Содержание к диссертации
Введение
1. Двумерные феноменологически симметричные геометрии 18
1. Гельмгольцевы плоскости 18
2. Линейные гельмгольцевы пространства 25
3. Циклы гельмгольцевых плоскостей 38
4. Кривизна кривой 52
5. Двуметрические феноменологически симметричные плоскости 55
6. Геометрическое описание идеального газа 59
2. Двумерные гельмгольцевы многообразия 63
1. Метрические функции гельмгольцевых двумерных многообразий 63
2. Согласованные связности гельмгольцевых многообразий 77
3. Длина кривой гельмгольцева многообразия 91
4. Конформное соответствие гельмгольцевых многообразий 101
5. Тензор кривизны гельмгольцевых многообразий 111
6. Группы изометрий двумерных гельмгольцевых многообразий 115
3. Двумерные двуметрические многообразия 121
1. Метрические функции двуметрических двумерных многообразий 121
2. Согласованные связности двуметрических двумерных многообразий 125
3. Двуметрические двумерные многообразий, допускающие группы изометрий 131
4. Применение двуметрических многообразий в неравновесной термодинамике 134
Заключение 137
- Линейные гельмгольцевы пространства
- Двуметрические феноменологически симметричные плоскости
- Согласованные связности гельмгольцевых многообразий
- Группы изометрий двумерных гельмгольцевых многообразий
Введение к работе
Г.Гельмгольц в известной работе "О фактах, лежащих в основании геометрии" [1] исследует свойства пространства и приходит к выводу, что в основе лежат следующие гипотезы:
Пространство п-измерений есть n-кратно протяженное многообразие.
Допускается существование подвижных, но неизменяемых (твердых) тел или систем точек.
Допускается вполне свободная подвижность твердых тел.
Два совмещающихся тела совмещаются и после того, как одно из них подвергалось вращению около некоторой оси.
Этим гипотезам удовлетворяет евклидова геометрия. В конце статьи замечается, что если отбросить аксиому 4, то в двумерном случае мы приходим к геометрии, окружностью в которой является логарифмическая спираль. Двумерная геометрия со спиралью в качестве окружности, была получена в теории физических структур Г. Г. Михайличенко [2] при классификации двумерных феноменологически симметричных геометрий.
Автором теории физических структур (ТФС) является Юрий Иванович Кулаков, которому и принадлежит термин феноменологическая симметрия [3, 4]. Эта теория появилась в 60-ые годы. Первоначально феноменологическая симметрия была установлена для второго закона Ньютона и закона Ома, а затем перенесена в геометрию.
В качестве примера рассмотрим феноменологическую симметрию плоскости Евклида. Пусть х = (а;1, ж2) и у = {у1, у2) — две точки плоскости Евклида. Тогда квадрат расстояния между этими точками задается функцией:
/(я, у) = р2(х, у) = (х1 - у1)2 + (х2 - у2)2. (1)
Для четырех точек x,y,z,u шесть их взаимных расстояний р(х,у), p(x,z), р(х,и), p(y,z), р(у,и), p(z,u) оказываются функционально связанными. Эта связь выражается при помощи определителя Кэли-Менгера
пятого порядка:
1 0 р2(х,у) p2(x,z) р2(х,и)
1 р2(х,у) 0 P2(y,z) р2{у,и)
1 p2(x,z) p2(y,z) 0 P2{z,u)
1 р2(х,и) р2(у,и) p2(z,u) 0
= 0.
По терминологии Кулакова [5] данное соотношение, справедливое для любой четверки < x,y,z,u >, выражает феноменологическую симметрию плоскости Евклида.
