Содержание к диссертации
Введение
1 Производящий ряд Дирихле 10
1.1 Вспомогательные утверждения 10
1.2 Теорема о представление производящего ряда 12
2 Об оценках дзета-функции Римана в окрестности единичной прямой 23
2.1 Вспомогательные утверждения 23
2.2 Теорема об оценке дзета-функции Римана в окрестности единичной прямой 25
3 Средние значения функции делителей на значениях кубической формы 34
3.1 Вариант формулы Перрона 34
3.2 Среднее значение степени модуля дзета-функции Римана 39
3.3 Асимптотика среднего значения многомерной функции делителей 48
4 Асимптотическая формула для суммы функции делителей на значениях тернарной кубической формы 57
4.1 Вспомогательные утверждения 57
4.2 Основная теорема 60
Литература 63
- Теорема о представление производящего ряда
- Теорема об оценке дзета-функции Римана в окрестности единичной прямой
- Среднее значение степени модуля дзета-функции Римана
- Асимптотика среднего значения многомерной функции делителей
Введение к работе
Проблемой делителей называют задачу об исследовании асимптотического поведения среднего значения функции делителей Дирихле, распространенных на множества натуральных чисел, имеющих различную природу. Поясним, что функцией делителей Tk(n) называется количество представлений натурального п в виде п = х\... Хк, где х\,..., Хк — натуральные числа. Следует сказать, что данная задача допускает многочисленные арифметические и геометрические интерпретации. В частности, полученная самим Дирихле асимптотика для среднего значения числа делителей натурального аргумента одновременно является и асимптотикой для количества целых точек под гиперболой.
Настоящая диссертация посвящена выводу асимптотической формулы для среднего значения Vk(x) функции Тк(п) при условии, что 1 < п < ж, а п пробегает значения, которые принимает тернарная кубическая форма вида
<Р =
где zi,Z2,zs — целые числа.
Заметим, что под средним значением функции f(z), распространенной на некоторое конечное множество точек z Є М в количестве N элементов, здесь понимается величина V, равная сумме
v = /(*).
Значение V связано со средним арифметическим А от функции f(z) по множеству М простым равенством A = V/N.
Из определения следует, что величина 14 (ж) равна количеству решений диофантова уравнения вида
х\... хк - z\ - z\ - z\ + 3ziz2z3 = О,
причем переменные жі,..., Хк принимают натуральные, a z\, z2, z% — целые значения и выполнено неравенство х\... Хк < х, а также значению
суммы вида
В случае к = 1 и к = 2 задача отыскания асимптотики для Vk (х) рассматривалась в кандидатской диссертации X. Т. Нгуена [13], защищенной на механико-математическом факультете МГУ в 1990 г. Там же получена асимптотика для близкой по тематике (случай к = 3) задачи представления нуля кубической формой от шести переменных вида
Qi =
с условием <р < X.
Различные задачи, связанные с получением асимптотик средних значений функции делителей, заданной на множестве целых чисел М определенной арифметической природы, имеют большую историю и сохраняют свою актуальность до настоящего времени. Наибольшее внимание, естественно, привлекает классическая проблема делителей Дирихле, то есть вопрос об оценке остаточного члена гк(х) в асимптотической формуле вида
Dk{x) = ^2п(п) = хРк^г(1пх) + гк(х),
где Pk-\{t) — многочлен степени к — 1.
Начиная с первой оценки вида г2{х) <С х1'2+', полученной Дирихле в 1849 г [68], этой проблемой занимались Вороной [29], Ландау [69], Харди и Литтлвуд [70], ван дер Корпут [59], Тон [71], Вальфиш [26], Аткинсон [31], Чи Джан Тао [73], Рихерт [74], Чен Джин Ран [6], Карацуба [14], Колесник [75], Иванец и Мозоччи [52], Ивич [10] и другие известные математики. Последние результаты по проблеме делителей Дирихле изложены в монографии А. Ивича [48].
