Содержание к диссертации
Введение
1 Описание класса степенных рядов, определяемых произве дениями классических L-функций Дирихле 11
1.1 Метод редукции к степенным рядам в задаче аналитического продолжения рядоп Дирихле целым образом на комплексную плоскость 11
1.2 Граничные свойства степенных рядоп, отвечающих конечным произведениям классических L-функций Дирихле 18
1.3 К вопросу аналитического продолжения степенных рядов, отвечающих произведению ие менее; двух L-фупкциП Дирихле 28
1.4 Класс степенных рядов ШТ. Аналог теоремы Лдамара для степенных рядов класса 9Я 41
2 Задача о разложении в произведение L-функций числовых полей 49
2.1 Задача разложения L-фупкций в произведение 49
2.1.1 Разложение в произведение L-функции Дирихле в абелевом случае 49
2.1.2 Разложение L-фупкций п произведение в случае пор-мешплх характеров 52
2.2 Задача описания пормсппых характеров 55
2.3 Композит полей и иорменпые характеры 58
3 Связь задачи о граничном поведении степенных рядов с теоретико-числовыми задачами 60
3.1 Задача Ю.В. Линийка о целостности скалярного произведения двух L-фупкций Дирихле 60
3.2 Граничное поведение степенных рядоп и оценки некоторых арифметических сумм 61
Заключение 67
- Граничные свойства степенных рядоп, отвечающих конечным произведениям классических L-функций Дирихле
- Класс степенных рядов ШТ. Аналог теоремы Лдамара для степенных рядов класса 9Я
- Задача описания пормсппых характеров
- Граничное поведение степенных рядоп и оценки некоторых арифметических сумм
Введение к работе
Актуальность темы. В данной работе исследуется следующая задача. Пусть к — числовое поле конечной степени, х ~ характер этого поля и соответствующая L-функция поля fc.
Рассмотрим степенной ряд, определяемый L-функцией (1), то есть степенной ряд с томи же коэффициентами, что и ряд Дирихле (1) g(z) = Y,a-z"- (2)
Работа посвящена изучению поведения степенного ряда (2) на границе сходимости, а именно, изучению радиальных производных вида Urn g{n)(reiv), 0 < tp < 2тг, п = 0,1,... (3) і—»1-0
Замечание 1. В диссертации результаты, в направлении решения этой задачи, получены г. случае характеров Дирихле, по п заключении указана актуальность данной задачи п намечены пути ее решения в случае числовых характероп Гекке.
Данная задача представляет интерес в связи с тем, что граничное поведение степенных рядов вида (3) позволяет, в свою очередь, судить об аналитических свойствах рядов Дирихле, которые так или иначе определяются L-фуикциями числовых полей, а это, в спою очередь, позволяет решать отдельные теоретико-числовые задачи, встречающиеся в теории L-функцнй.
Впервые эти задачи изучались в работах В.Н. Кузнецова [16,17,19,21]. Там же В.Ы. Кузнецов назвал метод изучения аналитических свойств рядов Дирихле, представляющих интерес в теории L-функций, с помощью изучения граничных свойств соответствующих стеионных рядов, методом редукции к степенным рядам. В работе [1G] была получена новая аналитическая характеристика классических L-функций Дирихле в классе рядов
Дирихле с копсчнозпачными характерами, А именно, было показано, что в этом классе классические L-функщш определяются как мероморфпые функции f{s) с единственно возможным простым полюсом [ї точке 5 = 1 и со следующим условием роста модуля вдоль отрицательной действительной оси: /(-(7)(1-(7)^ С- еаШ+Ла При -<Т<-<ГО<0, (4) где А — положительная константа.
При доказательстве этого результата существенным моментом явилось доказательство того факта, что и классе рядов Дирихле с конем-позначными коэффициентами условие аналитического продолжения в комплексную плоскость как мероморфпой функции с единственно возможным простым полюсом в точке s = 1 и условием (4) равносильно условию регулярности соответствующего степенного ряда 3(2} в точке 2 = 1.
В работах [17,21] метод редукции к степенным рядам получил дальнейшее развитие. Здесь рассматривалась задача аналитического продолжения рядов Дирихле вида
Я*) = Е~Т- s = a + U. (5)
В частности, было показано, что ряд Дирихле вида (5) тогда и только тогда продолжим целым образом па комплексную плоскость, когда соответствующий ему степенной ряд g{z) имеет конечные радиальные производные в точке z = 1. то сеть существуют конечные пределы вида lim д{а]{х), 71-0,1.... :е—»1-0
Замечание 2. Идея использования поведения степенного ряда g{z) и окрестности точки 2 = 1 для аналитического продолжения ряда Дирихле f(s) восходит к G.H. Hardy [2]. Н.Г. Чудаков [39,40] указывал на возможность применения этого подхода в вопросах, связанных с периодичностью коэффициентов ряда Дирихле. Но в этих работах рассматривался случай регулярности степенного ряда g(z) в окрестности точки z = 1 и не исследовался вопрос о том, как свойство аналитического продолжения рядов Дирихле целым образом на комплексную плоскость влияет па поведение соответствующего степенного ряда в окрестности точки 2=1. Такая взаимосвязь между рядами Дирихле и соответствующими степенными рядами в общем случае (то есть без предположения регулярности 5(2} в точке 2=1) впервые была изучена в работах В.Н. Кузнецова [17.21].
Дальнейшее снос* развитие метод редукции к степенным рядам, основанный па изучении поведения рядаg(z) и окрестности единицы, получил в диссертации A.M. Водолазова [11]. Этот подход позволил A.M. Водолазопу для рядов Дирихле с копечнозначпыми коэффициентами получитъ сле/гу-гоїцпе результатгл. Во-первых, он показал, что ряд Дирихле тогда и только тогда продолжим целым образом па комплексную плоскость, когда существует такая последовательность полиномов Дирихле {Tn(s}}. для которой при любом натуральном к в полуплоскости а > 1 выполняются оценки \r(s)(f(s)-Tn(s))\=o где T(s) — Г-функцня.
Замечание 3. Последний результат имеет место для любого ряда Дирихле вида (5).
