Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Вспомогательный материал
1. Сведения из теории полей алгебраических функций 8
2. Сведения из теории алгебраических кривых 16
3. Сведения о линейных кодах над конечными полями 23
Глава II. Многочлены Степанова и их обобщения
1. О неприводимых делителях многочленов 31
2. О корнях многочленов 45
3. Суммы характеров от многочленов и число решений уравнений, определяющих соответствующие кривые 48
Глава III. О свойствах алгебраических кривых и полей алгебраических функций
1. О свойствах алгебраических кривых 54
2. О свойствах полей алгебраических функций 61
Глава IV. Об алгебро-геометрических кодах Гоппы
1. О выборах дивизоров, определяющих коды Гоппы 71
2. О кодах Гоппы в случаях I, II 78
3. О кодах Гоппы в поле F в случае III 87
4. О кодах Гоппы в поле F в случаях IV-V 97
Заключение 108
Список основных обозначений 110
Литература 111
- Сведения о линейных кодах над конечными полями
- Суммы характеров от многочленов и число решений уравнений, определяющих соответствующие кривые
- О свойствах полей алгебраических функций
- О кодах Гоппы в поле F в случае III
Введение к работе
Теория кодирования является одним из больших и хорошо развитых разделов дискретной математики. В последние годы в связи с усилением роли информатизации и увеличением объемов передаваемой на большие расстояния информации значение теории кодирования продолжает возрастать. В частности, в последние годы появилось большое число работ, посвященных применению теории кодирования в криптографии (см., например, [40], [24], [25]).
Одна из главных задач теории кодирования заключается в создании кодов с требуемыми практикой корректирующими свойствами и допускающих сравнительно простую реализацию алгоритмов кодирования и декодирования.
Развитие теории кодирования происходит в различных направлениях. Имеются работы, в которых расширяются алгебраические структуры, на которых строятся коды. Так, например, рассматриваются коды над кольцами, модулями, некоммутативными алгебрами и т.д. (см., например, [26] и обзорную работу [38]). Расширяются также и средства построения кодов. Так, например, имеются работы по построению кодов с применением линейных рекуррентных последовательностей, квазигрупп и проективных плоскостей (см., например, [33], [19], [22], [23]). В связи с этим создаются и новые методы оценки параметров соответствующих кодов. В некоторых работах указываются более тонкие оценки корректирующих свойств кодов, находятся новые параметры кодов, исследуются вероятностные характеристики корректирующих способностей кодов и т.д.
Одно из основных направлений теории кодирования относится к рассмотрению методов построения линейных кодов над конечными ПОЛЯМИ.
В последние десятилетия для построения таких кодов особенно интенсивно используются методы алгебраической геометрии и теории полей алгебраических функций. Коды, построенные таким образом, стали называть алгебро-геометрическими кодами.
Первыми работами в этом направлении являются работы В.Д.Гоппы [16], [15], [17], в которых автор предложил строить коды на точках алгебраических кривых. В последствии это направление развивалось многими авторами. В 1984 г. появился обзор С.Г.Влэдуца и Ю.И.Манина работ по кодам на модулярных кривых (см. [3]). В настоящее время имеется ряд монографий, посвященных методам построения и исследованию свойств алгебро-геометрических кодов (см., например, [46], [44], [6]).
В.Д.Гоппа показал, что с помощью его конструкции можно строить хорошие коды, и в частности, асимптотически длинные коды информационная мера которых достигает известной границы Варшамова-Гилберта. Вскоре после этого М.А.Цфасман [32], а также независимо С.Г.Влэдуц и Т.Цинк заметили, что среди геометрических кодов Гоппы существуют коды с информационной мерой, превосходящей указанную границу, которая до этого долгое время оставалась не улучшаемой (см. [47]). При построении таких кодов использовались алгебраические кривые с большим числом точек над конечным полем, в частности, классические модулярные кривые Шимуры. При этом, как было доказано С.Г.Влэдуцем [4], [5] такие коды строятся за полиномиальное время.
