Введение к работе
Актуальность темы. Гамильтоновы системы гидродинамическо- го типа хорошо известны в классической математической физике. Риман использовал локальные замены координат для упрощения таких систем. Для двухкомпонентного случая Риман показал, что для обратных функций исходная система квазилинейных уравнений первого порядка переходит в линейную ("метод годографа"). Для A/>Z системы гидродинамического типа'не всегда диагонализи-руются. Существование таких координат (инвариантов Римана) указывает на существенное вырождение системы. Аналога метода годографа в этом случае известно не было. ":; В работах С.Ц.Новикова и Б.А.Дубровина ' ' была построена дифференциально-геометрическая теория гамильтоковых систем 'гидродинамического - типа. Используя методы дифференциальной геометрии, иш были классифицированылвзыровденкые гидродинаиічес-, кие скобки Пуассона л определены однородные дифференцяально-'-' геометрические скобки Пуассона произвольного грядка' U , dif/ ,.;-' ( сі =.М. - гидродинамические скобки). Класс*....кация таких
скобок является-нетривиальной дифференциально-геометрической >...задачей, даже при "условии невырожденности старшего члена
.Дубровин,СП.Hobhkod. Гамильтонов формализм одномерных систем гидродинамического типа и метод усреднения Боголюбова-:[ Уизеш.: ДАН СССР, I983.T. 270, ).< 4, с. 781 -765.
Дубровин, С.П.Новиков. О скобках Пуассона гидродинами-... ческого типа. ДАН-СССР, 1984, т.279, с. 294-297.
'"" ''.'''.' 3
сШ{<А)4"0 в работе ' .Новиков высказал гипотезу, что^ '
"последняя" связность П{ симметрична и имеет нулевую /кривиз
ну. "/ \ 'у'~ ' .' ';' -;':.; ;';.ЧС; ;;:-;;
Новый импульс к изучению гидродинамических систем связан : с тем, что к их числу относятся уравнения Уизёма (уравнения, медленных модуляций), возникающие в методе усреднения ДЛЯ : нелинейных уравнений типа Кортевега-де Фриза и их двумерных обобщений ' Последние уравнения относятся к числу наиболее фундаментальных уравнений математической физики, ото обстоя- ', тельство обуславливает актуальность темы диссертации.
Цель работы - методами дифференциальной геометрии изучить невырожденные однородные дифференциально-геометрические. скобки Пуассона произврлького порядка ot . для случая одной -пространственной переменной и некоторые примеры неоднородных скобок'Пуассона, а также с помощью алгебро-геомётрической'.'-.. ', конструкции решений уравнений Уизёма, предлолсенной И.М.Криче-вером, построить автомодельное' решение уравнения. Уизёма для V задачи Гуревича-Нитаевского о структуре ударной волны .в'бес—,;' столкновительном случае; ; .-'.- .-,".-'.." ;'_('-..'г:. Ь _.Д-".'"У "'-''..-лУІ''- ;'.'^;\.-
Научная новизна. В работе получены следущие основные ре-У зультаты. -. ' .'.",.."- '..'.;-.'<'.'- 'УУ;:::.:^^' У-УУУУ-УУіУ'!
'С.П.Новиков. Геометрия консервативных систем гидродинамического типа. Метод усреднения для теоретико-полевых систем. УЇ.Ш, I9S5, т.40, I? 4, с. 79-69.''':'
Лї.М.Крячевер. Метод усреднения для двумерных "интегрируемых" уравнений. *ункц.анализ, 1988,т.2И,в.З, с.37-62..,
I. Получена классификация невырожденных дифференциально-ге'ометрических скобок Пуассона второго порядка, б частности, получено условие при котором такие скобки приводятся к простейшему виду.
. 2. Изучены некоторые примеры неоднородных скобок Пуассона порядка три, два, один и ноль, встречающиеся в физических приложениях.
3. Доказана гипотеза С.П.Новикова об обращении в ноль
тензора кручения и тензора кривизны "последней" связности в
невыровдендай диффереіщиально-геометрической скобке Пуассона
'- произвольного; порядка. Изучены скобки Пуассона третьего по- рядка. .
'4. Найдено аналитически требуемое автомодельное реше-';'ние уравнений Уизема для задачи Гуревича-Питаезского гладкое во всей зоне осцилляции.
.Все основные результаты являются- новыш и получены са
мостоятельно.. .;
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация но-. сит теоретический характер. Ее результаты могут быть примене-.'.- кы. в 'геометрической теории. дифференциальных уравнений и математической физике..
-. Аппробашя работы. Результаты диссертации докладывались и обсуэдались на научно-исследовательском семинаре по геомет-. рии и физике под руководством академика С.П.Новикова, на семинаре по интегрируемым системам под руководством профессора . Б.А.Дубровина и И.М.Кричезера на^механико-математшеском фа-ісультете ЮТ, 1'Л семинаре Института Теоретической Шизики им. ; Л.Д.Лавдау АН СССР. ['
Публикации. Основные результаты диссертации опубликрва- ';;';.< ны в работах [I, ZJ , список которых приведен в конце авто-,/-.-;/ реферата. ; -.,' : : _..-;.'. '.'..у;' '".-.''-,:. "._:">;;"'-;;,';';;'. '^'"'У
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из,'.//'; введения и двух глав» Объем диссертации - 99 страниц... Сші-г:'; сок литературы включает 36 наименований. '.'"* ' : '. .---;. _