Далее, и [11] было показано, что периодичность коэффициентов ряда Дирихле с конечнозиачнымн коэффициентами эквивалентна существованию такой последовательности полиномов Дирихле {T„(s)}, что в полуплоскости сходимости выполняется оценка вида |r(s)(/(s)-rn(S))| = o(i), где q — некоторая положительная величина.
В работе [19] В.II. Кузнецов изучал задачу граничного поведения степенных рядов g{z). отвечающих L-фупкциям Дирихле числовых полей. В частности, в работе [19] изучалось граничное поведение степенных рядов g{z), которые определялись L-функциями Дирихле числовых полей, которые допускали разложение в виде конечного произведения классических L-функцнй Дирихле, то есть L-фупкций вида
Цз,Х,Ь)=і[Цз,Хі,). (G)
Для таких степенных рядов g(z) В.Н. Кузнецов показал, что для всех у?, которые не соответствуют полюсам рациональных функций 77^(^), определяемых сомножителями L(s. \'j,Q), существуют конечные радиальные производиые вида (3).
Замечание 4. Задача изучения граничного поведения степенного ряда(7(2), отвечающего /j-функции числового поля, встала в работе |19] в связи с решением задачи о целостности композита двух L-фуикций, то есть функции /м = ;^, (7) а ч ;t=1
В спою очередь, задача о целостности функции пида (7) встала в связи с решением (в случае характеров Дирихле) известной задачи Ю.В. Линийка о целостности скалярного произведения //-функции Дирихле [36].
Замечание 5. Граничное поведение степенных рядов, регулярных внутри единичного круга, изучалосг, одновременно с появлением степенных рядов. В направлении решения данной задачи получены многие результаты [30], например, известны результаты, полученные ТауСером. Фату и многими другими. Но задача изучения граничного поведения степенных рядов, отвечающих /^-функциям числовых полей, впервые была поставлена и решалась в работах В.Н. Кузнецова [10,17,19.21].
Нужно отметить, что в связи с работой [19] встали многие вопросы, которые требовали своего решения.
Осталось пе ясным поведение степенного ряда, определенного L-фупкцисн Дирихле вида (0), и граничных точках, соответствующих полюсам рациональных функций Я,-(г), определяемых сомножителями L(s,x,-.Q).
Остался не ясным ответ на вопрос о существовании регулярных точек па границе сходимости степенного ряда 17(2), отвечающего L-функции Дирихле вида (G). Остался пе ясным даже; ответ на следующий вопрос: не определяют ли такие степенные ряды рациональные функции?
Остался не ясным ответ на вопрос о том. когда L-фупкция Дирихле поля к допускает разложение вида (G).
Какие еще теоретико-числовые приложения (отличные от частичного решения задачи Ю.В. Линийка) можно получить, исходя из результатов о граничном поведении степенных рядов, отвечающих L-фупкцпям Дирихле числовых полей?
5. Какие результаты относительно граничного поведения степенных рядов будут иметь место в случае числовых характеров Гек ко?
Полному или частичному решению поставленных вопросов и посвящена данная диссертация. Таким образом, диссертация посвящена дальнейшему развитию метода редукции к степенным рядам.
Научная новизна. Автору удалось полностью ответить на первые два из поставленных выше вопросов и частично получить ответы на последние три вопроса.
А именно, в работе получены следующие результаты.
1. Определен класс степенных рядов 9Л: по определению, степенной ряд е * п »ГҐІ »—»00 принадлежит классу 9ЇЇ, если g(z) можно представить в виде где R(z) — рациональная функция, полюсы которой лежат на единичной окружности, а функция д{~) в точках единичной окружности, отличных от полюсов функции R(z), имеет конечные радиальные производные вида (3). При этом для любого т существует полином Pkm(z). нули которого совпадают с полюсами функции R(z) и имеют определенную кратность, такой, что функция ограничена внутри единичного круга.
Показано, что степенные ряды g(z), отвечающие L-функциям числовых полей, которые допускают разложение (G). принадлежат классу
Показано, что степенные ряды g(z), отвечающие L-функциям числовых нолей вида (С), при к ф Q, определяют функции, отличные от рациональных.
Для степенных рядов класса 9Я доказан аналог теоремы Адамара об умножении особенностей. А именно, доказано, что если gi(z) = Y2 ап?П = Ri(z)+9i(z). -/1=1 — два степенных ряда из класса ШТ, то степенной ряд
77 = 1 п точках единичной окружности, отличных от точек, являющихся по парными произведениями полюсов функций R\(z) и R'2.{z). имеет конечные радиальные производные вида (3).
Замечание G. В отличии от известной теоремы Адамара об умножении особенностей [35], в нашем случае не предполагается регулярности функций Q\{z) и g-i{z) в точках, отличных от полюсов функций
Щг) " ВД-
Замечание 7. В работе [19] также получен аналог теоремы Адамара. Приведенный выше результат уточняет результат (в смысле определенного класса ШТ), доказанный в [19], и его доказательство в нашем случае отличается от доказательства соответствующего результата, приведенного в работе [19].
Получены условия, при которых для двух рядов#1 (г) и g-2.{z) из класса УЛ их композит вида (8) определяет целую функцию.
Частично решена задача о представлении L-фу нкции Дирихле числового поля А: в виде произведения классических L-функігий Дирихле вида (6).
В частности показано, что такое разложение имеет место, если характер Дирихле поля к является нормепным характером некоторого характера Дирихле поля Q, то есть в случае, когда существует характер Дирихле х\ ноля Q. для которого для любого простого идеала р поля к имеет место равенство
Х(р) = Xi{N{p)).
Частично решена задача описания пормсппых характеров чиагооых полей.
Кроме известной задачи Ю.В. Лип пика о целостности скалярного произведения L-фупкций числовых нолей в случае характеров Дирихле [3G] указаны другие приложения полученных результатов к задачам теоретико-числового характера.
8. В заключении приводятся рассуждения, которые указывают па возможность применения подобной методики для решения теоретико-числовых задам, снизанных с числовым и характерами Геккс.
