Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оценки линейных форм от значений Е-функций 41
1. Доказательства теорем I, Iі, 2, 2; 41
2. Доказательства теорем 3, з', 4 69
3. Доказательства теорем 5, 5*, 6, 6, 7 72
Глава 2. Доказательства общих теорем об эффективных оценках многочленов от значений Е-функций 76
1. Доказательство теоремы 8 76
2. Доказательство теоремы 9 87
3. Доказательство теоремы 10 96
Глава 3. Эффективные оценки многочленов от значений некоторых гипергеометрических Е-функций ..103
Литература 113
- Доказательства теорем 3, з', 4
- Доказательства теорем 5, 5*, 6, 6, 7
- Доказательство теоремы 9
- Доказательство теоремы 10
Доказательства теорем 3, з', 4
Функцию (2.30) определим как коэффициент в разложении по произведениям степеней С., ., С . Cw,!,-.,0 ., в равенстве где суммирование в левой части равенства (2.32) производится по всем наборам чисел 5 вида (2.35) таким, что выполняется условие (2.31). Как и при доказательстве теоремы 8 , продифференцировав равенство (2.32) по 2 и учитывая то, что функции (2.24) составляют решение системы (0.9 ) устанавливаем, что для фиксированного набора ff вида (2.25) , удовлетворяющего условию (2.27) функции (2.30) составляют решение системы уравнений(2.28 ) Пусть наборы В и -fc определены равенством (2.25) и удовлетворяют условиям ( 2. 31 ). Пусть С- -произвольные постоянные, a Fg- -произвольные многочлены от . Докажем, что равенство где суммирование производится по всем наборам р} -ё" вида (2.25), для которых имеет место неравенство (2.27), выполняется тогда и только тогда, когда для всех наборов р t с условием (2.31) Из этого утверждения будет следовать, что отличные от нуля компоненты произвольного решения системы (2.28) линейно независимы над (С (jb) и лемма будет доказана. Обозначим где Y. -матрица ( о.35 ) Будем рассматривать У-1 и "г і (2.35) как многочлены от переменных 4Li_. 1-=-1 ,/t уп. t \ = 1 , /г" .Докажем, что тождественно по этим переменным выполняется равенство некоторые многочлены от переменных Чі±1 коэффициентами из \J Если в г не содержится переменная Ц , то положим в (2.36) т?,"=0. и Р — О Пусть степень Р по Ч и j равна к 1, Тогда многочлен Р можно представить в виде где R. , =о, /, , fe - некоторые многочлены от остальных переменных Jht- GAj) " О !,1) Если вычесть из mzi Р многочлен hb (",- .?.), то получим многочлен , имеющий степень по перемен ной U. не выше, чем к-1 . Повторив эту операцию не более чем -fe раз, получим равенство в котором многочлен 5 уже не зависит ОТ t( a R - многочлен от переменных %it 93 Аналогично , исключая переменные 4,, . ,,, 11 получим равенство в котором многочлен Р. + не зависит от перемен W %, ,,.1 Для всех =4,..., »W. Заменим в равенстве (2.37) переменные ty« , на соответствующие функции фундаментальной системы решений ( 0.35 ). Так как по теореме Лиувилля об определителе матрицы фундаментальной системы решений системы линейных дифференциальных уравнений H-L - 1./, = 0 , 1=1 УУ1 то в левой части равенства (2.37) получим функцию тождественно по X равную нулю, а в правой части многочлен с коэффициентами из J- от алгебраически независимых над / функций. Следовательно, = О тождественно по переменным Ч х . что и доказывали тождество (2.36). Рассмотрим совокупность Р однородных по переменным \JL-L , і членов многочлена Р старшей степени /\/ /V ТДз раьенства (2.37) следует, что тождественно по переменным У і, : Сделаем в тождестве (2.38) следующую замену переменных: положим а остальные переменные tj.. . -1, , - .,. . := оставим без изменения. После этой замены переменных каждый из опрнделителей IL у і ± 9 , . ., УУЪ } будет равен нулю , так как первые два столбца в них пропорциональны, а каждый из определителей 2?« 1-і,,, щ отличен от нуля.Следовательно, тождественно по переменным V, . д. . \. , выполняется равенство Р=0. (2.39) Заменим в тождестве (2.38) остальные переменные V. , , = R. А- і , t=((.,m :1=1,,,,/1. ;f=? и Рассмотрим совокупность Г отличных от нуля слагаемых в левой части равенства (2.39), соответствующих максимальному значению суммы
