рассматривать случай, когда d является степенью простого нечетного числа.
Пусть T cP,H = 0 ((dT)i). Преобразуем формулу для Zx(t), считая, что t Є (Г, Т+Н). Не нарушая общности, можно считать параметр Т таким, что выполняется равенство Т/2+71-/8+( = 27г/, где I — некоторое целое число. Пусть 9\{t) = tlog J — f — I + cd,x тогдаЛемма 1.6 (см. [19]). Пусть f (xy) = ot\xy + ... + am (xy)m — многочлен с вещественными коэффициентами, зависящими от Р следующим образом: существуют абсолютные постоянные є, 5 и ft 0 /? 1, 0 є 5 2, такие, что количество коэффициентов аг многочлена f(xy), которые можно представить в виде: аг = — + -, {ап Яг) = 1 \0Г\ 1, Яг 3 2 ; Яг Яг Глава 1. О расстоянии между соседними нулями L-функции Дирихле так, чтобы выполнялось неравенство Pr qr PSr, не меньше, чем (Зт д 1. Тогда справедлива оценка jLmf(xy) У=1 Р =Е Е х=1 сР2- т\ где со (2-т)(0-1)2/32 с=7 F 7 = (2-А1 64 1062 1 г = max 1 2 — є, 1 + - I , CQ — абсолютная постоянная. Лемма 1.7. Пусть х — примитивный характер по модулю d = pk, су k 2, p — нечетное простое число, N = ри \t\ , и 400 — вещественное число. Тогда при \t\ d существуют абсолютные постоянные с 0 и 7 0 такие, что для суммы