Замечание 8. Как стало известно автору, и последние годы было получено решение задачи Ю.В. Липникн о целостности скалярного произведении L-фупкций с характерами Гекке. Сущестпеипыми моментами здесь являются, во-первых тот факт, что L-фупкция Гекке квадратичного поля с не разветвленным характером является преобразованием Меллипа некоторой модулярной формы, и, во-вторых, полученная и [22| формула следа преобразования Лапласа в теории модулярных форм. Развитие теории модулярных форм привело к решению многих других задач теории L-фупкций. Методы теории модулярных форм, начиная с известных работ Гекке. Эйзейшптейна и других авторов, интенсивно развиваются и в настоящее время. Но как показывают результаты данной диссертации, наряду с подходом, основанным на теории модулярных форм, при решении задач теории L-функций числовых полей имеют право на существование и свое развитие и другие подходы, например подход, основанный па методе редукции к степенным рядам.
Все приведенные выше результаты являются новыми и получены самостоятельно автором. Эти результаты определяют основное содержание диссертации и выносятся па защиту.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключении и списка литературы. Общий объем се составляет 81 страницу.
В первой главе изучаются граничные свойства степенных рядов, определяемых ^-функциями Дирихле числовых полей, которые допускают разложение в произведение классических L-функцнй Дирихле вида (G). Показано, что такие степенные ряды принадлежат классу ШЇ.
Далее в этой главе показано, что если к ^ Q, то g(z) не является рациональной функцией.
В этой же главе для степенных рядов из класса DR доказан аналог известной теоремы Адамара об умножении особенностей. Получено условие, при котором композит таких рядов определяет ряд Дирихле, который продолжим целым образом па комплексную плоскость.
Во второй главе частично решается задача представлении L-фупкции Дирихле поля к в виде конечного произведения классических L-фупкций
Дирихле вида (G). Существенную роль при этом играет понятие порменного характера Дирихле поли А'. Показано, что в случае порменного характера L-функции Дирихле допускает разложение па множители пида (G). В этой главе исследуется задача о том, її каком случае характер Дирихле ноля к является пормсппым характером.
В третьей главе рассматриваются приложения результатов, полученных в первых двух главах, к таким теоретико-числовым задачам, как задача о целостности скалярного произведения двух L-функцип Дирихле числовых полей и задача, связанная с проблемой обобщенных характеров.
В заключении приводятся рассуждения о том, к каком направлении необходимо развивать метод редукции к степенным рядам, чтобы получить приложения в теоретико-числовых задачах в случае характеров Гекке.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались па семинаре кафедры алгебры и теории чисел СГУ. на научных конференциях па механико-математическом факультете СГУ (2003-2004), па V Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (Тула. 2003), на VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы н приложения», посвященной 100-летию Н.Г. Чудакова (Саратов, 2004).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах,[12-14.23-28,34j.
Граничные свойства степенных рядоп, отвечающих конечным произведениям классических L-функций Дирихле
В данном параграфе показано, что если L-фупкция Дирихле поля к, где к — расширение ноля Q конечной степени, раскладывается в произведение классических L-фупкцией Дирихле поля рациональных чисел Q, то соответствующий степенной ряд имеет определенные граничные свойства. Пусть f(s) ряд Дирихле вида где L(s,Xi Q) Ь-функции Дирихле поля Q (\І — характеры Дирихле). Во-первых отметим, что степенные ряды, отвечающие классическим L-фупкциям, определяют рациональные функции с простыми полюсами на единичной окружности. Действительно, пусть гг = qm + г, где m — период коэффициентов ап степенного ряда g(z), соответствующего некоторой классической L-функцпи L(s, х, Q), 0 q оо, 0 г = т — 1. Тогда Получаем, что #(г) — рациональная функция с полюсами на единичной окружности. Рассмотрим класс степенных рядов, отвечающих рядам Дирихле вида (1.15). Ряды из этого класса получаются п результате произведения по Дирихле рациональных функций, имеющих простые полюсы на единичной окружности. Произведение по Дирихле двух степенных рядов определяется как ряд вида Пусть g(z) степенной ряд, соответствующий ряду Дирихле (1.15): Класс степенных рядов, отвечающих L-фупкциям Дирихле вида (1.15) обозначим через 3. Относительно граничных свойств степенных рядов /(г) из этого класса докажем следующее утверждение. ТЕОРЕМА 1.2, Степенной ряд g(z), определяемый L-функцией Дирихле вида (1), допускающей разложение в произведение вида (1.15), мооїсет быть представлен в виде где R(z) — рациональная функция., полюсы которой лсоїсат па единичной окруоісиости, ag{z) во всех других точках единичной окружности имеет конечные радиальные производные вида (3). Замечание 1.1. В работе [19] В.Н. Кузнецова показано, что для степенных рядов класса 5ft в точках, отличных от полюсов рациональных функции, определяемых сомножителями L(s, \j,Q) и представлении (1-15), существуют конечные радиальные производные. Здесь при доказательстве теоремы 1.2 мы приведем более сильные результаты is этом накраплений. Доказательству теоремы 1.2 предпошлем ряд лемм.