В дальнейшем в ряде работ рассматривались алгоритмы декодирования (см., например, [42], [43], [49], [36]), а также коды на конкретных классах кривых (см., например, [1], [35], [45], [48]). В ряде работ хорошие коды строились в виде различных комбинаций геометрических кодов Гоппы, таких как каскадное соединение [18] и расслоенные произведения [29],
[ЗО], [31].
В связи с построением таких кодов особый интерес вызывают алгебраические кривые с большим числом точек над заданным конечным полем К, т.е. с большим числом .ftT-рациональных точек. Для числа iV ^-рациональных точек на алгебраической кривой (при К = GF(q)) имеется известная оценка Вейля
\N-(q + l)\<2g^,
где д - род алгебраической кривой. В 1991 году С.А.Степановым (см. [27]) были указаны кривые, на которых эта оценка достигается. Идея С.А.Степанова была использована автором для построения более широкого класса кривых со сравнительно большим, хотя и несколько меньшим границы Вейля, числом ІІГ-рациональньїх точек. Этот класс кривых над полем К — GF(q) характеристики р состоит из суперэллиптических кривых, заданных уравнением
Vs = /(*), (*)
с многочленом f(x) вида:
I. (»х + Ы'"-1,/!) (fi, + (цх)^»)\
где а, 6, n, s Є N, п - нечетно, п > 1, а + b = s, (а, s) = 1, \і Є К*, s\q — 1.
II. {fix + (И^2-1)" (і* + №)дП/2+1)Ь,
где a, b, n, s Є N, n - четно, n > 2, a + b = s, (a, s) = 1, // Є К*, s\q — 1.
III. (^ + (Mz)*n/2)S/2,
где s, n Є N, s, n - четны, д Є К*, s\q — 1, q - нечетно и кривые Артина-Шрейера, заданные уравнением
ypS-y = f(x), (**)
с многочленом f(x) вида:
IV. (fixy{n+1)/2+1 - W("-1)/2+\ где n, s Є N, n - нечетно, n > 1, p, Є К*, ps — l\q — 1.
v. (»хуп/2+1+1 - (H«n/2_1+1,
где n, s Є N, n - четно, n > 2, // Є if*, pe — l|g — 1.
Некоторые из этих кривых уже использовались для построения хороших кодов с помощью расслоенных произведений (см., например, [30]).
Представляется актуальной задача подробного изучения геометрических кодов на указанных кривых а также на простых дивизорах, задаваемых теми же уравнениями полей алгебраических функций над конечным полем.
Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приводятся самые необходимые для дальнейшего изложения определения, обозначения и результаты из теории полей алгебраических функций, из теории алгебраических кривых и из теории кодов.
В главе 2 изучаются свойства указанных выше многочленов. В частности находятся оценки для сумм мультипликативных и аддитивных характеров от этих многочленов, число их корней в полях GF(qn) и GF(q), число неприводимых делителей заданных степеней. В заключение находятся формулы для числа рациональных точек на соответствующих алгебраических кривых.
В главе 3 изучаются свойства соответствующих аффинных кривых и полей алгебраических функций над полем GF(qn). Для всех простых дивизоров рассматриваемых полей алгебраических функций указываются степени, относительные степени и индексы ветвления, приводятся формулы для вычисления значений функций нормирования.
В главе 4 исследуются коды Гоппы, построенные в указанных полях
алгебраических функций над полем GF(qn). Находятся базисы и порождающие матрицы этих кодов, находятся или уточняются основные параметры этих кодов.
На защиту выносятся следующие результаты.
Описание ^-рациональных точек рассматриваемых кривых.
Описание неприводимых над полями GF(q) и GF{qn) делителей многочленов I-V, вывод формул для числа таких делителей заданной степени.
Теоремы о сужении выбора пар дивизоров, задающих алгебро-геометрические коды в суперэллиптических полях алгебраических функций и расширениях Артина-Шрейера поля GF{qn){x).
Теоремы о базисах и основных параметрах кодов, построенных в указанных полях алгебраических функций с многочленом f(x) вида I-V.
