Введение к работе
Актуальность темы. Квазиклассическое приближение является мощным инструментом для исследования многомерных спектральных задач квантовой механики. В частности, оно позволяет устанавливать соответствие между инвариантными объектами классических гамильтоновых систем, отвечающих квантовым гамильтонианам, и подпоследовательностями асимптотических собственных значений и собственных функций операторов квантовой механики. Такого же рода соответствие было недавно установлено и для операторов с малой диффузией в некоторых задачах теории вероятности. Важную роль в этих исследованиях играют геометрические объекты — лагранжевы многообразия и изотропные торы. В классической механике для описания динамики системы в окрестности изотропных торов часто используется теория нормальных форм. Полученные в этой теории последние результаты позволяют в принципе предъявить явные формулы для нормальных форм в окрестности маломерных изотропных торов. Вопрос о применении таких нормальных форм в спектральных задачах для операторов с малой диффузией и при построении квазиклассических асимптотик оператора Шредингера является малоизученным.
Целью работы является редукция спектральных задач для операторов с малой диффузией и операторов Шредингера к задачам теории нормальных форм, и получение на ее основе явных аналитических формул, позволяющих строить аналитические и численные решения асимптотических спектральных задач.
Общая методика исследования основана на сочетании квазиклассического приближения и теории нормальных форм для динамических систем при исследования некоторых асимптотических решений спектральных задач для операторов с малой диффузией и квантовой механики.
Научная новизна определяется следующими основными результатами:
построены асимптотические спектральные серии для оператора с малой диффузией, соответствующие инвариантным торам, в окрестности которых динамическая система имеет нерегулярное движение;
установлено соответствие между асимптотическими спектральными сериями для оператора с малой диффузией и нормальной формой в окрестности изотропного тора для соответствующего гамильтониана;
построена нормальная форма четвертого порядка в окрестности двумерного инвариантного тора для многомерного ангармонического осциллятора в резонансном случае, позволяющая выявить "классическую" часть расщепления спектра;
на основе варианта формулы интегрирования по углу аналитической функции на плоскости построена процедура усреднения для гамильтоновых систем с одной быстрой фазой, справедливая для случая малых амплитуд.
Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. В тоже время все полученные результаты содержат явные формулы, с помощью которых можно проводить непосредственные аналитические и численные вычисления.
Некоторые из представленных результатов демонстрируют принципы и подходы к применению теории нормальньж форм при решении конкретньж задач квантовой механики и для операторов с малой диффузией, в частности в задачах с резонанса-ми.
Личное участие автора. Результаты диссертации, касающиеся алгоритма построения нормальной формы для многомерного ангармонического осциллятора, ре-шепия спектральной задачи для оператора с малой диффузией в окрестности изотропных торов и построения модификации процедуры усреднения Нейштадта получены совместно с научным руководителем профессором Доброхотовым, профессором Брюнингом (Гумбольдтовский университет, Берлин), профессором Альбеверио (Боннский университет). Вклад автора заключается в осуществлении выкладок и проведении численных вычислений на основе полученных формул. Задача о соответствии асимптотических спектральных серий оператора с малой диффузией и нормальной формой классического гамильтониана выполнена автором самостоятельно.
Результаты, выносимые на защиту :
Построены асимптотические спектральные серии оператора с малой диффузией, соответствующие инвариантным торам, в окрестности которых динамическая система имеет нерегулярное движение с нерегулярной окрестностью.
Установлено соответствие между асимптотическими спектральными сериями оператора с малой диффузией и нормальной формой гамильтониана в окрестности маломерного изотропного тора.
Разработан алгоритм построения нормальной формы четвертого порядка в окрестности двумерного инвариантного резонансного тора, которая позволяет выявлять "классическую" часть расщепления спектра.
Построена процедура усреднения для гамильтоновых систем с одной быстрой фазой в случае малых амплитуд.
Апробация работы. Полученные результаты докладывались на семинаре профессора Альбеверио в Институте прикладной математики Боннского Университета в 2000, 2001 годах; на семинарах в Институте проблем механики Российской Академии Наук; на Международных Семинарах "Дни Дифракции" в 2001, 2002 и 2003 годах; на Международном Семинаре "Spectral problems for Schrodinger-type operators" в Триесте (Италия) в 2003 году. Основное содержание работы отражено в 4 публикациях.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Материал диссертации изложен на 99 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 98 наименований.