Лемма 1.4. Если степенной ряд п окрестности точки z — 1 ведет себя следующим образом: то соответствующий ряд Дирихле f(s) имеет простой полюс в точке S — 1 и определяет функцию, регулярную в других точках полуплоскости О" 0. Обратно, если ряд Дирихле определяет функцию, регулярную во всех точках полуплоскости а 0 за исключением точки 5=1, где она имеет простой полюс, и в полосе 0 о 1 то соответствующий степенной ряд g{z) в точке z — 1 обладает свойством (1.16). Доказательство Рассмотрим преобразование Мсллииа В силу (1.1G) получаем Отсюда следует, что Используя (1.18), запишем равенство (1.17) в виде где ( (.г) = 0(1) при х — 0. і(х ) = 0(е х+) при .г — сю (є 0). Учитывая, что первое слагаемое в (1.19) определяет функцию г/.итгіь второй интеграл сходится при а 0, а третий интеграл определяет целую функцию, мы получаем утверждение леммы 1.4 в одну сторону. Обратно, пусть f(s) регулярна при а 0, во всех точках, кроме 5 = 1, где она имеет простой полюс. Рассмотрим обратное преобразование Меллииа то сдвигая контур интегрирования и представлении (1.20) к мнимой оси, получаем что и завершает доказательство леммы 1.4. Лемма 1.5. Пусть ряд Дирихле имеет простые полюсы її точках 5 = 2 , А;, и определяет функцию f(s). регулярную по всех остальных точках полуплоскости а 0, модуль которого удовлетворяет условию: Тогда для соответствующего степенного ряда g(z) имеет место представление: Доказательство Воспользуемся рассуждениями, аналогичными рассуждениям при доказательстве второй части леммы 1.4. Сдвигая контур интегрирования к мнимой оси в интегральном представлении (T+VOO получаем Откуда и вытекает утверждение леммы 1.5. Лемма 1.6. Пусть для степенного ряда g(z) и точке z 1 вдоль радиаль-ного направления выполняется условие: Пусть f(s) — Yl t — ряд Дирихле, соответствующий степенному ряду g{z). Тогда, в силу утверждения леммы 1.4. f(s) имеет простой полюс в точке s 1 и определяет функцию, регулярную и остальных точках полуплоскости о 0. Рассмотрим ряд Дирихле /{/„)(s) отвечающий /,:-ой производной стс-пешіоїхз ряда ;(z), умноженной па ztc. Он имеет вид: В последней части равенства (1-21) каждый ряд Дирихле получается из первоначального f(s] сдвигом вправо па целое число и отбрасыванием конечного числа первых слагаемых. Следовательно, ряд Дирихле/ (s) имеет простые полюсы в точках s = 2.3,..., к + 1. Тогда утверждение леммы 1.6 следует из леммы 1.5. Лемма 1.7. Пусть g(z) — степенной ряд, являющийся произведением по Дирихле двух степенных рядов, отвечающих //-функциям Дирихле. Тогда он определяет функцию, для которой в точках единичной окружности, не отвечающим полюсам сомножителей, существуют конечные радиальные производные вида: Иm gM(reiv) = ап. Будем считать сначала, что сомножители gi{z) и д-гіх) регулярны и точке z — 1. Тогда и этой точке существуют пределы вида: Заметим, что ограниченность степенного ряда эквивалентна тому, что для любой точки ж є ОДІ) существует такое Лг, что для всех п N частичные суммы ряда Sn(x) удовлетворяют неравенству где константа М не уависит от х и п. Следовательно, для каждого х существует такое JV, что частичные суммы где Л -! iV, N2 N. ограничены константой М. Покажем, что ряд д(х) — д\{х) д-2(х) также ограничен на интервале [0,1), то есть п=і Действительно, и силу абсолютной сходимости степенного ряда g(z) — g\(z) о g2{z) в единичном круге, его можно представить в виде (х) при х [0,1} 3(3:)== Jim ЁЁ Ыт} Л 2—00 "=1 m=1 Но с другой стороны опять же и силу абсолютной сходимости ряда д(х) при ж Є [0, 1) Поэтому, для доказательства (1.22) достаточно показать, что для любого х [0,1) существует где Л Лг, N z Лг и константа М не зависит от х.
Но в силу ограниченности частичных сумм рядову (ж) и / (.т) имеем: Покажем, что из оценки (1.24) следует оценка вида: Действительно, так как ряд (.т) при любом .г Є [0,1) сходится абсолютно, то можно слагаемые суммы (1.25) расположить по возрастанию показателей степеней хп " (п+ " \ Тогда, применив к (1.25) неравенство которое получается приемом суммирования Абеля, мы в силу (1.24) получаем (1.25), что и доказывает (1.23). Далее, пользуясь тем, что д (х) = д[(%) 9 АХ) повторив весь ход рассуждений, приведенных выше, для функций д (х) (п — 1,2,...), мы получим ограниченность всех производных функции д[х) в окрестности точки х = 1. Отсюда следует существование конечных радиальных производных вида Действительно, если д{х) 0(1) и д (х) — 0(1) при х — 1 — 0, то существует предел вида Это следует из фундаментальности последовательности ](хи), где хп —» I — 0. Рассмотрим случай, когда gi(z) и gi{z) регулярны в точке z — e1lf. Сделав замену переменной — e lipz, получим регулярность функций #]() и 92( ) в точке = 1. На основании предыдущего случая существуют конечные радиальные производные вида: Сделав обратную замену z = еІр, ни 1-26) получим существование радиальных производных вида: что и завершает доказательство леммы 1.7. Лемма 1.8. Пусть степенной ряд (?(z) Є 3?. Тогда для точек — е , не отвечающих полюсам сомножителей этого ряда, существуют конечные радиальные производные вида: Доказательство Утверждение леммы 1.8 является следствием леммы 1.7. Доказате л ь с т в о т еорс м ы 1.2 Тот факт, что в точках z — е1 , отличных от полюсов сомножителей, существуют комичные радиальные производные вида: где аи — действительные числа, следует из леммы 1.8. Далее покажем, что в точках z = е , отвечающих полюсам сомножителей, функция g(z) ведет себя следующим образом: где А; — число сомножителей, имеющих полюсы и точке z — е1[р. Пусть точка ZQ = ei!f( отвечает одному из полюсов сомножителей для функции g(z) Є Ш. Сделав поворот = e z. получим, что точка = 1 отвечает одному из полюсов сомножителей. При этом соответствующий этому сомножителю ряд Дирихле будет иметь полюс первого порядка н точке s = 1. Ряд Дирихле f(s), равный произведению всех рядов.