Следуя [6], по метрической функции (1) можно найти группу движений плоскости Евклида с уравнениями:
х'1 = ах1
еЪх2 + с, х'2 = bx1 + еах2 + d,
(2)
где а2+62 — 1,є = ±1. Множество всех движений (2) выражает групповую симметрию плоскости Евклида. Г.Г. Михайличенко в работе [7] показал, что групповая и феноменологическая симметрии для некоторого класса геометрий равносильны. Такие геометрии являются феноменологически симметричными. Следует заметить, что это геометрии в смысле Клейна, о которых говорится в "Эрлангенской программе", то есть, в каком-то смысле, элементарные. Таким образом, феноменологически симметричные n-мерные геометрии - это геометрии Клейна с функциональной связью между всеми взаимными расстояниями произвольных п + 2 точек.
Г. Г. Михайличенко в конце 60-ых годов строго определил феноменологическую симметрию однометрических физических структур на двух множествах и построил полную классификацию. Затем, в 70-ые и 80-ые гг., им была определена феоменологическая симметрия на одном множестве, а также построена классификация двумерных геометрий [4, 7]. Среди этих геометрий есть и гельмгольцевы. В.Х. Лев дал полную классификацию однометрических трехмерных геометрий [8].
После построения Г. Г. Михайличенко классификации двумерных геометрий, возникла проблема локального построения и изучения двумерных гельмгольцевых гладких многообразий, а также нахождения физических интерпретаций. Эта задача решается в данной работе. Схема построения двумерных гельмгольцевых гладких многообразий аналогична схеме построения римановых многообразий: в касательном пространстве произвольной точки многообразия вводится евклидова структура. В данном случае вместо евклидовой структуры берутся гельмгольцевы структуры.
Перейдем к точным формулировкам, которые приводим по монографии [6]. Рассмотрим sn-мерное многообразие М и функцию / : (5/ —» Rs, где &/ С М х М, которая сопоставляет каждой паре точек < х,у > є &/ s вещественных чисел f(x, у) = (/г(х, у),..., /s(x, у)) Є it!s. Функцию / = (Z1,..., /s) будем называть s-метрикой.
Для некоторой последовательности < zi... zn > Є М" введем функции fn = f[z\,..., zn] и /n = /[21,..., zn], сопоставляя точке x Є M точки (f(x, zi),..., f(x, zn)) Є Rsn и (/(^1, x),..., /(zn, ж)) Є Д5П соответственно, если < X, Z\ >,..., < rr, Zn > Є / И < Zi, Ж >, . . . , < Zn, X > Є G/.
В отношении пространства M с s-метрикой / = (/1,..., /s) будем предполагать выполнение следующих трех аксиом:
I. Область определения / функции / есть открытое и плотное в М X
М множество.
II. Функция / в области своего определения есть достаточно гладкая
функция, то есть необходимое число раз непрерывно дифференцируемая.
III. В Мп плотно множество таких точек, для которых функция fn(fn)
имеет максимальный ранг, равный sn, в точках плотного в М множества.
Гладкая s-метрика / = (/1,..., /s), для которой выполняется аксиома III, называется невырожденной.
Пусть т = п + 2. Введем функцию F, сопоставляя точке из Мт точку (f(x,y), f(x,z),...,f(u,v)) Є _Rsm(m-1)/2, причем все пары < х,у >,< x,z >,...,< u,v > принадлежат (5/. Область определения функции F обозначим через &р-
Определение 1. Функция / = (/1,..., /s) задает на sn-мерном многообразии М полиметрическую феноменологически симметричную геометрию ранга т = п + 2, если, кроме аксиом I, II, III, дополнительно имеет место следующая аксиома:
IV. Существует плотное в (5р множество, для каждой последователь
ности < х, у, z,... и, v > длины т = п + 2 которой и некоторой ее окрест
ности U(< x,y,z,.. .u,v >) найдется такая достаточно гладкая функ
ция Ф : ( —> Rs, определенная в некоторой области С itfm(m-1)/27
содержащей точку F(< х,у, z,.. .u,v >), что в ней гаї^Ф = s и множе
ство F(U(< x,y,z,.. .u,v >)) является подмножеством множества нулей
функции Ф, то есть
4f(hJ),f(i,k),. ..,f{u,v)) = 0 (3)
для всех последовательностей из U{< х, у, Z, ... и, V >).