В случаях, когда множество М не совпадает с натуральным рядом чисел, возникает ряд отдельных задач, изучение которых требует применения существенно различных подходов и методов исследования. Количество таких задач очень велико. Можно указать, например, на проблему нахождения асимптотики для среднего значения функции тк([пс]), рассмотренную Закзаком [18], Солибой [63], Архиповым и Чубариковым [76].
Важным направлением в круге указанных проблем является нахождение асимптотик функции тк(f(z)), где f(z) — целозначный многочлен от нескольких переменных z = (zi,..., zm). Сюда может быть отнесена,
как основная задача, рассматриваемая в диссертации, так и нахождение
асимптотик для сумм вида
п<х z\...zi
где к, I > 2. Исследованию к = 2, I > 2 посвящены фундаментальные работы Эстермана, Титчмарша, Хооли, Линника, Бредихина, Мотохаши, Тимофеева, А. И. Виноградова и других математиков. Следует сказать, что случай к — I = 3 до сих пор представляет собой актуальную проблему, не решенную до сих пор.
Возвращаясь к случаю, изучаемому в данной диссертации, то есть к асимптотике среднего значения функции Tk((f(zi,Z2,zs)), важно учесть, что форма третьей степени (p(zi,Z2,z^) является разложимой. Точнее, она разлагается на линейные множители в алгебраическом расширении Q(\/3) поля рациональных чисел Q. Это свойство создает предпосылки использования в данной задаче техники производящих рядов Дирихле. Действительно, в упомянутой выше работе [13] при к = 1 и к = 2 был явно выписан искомый производящий ряд fk(s), причем существенным элементом рассуждений послужило доказательство мультипликативности арифметической функции t(n) = ^to(n), где to(n) при каждом натуральном п определяется как количество решений диофантова уравнения вида
п = z\ + z\ + z\ - 3ziZ2Z3.
Заметим, что наличие множителя 1/3 в равенстве t(n) = ^to(n) говорит о том, что возможность использования мультипликативных свойств коэффициентов искомого производящего ряда Дирихле Fk(s) заранее не очевидна.
Одним из основных результатов диссертации является теорема о представлении ряда Fk(s) в виде
Здесь к — любое натуральное число, большее двух, C(s) — дзета-функция Римана, L(s,x) — -ряд Дирихле, х ~ неглавный характер Дирихле по модулю 3, gk{s) — некоторый ряд Дирихле, сходящийся абсолютно в области 3fts > 1/2.
При к = 1, 2 это утверждение было доказано в [13], причем в этом случае gk(s) представляет собой конечный ряд Дирихле.
Указанное выше представление для ряда Д- (s) дает возможность применить метод контурного интегрирования для нахождения сумматорной
функции коэффициентов ряда, а также выразить главный член и остаток искомой асимптотической формулы через вычет функции fk(s) в точке s = 1 и некоторый контурный интеграл соответственно. Но так как модуль характера \ равен трем, то исследование остатка искомой асимптотики в нашем случае в идейном смысле ничем не отличается от случая производящего ряда Gk{s) = C3fc(s)> но требует несколько более громоздких выкладок, связанных, в частности, с использованием функционального уравнения для Z/(s,x), а также разбиением ряда Дирихле, определяющего функцию _L(s,x)> на две прогрессии по модулю 3.
Другими словами, можно считать, что исследование остаточного члена в нашем случае фактически сводится к случаю производящего ряда Gk(s) = 3fc(s), то есть к классической многомерной проблеме делителей Дирихле, отвечающей размерности т = Зк.
В силу сказанного выше искомая асимптотическая формула имеет вид
Тк(х) = ^2 Tk(
причем если для фиксированного натурального к, некоторых а& > 0 и / > 0 и любом є > 0 имеют место оценки
гк(х) <е хак+є, Rk(x) «Се яЛ+е,
то справедливо неравенство
Рк < &3к-
Использование лучших известных на настоящее время значений для показателя азк дает еще один основной результат диссертации, сводящийся к получению следующей серии оценок
/Зі < 43/96,
/ < 7/12.
Эти оценки, в частности, улучшают результаты X. Т. Нгуена / < ~ и / < ff, отвечающие двум значениям к = 1 и к = 2, полученные им в [13, 2, 3, с. 13-30].