Доказательства теорем 5, 5*, 6, 6, 7
В 1929 году К.Зигель [І9:І] для значений функции Бесселя\}0Ы) установил следующую оценку: где -степень числа . С 0 -постоянная, зависящая только от и . После работ А.Б.шидловского JJ3:8,9j стало возможным, используя метод развитый в этих работах, получать общие оценки мер трансцендентности и взаимной трансцендентности значений Е-функций в точках из поля /А . Общую теорему такого типа опубликовал С.Ленг [l3:lj в 1962 году. Теорема. Пусть Е-функции (0.Г) составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.2) и алгебраически независимы над (iS(st) , число = А отлично от нуля и полюсов всех функций (у.. . Тогда выполняется нера- венство где С О - постоянная, зависящая от функций (0.1) , чисел уп , , 4 , a. jf 0 -постоянная, зависящая от /л. и G. А.Б.Шидловский , пользуясь обобщениями основных лемм метода , опубликованными в его статье [8:10J и работах [8:11 J , /8:I2j для случая, когда ){С= j_ установил ряд общих теорем об оценках мер взаимной трансцендентности, весьма близких к их естественным границам. Например , при условиях сформулированной выше теоремы при 1к = Ц. выполняется неравенство при любом 0 »а б" 0 зависит от функций (0.1), системы (0.2) и чисел ,49т, . Более того, в этой оценке можно заменить Є на где постоянная Y 0 зависит от функций ( 0.1) и числа Заметим, что оценки мер сверху, полученные с помощью принципа Дирихле, показывают, что в последней оценке главный член в показателе является точным. Пользуясь работой А.Б.Шидловского [8:I0J , А.И.Галочкин в 1968 году J_3:l/ заменил в неравенстве ( 0.4) постоянную Y" конкретной функцией от \i и Ьъ и обобщил результат на случай меры более общего вида. В 1979 году А.Б.Шидловский в статье 8:I2J обобщил понятия мер линейной независимости, трансцендентности и взаимной трансцендентности чисел. Пусть f(( - алгебраическое поле. Высотой (Р) относительно поля к многочлена рє // J называют максимум модулей его коэффициентов и всех их сопряженных в поле IK . А.Б.Шидловский рассматривает меры, которые определяются аналогично приведенным выше определениям, с той лишь разницей, что коэффициенты соответствующего многочлена Р или линейной формы принадлежат х2Г,р » а высота И И (?) заменена высотой относительно поля I s » Н.у И Л Р) Соответствующие меры обозначаются I _ А.Б.Шидловским в статьях [8:I2j , [8:14] , [8:I6J и j[ 8:I8J установлен ряд общих теорем об оценках мер.
Оценки мер значений различных функций ( 0.1) получаемые аналитическими методами теории чисел , обычно содержат некоторые постоянные. Эти постоянные зависят от класса функций , которому принадлежат функции ( 0.1 ) , числа \п этих функций, значения 2:= "Е , при котором они рассматриваются и степени меры 4 Постоянную, входящую в оценку меры убудем называть эффективной, если она может быть вычислена с помощью конечного числа действий: сложения, вычитания, умножения, деления .возведения в степень, логарифмирования, нахождения наименьшего и наибольшего элемента конечного множества и т.д., производимых над да аметрами , определяющими совокупность функций ( 0.1) , числами )п , f ,
Если пользоваться только алгебраической независимостью Е-функций (0.1) , удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (0.2) , то в общем случае оценки мер взаимной трансцендентности, получаемые методом Зигеля - Шидловского, будут? неэффективными. Однако, если потребовать, чтобы рассматриваемые функции удовлетворяли более сильному условию неприводимости произведений степеней функций ( 0.1) , то эти оценки становятся эффективными. Однако, проверка условия неприводимости является очень сложной и возможна только в некоторых частных случаях.