Аксиома IV составляет содержание принципа феноменологической симметрии. Эта аксиома выражает требование, чтобы sm(m — 1)/2 расстояний между точками любой последовательности длины т = п + 2 из U(< x,y,z,.. .u,v >) были функционально связаны.
Если х — (х1,... ,xsn) - локальные координаты в многообразии М,
то для s-метрики / = (/1,..., /*) в некоторой окрестности U(x) х U(y)
Ш произвольной пары точек с условием < х, у > Є &/ можно выписать явно
ее локальное координатное представление
Д:г,у) = /(*\...,а;-у\...,у-).
В случае однометрических (s = 1) двумерных пространств значение метрической функции / для пары точек < х, у > принадлежит R. Условие феноменологической симметрии принимает следующий вид: для произвольных четырех точек x,y,z,u из М таких, что < х,у >Є /, < x,z >Є 6/, < х,и >Є 6/, < y,z >Є /, < у,и >Є в/, < z,u >6 6/, имеет место функциональная связь:
*
Ф(/(я. У), /(^, ^), /(ж, и), /(у, z), f(y, и), f(z, и)) = О,
а условие невырожденности метрической функции / вид:
d(f(x,y),f(x,z)) , n d(f(y,x),f(z,x))
д{х\х2) Т ' 6V,:e2) ^
для плотного в М2 множества пар < ж, у > и плотного в М множества точек.
В случае двуметрических (s = 2) двумерных пространств функция / принимает значения в R2. Условие феноменологической симметрии тогда приобретает такой вид: для произвольных трех точек х, у, z из М таких, что < х, у >Е @/, < х, z >Є /, < y,z >Є в/, имеют место функциональные связи:
$i(/V, у), / У), f\x, z), f\x, z), f\y, z\ /2(y, z)) = 0,
$2(f\x, y), /2(*. у), /1^ ^), /2(ж, г), /Чу, z\ /2(у, *)) = о,
а условие невырожденности двуметрики /:
dUl(*,y)J4*,v)) ,п d(fl(x,y),f(x,y))
д{х\х*) * ' д{у\у2) Т
для плотного в М2 множества пар.
Перейдем теперь к групповой симметрии. Пусть U и U' - открытые области в многообразии М. Гладкое инъективное отображение
X:U^U' (4)
называется локальным движением, если оно сохраняет s-метрику / = (/1,..., /s). Последнее означает, что для любой пары < х, у > Є 6/, такой что х, у Є U, и соответствующей пары < А(ж), Х(у) >, причем Л(ж), Л(у) Є U', имеет место равенство
f(\(x),\(y)) = f(x,y).
Множество всех движений (4) есть локальная группа преобразований, для которой s-метрика является двухточечным инвариантом. Если s -метрика / задана явно, то равенство (4) является функциональным уравнением, решая которое можно найти группу движений (4).
Определение 2. Будем говорить, что функция / = (f1,..., fs) задает на sn-мерном многообразии М полиметрическую геометрию, наделенную групповой симметрией степени sn(n + 1)/2, если, кроме аксиом I, II, III, дополнительно имеет место следующая аксиома:
IV. Существует открытое и плотное в М множество, для каждой точки х которого задано эффективное гладкое действие sn(n 4- 1)/2-мерной локальной группы Ли в некоторой окрестности U(x), такое, что действия ее в окрестностях U(x), U(у) двух точек х, у совпадают в пересечении U(x) П U(y) и что функция /(ж, у) по каждой из своих s компонент является двухточечным инвариантом.
Г. Г. Михайличенко в монографии [6] доказывается следующая
Теорема (об эквивалентности феноменологической и групповой симметрии). Для того, чтобы функция f = (f1,...,/8) задавала на sn-мерном многообразии М полиметрическую феноменологически симметричную геометрию ранга т — п + 2, необходимо и достаточно, чтобы эта функция задавала на М полиметрическую геометрию, наделенную групповой симметрией степени sn(n + 1)/2.