Для случая Зк > 100 в настоящей диссертации получены новые оценки показателей а^к в классической проблеме делителей Дирихле, и соответственно, показателей /Зк < &зк в оценках остатка в изучаемой нами асимптотической формуле для функции Тк(х). Для этого мы находим
новые значения параметров а>0и?>0в оценке показателя а&, полученные Х.-Э. Рихертом [77] и А. А. Карацубой [14] и имеющие следующий
(afc)2/3'
причем параметр а содержится в известной оценке дзета-функции Римана (s) и имеет следующий вид
\((а + it)\ « (|t| + l)0*1-*)"2 In (|t| + 1).
Здесь вещественная и мнимая части а и t аргумента дзета-функции удовлетворяют условиям t Є Ж и а Є (1/2, 1]. Верхние оценки значений а и В имеют собственную историю. Остановимся сначала на значениях параметра В.
В 1971 г. А. А. Карацуба [14] указал значение В = -^щ = 0, 31498
В 1976 г. Фуджи [80] опубликовал оценку В < 2_1/2(л/8 - 1)_1/3 = 0, 5786.... Далее, в работе Е. И. Пантелеевой [15] приводится значение В = 2~2/3 = 0, 6299..., а в работе работе Ивича и Куэлето [10] — значение В = 22/3-3-1 = 0, 5782 .... Оказалось, однако, что результаты Фуджи и Пантелеевой недостаточно обоснованы, так что лучшим результатом до последнего времени оставалось значение В = 22'3 З-1 из [10].
В данной диссертации найдена новая оценка параметра В, имеющая следующий вид
/2\ 2/3
>f-J -0,7631....
Вывод последней оценки для параметра В опирается на полученную в данной диссертации новую оценку известной в теории дзета-функции Римана величины о-/;, определяемой соотношениями вида
где М — множество всех вещественных чисел а < 1, для которых справедлива оценка
Т"1 [ |С(о- + й)|2* dt < Т
-г Здесь к — натуральное и є > 0 — произвольное вещественное число.
Наша оценка параметра cr& справедлива для достаточно больших к, точнее, для к > 100, и имеет вид
1 к - ~ (За(к - к0) + За(к - &0)V2)2/3'
где к > ко = 44 — [22/а] при условии, что величина а удовлетворяет неравенству 1 < а < 20.
История оценок значения параметра а начинается с работы Рихерта [77], где было указано значение а = 100. В дальнейшем были получены следующие результаты: а — 39 (Туран, 1971), а = 86 (Рибенбойм, 1986), а = 26 и а = 21 (Пантелеева, 1987, 1988), а = 17 (Хис-Браун, 1990), а = 18,4974 (Кулас, 1999 [81]).
В данной диссертации доказывается, что а = 15,21. Следует сказать, что вывод нашей оценки существенно опирается на результаты О. В. Ты-риной [82], касающиеся теоремы И. М. Виноградова о среднем значении тригонометрических сумм Г. Вейля [2], а также на известный многомерный аналог теоремы И. М. Виноградова о сглаживании двойных тригонометрических сумм, доказанный Э. Бомбьери и Г. Иванцом в [45].
Заметим еще, что в ряде работ вместе с асимптотикой для среднего значения многомерной функции делителей Tk(n) рассматривается "среднее Рисса" веса 1 этой функции, то есть асимптотика для сумм вида
эд = 5>(п) (і - ).
В частности, асимптотическая формула для S(x) установлена в работе А. А. Карацубы [14] и книге [83], где она затем с помощью метода асимптотического дифференцирования используется для нахождения асимптотики среднего значения функции Tk(n): то есть для "средних Рисса" веса нуль. Оценка остатка Rk(x) в этих работах имела вид
Rk{x) < х^+,
где 0 < -ук < 1 - (2ак)~2/3.
В настоящей диссертации этот результат улучшается. Доказана следующая оценка
z./o
1к - Х ~ \3а(к - 2к0) Отсюда также следует, что соответствующий результат имеет место и для средних Рисса веса 1, касающихся значений функций Тк(п), распространенной на значения тернарной кубической формы
Заметим также, что нахождение асимптотики для указанных средних Рисса рассматривается нами как самостоятельная задача, отличная от задачи вывода обычных средних этой функции.