Класс степенных рядов ШТ. Аналог теоремы Лдамара для степенных рядов класса 9Я
Пусть степенной ряд можно представить и виде где R{z) — рациональная функция, полюсы которой располагаются на единичной окружности, a g(z) имеет конечные радиальные производные любого порядка в точках единичной окружности отличных от полюсов рациональной функции R(z). Пусть, далее, для производной т-го порядка функции g(z) (т — 0, 1,...) найдется такой полином Pkm{z). пули которого совпадают с полюсами функции R(z), что функция g{z)-Pkrn(z) ограничена і! единичном круге. Класс степенных рядов, определяемый таким образом обозначим через Ш. Отметим, что класс степенных рядов К, определенный в параграфе 1.2, включается is класс Ш. Пусть g\(z) и gt{z) принадлежат классу 9Л. то есть где Яі(г). R i(z) — рациональные функции, полюсы которых располагаются на единичной окружности, a gi(z) и g-i{z) имеют конечные радиальные производные любого порядка в точках единичной окружности отличных от полюсов соответствующих рациональных функций. Далее докажем утверждение, которое имеет место для скалярного произведения таких степенных рядов. лежат классу Ш1. Причем 5і (г) = R\{z)+gi{z), g2{z) = R2{z) +g2(z). Тогда их скалярное произведение (композит) определяет функцию, которая в точках единичной окружности, отличных от по парных произведений полюсов функций R\{z) и R i,{z), имеет конечные радиальные производные вида (3). Замечание 1.3. Теорема 1.G является обобщением теоремы Адамара об умножении особенностей; которая имеет место для степенных рядов с изолированными особенностями па границе сходимости (например, [8]). Предварительно докажем следующие утверждения. Лемма 1.15. Пусть степей шло ряды g\{z) и g-2{z) принадлежат классу 9Л и пусть o n,i(z) и o-n;i{z) — арифметические средние частичных сумм степенных рядов gi(z) = g\(z)Pn](z) и Ji( ) — g-2{z)Pn2(z) соответственно, где Рщ{%) и 2( ) такие многочлены, что (/1(2) и d i{z) ограничены в единичном круге. Тогда для любого z, \z\ 1, и любого 77І п для значения в нуле производной m-го порядка функции имеет место оценка где константа с не зависит от п. m и z. Известно [35], плана VII, раздел 7.7.2, что арифметические средние частичных сумм степенного ряда, ограниченного в единичном круге константой М, удовлетворяют оценке где Л — абсолютная константа.
Отсюда следует, что где константа С\ не зависит от п. Аналогично, при \z\ \и\ 1 имеем где константа oi не зависит от п и z. Из оценок (1.54) и (1.55) следует, что для полинома при всех и, \z\ \и\ 1, имеет место оценка где константа Сз не занисит от п и z. Из (1.5G) в силу неравенства Копій для коэффициентов щ многочлена fn(u) имеем оценку где г — любое число, меньшее чем 1. Возьмем для каждого к значение г — \ — \. Тогда из условия (1.57) получаем где константа c.j не зависит от п. z и к. Учитывая тог факт, что и оценку (1.58). для величины /„(О1) получаем оценку (1.53), что и завершает доказательство леммы. Доказательство т с о р с м ы 1.6 Покажем, что функция g(z) имеет конечные радиальные производные во всех точках единичной окружности, отличных от точек (Xi0j, где а І — полюсы функции Ri(z), a / — полюсы (функции R {z). С этой целью сначала покажем, что при подходе к обычным граничным точкам вдоль радиального направления функция (/(г) ограничена константой, но зависящей от точек, лежащих па этом направлении. Пусть z — произвольная точка, \z\ г$ 0, лежащая па таком направлении. Достаточно показать, что для всехп По, где щ зависит от z, для частичных сумм Sn{z) ряда g(z) имеет место неравенство где константа М не зависит от п и выбора точки z на этом направлении. Пусть 5,г,і и Sn;i — частичные суммы рядов д\ (z) и g-i{z) соответственно. Тогда их композит будет частичной суммой S„(z} степенного ряда ( ). Хорошо известно [35], глава IV, раздел 4.6, что для Sn(z) имеет место интегральная формула где контур С — окружность, внутри которой лежит точка z и радиус которой меньше единицы. Запишем представление (1.G1) в виде Заметим, что Sn.\(u) РПі{и) и Sn ( ) РП2 (ft) частичные суммы рядов ді(и)РПі(и) и f/2 (у) Рп2 (t) соответственно. Обозначим через тщі{и) и т„, і(гг) арифметические средние частичных сумм этих рядов, соответствующих ЗпЛ{и) Рщ{и) » Sn:2 (f) Рп2 й)- Пусть По таково, что для всех п п и всех и, принадлежащих контуру С. имеют место неравенства Оценим последний интеграл используя при этом теорему о вычетах. Подынтегральная функция интеграла (1.G4) является мероморфиой функцией, полюсы которой находятся н точках и = 0 и щ = , где (3, — пули полинома Рпг(и).
Оцепим шлчет поділіітсгральпой функции в точке и = 0и покажем, что он ограничен константой; которая не зависит от и и z. С этой целью разложим рациональную функцию Тогда нычет подынтегральной функции интеграла (1.64) в точке и — О будет ранен конечной сумме вычетов вида модулі, производной (1-G7) не превосходит следующей величины где г = п константа с не зависит от п и г. Ясно, что при г \ имеет место оценка где константа cj не зависит от п и л. Таким образом, вычет подынтсграль-пой функции интеграла (1.64) ограничен константой, независящей от г? и Оценим теперь вычет подынтегральной функции интеграла (1.64) в точке щ = jr. Этот вычет равен конечной сумме вычетов вида В силу формулы Лейбница, выражение (1.G9) является конечной суммой по парных произведений производных вида Если г —» zo вдоль радиального направленим и ZQ ф о Д, где a — нули многочлена Рщ(и), то каждый из трех сомножителей произведения (1.70) ограничен константой, не зависящей от п и z направления). Когда z стремится к г» вдоль радиального направления и и и силу регулярности тп.2{и) в окрестности точки « — Д- имеем Кроме того Но по определению, когда м стремится к Д вдоль радиального направления имеет место равенство где дъ{и) имеет ограниченные радиальные производные любого порядка в точке Д. Таким образом, при п По имеет место неравенство (1.60), что доказывает ограниченность функции g(z)., когда z —» ZQ вдоль радиального направления, где z отлична от точек otj Д. Докажем аналогичное утверждение для производных любого порядка функции g(z). С этой целью покажем, что Действительно, пусть Отсюда полумаем Повторип эти рассуждения (т — 1) раз, получим формулу (1.71). Формула (1.71) показывает, что для доказательства ограниченности функции g(m\z) когда z стремится вдоль радиального направления к точке ZQ, лежащей па единичной окружности и отличной от точек о -Д, проходят нес рассуждении, проведенные ныше для доказательства подобного факта для функции g(z). Для завершения доказательства теоремы 1.6 осталось заметить, что из ограниченности производной функции f(z) при z — Z(] вдоль радиального направления следует существование конечного предела.