Следствием этой теоремы является то обстоятельство, что если нам известна метрическая функция феноменологически симметричного пространства, то мы можем найти группу движений, и, наоборот, если известна группа движений, то по ней восстанавливается метрическая функция как двухточечный инвариант.
Изложим теперь краткое содержание диссертации.
В первой главе диссертации исследуются плоские геометрии. В 1 приводятся гельмгольцевы геометрии, метрические функции которых принимают вид:
собственно гелъмголъцева плоскость Г2:
/(*, у) = [(х1 - у1)2 + (х2 - у2)2] exp (Varctg^^) ,
где постоянная j > О, причем функция arctg рассматривается однозначной с областью значений в промежутке (—тг/2, тг/2) (термин гельмгольце-ва плоскость появился из анализа работы Гельмгольца [1], где он обнаружил геометрию, в которой роль окружности выполняет логарифмическая спираль);
псевдогелъмголъцева плоскость РГ2:
/(*, у) = [(х1 - у1)2 - (х2 - у2)2} exp (W(c)th|^0 ,
где постоянная./3 > 0 и /? ^ 1, причем выбирается функция Arth, если аргумент по модулю меньше единицы и выбирается функция Arcth, если аргумент по величине больше единицы; дуальногельмголъцева плоскость D2:
/(Ж,у) = (о;1-у1)2ехр^2^5^);
симплициальная плоскость S2:
х — у
ffay) = -7 Г.
xv — у1
Далее вводится в Г2, РГ и D2 понятие квазидлины неизотропной кривой, то есть кривой, между двумя произвольными точками которой определено квазирасстояние:
/' = Vf(x>y) = V(xl - У1)2 + (х2 - У2)2 exp l-yavctgX\ _У\ J ,
/' = V7(^y) = vV~ У1)2 -(х2 -У2)2 exp (pAith^^j , /' = у/ТМ) = \х1 - У1! exp (fn^)
и доказывается ряд свойств квазидлины. Например, следующая теорема:
Теорема. Для произвольной сходящейся последовательности точек
{tn} —> to неизотропной гладкой кривой x(t) собственно гельмгольце-
вой, псевдогельмгольцевой или дуальногелъмгольцевой плоскостей по
следовательность им соответствущих квазирасстояний f'{x(tn),x(to))
также сходится.
(± В этом параграфе приводятся также группы движений изучаемых плос-
костей [6].
В 2 находятся независимые инварианты групп Ли собственно гельм-гольцевых, псевдогельмгольцевых, дуальногельмгольцевых и симплици-альных вращений 0(Г2), (9(РГ2), 0(D2) и 0(S2) соответственно в вещественном векторном пространстве V2 [10]. Эти инварианты позволяют определить угол между векторами. Вводится двухточечный вектор, как функция, сопоставляющая паре точек плоскости - вектор, а затем находятся его координаты:
Определение. Двухточечным вектором плоскости F2 = Г2, РГ2, D2, S2 называется гладкая функция, сопоставляющая двум точкам х иу пару чисел (^(х,у), 2(х,у)), причем
где "штрих"означает преобразование: над координатами вектора — группы вращений 0(F2) и над координатами точки — группы движений G(F2) [10].
Доказывается следующая
Теорема. Координаты двухточечных векторов плоскости Г2, РГ2, D2 и S2 задаются следующими выражениями:
для плоскости Г2:
Є = P{f){xl - У1) - Щ)(х2 - у2), Є = едО*1 - yl)+p(f)(x2 - у2);
для плоскости РГ2:
Є = PifKx1 - У1) + Hf)(x2 - у2), Є = адСг1 - у1) +p(f)(x2 - у2);
фг для плоскости D2:
Є = рШіх1 - у1), Є = ВДС*1 - у1) +р(Л(х2 - у2)
и для плоскости S2:
e=p(f)(xl-yl), Є = Pif){x2 - у% 9
'#
где f - метрическая функция, ар и к - гладкие функции одной переменной.