Далее остановимся кратко на структуре диссертации.
Диссертация состоит из Введения и четырех глав.
Во Введении, как обычно, излагается история вопроса и приводятся ее основные результаты.
Первая глава посвящена выводу теоремы о представлении производящего ряда Fk(s) через функции (s) и L(s,x)-
Во второй главе находится значение а = 15, 21, то есть выводится оценка типа
((a + it) « \tfl-a)V2 In |t|
с указанными выше значениями параметра.
В третьей главе доказана новая оценка параметра <7& при "больших" значениях к, найдено новое значение параметра В и доказаны новые теоремы об асимптотических формул для среднего значения функции делителей Tk(n) и "среднее Рисса" веса 1 этой функции.
В четвертой главе получена асимптотическая формула для среднего, значения многомерной функции делителей от кубической формы вида Q(x, у, z) — хъ + ?/3 + z3 - 3xyz.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [65], [66], [67].
Об обозначениях. В диссертации, как правило, используются общепринятые математические и теоретико-числовые обозначения, которые могут поясняться в каждом конкретном случае в соответствии с контекстом.
Теорема о представление производящего ряда
Для случая Зк 100 в настоящей диссертации получены новые оценки показателей а к в классической проблеме делителей Дирихле, и соответственно, показателей /Зк &зк в оценках остатка в изучаемой нами асимптотической формуле для функции Тк(х). Для этого мы находим новые значения параметров а 0и? 0в оценке показателя а&, полученные Х.-Э. Рихертом [77] и А. А. Карацубой [14] и имеющие следующий причем параметр а содержится в известной оценке дзета-функции Римана (s) и имеет следующий вид Здесь вещественная и мнимая части а и t аргумента дзета-функции удовлетворяют условиям t Є Ж и а Є (1/2, 1]. Верхние оценки значений а и В имеют собственную историю. Остановимся сначала на значениях параметра В. В 1971 г. А. А. Карацуба [14] указал значение В = - щ = 0, 31498 В 1976 г. Фуджи [80] опубликовал оценку В 2_1/2(л/8 - 1)_1/3 = 0, 5786.... Далее, в работе Е. И. Пантелеевой [15] приводится значение В = 2 2/3 = 0, 6299..., а в работе работе Ивича и Куэлето [10] — значение В = 22/3-3-1 = 0, 5782 .... Оказалось, однако, что результаты Фуджи и Пантелеевой недостаточно обоснованы, так что лучшим результатом до последнего времени оставалось значение В = 22 3 З-1 из [10]. В данной диссертации найдена новая оценка параметра В, имеющая следующий вид Вывод последней оценки для параметра В опирается на полученную в данной диссертации новую оценку известной в теории дзета-функции Римана величины о-/;, определяемой соотношениями вида где М — множество всех вещественных чисел а 1, для которых справедлива оценка -г Здесь к — натуральное и є 0 — произвольное вещественное число. Наша оценка параметра cr& справедлива для достаточно больших к, точнее, для к 100, и имеет вид где к ко = 44 — [22/а] при условии, что величина а удовлетворяет неравенству 1 а 20. История оценок значения параметра а начинается с работы Рихерта [77], где было указано значение а = 100. В дальнейшем были получены следующие результаты: а — 39 (Туран, 1971), а = 86 (Рибенбойм, 1986), а = 26 и а = 21 (Пантелеева, 1987, 1988), а = 17 (Хис-Браун, 1990), а = 18,4974 (Кулас, 1999 [81]). В данной диссертации доказывается, что а = 15,21. Следует сказать, что вывод нашей оценки существенно опирается на результаты О. В. Ты-риной [82], касающиеся теоремы И. М. Виноградова о среднем значении тригонометрических сумм Г. Вейля [2], а также на известный многомерный аналог теоремы И. М. Виноградова