Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Приближенные функциональные уравнения А.$.Лав-рика для L " Функций с гроссенхарактерами Гекке 9
I. Вывод приближенного уравнения для случая ряда Дирихле с характером по модулю к 9
2. Вывод приближенного уравнения для случая рядов с групповыми характерами классов поля К 14
3. Вывод приближенного функционального уравнения для общего L. - ряда Гекке с гроссенхарактером 22
4. Оценка начальных членов приближающих рядов... 32
ГЛАВА II. Оценка А, - функций Гекке на половинной прямой 50
1. Оценка L - функций Гекке Гауссового поля на половинной прямой 50
2. Оценка L ОД +it, Л ) для случая полей степени 59
3. Распространение оценки L - функций Гекке на поля любой степени 74
Литература
- Вывод приближенного уравнения для случая рядов с групповыми характерами классов поля К
- Вывод приближенного функционального уравнения для общего L. - ряда Гекке с гроссенхарактером
- Оценка L ОД +it, Л ) для случая полей степени
- Распространение оценки L - функций Гекке на поля любой степени
Введение к работе
В вопросах распределения нулей L - функций и связанных с ними арифметических задачах большое значение имеет получение хороших оценок соответствующих L - функций на половинной прямой.
Для дзета-функции Римана (s) Г.Харди и Д.Литтльвуд I - 3] (также Е.Титчмарш [4 , 5] ) получили на половинной прямой оценку |^(Vz + it)|«t1/6^t. (і)
Впоследствии эта оценка еще улучшалась (например, [б , 7]). Кроме того, аналогичную (I) оценку получил Е.Титчмарш [8] для дзета-функции Эпштейна.
Целью данной работы является получение оценки, аналогичной (I), для L- функций с гроссенхарактерами Гекке. При этом представляется важным получить такую оценку одновременно по и по показателям гроссенхарактера, так как подобные оценки позволяют получать плотностные теоремы для U, - функции Гекке, равномерные по всем параметрам. Теоремы такого типа, вместе с равномерной по параметрам теоремой Й,П.Кубилюса [9J о сдвиге границы нулей вблизи 5 = 1 для L - функций Гекке, дают возможность изучать распределение простых идеальных чисел поля в узких секторах (например, [9 - 12] ), причем "узость" сектора определяется качеством оценки по показателям гроссенхарактера. Заметим, что А.Матуляускас [13 , 14] получил для случая квадратичных полей оценки L - функций Гекке, но более слабые,чем (I). Кроме того, имеются тоже более слабые, чем (I), оценки для дзета-функции Дедекинда [15].
Для получения оценок L г функций на половинной прямой используются приближенные функциональные уравнения соответствующих L - функций. Если мы хотим получать оценки, равномерные по параметрам гроссенхарактеров, то нам лучше использовать уравнения Лавриковского типа ([16 - 19]), Заметим, что для квадратичных полей приближенные уравнения с равномерными оценками выводились, кроме работы [17] , в работах К.Булоты [20 , 2l] и А.Матуляускаса [13 , 14 , 22] .
В данной работе, в гл.1, приближенные уравнения А.Ф.Лаври-ка для случая L - рядов с гроссенхарактерами Гекке будут выведены новым методом в удобном для нас виде. При этом применяется способ поворота контура интегрирования, аналогичный [23 ] . В 1 гл.1 рассматривается наиболее простой случай вывода приближенного функционального уравнения для U, - ряда Дирихле с характером по модулю (с . В 2 этой главы рассматриваются L -функции с круговыми характерами для произвольного алгебраического поля, где, в связи с бесконечностью группы единиц, появляются новые технические трудности. В 3 гл.1 выводится приближенное функциональное уравнение для общего случая произвольного L - ряда с гроссенхарактером Гекке. И в 4 гл.1 выводятся оценки для коэффициентов в приближенном уравнении для L - ряда с гроссенхарактером. В частности, при некоторых ограничениях на показатели гроссенхарактеров, выводятся оценки начальных членов рядов в приближенном уравнении, достаточные для получения оценок соответствующих /^ - рядов Гекке, аналогичных (I). И, наконец, в гл.П, с ограничениями на показатели гроссенхарактеров из 4 гл.1, будет получена оценка [^ - рядов Гекке, аналогичная (I). При этом, в 1 гл.П будет получена оценка L -рядов Гекке Гауссовского поля. В 2 гл.П будет получена оценка для L - рядов Гекке в случае алгебраических числовых полей, степень которых не превосходит 4. И, в 3, - оценка будет распространена на случай полей любой степени. При этом оценка кратных тригонометрических сумм, возникающих при применении соответствующих приближенных уравнений, сводится к оценке кратных тригонометрических сумм с квадратичными полиномами. Видимо, применение кратных тригонометрических сумм с полиномами более высокой степени позволило бы получить несколько более сильные оценки, чем (I) (аналогично, например,[6 , 7] для *с (s) ), но это требует значительного усложнения техники оценок.