Ряд общих теорем об эффективных оценках мер значений Е-функций в а лгебраических точках был установлен А.Б.Шидловским в 1979 году в работе 8:12 J . В.Х.Салихов j_6:lj в 1978 году получил эффективные оценки мер значений некоторых конкретных функций.
В статье Ю.В.Нестеренко [4:IJ в 1977 году была установлена оценка меры вида (0.4) , но в которой постоянная С эффективно зависит от 4
Доказательство теоремы 9
В 1899 году Борель [її:і] , используя метод Эрмита-Линдемана, доказал, что при ограниченном В 1929 году Я.Яопкен [l8:l] уточнил эту оценку и доказал, что при ограниченном 4 В 1932 году К.малер L16:1J Уточнил этот результат и показал, что где С О -абсолютная постоянная. В 1929 году К.Зигель [І9:І] для значений функции Бесселя\}0Ы) установил следующую оценку: где -степень числа . С 0 -постоянная, зависящая только от и . После работ А.Б.шидловского JJ3:8,9j стало возможным, используя метод развитый в этих работах, получать общие оценки мер трансцендентности и взаимной трансцендентности значений Е-функций в точках из поля /А . Общую теорему такого типа опубликовал С.Ленг [l3:lj в 1962 году. Теорема. Пусть Е-функции (0.Г) составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.2) и алгебраически независимы над (iS(st) , число = А отлично от нуля и полюсов всех функций (у.. . Тогда выполняется неравенство где С О - постоянная, зависящая от функций (0.1) , чисел уп , , 4 , a. jf 0 -постоянная, зависящая от /л. и G. А.Б.Шидловский , пользуясь обобщениями основных лемм метода , опубликованными в его статье [8:10J и работах [8:11 J , /8:I2j для случая, когда ){С= j_ установил ряд общих теорем об оценках мер взаимной трансцендентности, весьма близких к их естественным границам. Например , при условиях сформулированной выше теоремы при 1к = Ц. выполняется неравенство при любом 0 »а б" 0 зависит от функций (0.1), системы (0.2) и чисел ,49т, . Более того, в этой оценке можно заменить Є на где постоянная Y 0 зависит от функций ( 0.1) и числа Заметим, что оценки мер сверху, полученные с помощью принципа Дирихле, показывают, что в последней оценке главный член в показателе является точным. Пользуясь работой А.Б.Шидловского [8:I0J , А.И.Галочкин в 1968 году J_3:l/ заменил в неравенстве ( 0.4) постоянную Y" конкретной функцией от \i и Ьъ и обобщил результат на случай меры более общего вида. В 1979 году А.Б.Шидловский в статье 8:I2J обобщил понятия мер линейной независимости, трансцендентности и взаимной трансцендентности чисел.
Пусть f- алгебраическое поле. Высотой относительно поля к многочлена рє // J называют максимум модулей его коэффициентов и всех их сопряженных в поле IK .
А.Б.Шидловский рассматривает меры, которые определяются аналогично приведенным выше определениям, с той лишь разницей, что коэффициенты соответствующего многочлена Р или линейной формы принадлежат х2Г,р » а высота И И (?) заменена высотой относительно поля I s » Н.у И Л Р) Соответствующие меры обозначаются I _ А.Б.Шидловским в статьях [8:I2j , [8:14] , [8:I6J и j[ 8:I8J установлен ряд общих теорем об оценках мер.