Эти результаты расширяют имеющийся запас линейных кодов и позволяют строить новые линейные коды большой длины с достаточно хорошими корректирующими свойствами. Основные результаты диссертации докладывались на II Международной конференции "Теория чисел и ее приложения"(Тула, 1997 г.), на VII Международном семинаре "Дискретная математика и ее приложения"(Москва, 2001 г.), на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения"(Тула, 2003 г.), на конференции Академии ФСБ и Института криптографии, связи и информатики, посвященой памяти академика А.Н. Колмогорова (Москва, 2003 г.) и опубликованы в работах [7]-[12],[41].
Сведения о линейных кодах над конечными полями
Пусть К - произвольное алгебраически замкнутое поле. Плоской аффинной алгебраической кривой над полем К, заданной уравнением (1.1), называют множество V всех пар (а, Ь) элементов из К, удовлетворяющих уравнению (1.1). При этом каждую такую пару называют точкой кривой V, а элементы а, Ь - координатами этой точки.
Если многочлен М(х,у) из (1.1) приводим над полем К как многочлен двух переменных, то заданная им кривая распадается в объединение кривых, заданных сомножителями, и следовательно, изучение кривой сводится к неприводимому случаю. Поэтому всюду далее мы будем предполагать, что многочлен М(х,у) неприводим в К[х,у].
Пусть V и V\ - кривые над К, заданные соответственно уравнением (1.1) и уравнением M\(x,y) = 0. Рациональным отображением кривой V в кривую V\ называется любое отображение ф : V — Vi, заданное правилом где и(х,у), v(x,y) - рациональные функции над К, определенные на V. Кривые V и Vi называются бирационально изоморфными, если существуют взаимно обратные рациональные отображения ф : V — V\ и ф\ : V\ — V. При этом ф и ф\ называются изоморфизмами. С кривой V, заданной уравнением (1.1) связано множество всех многочленов кольца К[х, у], принимающих нулевые значения на всех точках из V. Эти многочлены образуют идеал кольца К[х,у], который мы обозначим через /(V). Он называется идеалом кривой V. Функция д : V — К называется регулярной, если она индуцируется некоторым многочленом. Множество всех регулярных функций на кривой V образует кольцо, называемое аффинным координатным кольцом кривой V и обозначаемое K[V). Отображение а : К[х,у] —) K[V], при котором образом многочлена является индуцируемая им функция, является эпиморфизмом колец с ядром kero; = I{V). Следовательно K[V] = К[х, y]/I(V). Так как кольцо К[х, у] факториально, а многочлен М(х, у), определяющий кривую V - неприводим, то идеал I(V) - простой, и значит, кольцо K[V] является областью целостности. Его поле частных обозначается через K(V) и называется полем рациональных функций на кривой V. Оно состоит из функций вида h/g, где h,g Є K[V] и функция д не равна нулю тождественно на V. При этом функции h/g и hi/gi называются равными, если hg\ — gh\ на V. Функция ф Є K(V) называется регулярной в точке (а, Ь) V, если существует представление ф — h/g, h,g Є if[V], при котором д(а, b) ф 0. В этом случае и сама точка называется регулярной. Элемент h(a, b)/g(a, b) называется значением функции ф в точке (а,Ь) и обозначается ф(а,Ь). Функция ф называется регулярной, если ее область определения совпадает с У. В противном случае ф называется сингулярной. Исходя из определения поля частных, можно указать и несколько иное представление поля My = — : и, v Є К[х, у], v . I(V), и Є /(V) - максимальный идеал Оу Известно, что кривые V и V\ над полем К бирационально изоморфны тогда и только тогда, когда их поля K(V) и K(Vi) изоморфны. В исследовании кривых важную роль играют так называемые локальные характеристики кривой. Основой такой характеристики является локальное кольцо QQ точки Q кривой V, состоящее из всех функций из K(V), регулярных в точке Q. Единственным максимальным идеалом этого кольца является идеал TUQ = {/ Є QQ : f(Q) = 0}. При этом QQ/TUQ = К. Свойства кольца Од зависят от точки Q, а точнее от вида касательного пространства к кривой V в точке Q. Касательным пространством к аффинной кривой V в точке Q называют множество пар (а, Ь) Є К2, удовлетворяющих уравнению где тйГ(Q), Щ{Я) значения частных производных многочлена М(х, у) по переменным ж, у в точке Q, а частные производные определяются по известным формальным правилам. В вырожденном случае, когда уравнению (1.5) удовлетворяет любая точка из К2. В противном случае касательное пространство является прямой, проходящей через точку Q. Точка Q кривой V называется особой, если выполняется условие (1.6), и неособой, или простой, в противном случае. Кривая, не имеющая особых точек, называется гладкой. Если точка Q - простая, то идеал TUQ - главный и все другие идеалы кольца QQ являются его степенями. В этом случае любой элемент и Є K(V)\{0} однозначно представляется в виде где t Є Trig, m ) ui Є К(У)і функция щ регулярна в точке Q и ui(Q) Ф 0. Функция t из (1.7) порождает идеал TUQ И называется локальным параметром кривой V в простой точке Q. Функция и из (1.7) будет регулярна в точке Q тогда и только тогда, когда т 0. Таким образом для простой точки Q, кольцо QQ является сходным с кольцом нормирования в поле алгебраических функций. Для установления более полной связи между кривыми и полями алгебраических функций введем понятие проективной алгебраической кривой и способ погружения плоской аффинной кривой в проективную.