Задача описания пормсппых характеров
Предварительно рассмотрим следующий случай. Пусть Q С к — расширение Галуа степени \к : Q] = 7i, где q\ — простое, лк С L — расширение Галуа степени [L : к] = р, где р — простое и р делит (gi —1). Пусть, далее;, х — характе[) Дирихле поля к. согласованный с группой Галуа G расширения Q с к полного модуля 9Л. то есть, если т — пРкщЖ, то в поле к: (jn) = Ш. В этой ситуации докажем следующее утверждение. ТЕОРЕМА 2.3. Существует характер Дирихле \\ поля, Q модуля т, для которого имеет место соотношение где р — произвольный простой идеал поля к, взаимпопростой с идеалом ШТ. Отметим, что здесь мы не будем строить расширение Q С L], для которого существует характер х\ модуля т, и который согласуется с группой Галуа этого расширения. Мы поступим значительно проще и покажем, что характер у\ь удовлетворяющий теореме 2.3, существует. Если х характер Дирихле поля к модуля 9Я, согласованный с характеров х группы Галуа G расширения к С Л, то для простого идеала р, (р,Ш) = 1, выполняется равенство где F[p] — автоморфизм Фробениуса расширения ноля вьічетов. Пусть а — фиксированная образующая группы G, тогда обозначим через кр такую степень и. что икр — F[p]. Так как G — циклическая группа порядка р, то группа ее характеров также циклическая группа, и поэтому можно считать, что Рассмотрим характер группы идеалов 3& ноля к вида где /р — степень инерции идеала р. и, следовательно, N(p) = q iJ. В силу того, что и так как /J делит (г/! — 1), получаем, что \ — X; то есть характер у, определенный формулой (2.5), является характером Дирихле ноля к модуля ЯП. Покажем, что утверждение теоремы 2.3 имеет место для характера Дирихле х- Отметим, что тогда утверждение теоремы 2.3 будет иметь место для любого характера Дирихле Xi 1ТО следует из того, что группа G — циклическая простого порядка. С этой целью рассмотрим характер ноля Q — xi-, который определяется следующим образом: Осталось показать, что Xi характер Дирихле модуля т = прццУЯ. Действительно, пусть а = 1 (mod т) и пусть Так как m делит (a — 1). то ясно, что ЙЛ делит (а — 1). Следовательно, к силу (2.5) а это, в силу (2.G) и того, чтор делит (q\ — 1), равносильно тому, что что и доказывает тот факт, что ,Yi — характер Дирихле модуля т, а это, в свою очередь, завершает доказательство теоремы 2.3. Как следствия теоремы 2.3 получаются следующие результаты. Непосредственно из теоремы 2.3 следует следующее утверждение. ТЕОРЕМА 2.4. Пусть к\ С к — расширение Галуа простой степениq\, а к С L — расширение Галуа простой степени р, где р делит q\ — 1, и пусть х характер Дирихле поля к с полным модулем ЗОТ.
Тогда существует характер Дирихле Х\ поля k\ модуля нц = прц УЯ, для которого иліеет место соотношение Следующая теорема является следствием теоремы 2.4. ТЕОРЕМА 2.5. Пусть Q С к — разрешимое расширение Галуа степени щ, где щ — бесквадратно, а х характер Дирихле поля к модуля 9Л, согласованный с характером группы Галуа G порядка п, где п — бесквад-ратно, и, если п\ = Qi ... ф. — разложение па простые сомножители, то п делит /,- — 1. г = 1,1. Тогда существует характер Дирихле \і поля Q модуля где р — простой идеал поля, к, взаимнопростой с идеалом ШЇ. Пусть х — характер Дирихле поля к, согласованный с характером х группы Галуа G, то есть Так как характер абслсвоп группы G. в случае когда ос порядок является бесквадратиым числом, раскладывается в произведение характеров простой степени, то В силу того, что закон взаимности определяется отображением Ар-тина [38], то характеры вида являются характерами Дирихле поля к того же модуля, что и \- Таким образом где расширение к\ С к является расширением простой степени. В силу (2.11) и (2.12) получаем где Xi — характер Дирихле поля к[ степень которого является бесквадратным числом. В силу того, что к разрешимо над Q , [к : Q] = щ — бесквадратно и (п\,п) — 1, то повторяя паши рассуждения мы приходим к доказательству теоремы 2.5. Отметим, что кормен мыс характеры существуют не только в случае бесквадратпых расширений Галуа. который имеет место в теореме 2.5. Пусть Q С L — абелсво расширение Галуа с группой Галуа G. а к — расширение ноля Q конечной степени. Тогда (см. [32] гл. III) расширение к С Л/, где М L к (композит полей) и L и к линейно разделены над Q, является расширением Галуа, и при этом имеет место вложение г : G" = = Gal(M\k) "- G, определенное мономорфизмом С — G. В этом случае имеет место следующее утверждение. где 3f, — группа идслий поля к, отображения $ и \f являются отображениями взаимности, то есть определены отображением Артина, является точной диаграммой. Доказательство теоремы 2.6 дослонпо повторяет доказательство точности диаграммы, приведенное в [38] па стр. 290. Здесь существенным моментом является тот факт, что отображение і : G G является вложением. Как следствие теоремы 2.6 получается следующее утверждение. ТЕОРЕМА 2.7. При условиях тсорсАш 2.6 для любого характера Дирихле х поляк, согласованного с группой Галуа расширения М\к, существует характер Дирихле Хі поля Q, для которого имеет место соотношение В качестве примера рассмотрим еще одну ситуацию, где имеет место теорема о порменных характерах. Пусть п = q[J ... ql". Li (і = l,s) — циклические круговые расширения ноля Q степени др, то Пусть к — расширение поля Q конечной степени. Если ([к : Q],n) = 1, то G = Gal(M\k) — G, и диаграмма аналогичная диаграмме из теоремы 2.G, является точной диаграммой.