Оценки мер значений различных функций ( 0.1) получаемые аналитическими методами теории чисел , обычно содержат некоторые постоянные. Эти постоянные зависят от класса функций , которому принадлежат функции ( 0.1 ) , числа \п этих функций, значения 2:= "Е , при котором они рассматриваются и степени меры 4 Постоянную, входящую в оценку меры убудем называть эффективной, если она может быть вычислена с помощью конечного числа действий: сложения, вычитания, умножения, деления .возведения в степень, логарифмирования, нахождения наименьшего и наибольшего элемента конечного множества и т.д., производимых над да аметрами , определяющими совокупность функций ( 0.1) , числами )п , f ,
Если пользоваться только алгебраической независимостью Е-функций (0.1) , удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (0.2) , то в общем случае оценки мер взаимной трансцендентности, получаемые методом Зигеля - Шидловского, будут? неэффективными. Однако, если потребовать, чтобы рассматриваемые функции удовлетворяли более сильному условию неприводимости произведений степеней функций ( 0.1) , то эти оценки становятся эффективными.
Доказательство теоремы 10
Замечание. В статьях К.Ваананена [20: l] , [20: сданных в печать в ноябре 1975г. и апреле 1976г. соответсвенно, получены оценки, подобные неравенствам теоремы 3, но менее общие и не эффективные. Автор сделал сообщение о теореме 2, из которой следуют результаты Ваананена, на конференции "Цепные и ветвящиеся цепные дроби и их приложения" в г.Львове в сентябре 1975г. Теорема 2 была опубликована в работе [22:2] в 1976г.
Теорема 5 (теорема 5 ) представляет частный случай теоремы 6 ( теоремы б ), при ! _/[_ и Ьт.= . Поэтому, достаточно доказать теоремы 6 и б . Функцию Р(?) (0 2?) можно рассматривать как линейную форму от функций где числа kL. и удовлетворяют неравенству (0.21) Далее, пусть $ ,,, } h неотрицатель ные целые числа Рассмотрим величину Р± , С&) определен-ную равенствами (0.22) и (0.24) 0на явля " ется линейной формой с коэффициентами из 73 от функций где неотрицательные целые числа j , , =/ т? lfj ) ) j lji.t j Я-і удовлетворяют условиям Количество функций .(1.53) равно числу /L определенному равенством (0.27) Если продифференцировать функцию (1.53) и подставить вместо производных функций (0.7) правые части соответствующих уравнений (0.9) , то в результате получится линейная комбинация с коэффициентами - рациональными функциями от 3h от функций вида причем неотрицательные целые числа Ли ;іі А1П т, о ) упп удовлетворяют условиям ЛЕЖА 9. ( см. [8:9 7 » стр.183, следствие леммы15) Если ІК -функции (0,7) удовлетворяют системе линейных однородных дифференциальных уравнений(0.9) то функции (I »52) являются решением системы ли нейных однородных дифференциальных уравнений с коэф фициентами - рациональными функциями из ЙС г) При этом многочлен l (z) , соответствующий получен ной системе, совпадает с соответствующим многочленом Tfe) для системы (0.9) Приведенные выше рассуждения показывают, что функ— ции (1.53) составляют решение соответствующей подсистемы системы уравнений, полученной в лемме 10. ЛЕММА 10.(см. [&I2] f лемма 6 ) Пусть функции (0.7) принадлежат классу кЕ"( ,С}Мл) и і Є/А/ . Тогда M=(h )jA/!k! произведений степеней (1.52) этих функций(0.7) принадле-лежит классу \Up{\ ftc И Q /( п&+/)) Применим теорему 2 (соответственно Z) к совокупности произведений степеней (1.52) функций(0.7) При этом , ввиду леммы 10 , необходимо заменить числа N j А , С } /л j Ц/ соответственно на И } X ) кс ,/1 ; о, -В результате мы получим неравенства (0.28) и (0.29) Теорема 6 ( теорема 6 ) доказана. Перейдем к доказательству теоремы 7. ЛЕММА II. ( 8:13] ). Пусть функция %(ї) определена равенством (0.30) . Функции являются (Ну f -функциями и алгебраически независимы над С (%) Кроме того, функция (0.30) является решением линейного дифференциального уравнения порядка 4 Утверждение теоремы 7 следует из теоремы 6 и леммы II.