Введем ряд обозначений.
Пусть К - алгебраическое числовое поле степени h,=%^+X%z, где 1Л и 1іг , соответственно, означают число его вещественных и невещественных сопряженных полей К ; р= ч,...,гс; К ^^ комплексно сопряжено с К ; ]=>= 1, ...j ^2. . Для оСє К будем обозначать его сопряженные через eL (р)е Кfp . d, 4». означают, соответственно, дискриминант и число классов идеалов поля К .
Мы будем пользоваться идеальными числами, введенными как в [24 - 26] . При этом каждый идеал , представлен в виде (= (оО где L - число некоторого алгебраического поля, более широкого, чем К . Кроме того, если QJ* - сопряженный с Q. идеал поля К р , то (^ = (^(pj) , и для нормы идеала (\ выполняется:
Будем также обозначать NU) = si^-- St1"'1 - N (Щ).
Деление идеалов на классы переносится на классы идеальных чисел. Сравнение оС =гВ (опоа У) означает, что оС} j3 принадлежат одному и тому же классу и <^-j3 делится на fy . (сРО-дифферента К .
Следуя Э.Гекке [24 , 25] , введем гроссенхарактеры. Пусть 47,) - целый, отличный от нуля идеал поля К » ^1; . . *," система 1 = ^ + ^-1 основных единиц по модулю -f ; % - ос-новной корень из I степени CL . вд и Єн удовлетворяют следующим системам уравнений: rZeq=1i 1 M^1)R при ,,-1,...,*; ^-J 1 = 1 то есть 6«j = 1 , при Q = 1j..-,4-1 и е^ = ,при Cj=t,+b-- -Ґ-Л- XI Vя0 » при 9 = ^---^ )3 = -1 и где о^ - дельта-функция Кронекера. Обозначим /п (Р) ГР)
0*. =ал^,; , при к = 1,...,г;/о-'^...^; причем
С> = 0 , при />=*,---,*, J вг'-вь*^ *при /==^^-^.
Сопоставляем каждому полю К переменную ОС^ ; Гроссенхарактер величины X по модулю f. есть:
А(х)=Пе v ПЙле fcH ,i1 / где тл } . . . ) /уу]ъ - произвольные целые рациональные числа; (Х/^ +1 ,-,&и, ~ целые рациональные, удовлетворяющие условиям: ар>0; (1^-0.^^^=0 при /^^^,.-^^+^ ; Vі" Д a ===0 {^ol- ^=1, + 1 ' _ 7 - где Au " Челые рациональные числа, зависящие только от поля К
Гроссенхарактер идеала (^) по модулю j. имеет вид где Х(оС)- гроссенхарактер величины числа & , ^С$с)- групповой характер класса для U. по модулю , nf(&)характер знака, то есть:
1 , при ^ = 1,...,^. Числа юг, г,.; wtJ А4; . ..Д^ будем называть показателями гроссенхарактера. (L - комплексная плоскость; 5 є С ^ - функция Гекке с гроссенхарактером «А определяется при fU 2 > 1 рядом где суммирование ведется по всем целым неассоциированным по модулю L числам об , (В дальнейшем слова "по модулю j " будут иногда опускаться).