Проективной плоскостью над полем К называется множество Р2 классов ненулевых пропорциональных троек из К. Класс, содержащий тройку (а, 6, с) обозначают (а : Ъ : с) и называют проективной точкой плоскости Р2 с аффинными координатами а, Ь, с.
Если некоторый многочлен g(x,y,z) над К обращается в нуль в точках (аЛ, 6Л, сЛ) при любом Л Є К и фиксированных а, 6, с, то говорят, что точка (a : b : с) является проективным нулем многочлена д(х, у, z) и пишут д(а : Ь : с) = 0. Легко видеть, что последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка (а : Ь : с) является нулем любой однородной составляющей многочлена д(х} y,z). В связи с этим для задания проективных алгебраических кривых естественно использовать лишь однородные многочлены кольца К[х,у, z]. Идеалы этого кольца, порожденные однородными многочленами, называют также однородными.
Суммы характеров от многочленов и число решений уравнений, определяющих соответствующие кривые
Напомним, что алгебро-геометрический код Гоппы в поле алгебраических функций F задается двумя дивизорами D, G и обозначается С(ДС).
При определении кода C(D, G) в качестве D выбирают сумму Qi 4-... 4- QN различных простых дивизоров степени 1 поля F, а в качестве G - любой дивизор с условием S(G) П S(D) = 0. По дивизору G выделяют множество L{G) = {z Є F : (z) + G 0} U {0}, а в качестве кодовых слов берут все векторы (z(Qi),..., Z(QN)), Z Є L(G). Такие слова образуют линейное пространство над К, изоморфное факторпро-странству L(G)/L(G — D). Если BGB качестве слагаемых участвуют лишь простые дивизоры степени 1, то D и G можно рассматривать как дивизоры на соответствующей кривой и C(D,G) естественно называть кодом на кривой.
Большая свобода выбора дивизора G, на первый взгляд, делает труд но обозримым весь класс кодов Гоппы в F. Однако многие варианты выбора G приводят к эквивалентным кодам (когда все векторы одного получаются из векторов другого умножением справа на одну и ту же диагональную невырожденную матрицу над К). В частности, C(D,G) С(Д Зі), если Gi = G + (z), z Є F, (см., например, [46]). А так как для любого G существует такое z Є F, что G + (z) О, то достаточно брать лишь G 0.
