Введение к работе
Актуальность темы. Основным предметом исследования настоящей диссертации являются изучение поведения тригонометрических сумм Г.Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из интервала малой длины, а также их применения к задаче распределения дробных частей значений многочлена аргумент, которого принимает значения из коротких интервалов.
Тригонометрической суммой называется конечная сумма S вида
S = ^2e{F(x1,x2,...,xr)) (1)
где F(xi, Х2-, , хг) — вещественная функция от г переменных и суммирование ведется по целым точкам (^1,^2,... ,хг) некоторой области Q п - мерного пространства. Основной проблемой при изучении сумм S является проблема установления верхней границы модуля S. Обозначим через Т количество целых точек области Q. Так как модуль каждого слагаемого суммы (1) равен 1, то для \S\ имеем тривиальную оценку
\S\ < Т,
причем знак равенства здесь имеет место тогда и только тогда, когда все значения функции F(x\,X2, }хг) имеют одну и ту же дробную часть. Однако для весьма широких классов функций F(xi, #2,..., хг) и совокупностей Q оказывается возможным установить для \S\ верхнюю границу, несравнимо более точную, чем указанная тривиальная, а именно границу вида
\S\ <ТА,
где А — с возрастанием числа целых точек области Q и возможным одновременным изменением вида функции F(xi,X2, ,хг) стремится к нулю. Этот множитель А, отличающий такую границу от тривиальной, называется понижающим множителем.
Впервые тригонометрические суммы появились у Гаусса в одном из его доказательств закона взаимности квадратичных вычетов. Суммы, которые изучал Гаусс, имели вид (суммы Гаусса)
х=1 Vу/
Гаусс полностью решил проблему поведения \S\ и он дал точные выражения для \S\. Сумма Гаусса является частным случаем более общей полной рациональной тригонометрической суммы
s = J2e(—)^ ^q) = l (2)
х=1 ^ У '
f(x) = апхп + ... + а\х, п > 1, (ап,..., <2i, q) = 1
В случае простого q = р, р - простое число, Морделл1 дал для этой суммы оценку
\Ь\ < пр п,
которую А. Вейль2, следуя одной идее Хассе3, заменил следующей:
\S\ < Пл/р,
Оценка А. Вейля в смысле порядка роста (при постоянном п) с возрастанием р: вообще говоря, неулучшаема — можно указать неограниченное число случаев, когда модуль суммы будет не меньше чем у/р. Наилучшую оценку суммы (2) в случае составного q дал Хуа4. Он установил неравенство
\S\ < c{n)ql-n.
Это неравенство замечательно тем, что при постоянном п в смысле порядка роста правой части с возрастанием q оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим. В.Н.Чубариков5 в 1976 г. получил оценки модуля кратной рациональной тригонометрической суммы. Гациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида
S = S(an,...,ai) = ^2e(f(x),) (3)
х=1
1Mordel L.J. On a sum analogous ta о Gauss's sum.Quart.J.Math. 3(1932), 161-167
2Weyl A. Foundations of algebraic geometry, Amer.Math.Soc.Colloquim Pub., 29 (1947).
3Hasse H. Abstracte Begrunting der komplexen Multiplication und Riemannsche Vermutung in
Funktlonenkorpern, Abh.math.Sem.Univ.Hamburg, 10 (1934), 325-348.
4Hua L.K. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. - М.: Мир,
1964,-190с.
5Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах
// Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-68.
где f(x) = апхп + ...+ а\Х, и ап,... ,а\ — любые вещественные числа. Первый общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (3) дал Г. Вейль6, задолго до упомянутых результатов Морделла и Хуа. Поэтому этим суммам присвоено название суммы Г.Вейля. Существенным недостатком оценки Г.Вейля является быстрая потеря ее точности с возрастанием п. Тем не менее эта оценка сыграла заметную роль в развитии теории чисел: она позволила дать первые, хотя и далеко не совершенные решения ряда важных проблем этой области математики.
Одной из таких проблем явилась проблема распределения дробных частей значений многочлена f(t) = antn + ... + a\t. Отметим также, что проблема распределения дробных частей значений многочлена f(t) явилась одной из первых общих проблем математики, для своего решения потребовавшей создание метода тригонометрических сумм. Эта проблема тесно связана в свою очередь с понятием равномерного распределения по модулю, равному единице. Понятие равномерного распределения значений числовых последовательностей на отрезке также ввел в математику Г. Вейль. Он доказал критерий равномерного распределения значений числовой последовательности на отрезке.
В 1934 г. И. М. Виноградов7 нашел новый метод в аналитической теории чисел. Этот метод не только позволил коренным образом усовершенствовать решения проблем, уже рассматривавшихся ранее с помощью других методов, но и открыл широкий путь к решению новых. Первым результатом, полученным новым методом (1934 г.), явилась принципиально новая верхняя граница для функции G(n) в проблеме Варинга, G(n) — наименьшее значение г, при котором все целые N: начиная с некоторого Щ: представляются в виде
N = х1 + хп2 + ... + хпг (4)
Следующим результатом, полученным новым методом, явились принципиально новые оценки сумм Г. Вейля (1935 г.). Основу этих оценок составила "теорема о среднем И.М. Виноградова".