Первообразный и непервообразный гроссенхарактеры по модулю і. определяются как обычно (например, [25 J ). Нас будут интересовать L " функции с первообразными гроссенхарактерами. (Для ^ - функций с непервообразными гроссенхарактерами результаты легко следуют - например, [25]).
Главный характер - это характер
Обозначим где d - показатели сопряженного характера Л , то есть а = &р , при jp-<}...,^1 j
Мы будем Яь называть показателями пары (.А , 5 ) . При этом из контекста будет ясно, о каких показателях идет речь.
5(s) - дзета-функция Римана. Г' (s) - гамма-функция Эйлера. Иногда будем использовать обозначение
Г^аЬПГМ)-
Под % будем понимать величину, комплексно-сопряженную с величиной % .
Константы в символе О и Виноградовском знаке «г могут зависеть от поля и, как правило, от идеала ( [in] [ м J ; || м || означают, соответственно, целую, дробную часть и расстояние до ближайшего целого числа м .
Нумерацию формул будем вести по параграфам. При необходимости ссылок на формулы другого параграфа будет указываться номер параграфа и, если нужно, номер главы. Так, (1.2.6) будет означать формулу (6) из 2 гл.1.
Основные результаты диссертации опубликованы в [ 36-38 J .
Вывод приближенного уравнения для случая рядов с групповыми характерами классов поля К
В вопросах распределения нулей L - функций и связанных с ними арифметических задачах большое значение имеет получение хороших оценок соответствующих L - функций на половинной прямой.
Впоследствии эта оценка еще улучшалась (например, [б , 7]). Кроме того, аналогичную (I) оценку получил Е.Титчмарш [8] для дзета-функции Эпштейна.
Целью данной работы является получение оценки, аналогичной (I), для L- функций с гроссенхарактерами Гекке. При этом представляется важным получить такую оценку одновременно по и по показателям гроссенхарактера, так как подобные оценки позволяют получать плотностные теоремы для U, - функции Гекке, равномерные по всем параметрам. Теоремы такого типа, вместе с равномерной по параметрам теоремой Й,П.Кубилюса [9J о сдвиге границы нулей вблизи 5 = 1 для L - функций Гекке, дают возможность изучать распределение простых идеальных чисел поля в узких секторах (например, [9 - 12] ), причем "узость" сектора определяется качеством оценки по показателям гроссенхарактера. Заметим, что А.Матуляускас [13 , 14] получил для случая квадратичных полей оценки L - функций Гекке, но более слабые,чем (I). Кроме того, имеются тоже более слабые, чем (I), оценки для дзета-функции Дедекинда [15].
Для получения оценок L г функций на половинной прямой используются приближенные функциональные уравнения соответствующих функций. Если мы хотим получать оценки, равномерные по параметрам гроссенхарактеров, то нам лучше использовать уравнения Лавриковского типа ([16 - 19]), Заметим, что для квадратичных полей приближенные уравнения с равномерными оценками выводились, кроме работы [17] , в работах К.Булоты [20 , 2l] и А.Матуляускаса [13 , 14 , 22] .
В данной работе, в гл.1, приближенные уравнения А.Ф.Лаври-ка для случая L - рядов с гроссенхарактерами Гекке будут выведены новым методом в удобном для нас виде. При этом применяется способ поворота контура интегрирования, аналогичный [23 ] . В 1 гл.1 рассматривается наиболее простой случай вывода приближенного функционального уравнения для U, - ряда Дирихле с характером по модулю (с . В 2 этой главы рассматриваются L -функции с круговыми характерами для произвольного алгебраического поля, где, в связи с бесконечностью группы единиц, появляются новые технические трудности. В 3 гл.1 выводится приближенное функциональное уравнение для общего случая произвольного L - ряда с гроссенхарактером Гекке. И в 4 гл.1 выводятся оценки для коэффициентов в приближенном уравнении для L - ряда с гроссенхарактером. В частности, при некоторых ограничениях на показатели гроссенхарактеров, выводятся оценки начальных членов рядов в приближенном уравнении, достаточные для получения оценок соответствующих / - рядов Гекке, аналогичных (I). И, наконец, в гл.П, с ограничениями на показатели гроссенхарактеров из 4 гл.1, будет получена оценка [ - рядов Гекке, аналогичная (I). При этом, в 1 гл.П будет получена оценка L -рядов Гекке Гауссовского поля. В 2 гл.П будет получена оценка для L - рядов Гекке в случае алгебраических числовых полей, степень которых не превосходит 4. И, в 3, - оценка будет распространена на случай полей любой степени. При этом оценка кратных тригонометрических сумм, возникающих при применении соответствующих приближенных уравнений, сводится к оценке кратных тригонометрических сумм с квадратичными полиномами. Видимо, применение кратных тригонометрических сумм с полиномами более высокой степени позволило бы получить несколько более сильные оценки, чем (I) (аналогично, например,[6 , 7] для с (s) ), но это требует значительного усложнения техники оценок.