о сглаживании двойных тригонометрических сумм, доказанный Э. Бомбьери и Г. Иванцом в [45]. Заметим еще, что в ряде работ вместе с асимптотикой для среднего значения многомерной функции делителей Tk(n) рассматривается "среднее Рисса" веса 1 этой функции, то есть асимптотика для сумм видап) (і - ). п х В частности, асимптотическая формула для S(x) установлена в работе А. А. Карацубы [14] и книге [83], где она затем с помощью метода асимптотического дифференцирования используется для нахождения асимптотики среднего значения функции Tk(n): то есть для "средних Рисса" веса нуль. Оценка остатка Rk(x) в этих работах имела вид В настоящей диссертации этот результат улучшается. Доказана следующая оценка z./o 1к - Х \3а(к - 2к0) Отсюда также следует, что соответствующий результат имеет место и для средних Рисса веса 1, касающихся значений функций Тк(п), распространенной на значения тернарной кубической формы Заметим также, что нахождение асимптотики для указанных средних Рисса рассматривается нами как самостоятельная задача, отличная от задачи вывода обычных средних этой функции. Далее остановимся кратко на структуре диссертации. Диссертация состоит из Введения и четырех глав. Во Введении, как обычно, излагается история вопроса и приводятся ее основные результаты. Первая глава посвящена выводу теоремы о представлении производящего ряда Fk(s) через функции (s) и L(s,x) Во второй главе находится значение а = 15, 21, то есть выводится оценка типа с указанными выше значениями параметра. В третьей главе доказана новая оценка параметра 7& при "больших" значениях к, найдено новое значение параметра В и доказаны новые теоремы об асимптотических формул для среднего значения функции делителей Tk(n) и "среднее Рисса" веса 1 этой функции. В четвертой главе получена асимптотическая формула для среднего, значения многомерной функции делителей от кубической формы вида Q(x, у, z) — хъ + /3 + z3 - 3xyz. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [65], [66], [67]. Об обозначениях. В диссертации, как правило, используются общепринятые математические и теоретико-числовые обозначения, которые могут поясняться в каждом конкретном случае в соответствии с контекстом.
Теорема об оценке дзета-функции Римана в окрестности единичной прямой
Система последних неравенств выполняется при всех т 1, поскольку в этом случае она является простым следствием неравенства у/т + 1 V/m + 1. Отсюда но принципу математической индукции заключаем, что если для некоторого по &о +1 выполнено неравенство аПо аПо, то для всех п щ выполняется неравенство
ап ап. Для выбора требуемых значений ко и щ воспользуемся леммой 3.2.2. Согласно одному из ее утверждений, при всех а Є [14/15,19/20] справедлива оценка В силу установленного выше соотношения вида ак (3 при к = [т(Р)/2], отсюда вытекает, что 2701 45 - Hl 2880 Подберем теперь числа ко и щ = 45 ко + 1 таким образом, чтобы выполнялось неравенство /Зі ano = 1 - / 2/3. Для этого достаточно потребовать, чтобы имело место условие (За/По) 2/3 1-/30, т.е. V2880,/ или 3/2 За/„0 (1 - АГ3/2 = (Щ:) 3 2 Но 16,09, откуда имеем 1 /-, ON-3/2 (16,09)3/2 22 —(1 - А 3/2 V ; —. За 6а а Выберем теперь в качестве / величину &0 = 44-[22/а]. Тогда получим 45 - к0 + (45 - ко)1 2 1 + [22/а] 22/а (1 - /?