Введение к работе
Актуальності» темы. Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнениях, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в некоторых областях функций. Огромный вклад в развитие данного направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Вимаи, Ж. Волирон, Д. Полна и другие.
В 1882 году Ж. Адамар вывел формулы, выражающие порядок и тин целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций была решена М.Фудзивара [2], Н.В. Говоровым [3] и другими (см. [4]).
Пусть {рп} - возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющих условию
п-1 Р" В этом случае говорят, что последовательность {р„} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция
имеет лакуны Фейера, если последовательность 5(/) = {п : с,, ф 0 (н > 1)} имеет лакуны Фейера. В этом случае; ряд (2) есть лакуиарный степенной ряд вида
/(2) = Со + ]Гапгг' (а„ = сРп ф 0). (3)
Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [5]. Этот интересный факт и другие соображения наводят на мысль о наличии у целых функций /, заданных рядами (3), хороших асимптотических свойств. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которые проводились специалистами но теории функций в течение многих лет (см., н-р, (6|). Отметим, что условие (1) естественно появляется в случае, когда изучаются целые функции вида (3). в самом общем случае, то есть без никакого ограничения на рост. Если рассматриваются целые функции (3) с ограничением на рост, например, целые функции конечного порядка, условие (1) заменяется на более слабое, зависящее от поведения величины (см., н-р, |7|)
w - ~-
В случае, когда областью сходимости ряда (3) является единичный круг, асимптотические свойства суммы ряда зависят от функции [8]
В данной ситуации, в отличие от предыдущего случая, никаких ограничений на рост функции (3) сверху вблизи единичной окружности не требуется (достаточно, чтобы максимум модуля вблизи границы имел достаточно быстрый рост).
Обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими до бесконечности показателями.
Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятием Д-порядка, введенного Ж.Риттом. Он же выразил эту величину через коэффициенты ряда Дирихле [9j.
Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е.Дагене [10], В.Бойчук [11], К. Нандан [12], [13], Ю. Шиа-Юн [14].
В 1966 году М.Н. Шереметой было введено понятие обобщенного порядка для изучения роста целых или аналитических в круге функций. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [15]. Позже в терминах Я-иорядка рост рядов Дирихле в полуполосах и на луче вблизи прямой сходимости в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [16]-[18], а также в работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского [19]. ]20].
В работах М.Н. Шереметы исследовалось поведение целых функций, представленных лакунарными степенными рядами (рядами Дирихле) в угле (соответственно, в полосе), рост которых ограничивался сверху некоторой положительной возрастающей выпуклой функцией [21], [22].
Естественно возникает задача об изучении асимптотики степенных рядов или рядов Дирихле в зависимости от роста на менее массивных континуумах, например, на лучах или на кривых, „примыкающих" к границе области сходимости. Впервые такая задача для рядов (3), а также двойственная задача для рядов с вещественными коэффициентами, представляющих целые функции, была поставлена Полна в [23].
Для целых функций произвольного роста обе задачи полностью решены в [6], [24]. В классе целых функций вида (3) конечного порядка (нижнего порядка) роста указанные задачи рассматривались и были решены в работах [25], ДО.
Отметим, что соответствующие задачи для аналитических функций, представленных рядами (3), сходящимися лишь в единичном круге, изучались в [27].
В настоящей диссертации изучаются целые функции, представленные рядами Дирихле, абсолютно сходящимися во всей плоскости, рост которых в том или ином смысле ограничен некоторой выпуклой функцией. Для каждого такого класса целых функций указаны оптимальные условия, ігри которых верны точные асимптотические оценки для суммы ряда Дирихле на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность. Здесь получены соответствующие результаты и для рядов Дирихле с вещественными коэффициентами.
Доказанные в диссертации теоремы обобщают и усиливают соответствующие результаты Полна [23], Шереметы М.Н. [28], Гайсина A.M. |26], [29], Ла-тыпова И.Д. [25], а также Макинтайра [30] и Евграфова М.А. [31].
Цель работы. Доказать аналог теоремы Макинтайра из [30]. Для двойственной пары классов абсолютно сходящихся во всей плоскости рядов Дирихле, определяемых некоторой выпуклой мажорантой роста, найти условия на последовательность показателей, при выполнении которых будут справедливы точные оценки их роста и убывания на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность. Получить асимптотические оценки для рядов Дирихле с вещественными коэффициентами из тех же классов.
Научная новизна. Все основные результаты настоящей работы новые. Получены следующие результаты:
доказан аналог теоремы Макинтайра для рядов Дирихле и тем самым получено уточнение теоремы единственности М.А. Евграфова;
получен критерий устойчивости логарифма максимального члена рядов Дирихле, абсолютно сходящихся во всей плоскости и имеющих выпуклую мажоранту роста;
для рядов Дирихле заданного роста установлены точные оценки их роста и убывания на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность;
получены точные асимптотические оценки для рядов Дирихле с выпуклой мажорантой роста на луче, имеющих только вещественные коэффициенты.
Методика исследования. Использованы методы теории рядов экспонент, разработанные А.Ф. Леонтьевым (применяется интерполирующая функция, формулы для коэффициентов) и развитые в работах A.M. Гайсина, а также методы комплексного анализа, теории целых функций. Наряду с ними в работе систематически используются доказанные в диссертации различные модификации теоремы Бореля-Неванлинны из [32].
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации
носят теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и разработанная в ней методика могут быть полезны как в теории целых функций, рядов экспонент, так и в смежных областях анализа, таких, как теория аппроксимации в комплексной области, теория дифференциальных уравнений бесконечного порядка, спектральная теория. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Математическом институте имени В.А. Стек-лова РАН, Учреждении Российской академии наук Институт математики с Вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, Санкт - Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова РАН, Московском, Южнороссийском Федеральном, Саратовском, Львовском, Башкирском, Сыктывкарском, Нижегородском госуниверситетах а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Учреждения Российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН; на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа Башкирского госуниверситета; на Региональных школах-конференциях для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (Уфа, 2005-2007 гг.); на Международной уфимской зимней школе-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2005 г.); на XLrV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2006 г.); на Международной конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Якты-Куль, 2006 г.); на Уфимской международной конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007 г.); па Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ посвященной 75-летию академика A.M. Ильина. (Якты-Куль, 2007 г.); на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, Краснодарский край, 2008 г.); на Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(Якты-Куль, 2008 г.); на Международной научной конференции, посвященной 100-летию известного математика и педагога Н.А. Фролова (г. Сыктывкар, 2009 г.); на Международной конференции "Sixth Advanced Course in Operator Theory and Complex Analysis" (Испания, г. Севилья, 2009 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 103 страницы. Библиография - 48 наименований.