Вывод приближенного функционального уравнения для общего L. - ряда Гекке с гроссенхарактером
Введем ряд обозначений. Пусть К - алгебраическое числовое поле степени h,=% +X%z, где 1Л и 1іг , соответственно, означают число его вещественных и невещественных сопряженных полей К ; р= ч,...,гс; К комплексно сопряжено с К ; ]= = 1, ...j 2. . Для оСє К будем обозначать его сопряженные через eL (р)е Кfp . d, 4». означают, соответственно, дискриминант и число классов идеалов поля К .
Мы будем пользоваться идеальными числами, введенными как в [24 - 26] . При этом каждый идеал представлен в виде (= (оО где L - число некоторого алгебраического поля, более широкого, чем К . Кроме того, если QJ - сопряженный с Q. идеал поля К р , то ( = ( (pj) , и для нормы идеала (\ выполняется:
Будем также обозначать NU) = si Деление идеалов на классы переносится на классы идеальных чисел. Сравнение оС =гВ (опоа У) означает, что оС} j3 принадлежат одному и тому же классу и -j3 делится на fy . (сРО-дифферента К .
Следуя Э.Гекке [24 , 25] , введем гроссенхарактеры. Пусть 47,) - целый, отличный от нуля идеал поля К система 1 = + -1 основных единиц по модулю -f ; % - ос-новной корень из I степени CL . вд и Єн удовлетворяют следующим системам уравнений:
Сопоставляем каждому полю К переменную ОС ; Гроссенхарактер величины X по модулю f. есть: А(х)=Пе v ПЙле fcH ,i1 / где тл } . . . ) /УУ]Ъ - произвольные целые рациональные числа; (Х/ +1 ,-, целые рациональные, удовлетворяющие условиям: ар 0; (1 -0. при Челые рациональные числа, зависящие только от поля К Гроссенхарактер идеала ( ) по модулю j. имеет вид где Х(оС)- гроссенхарактер величины числа & , С$с) групповой характер класса для U. по модулю , nf(&) характер знака, то есть: ir(#) = [ 1 #-1 у ГДЄ Q,f = О или Ло1 СМ 1 , при = 1,..., . Числа юг, г,.; wtJ А4; . ..Д будем называть показателями гроссенхарактера. (L - комплексная плоскость; 5 є С - функция Гекке с гроссенхарактером «А определяется при fU 2 1 рядом где суммирование ведется по всем целым неассоциированным по модулю L числам об , (В дальнейшем слова "по модулю j " будут иногда опускаться).
Первообразный и непервообразный гроссенхарактеры по модулю І. определяются как обычно (например, [25 J ). Нас будут интересовать L " функции с первообразными гроссенхарактерами. (Для - функций с непервообразными гроссенхарактерами результаты легко следуют - например, [25]).
Главный характер - это характер Обозначим - 8 где d - показатели сопряженного характера Л , то есть а = &р , при jp- }..., 1 j Мы будем Яь называть показателями пары (.А , 5 ) . При этом из контекста будет ясно, о каких показателях идет речь. 5(s) - дзета-функция Римана. Г (s) - гамма-функция Эйлера. Иногда будем использовать обозначение
Нумерацию формул будем вести по параграфам. При необходимости ссылок на формулы другого параграфа будет указываться номер параграфа и, если нужно, номер главы. Так, (1.2.6) будет означать формулу (6) из 2 гл.1.