Отметим, что оценками тригонометрических сумм Г.Вейля по методу И.М. Виноградова занимался также Хуа Ло-ген. В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из
6Weyl Н. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann, 1916, 77, s.313-352. 7Виноградов И.М. Избранные труды. - М.: Изд-во АН СССР, 1952
общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 1942 году Ю.В.Линником8 было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р - адическое доказательство, то есть использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой9 на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового р-адического метода
И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм . Данная задача была решена Г.И.Архиповым10 в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков11 дали обобщение результатов Г.И.Архипова на кратный случай. В 1976г. В.Н.Чубариков12 получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм. В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков13 продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии "Теория кратных тригонометрических сумм" и . В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте 15.
8Линник Ю В. Оценки сумм Вейля // ДАН СССР, 1942, Т.34, №7, с. 201-203.
9Карацуба А.А. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа
// Вестник МГУ, 1962, Сер.1, №1, с.28-38.
10Архипов Г.И.Оценки двойных тригонометрических сумм // Труды МИАН им. В.А. Стеклова
АН СССР, 1976, Т. 142, с. 46-66.
11 Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв.АН
СССР.Сер.мат., 1976, Т.40, с.209-220.
12Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах
// Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-68.
13Архипов Г.И.,Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их
приложения // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1980, Т.44, с.723-781.
14Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм.
-М.: Наука, 1987, -368с.
15Чубариков В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН
СССР, Сер. мат., 1985, Т.49, №5. с. 1031-1067.
Английский математик Р.Вон, изучая суммы Г.Вейля вида
Т(а, х) = У^ е (атп), а = —1-А, q < т, (а, g) = 1, |А| <—,
методом Ван дер Корпута, доказал:
Г(а, х) = ^^ [ е (АГ) ^ + О (V+ (1 + жп|А|)*) , (5)
S(a,q) = So(a,q) = 2_\е
х О' /
л=і х у 7
При условии, что а очень хорошо приближается рациональным числом со знаменателем q: то есть при выполнении условии
IAK '
2nqxn 1 он также доказал:
і
Г(а, ж) = ^ІМІ /" е (ЛГ) ^ + о (У+є) . (6)
о Поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида
Т(а,ж,у) = V^ е(атп)} а = —hA, (а,д) = 1, q < т} |А| < —,
х—у<пг<х
(7)
при n = 2,3,4 соответственно были исследованы в работах19'20'21'22.
Цель работы. Целью работы являются изучение поведения тригонометрических сумм Г.Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из интервала малой длины, а также их применения к задаче
16Vaughan R.C. Some remarks in Weyl sums. Coll. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest 1981. 19Paxmohob 3.X., ПІОКАМОЛОВА Дж.А.Короткие квадратичные тригонометрические суммы
Вейля // Известия АН РТ, отд.физ.-мат., хим., геол. и техн.наук, 2009, т.135, №2(135), с. 7-18.
20Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких тригонометрических сумм
Г.Вейля // ДАН РТ, 2008, Т.51,№1, с.5-15.
21Азамов А.З., Мирзоабдугафуров К.И., Рахмонов З.Х. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени // ДАН РТ, 2010, т.53, №10, с.737-744.
22Рахмонов З.Х., Фозилова Д.М. Короткая кубическая тригонометрическия сумма Г.Вейля //
Доклады АН РТ, 2011 г., том 54, №11.
распределение дробных частей значений многочлена аргумент, которого принимает значения из коротких интервалов.
Методика исследований. В работе используются методы аналитической теории чисел, в том числе
метод Ван дер Корпута об оценке специальных тригонометрических интегралов с применением формулы суммирования Пуассона;
метод оценок тригонометрических сумм Г.Вейля;
метод гармонического анализа.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
нахождение оценки коротких тригонометрических сумм Г.Вейля
Т(а,х,у) = У^ е(атпп)} а = -+А, (a,q) = l, q
x—y
если величина п\хп~1 очень близка к целому числу;
найдена прямая зависимость оценки суммы Т(а,х,у) от величины А, А = а — a/q - растояние между числом а и приближающим ее рациональным числом a/q, если величина п\хп~1 не очень близка к целому числу;
распределение дробных частей значения многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов.
Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть применены при решении задач теории чисел, в том числе аддитивных проблем.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общеинститутском семинаре, на семинаре по аналитической теории чисел под руководством члена-корреспондента АН РТ З.Х.Рахмонова в Институте математики АН РТ, на международных научных конференциях "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел", Белгород(2011), "Современные проблемы математики и ее приложения" (2011 г.), "Современные проблемы математического анализа и теории функций" в Институте математики АН РТ (2012г);
на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры и теории чисел и на ежегодных апрельских конференциях в Таджикском национальном университете (2009-2011 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из оглавления, списка обозначений, введения, двух глав и списка использованной литературы, включающего 66 наименований. Объём диссертации составляет 70 страницы компьютерной вёрстки в редакторе математических формул