Из этой теоремы следует, что двухточечный вектор образуют разности координат пары точек плоскости.
В 3 определяются циклы плоскостей Г2, РГ2, D2 и S2 как кривые, которые остаются инвариантными относительно преобразований однопа-раметрических подгрупп групп движений [11]. Задача сводится к решению функционального уравнения:
/(^(^2^),^(^),2/)) = ip{tx - ty),
где / - метрическая функция, а ф - некоторая гладкая функция. Доказывается следующая теорема:
Теорема. Циклами собственно гелъмголъцевой плоскости Г2 являются прямые:
где к - произвольная постоянная, и ее окружности:
1 —х\ = Re 7t cos і, х2 — ж2, = Re 7* sint,
где R - произвольная постоянная; циклами псевдогельмгольцевой плоскости РГ2 являются прямые с — 1 < к < +1, и окружности:
1 - х\ = Re'^cht, х2-х20 = Re-^sht;
циклами дуальногельмгольцевой плоскости D2 являются прямые, и окружности:
X Хп == 1ІЄ , X Хп =z —rite
и, наконец, циклами симплициальной плоскости S2 являются только прямые [11].
В 4 вводится кривизна неизотропной кривой собственно гельмголь-цевой Г2, псевдогельмгольцевой РГ2 и дуальногельмгольцевой плоскости D2. Она определяется формулой:
k = lim ——л dt^o \As\
где г) - угол между касательными векторами кривой x = x(t) в точках x(t) и x(t + dt), а |Дз| - величина собственно гельмгольцевой, псевдогельмгольцевой или дуальногельмгольцевой квазидлины отрезка кривой, заключенного между этими точками.
В 5 по работе [12] приводится классификация двумерных двуметри-ческих геометрий. Их двухкомпонентные двуметрические функции в специальной системе локальных координат принимают вид:
f1(x,y) = x1 -у1, f{x,y) = x2 -у2;
f(x, у) = (х1 - г, V, / У) = О*1 - У V-
В конце этого параграфа приводится интерпретация второй из них в теории циклов Карно, а в 6 - интерпретации псевдогельмгольцевой и сим-плициальной плоскостей в термодинамике идеального газа.
Во второй главе изучаются двумерные собственно гельмгольцевы, псев-догельмгольцевы, дуальногельмгольцевы и симплициальные многообразия, то есть двумерные многообразия, в касательных пространствах которых вводится структура собственно гельмгольцева, псевдогельмгольцева, дуальногельмгольцева и симплициального линейного пространства соответственно [13, 14, 31]. Все построения в этой главе имеют строго локальный характер, то есть в координатной окрестности произвольной точки.
В 1 для построения этих многообразий вводится отображение
ш : LX(M) х LX(M) х ТХ(М) -> V2,
которое в координатной окрестности U определяется формулой:
uj(u, v, X) = a\Xlej,
где v - некоторый фиксированный репер из расслоения линейных реперов L(M), а и - произвольный репер из L(M), X - вектор из касательного расслоения Т(М), а - структурные функции, ei, ег - фиксированный базис в V2. Определяя в V2 квазискалярное произведение соответствующей плоскости, а затем перенося его в ТХ(М) при помощи отображения luv, где v - координатный базис в U, приходим к метрическим функциям гельм-гольцевых многообразий:
для собственно гельмгольцевых пространств:
(
2 тл& 2л/'к\
Tarctg^- + Tarctg^- J ;
для псевдогельмгольцевых пространств:
f(X, Y) = (а\а) - а2а])Х^ exp ^Ar(c)th^ + 0Ar(c)th^) ;
для дуальногельмгольцевых пространств: для симплициальных пространств:
где i,j,k,l = 1,2 [14, 31]. Заметим, что метрические функции определены в координатной окрестности. Этот перенос приводит к "расслоению" структурных функций: а — be, где в произвольной точке координатной окрестности многообразия Ъ - произвольный элемент из группы вращений соответствующей плоскости. Устанавливается инвариантность метрических функций относительно преобразований структурных функций: а —> Ьа. Рассматриваются примеры многообразий.