Чтобы сделать ясным, на чем основаны доказательства теорем, сначала выведем приближенное уравнение для ряда Дирихле Lfej/t), где р{ - примитивный четный характер по модулю
Лемма I. Пусть С - четный примитивный характер по модулю к 1 , и пусть iliZ 0 . Тогда для справедливо следующее функциональное уравнение: t{j)Q{ )=-{k/z Q{Vz ). (2) Здесь ГХ " сумма Гаусса для сопряженного характера, и берется фиксированная ветвь V sT , такая, что для действительных X О .
Вывод уравнения (2) для % , лежащих на действительной оси (Z = X 0 ) имеется, например, в [27 - 29] , и, очевидно, уравнение для действительного X О может быть продолжено по принципу аналитического продолжения на полуплоскость
Оценка L ОД +it, Л ) для случая полей степени п, $ 4
Будем снова пользоваться геометрическим представлением алгебраических чисел как точек ц, - мерного линейного пространства с координатами (хь . . ., хк) » как в 2, и представлением чисел в логарифмическом пространстве, как, например, в [Зі] . Пусть, как в Лемма I. ( Например, [2б],[3і] ). Пусть единицы 11 ,... 1 таковы, что векторы линейно независимы. Тогда группа &с » состоящая из единиц вида с целыми рациональными С , является подгруппой конечного индекса j в группе всех единиц G- .
Следствие. Пусть функция F (oL) такова, что для любой единицы из группы G- . И пусть S1 и означают соответственно 2Z F(o) по всем попарно неассоцииро ванным по группам От и G-c , соответственно, числам . Тогда Лемма 2. При г существует такая система 1г.. единиц с линейно-независимыми t(ft1 )3 . - -, ( l t ) , что вы полняются следующие соотношения на их сопряженные.
Доказательство леммы. Покажем вначале, что соотношения (I) формально непротиворечивы. Доказательство этого факта проведем по индукции. Пусть вначале t = Z .
Пусть для 1-І непротиворечивость (I) уже доказана, и пусть соответствующие соотношения на сопряженные суть: некоторая перестановка из (ij.-,t+i)9 и где Добавим соотношения на еще один вектор Q е+ . Заметим, что при этом / j) для = 1 . .., I , можно вставлять в соотношения (2) на любое место, так как это не портит соотно шений (I) для тех пар, в которых р$ I и j I Возьмем вектор 1i + i со следующим соотношением по рядка на сопряженные:
Если А t то какое-то \У[ 1 при &$j s +1 . Тогда, следовательно, / Ч \ нужно поставить перед / в;/ , т.е. в начале соответствующей строки соотношений (2). Если же І Чи J 1 f то, аналогично, - в конце соответствующей строки. Тем самым каждый раз условия (I) выполняются.
Сейчас мы выберем целочисленную невырожденную матрицу CKV= так, чтобы для системы единиц выполнялись соотношения (I) на сопряженные. Для этого, как мы видели достаточно, чтобы при 1=1 в (2) выполнялись соотношения (2) на сопряженные.основные единицы по модулю f , определенные во введении).
Чтобы выполнялись соотношения (2) на сопряженные для должна выполняться следующая система неравенств: Здесь (ПсЛ). .. к. +л) - некоторая перестановка из определенная соотношениями (2). Заметим, что равенство 9-і = при любых С і было бы, только если Ч1К, = t+л при всех I (или Ціх. 0}, что невозможно ввиду того, что Є и- основные единицы по модулю I
Неравенств в (3) t-H среди них независимых в точности Ъ » так как среди определителей того порядка матрицы, составленной из левых частей (3), есть определитель, равный регулятору единиц ; и так как:
Заметим сразу, что если суіцествует какое-то решение (3), то существует и решение с целыми рациональными С при всех Jb и & . Теперь под решением (3) будем понимать целочисленное решение.