В итоге получаем следующее утверждение. ТЕОРЕМА 2.8. Пусть поле к не содержит корней из единицы степени щ = qTi (г = l,s), о- X — характер Дирихле цоля к, согласованный с характером группы Галуа расширения М\к, где М = к( "ч/ї,..., yl). Тогда существует характер Дирихле Х\ поля Q, для которого имеет место соотношение х(р)=Хг(Щр)), где р — простой идеал поля к, взаилтопростой с модулем характера \- Связь задачи о граничном поведении степенных рядов с теоретико-числовыми задачами В данной главе рассматриваются приложения результатов, относительно граничного поведения степенных рядов, отвечающих L-фуикциям Дирихле, полученных в первой главе. Во-первых, для L-фупкциії Дирихле, допускающих разложение в произведение классических L-функциії Дирихле, получено решение задачи Ю.В. Линника о целостности скалярного произведения таких L-функций [3G]. Во-вторых, указано еще одно приложение полученных результатов к задачам теоретико-числового характера. А именно, получено условие периодичности обобщенного характера. 3.1. Задача Ю.В. Линника о целостности скалярного произведения двух L-функций Дирихле Пусть L(s, xi,ki), L(s. Y 2- к-г) — две L-фуикцни Дирихле числовых полей к\ и fc : Задача Ю.В. Линника о целостности скалярного произведения двух L-фупкцип заключается и доказательстве целостности ряда Дирихле вида Замечание 3.1. Задача о целостности скалярного произведения ставилась Ю.В. Липником для случая характеров Гекке. Такая постановка предполагала для решения этой задачи использование аппарата модулярных форм. Отметим, что, как стало известно автору, па этом пути данная задача нашла решение. В пашем случае мы предлагаем ином подход решения этой задачи, основанный па методе редукции к степенным рядам, то есть исходя из граничных свойств соответствующих степенных рядов. Применение этого подхода и случае характеров Геккс будет показано в заключении данной диссертации. Результаты, полученные в первой главе, позволяют доказать следующее утверждение. ТЕОРЕМА 3.1. Пусть к\ и к — числовые поля и L{s, \\- k\), L(s, хъ кч) — L-фупкции Дирихле этих полей, которые допускают разложение в виде произведения классических L-функций Дирихле, и пусть не главные характеры \i и Хч имеют взаимпопростые над полем рациональных чисел Q модули. Тогда скалярное произведение этих L-функций определяет целую (функцию. Доказательство Так как L-функции L(s, xi, &i), ($, Х2Д2) допускают разложение в виде произведения классических L-фупкций Дирихле, то степенные ряды, соответствующие этим L-функциям, по теореме 1.2 из 1.2 главы 1, принадлежат классу Ш. Тогда из теоремы 1.7 главы 1 следует, что ряд Дирихле f(s) определяет целую функцию, что и завершает доказательство теоремы 3.1. 3.2. Граничное поведение степенных рядов и оценки некоторых арифметических сумм Докажем один факт, который является уточнением теоремы Адама- ра об умножении особенностей в случае двух мероморфпых функций [35]. Имеет место следующая теорема.
Граничное поведение степенных рядоп и оценки некоторых арифметических сумм
Заметим, что из условия (3.2) следует, что ряд 72(2) определяет функ-цию, ограниченную в некотором секторе единичного круга (симметричном относительно действительной оси). Отсюда из теоремы Даффииа и Шсф-фера [1], которая утверждает, что из ограниченности функции где ап — копечпозиачные коэффициенты, в некотором секторе следует периодичность ап, начиная с некоторого номера, получается следующее условие периодичности конечнозначных коэффициентов. тогда и только тогда будет периодической начиная с некоторого ноліера, когда для всас (р таких, что \ip\ 6 и константа с ие зависит от ip их. Остановимся па некоторых теоретико-числовых приложениях приведенных выше результатов. ТЕОРЕМА 3.4. Пусть х{п) неглавный характер Дирихле. Тогда существует такая окрестность пуля, что при всех ір из этой окрестности где константа с не зависит от (р. Замечание 3.2. Константу с можно явно вычислить для каждого характера Х- Рассмотрим обобщенный характер h(n). то есть вполне мультипликативную, конечиозначпую функцию натурального аргумента с дополпи-тсл ьиы м и у ел о и им м и: a) h(p) Ф 0 почти для всех простых р\ Для обобщенных характеров до сих пор не получен ответ на вопрос, поставленный в 1950 году Н.Г, Чудаковым, — является ли обобщенный характер характером Дирихле? Из теоремы 3.3 следует следующее утверждение. ТЕОРЕМА 3.5. Обобщенный характер h{n) тогда, и только тогда является характером. Дирихле, когда для некоторого 6 0 и для всех (р таких, что \ip\ S: где константа с ие зависит от (р г х. В заключении этого параграфа остановимся па решении следующего вопроса. Пусть g(z) = 2 o.nz" — степенной ряд, отвечающий L-функции Ди- рихле ноля к (к ф Q), которая допускает разложение в конечное; произведение классических L-функций Дирихле, то есть где R(z) — рациональная функция с полюсами на единичной окружности, а д(г) во всех точках единичной окружности имеет конечные радиальные пределы. Естественно встает следующий вопрос: будет ли функция g(z) ограни ченпон в единичном круге? Покажем, что ответ па этот вопрос непосредственно снизан с оценкой сумм вида А именно имеет место следующая теорема. ТЕОРЕМА 3.6. Пусть L-функция Дирихле поля к с неглавным характером х представима о виде (3.3) и пусть соответствующий ей степенной ряд g(z) представим в виде (3Jf).