В 2 определяется квазиметрическая (согласованная) связность как
способ параллельного перенесения, при котором сохраняется квазидли
на неизотропного касательного вектора (вектор, на котором метрическая
функция / положительна). Доказываются теоремы:
Щ Теорема 1. Гелъмголъцево двумерное многообразие в координатной
окрестности U произвольной точки допускает квазиметрическую связность с нулевым кручением, символы Кристоффеля которой задаются выражениями:
для собственно гельмгольцевых пространств:
ГЬ = 2hlk \сФ + ~dJ~~d^)~lhlk{Xjki + Xkij~Xijk)>
где hij = ajaj + afaj + j(a}oj — Ojof);
для псевдогельмгольцевых пространств:
~dJ + ~dx7 " a^" J " ph {Xjki + Xkii ~ Xijk)'
!ф где h^ = a\a) - a\a) + (3(a\a) - a)a]);
для дуальногельмгольцевых пространств:
dhjk дкИ дЫЛ lk
~дх^ + ~дх7~ 'MJ - h {Xjki + Xkij - Xijkh'
где h^ = a\a}j + (ajoj — CLjof);
для симплициальных пространств:
Jk
'dhjk dhki _ dh дх1 дхз дхк
h {"jki + Akij — \jk)i
'#-
їда?
a2. ^-
где hij = ajoj
a}di, \jk = ojp- - а)оф и h%3hjk = 5lk, і J, fc, I = 1, 2.
Теорема 2. Симметричная квазиметрическая связность собственно гелъмголъцева, псевдегельмгольцева, дуалъногелъмгольцева или симпли-циального пространства в координатной окрестности U не зависит от структурных функций а и как следствие единственна.
Устанавливается инвариантность символов Кристоффеля согласованной связности относительно преобразований: а —» Ъа.
В 3 определяются квазидлины неизотропной кривой (кривая, все касательные векторы которой неизотропные). Обратим внимание на то, что собственно гельмгольцево, псевдогельмгольцево и дуальногельмгольцево многообразия нельзя превратить в метрические пространства, хотя рима-ново многообразие превращается в метрическое пространство, в котором под расстоянием между двумя точками понимается точная нижняя грань длин соединяющих их кривых [16]. Квазидлина представляет собой функционал [17, 31]:
для собственно гельмгольцевых пространств:
/ =
[Р Г~ї7і I ygijxx
7arctg
dt;
для псевдогельмгольцевых пространств:
/V
/?Arth
г .j gij x x exp
для дуальногельмгольцевых пространств:
af x
і 'J a)x
dt;
%
a-x
dt.
.г .j
g^ x x exp
і J
Затем находятся уравнения экстремалей этих функционалов.
4 посвящен проблеме введения в собственно гельмгольцевых, псевдогельмгольцевых, дуальногельмгольцевых и симплициальных пространствах изотермических (конформных) координат [18, 15, 31]. Будем говорить, что многообразия М и М' локально конформно отображены друг
в друга относительно локального диффеоморфизма <р, если имеет место равенство:
/' = е27,
где а - некоторая гладкая функция координат точки. Имеет место
Теорема. Если в некоторой координатной окрестности U произвольной точки собственно гелъмгольцева пространства со структурными функциями a = be можно подобрать такую систему координат, что выполняются условия
ЗА дВ__ дБ дА _ ду2 ду1 ' ду2 ду1 '
где а = -(с\4 + 44)/((4)2 + (4)2), в = -(с\4 - 44)/((4)2 + (4)2),
а\а\+а\а22 = с\4+44> о\а22-а\а\ = с\4~44, (а\)2+(о?2)2 = (с12)2+(4)2, (а\)2 + (а2)2 = (с})2 4- (с2)2, то метрическая функция f в ней будет на некоторый множитель А2 отличаться от метрической функции локально плоского пространства, то есть будет ей локально конформно эквивалентна:
Аналогичная теорема имеет место и в отношении псевдогельмгольце-вых, дуальногельмгольцевых и симплициальных двумерных многообразий.