іГ3/2 За Но это и означает, что неравенство выполняется при значении щ = 45. Тем самым теорема полностью доказана. Следствие теоремы 3.2.1. В обозначениях теоремы 3.2.1 при /3 / = Щ величина m(f3) удовлетворяет неравенству №+1) + в №+1))1/2 Л За(1-/З)3/2 Доказательство. Определим натуральное число к из условия о к Р o-k+i Заметим, что при доказательстве последней теоремы установлено, что (/3) 90. Далее, ввиду равенства т(ак) = 2к и монотонности функции га(/3) получим т{Р) т{ак) = 2к 45. Тогда из доказанной выше теоремы 3.2.1 также имеем (ЗаД+1)2/з-Следовательно, (За/,+1)"2/3 1 - Р, ЗоЛ+1 (1 - РГЪ \ / +1 тГТ, 7 vm к-кь + 1 + {к-к0 + ї)ІІ2 1 (3 ак+1 1 За(1-/?)3/2 и v и - За(1-/?)3/2 Но так как т((3) 2к, то тем самым утверждение следствия доказано. Теорема 3.2.2. При всех /3 /Зі = щ и kQ = 44—[22/а] справедлива оценка ко - 1 + За(1-/9)3/2 (3 /2(1-/3)3/4 Доказательство. Пусть d 1 и х + xll2 d. Тогда справедливо неравенство х d - d1 2. Действительно, положив Ъ = х + х1/2, из неравенства Ъ а 1 имеем 6V2 rfl/2. Функция fix) = ж —ж1/2 возрастает при ж 1, так как ее производная f (x) = 1 - 2 0, поэтому 6 - б1/2 d - d1/2. С другой стороны, 6 Ь1/2 = х + д.1/2 (я. + 1/2)1/2 = + (я.1/2 (я. + 1/2)1/2) т.е. Ж 6 - б1/2 d - d1/2. Используя оценку следствия теоремы 3.2.1 и полагая За(1-/З)3/2 отсюда получим т(/3) 1 1 —JP- к0 - 1 + 3«(1-/?)3/2 (3fl(l-/3)3/2)1/2" Теорема 3.2.2 доказана. Замечание. Прямое применение теоремы Карлсона, т.е. леммы 3.2.1 дает Ш( " 33/2а(1- /3)3/2 Отсюда можно получить оценку вида Б 22/3 1 afc = PF g -(1 2.3-3/2)1/3 =0-622--- 2"2/3 = 6299- что несколько лучше, чем соответствующее значение В, полученное в [10]. Далее мы устанавливаем еще более точное значение В вида /2\2/3 В ( -1 0,7631. 3.3 Асимптотика среднего значения многомерной функции делителей Теорема 3.3.1. Пусть п,к — натуральные числа, к 100, ть(п) — количество представлений п в виде произведения к натуральных сомножителей. Пусть, далее, ),( ) = ]Гт,(п)= J2 1 П Х X\...Xk X Предположим таксисе, что для дзета-функции Римана (s) в области = а О, 9, Ss = t 1 удовлетворяет неравенству CM - lnt, оЄ[1, 20]. Обозначим через Р -\{у) многочлен от переменной у = lux степени к — 1, причем Xs xPk-i(lnx) = Res—C(s) s—l S Тогда при x — со справедлива асимптотическая формула Dk(x) = жРА і(1пж) + Л(я), R(x) .є х1-6" , где 4=(i)2/3-(1+i)" fcl = &-2fc » = 44 "22 a Доказательство. Воспользуемся формулой Перрона (лемма 3.1.1). Получим Ь+гТ - о—гі где т(ъ-1)а/ V г Опираясь на известные свойства -функции и неравенство Тк{п) СЄ п справедливое при любом є 0, можем считать, что 6 = тЦ + 1, а = 1. і /па; Поэтому для остатка R справедлива оценка л яг1+ег-1, где є 0 — произвольно мало. Далее контур интегрирования, состоящий из отрезка вертикальной прямой с началом в точке Ь — іТи концом в точке Ь + іТ, заменим на другой, состоящий из следующих частей Еі,... ,Еь 1) горизонтального отрезка Е\ — [b — iT, fi — iT], где /3 — некоторое число из промежутка 3/4 /? 1; 2) вертикального отрезка [(3 — гТ, (3 — ih], причем точка /3 — ih лежит на окружности К радиуса 0, 5 с центром в точке ZQ = 1 и h 0, 3; 3) участок интегрирования Е$ проходит по указанной выше окружности К от точки /3 — г/г до точки р + ih в отрицательном направлении, т.е. по "часовой стрелке"; 4) Kj — вертикальный отрезок с началом в точке /3 + ih и концом (3 -f г Г; 5) Е$ — горизонтальный отрезок [/3 4- гТ, 6 + гТ]. На основании теоремы о вычетах заключаем, что интеграл по старому контуру равен сумме сумме интеграла по новому контуру и вычету подынтегральной функции F(s) в точке s = 1, который, в свою очередь, равен значению функции xPk-i(lnx), где Pk-i{y) — некоторый многочлен от переменной у степени к — 1. Далее оценим модули интегралов J\:..., J5 по каждому из промежутков интегрирования Ei,... ,Е соответственно. Для этого воспользуемся оценками функции С(5) вида.