Тогда, если g(z) ограничена в единичном круге, то существует константа с, .зависящая только от модуля характера х питая, что имеет место неравенство В силу предположения теоремы и результата, приведенного в [35] па странице 245 относительно оценки частичных сумм степенного ряда, определяющего ограниченную п единичном круге функцию, имеем где константа зависит только от tpj. Оценки (3.7), (3.8) в силу представления (3.G) доказывают утверждение теоремы 3.6. Отмстим, что для сумм вида имеет место оценка Эта оценка приведена в [38] па стр. 319 (теорема 2.1). Несколько лучшая оценка приведена в [5]. Но и оценка, приведенная в [5], является степенной оценкой. Нет оснований надеяться, что для величины имеет место логарифмическая оценка (3.5). Поэтому теорема З.б указывает на неограниченность функции g(z) в единичном круге. Приведем отдельные доводы, которые указывают в каком направлении нужно развивать метод редукции к степенным рядам для решении тсорети ко-чи еловых задач в теории L-функций с числовыми характерами Гекке. Напомним сначала некоторые факты из теории модулярных форм. Пусть Г С Г — SL-zilj) — некоторая конгруэпц подгруппа модулярной группы SL ffi) уровня Лг, и пусть f(s) — модулярная форма веса /г, то есть функция, мероморфная в верхней полуплоскости, инвариантна относительно подгруппы Г , действующей следующим образом: пусть и голоморфная во всех вершинах фундаментальной области для Г . Напомним, что модулярная форма f(z) является параболической формой, если она равна нулю во всех вершинах. В каждой вершине можно записать разложение параболической формы f(z) в ряд Фурье. В частности, можно записать разложение в бесконечности называется рядом Дирихле, соответствующим параболической форме/(s). Известно [42]. что ряды Эйзенштейна, принадлежащие копгруэнц подгруппе Г уровня yV, определяют модулярные формы веса А;, ограниченные во всех параболических вершинах. Следовательно, разложение такой модулярной формы в бесконечности определяет параболическую форму уровня jV и веса к. Известно также [42] стр. 107, что соответствующий ей где L(S,,Y) — классическая L-функция Дирихле, xi и Xa некоторые характеры Дирихле модуля N. Исследуем граничное поведение степенного ряда ;( ), соответствующего ряду Дирихле (1). Для простоты рассмотрим случай к = 2, и в этом случае рассмотрим степенной ряд gi(z). соответствующий ряду Дирихле L{s-k+ 1,Х2)- где R(z) —- рациональная функция, полюсы которой имеют второй порядок и располагаются на единичной окружности. Для степенного ряда g(z), определяемого рядом Дирихле (1) имеет место следующий результат. Лемма 1. Степенной ряд g(z). соответствующий ряду Дирихле, ассоциированному с рядом Эйзенштейна веса А;, где к 2, принадлежащему конгруэпц подгруппе модулярной группы SL-і Ж) уровня N. определяет функцию вида где R(z) — рациональная функция, полюсы которой располагаются на единичной окружности и имеют порядок по выше второго, &g(z) во всех точках, отличных от точек «типа полюса», имеют конечные радиальные производные вида Доказательство леммы 1 повторяет доказательство теоремы 1.2 из 1.2 главы 1, если только учесть, что степенной ряд, отвечающий первому сомножителю в (1), определяет рациональную функцию с полюсами первого порядка па единичной окружности, а степенной ряд, отвечающий второму сомножителю, определяет рациональную функцию с полюсами второго порядка па единичной окружности. Пример рядов Дирихле, ассоциированных с рядами Эйзенштейна, и другие известные автору примеры позволяют сделать сле/гуюіцсе предположение.
Гипотеза 1. Степенные ряди, определяемые рядами Дирихле, ассоцигі-раваниыми с параболическими формами копгруэнц подгруппы модулярной группы SL ii L), принадлежат классу 9Я. Отметим, что в классе степенных рядов ЯЯ имеет место теорема о целостности скалярного произведения соответствующих рядов Дирихле. Известно [30], что для мнимых квадратичных полей L-функцип Гскке совпадают с рядами Дирихле, ассоциированными с параболическими формами копгруэнц подгруппы модулярной группы. По этому поводу см. также [4]. Поэтому гипотезу 1 можно предположить так же для L-фупкций Гекке числовых полей. Укажем на один из возможных подходов решения последнего предположения, суть которого заключается в том, чтобы, во-первых, доказать эту гипотезу для случая квадратичных полей, а затем случай произвольного поля свести к квадратичным полям. С этой целью необходимо уметь раскладывать L-функцию Гскке числового поля к в виде произведения L-функций Гскке квадратичных нолей, и здесь, по мнению автора, существенную роль должны играть порменпые характеры Гекке. Остановимся подробнее на основных понятиях, связанных с числовыми характерами Гскке, которые необходимы для более подробного описания данного подхода. Пусті) к D Q — некоторое алгебраическое расширение поля рациональных чисел О. Определение 1. Изоморфизм а : к — С называется вещественным, если г(к) Q Ш, в противном случае этот изоморфизм а называется комплексным. Определение 2. Поле к называется вполне комплексным если каждый изоморфизм из А; в С комплексный. И поле к называется вполне вещественным, если каждый изоморфизм из к в С вещественный. Определение 3. Поле А: называется СМ-полслі. если оно является вполне комплексным расширением некоторого своего вполне вещественного под-поля /. Примером СЛ/-поля может служить поле Q [\/—d)1 где d Є Q и d 0. Другие примеры дают круговые поля Q(m). Вполне вещественным подполий и Q(fm) является Q(fm +С1)- Пусть А; с С такое СЛ/-полс. что расширение к\ — нормальное. Пусть j — изоморфизм, являющийся ограничением комплексного сопряжения па поле к. Известно, что j лежит в центре группы ГалуаС = Gal{k\Qi). Кроме того, полем ко является подполе инвариантных элементов при действии изоморфизма j. В дальнейшем будем предполагать, что поле к удовлетворяет перечисленным выше условиям. Пусть О С к — кольцо целых чисел и 9ЇЇ С О — некоторый идеал кольца целых.