Если G 0 и носитель S(G) дивизора G не содержит бесконечных простых дивизоров, то неравенство (a(x)/b(x)) + G 0 может выполняться лишь при условии deg b(x) deg а(х), что существенно ограничивает пространство L(G). Поэтому при построении кодов C(D, G) обычно в S(G) включают бесконечные простые дивизоры. В тех случаях, когда простой дивизор Р поля К (х) имеет t расширений Q \...,Q в F и для всех i,j Є {1,...,2} выполняются условия e(QWP) = e(Q(fi\P) (заметим, что в наших случаях I—III эти условия выполняются по теореме III.6) будут выполняться равенства VQ(i)(z) = VQU)(Z) для всех z F. Поэтому в случае присутствия некоторых простых дивизоров из Q 1 , ...,Q(tfc) В носителе S(G) дивизора G условие будет выполняться для всех i = ii,...,ik тогда и только тогда, когда оно выполняется для Q(%\ входящего в G с наименьшим коэффициентом т. В связи с этим пространства L(G) и L(G—D), а значит и соответсвующий код, не изменятся если в G коэффициенты у Q 4\ ..., Q заменить на га. Поэтому всюду ниже при построении кодов C(D, G) расширения любого простого дивизора поля К{х) будем включать в G с одним и тем же коэффициентом. Укажем еще одно существенное ограничение на выбор дивизора G при построении кода с точностью до эквивалентности. При этом рассмотрим более общую ситуацию, когда F задается уравнением ( ) над GF(qn): причем многочлен f(x) имеет каноническое разложение над GF(qn): Таким образом, при указанных с(х) и с равенство (IV.3) будет выполняться для любых z Є F . Это означает, что пространства L(G) и L(G\) связаны соотношением Из определения функций VQ на дивизорах поля F видно, что VQ{A — В) = VQ(A) — VQ(B) ДЛЯ любых дивизоров Л, В. Поэтому равенство (IV.3) сохранится при замене в нем G\ и G на, соответственно, G\ — D и G — D; следовательно, Отсюда, и из определения кодов C(D, G), C(D, G{) следует, что все векторы кода C(D, G) получаются путем умножения координат векторов кода C(D,Gi) на подходящие значения многочлена с(ж), причем координаты с одним и тем же номером умножаются на один и тот же элемент из К. Это и означает, что коды C(D, G) и C(D, G\) эквивалентны. Таким образом, при построении кодов Гоппы в F в случаях I—III можно ограничится рассмотрением кодов C(D, G) лишь при дивизорах G вида G — YLi=\tiQpi(x) + cQoo в обозначениях теоремы IV. 1. В случаях IV-V, когда F задается уравнением ( ), дивизор G можно выыбирать еще более простого вида. При формулировке соответствующего результата мы снова рассмотрим более общую ситуацию, чем в случаях IV-V. Пусть F - поле алгебраических функций над полем GF(q) характеристики р, заданное уравнением ( ) Заметим, что поле F, заданное уравнением ( ), в случаях IV-V удовлетворяет указанным условиям. Следовательно, коды C(D, G) и C(D, G{) эквивалентны. Заметим, что в теореме IV. 1 избавиться в G\ от слагаемых суммы Yli=iUQpi(x)i не нарушая эквивалентности кодов не всегда возможно. Этому мешает полученное в ходе доказательства теоремы условие ГІ = sexpp.(x) c(x)+U, которое при ti = 0 не может выполняться в случае, когда s Л г І хотя бы при одном значении і {1,..., к}.
О свойствах полей алгебраических функций
Некоторые из этих кривых уже использовались для построения хороших кодов с помощью расслоенных произведений (см., например, [30]).
Представляется актуальной задача подробного изучения геометрических кодов на указанных кривых а также на простых дивизорах, задаваемых теми же уравнениями полей алгебраических функций над конечным полем.
Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приводятся самые необходимые для дальнейшего изложения определения, обозначения и результаты из теории полей алгебраических функций, из теории алгебраических кривых и из теории кодов.