Среднее значение степени модуля дзета-функции Римана
Как известно, метод комплексного интегрирования позволяет выразить сумматорную функцию коэффициентов ряда Дирихле через ее производящий ряд Дирихле посредством контурного интеграла. По отношению к функции 3tk(n) это означает справедливость равенств вида Здесь а — любое вещественное число с условием а 1.
Таким образом задача нахождения асимптотики величины Vk(N) при N —ї со с возможно лучшей оценкой остаточного члена сводится к нахождению асимптотической формулы для контурного интеграла в правой части последнего равенства.
С другой стороны, в силу аналитических свойств подынтегральной функции, вытекающих из указанного представления ряда Fk(s), справедлива асимптотическая формула вида (х — N + ) Здесь функция Q2k-i{y) представляет собой многочлен с вещественными коэффициентами от переменной у = In ж. А так как порядок полюса в точке s = 1 у функции Fk(s) равен 2к, то степень многочлена Q2k-i(y) равна 2к — 1. Важно отметить, что оценка остаточного члена Rk(x) этой асимптотики при каждом фиксированном значении натурального параметра = 1,2,... может быть проведена точно таким же образом, как и оценка остатка гт(х) в асимптотической формуле вида Напомним, что проблема улучшения оценок остатка гт(х) называется многомерной проблемой делителей Дирихле. Любая из существующих схем получения оценок для гт(х) переносится на случай нахождения оценок для Rk(x), причем различия сводятся по существу только к обозначениям, которые, однако, будут более громоздкими, а сами оценки отличаются только абсолютными постоянными. Поэтому для оценки величины Rk{x) можно прямо воспользоваться имеющимися оценками величин гт(х), включая как те, которые получены здесь, так и те, которые были известны ранее. Сформулируем эти оценки в виде следующей леммы. Лемма 4.1.1. При т 3 величина \гт(х)\ при х —» со допускает следующую оценку Ыа01«яап,+е Здесь є 0 — произвольно мало, а параметры ат 1 при различных значениях т удовлетворяет неравенствам Доказательство. Данные значения величин ат приводятся в [10]. Причем результаты, относящиеся к значениям т 9, только цитируются, а оценки величин ат, относящиеся к значениям т 10, устанавливаются непосредственно. Результат, касающийся т = 3 получен Г. А. Колесником [38], m = 4 — старый результат Г. Харди и Д. Литтл-вуда 1922 г. [70], а при 5 т 9 соответствующие оценки получены в главе 13 из [48] с помощью техники работы [44]. 4.2 Основная теорема Как было сказано выше, из леммы 4.1.1 и теоремы 3.3.1 главы III настоящей диссертации вытекает справедливость следующей теоремы. Теорема 4.2.1. В обозначениях теоремы 1 главы I для количества решений Vk(x) в натуральных числах xi,...,xk и z\,Z2,z$ диофантова уравнения вида х\... хк = z\ + z\ + z\ - 3ZiZ2Z3 при к 1, z\ + z\-\- z\ — 3Z1Z2Z3 x (x — со) справедлива следующая асимптотическая формула Vk{x) = xQ2k-iQn-x) + Rk(x). Здесь Q2k-i(y) при у — hix является многочленом степени 2Л; — 1, определяемым равенством Q2k-i(x) = Res C2k(s)Lk(s,X)9k(s) . При этом модуль остатка \Rk(x)\ при любом є 0 удовлетворяет неравенствам \Rk{x)\ є х или \Rk(x)\ х +. Величины (3k и Р к при различных значениях к определяется равенствами
Заметим, что в соответствии с утверждением теоремы 2.2.1 главы II можно положить значение параметра а = 15, 21. В заключение проведем сравнение оценок остатка Rk(x) при к 34, получаемых из леммы 4.1.1 и из теоремы 3.3.1 главы III соответственно. В частности, рассмотрим конкретное значение параметра а = 15,21, установленное в теореме 2.2.1 главы II.