Можно выбрать % целочисленных векторов так, чтобы каждый удовлетворял своей системе (3) и они были линейно независимы. Например, можно выбирать последовательно вектор с номером ь следующим образом. Выберем произвольное решение системы вида (3) для Если оно независимо с предыдущими, то все в порядке. Если же зависимо,то тогда существует такой набор рациональных чисел
Выберем произвольный целочисленный вектор так, чтобы вектора ( ,..., Сер) при вектор ы линейно независимы. Заметим, что из соображений непрерывности существует достаточно большое целое число А/ такое, что, если удовлетворяет
Распространение оценки L - функций Гекке на поля любой степени
Целью данной работы является получение оценки, аналогичной (I), для L- функций с гроссенхарактерами Гекке. При этом представляется важным получить такую оценку одновременно по и по показателям гроссенхарактера, так как подобные оценки позволяют получать плотностные теоремы для U, - функции Гекке, равномерные по всем параметрам. Теоремы такого типа, вместе с равномерной по параметрам теоремой Й,П.Кубилюса [9J о сдвиге границы нулей вблизи 5 = 1 для L - функций Гекке, дают возможность изучать распределение простых идеальных чисел поля в узких секторах (например, [9 - 12] ), причем "узость" сектора определяется качеством оценки по показателям гроссенхарактера. Заметим, что А.Матуляускас [13 , 14] получил для случая квадратичных полей оценки L - функций Гекке, но более слабые,чем (I). Кроме того, имеются тоже более слабые, чем (I), оценки для дзета-функции Дедекинда [15].
Для получения оценок L г функций на половинной прямой используются приближенные функциональные уравнения соответствующих функций. Если мы хотим получать оценки, равномерные по параметрам гроссенхарактеров, то нам лучше использовать уравнения Лавриковского типа ([16 - 19]), Заметим, что для квадратичных полей приближенные уравнения с равномерными оценками выводились, кроме работы [17] , в работах К.Булоты [20 , 2l] и А.Матуляускаса [13 , 14 , 22] .
В данной работе, в гл.1, приближенные уравнения А.Ф.Лаври-ка для случая L - рядов с гроссенхарактерами Гекке будут выведены новым методом в удобном для нас виде. При этом применяется способ поворота контура интегрирования, аналогичный [23 ] . В 1 гл.1 рассматривается наиболее простой случай вывода приближенного функционального уравнения для U, - ряда Дирихле с характером по модулю (с . В 2 этой главы рассматриваются L -функции с круговыми характерами для произвольного алгебраического поля, где, в связи с бесконечностью группы единиц, появляются новые технические трудности. В 3 гл.1 выводится приближенное функциональное уравнение для общего случая произвольного L - ряда с гроссенхарактером Гекке. И в 4 гл.1 выводятся оценки для коэффициентов в приближенном уравнении для L - ряда с гроссенхарактером. В частности, при некоторых ограничениях на показатели гроссенхарактеров, выводятся оценки начальных членов рядов в приближенном уравнении, достаточные для получения оценок соответствующих / - рядов Гекке, аналогичных (I). И, наконец, в гл.П, с ограничениями на показатели гроссенхарактеров из 4 гл.1, будет получена оценка [ - рядов Гекке, аналогичная (I). При этом, в 1 гл.П будет получена оценка L -рядов Гекке Гауссовского поля. В 2 гл.П будет получена оценка для L - рядов Гекке в случае алгебраических числовых полей, степень которых не превосходит 4. И, в 3, - оценка будет распространена на случай полей любой степени. При этом оценка кратных тригонометрических сумм, возникающих при применении соответствующих приближенных уравнений, сводится к оценке кратных тригонометрических сумм с квадратичными полиномами. Видимо, применение кратных тригонометрических сумм с полиномами более высокой степени позволило бы получить несколько более сильные оценки, чем (I) (аналогично, например,[6 , 7] для с (s) ), но это требует значительного усложнения техники оценок. Введем ряд обозначений. Пусть К - алгебраическое числовое поле степени h,=% +X%z, где 1Л и 1іг , соответственно, означают число его вещественных и невещественных сопряженных полей К ; р= ч,...,гс; К комплексно сопряжено с К ; ]= = 1, ...j 2. . Для оСє К будем обозначать его сопряженные через eL (р)е Кfp . d, 4». означают, соответственно, дискриминант и число классов идеалов поля К .