В главе 2 изучаются свойства указанных выше многочленов. В частности находятся оценки для сумм мультипликативных и аддитивных характеров от этих многочленов, число их корней в полях GF(qn) и GF(q), число неприводимых делителей заданных степеней. В заключение находятся формулы для числа рациональных точек на соответствующих алгебраических кривых. В главе 3 изучаются свойства соответствующих аффинных кривых и полей алгебраических функций над полем GF(qn). Для всех простых дивизоров рассматриваемых полей алгебраических функций указываются степени, относительные степени и индексы ветвления, приводятся формулы для вычисления значений функций нормирования. В главе 4 исследуются коды Гоппы, построенные в указанных полях алгебраических функций над полем GF(qn). Находятся базисы и порождающие матрицы этих кодов, находятся или уточняются основные параметры этих кодов. На защиту выносятся следующие результаты. 1. Описание -рациональных точек рассматриваемых кривых. 2. Описание неприводимых над полями GF(q) и GF{qn) делителей многочленов I-V, вывод формул для числа таких делителей заданной степени. 3. Теоремы о сужении выбора пар дивизоров, задающих алгебро-геометрические коды в суперэллиптических полях алгебраических функций и расширениях Артина-Шрейера поля GF{qn){x). 4. Теоремы о базисах и основных параметрах кодов, построенных в указанных полях алгебраических функций с многочленом f(x) вида I-V. Эти результаты расширяют имеющийся запас линейных кодов и позволяют строить новые линейные коды большой длины с достаточно хорошими корректирующими свойствами. Основные результаты диссертации докладывались на II Международной конференции "Теория чисел и ее приложения"(Тула, 1997 г.), на VII Международном семинаре "Дискретная математика и ее приложения"(Москва, 2001 г.), на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения"(Тула, 2003 г.), на конференции Академии ФСБ и Института криптографии, связи и информатики, посвященой памяти академика А.Н. Колмогорова (Москва, 2003 г.) и опубликованы в работах [7]-[12],[41]. Полем алгебраических функций от одного переменного над полем К называется любое расширение К(х,у) поля К с помощью двух элементов х,у при условии, что элемент х трансцендентен над К, а у - алгебраи-чен над полем К(х). Всюду далее мы будем считать, что К{х) есть поле всех рациональных функций (дробей) над К, а К(х,у) - простое алгебраическое расширение поля К(х). Ради краткости поле К(х,у) будем обозначать через F. Если u = [F: К(х)] и На многочлен m{z) можно смотреть как на рациональную дробь от двух переменных х, у над полем К. В связи с этим будем обозначать его через М(х, у) и говорить, что поле F задается уравнением от неизвестных я, у над полем К. При изучении поля F и в его приложениях важную роль играют некоторые его подкольца, называемые кольцами нормирования. Кольцом дискретного нормирования поля F называется любое под-кольцо О поля F, удовлетворяющее условиям: 1)KC0CF, КфО, O F 2) Va Є F : a Є О или a-1 Є О. Кольцо дискретного нормирования О обладает следующими свойствами: оно является максимальным подкольцом в F и локальным кольцом главных идеалов. Его максимальный идеал Р состоит из всех его необратимых элементов. Более того, любой идеал кольца О является степенью идеала Р. Само кольцо дискретного нормирования однозначно определяется идеалом Р, поскольку справедливо утверждение (см., например, [6], стр.173):
О кодах Гоппы в поле F в случае III
Пусть К - произвольное алгебраически замкнутое поле. Плоской аффинной алгебраической кривой над полем К, заданной уравнением (1.1), называют множество V всех пар (а, Ь) элементов из К, удовлетворяющих уравнению (1.1). При этом каждую такую пару называют точкой кривой V, а элементы а, Ь - координатами этой точки.
Если многочлен М(х,у) из (1.1) приводим над полем К как многочлен двух переменных, то заданная им кривая распадается в объединение кривых, заданных сомножителями, и следовательно, изучение кривой сводится к неприводимому случаю. Поэтому всюду далее мы будем предполагать, что многочлен М(х,у) неприводим в К[х,у]. Пусть V и V\ - кривые над К, заданные соответственно уравнением (1.1) и уравнением M\(x,y) = 0. Рациональным отображением кривой V в кривую V\ называется любое отображение ф : V — Vi, заданное правилом где и(х,у), v(x,y) - рациональные функции над К, определенные на V. Кривые V и Vi называются бирационально изоморфными, если существуют взаимно обратные рациональные отображения ф : V — V\ и ф\ : V\ — V. При этом ф и ф\ называются изоморфизмами. С кривой V, заданной уравнением (1.1) связано множество всех многочленов кольца К[х, у], принимающих нулевые значения на всех точках из V. Эти многочлены образуют идеал кольца К[х,у], который мы обозначим через /(V). Он называется идеалом кривой V. Функция д : V — К называется регулярной, если она индуцируется некоторым многочленом Множество всех регулярных функций на кривой V образует кольцо, называемое аффинным координатным кольцом кривой V и обозначаемое K[V). Отображение а : К[х,у] —) K[V], при котором образом многочлена является индуцируемая им функция, является эпиморфизмом колец с ядром kero; = I{V). Следовательно K[V] = К[х, y]/I(V). Так как кольцо К[х, у] факториально, а многочлен М(х, у), определяющий кривую V - неприводим, то идеал I(V) - простой, и значит, кольцо K[V] является областью целостности. Его поле частных обозначается через K(V) и называется полем рациональных функций на кривой V. Оно состоит из функций вида h/g, где h,g Є K[V] и функция д не равна нулю тождественно на V. При этом функции h/g и hi/gi называются равными, если hg\ — gh\ на V.