Асимптотика среднего значения многомерной функции делителей
Напомним, что проблема улучшения оценок остатка гт(х) называется многомерной проблемой делителей Дирихле. Любая из существующих схем получения оценок для гт(х) переносится на случай нахождения оценок для Rk(x), причем различия сводятся по существу только к обозначениям, которые, однако, будут более громоздкими, а сами оценки отличаются только абсолютными постоянными. Поэтому для оценки величины Rk{x) можно прямо воспользоваться имеющимися оценками величин гт(х), включая как те, которые получены здесь, так и те, которые были известны ранее.
Сформулируем эти оценки в виде следующей леммы. Лемма 4.1.1. При т 3 величина \гт(х)\ при х —» со допускает следующую оценку Ыа01«яап,+е Здесь є 0 — произвольно мало, а параметры ат 1 при различных значениях т удовлетворяет неравенствам 43 Зт - Доказательство. Данные значения величин ат приводятся в [10]. Причем результаты, относящиеся к значениям т 9, только цитируются, а оценки величин ат, относящиеся к значениям т 10, устанавливаются непосредственно. Результат, касающийся т = 3 получен Г. А. Колесником [38], m = 4 — старый результат Г. Харди и Д. Литтл-вуда 1922 г. [70], а при 5 т 9 соответствующие оценки получены в главе 13 из [48] с помощью техники работы [44]. 4.2 Основная теорема Как было сказано выше, из леммы 4.1.1 и теоремы 3.3.1 главы III настоящей диссертации вытекает справедливость следующей теоремы. Теорема 4.2.1. В обозначениях теоремы 1 главы I для количества решений Vk(x) в натуральных числах xi,...,xk и z\,Z2,z$ диофантова уравнения вида х\... хк = z\ + z\ + z\ - 3ZiZ2Z3 при к 1, z\ + z\-\- z\ — 3Z1Z2Z3 x (x — со) справедлива следующая асимптотическая формула Vk{x) = xQ2k-iQn-x) + Rk(x). Здесь Q2k-i(y) при у — hix является многочленом степени 2Л; — 1, определяемым равенством Q2k-i(x) = Res C2k(s)Lk(s,X)9k(s) . При этом модуль остатка \Rk(x)\ при любом є 0 удовлетворяет неравенствам \Rk{x)\ є х или \Rk(x)\ х +. Величины (3k и Р к при различных значениях к определяется равенствами Заметим, что в соответствии с утверждением теоремы 2.2.1 главы II можно положить значение параметра а = 15, 21. В заключение проведем сравнение оценок остатка Rk(x) при к 34, получаемых из леммы 4.1.1 и из теоремы 3.3.1 главы III соответственно. В частности, рассмотрим конкретное значение параметра а = 15,21, установленное в теореме 2.2.1 главы II. Достаточно сравнить значения ак, а к, получаемые из /3&, задаваемые равенствами Ограничимся рассмотрением случая т 124. Более того, поскольку формулы, определяющие значения величин oik, достаточно громоздки, укажем только некоторую границу то, начиная с которой имеет место неравенство а т ат, то есть когда результат теоремы 3.3.1 главы III становится лучше, чем оценка, заключенная в лемме 4.1.1. Покажем, что в качестве то = то (а) можно взять значение mo (а) = 500а2. Заметим тут же, что при а = 15, 21 имеем т0(а) = т0(15, 21) = 500 15,212 500а2 = 116000. Действительно, пусть т то = 500а2. Тогда, проводя очевидные преобразования и учитывая, что к\ т, получим ат доказано при а 1 и т тпо(а) = 500а2. Это, в частности, означает, что для таких m теорема 3.3.1 главы III дает более точный результат, чем лемма 4.1.1, а также, что в теореме 4.2.1 этой главы имеем /З к Pk при условии, что Зк 500а2.