Функция ф Є K(V) называется регулярной в точке (а, Ь) V, если существует представление ф — h/g, h,g Є if[V], при котором д(а, b) ф 0. В этом случае и сама точка называется регулярной. Элемент h(a, b)/g(a, b) называется значением функции ф в точке (а,Ь) и обозначается ф(а,Ь). Функция ф называется регулярной, если ее область определения совпадает с У. В противном случае ф называется сингулярной.
Исходя из определения поля частных, можно указать и несколько иное представление поля K(V): - максимальный идеал Оу Известно, что кривые V и V\ над полем К бирационально изоморфны тогда и только тогда, когда их поля K(V) и K(Vi) изоморфны. В исследовании кривых важную роль играют так называемые локальные характеристики кривой. Основой такой характеристики является локальное кольцо QQ точки Q кривой V, состоящее из всех функций из K(V), регулярных в точке Q. Единственным максимальным идеалом этого кольца является идеал TUQ = {/ Є QQ : f(Q) = 0}. При этом QQ/TUQ = К. Свойства кольца Од зависят от точки Q, а точнее от вида касательного пространства к кривой V в точке Q. Касательным пространством к аффинной кривой V в точке Q называют множество пар (а, Ь) Є К2, удовлетворяющих уравнению где тйГ(Q), Щ{Я) значения частных производных многочлена М(х, у) по переменным ж, у в точке Q, а частные производные определяются по известным формальным правилам. В вырожденном случае, когда уравнению (1.5) удовлетворяет любая точка из К2. В противном случае касательное пространство является прямой, проходящей через точку Q. Точка Q кривой V называется особой, если выполняется условие (1.6), и неособой, или простой, в противном случае. Кривая, не имеющая особых точек, называется гладкой. Если точка Q - простая, то идеал TUQ - главный и все другие идеалы кольца QQ являются его степенями. В этом случае любой элемент и Є K(V)\{0} однозначно представляется в виде где t Є Trig, m ) ui Є К(У)і функция щ регулярна в точке Q и ui(Q) Ф 0. Функция t из (1.7) порождает идеал TUQ И называется локальным параметром кривой V в простой точке Q. Функция и из (1.7) будет регулярна в точке Q тогда и только тогда, когда т 0. Таким образом для простой точки Q, кольцо QQ является сходным с кольцом нормирования в поле алгебраических функций. Для установления более полной связи между кривыми и полями алгебраических функций введем понятие проективной алгебраической кривой и способ погружения плоской аффинной кривой в проективную. Проективной плоскостью над полем К называется множество Р2 классов ненулевых пропорциональных троек из К. Класс, содержащий тройку (а, 6, с) обозначают (а : Ъ : с) и называют проективной точкой плоскости Р2 с аффинными координатами а, Ь, с.
Если некоторый многочлен g(x,y,z) над К обращается в нуль в точках (аЛ, 6Л, сЛ) при любом Л Є К и фиксированных а, 6, с, то говорят, что точка (a : b : с) является проективным нулем многочлена д(х, у, z) и пишут д(а : Ь : с) = 0. Легко видеть, что последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка (а : Ь : с) является нулем любой однородной составляющей многочлена д(х} y,z). В связи с этим для задания проективных алгебраических кривых естественно использовать лишь однородные многочлены кольца К[х,у, z]. Идеалы этого кольца, порожденные однородными многочленами, называют также однородными.