В 5 находится тензор кривизны квазиметрической связности и устанавливаются его свойства [14]:
для собственно гельмгольцевых пространств:
^112 = —7-^112' ""-212 = ~ -"-112) Щ.12 = ~7-112>
для псевдогельмгольцевых пространств:
it112 = —Р-йц2) ^212 = -112> Щі2 = ~РЩі2'і
для дуальногельмгольцевых пространств:
НП2 = —Яц2, R2\2 = 0, /t2i2 = ~-^112>
для симплициальных пространств:
-"412 = ^212> ^212 = "і 12 = О-
В 6 определяется локальная группа Ли локальных изометрий гельмгольцевых многообразий. Находятся уравнения на группу локальных изометрий [19, 31]:
Теорема. Векторное поле порождает локальную группу изометрий в координатной окрестности U гельмголъцева пространства М, тогда и только тогда, когда компоненты этого поля удовлетворяют уравнениям:
A. для собственно гельмгольцевых пространств:
B. для псевдогельмгольцевых пространств:
dh дк дк
а#**+ hikoJ + hjk^ ~ 20X*Mk = ;
C. для дуальногелъмгольцевых пространств:
Mask,, dt* д(* к_
D. для симплициальных пространств:
dh- дк дк
ІїЗ^ + hk-z-i + hjk^j - 2\ijkk = О,
причем для координат х1, х2 векторное поле = гд/дхг, i,j,k = 1,2, hij - квазиметрический тензор собственно гельмгольцева, псевдогелъм-гольцева, дуальногельмголъцева или симплициалъного пространства.
Доказывается, что уравнения на группу локальных изометрий инвариантны относительно преобразований структурных функций: а — Ьа, где b - произвольная матрица из группы гельмгольцевых вращений.
В третьей главе изучаются двумерные двуметрические пространтва, то есть двумерные многообразия, в касательных пространствах которых (рассматриваемых как аффинные) вводится структура двуметрических плоскостей. Эти многообразия определяются локально, то есть двуметрические функции определяются в координатной окрестности произвольной точки. Основные результаты опубликованы в работе [32].
Для построения этих многообразий в 1 вводится отображение
v и : АХ{М) х АХ{М) х ТХ(М) - В2.
В координатной окрестности U эта функция принимает вид: lu{u,v, X) = а{Х{е< + % i,j = 1,2,
где v - некоторый фиксированный репер из АХ(М), aw- произвольный репер, X Є ТХ(М). Задавая в аффинном простраснстве V2 двуметриче-ские функции, приходим к двуметрическому двумерному многообразию:
f\X,Y) = а\Х1 - a\Y\ f2(X, Y) = а\К - а*У*;
f\X, Y) = (а}Х* - а}У)(а?Х< +?),\ f2(X, Y) = {а}Х* - а}*)(а^ + Є), J
где г, j = 1,2, причем а = I 1 - структурные функции. Для двумет-
рических многообразий справедливо разложение структурных функций: a = be, где в произвольной точке координатной окрестности b - произвольный элемент из группы Ли, локальной подгруппой которой является группа локальных движений соответствующей двуметрической плоскости, ас- некоторая матрица. Доказывается, что двуметрика инвариантна относительно преобразований структурных функций: а —> Ьа.
В 2 определяется согласованная связность как способ параллельного перенесения, при котором
VJfc/1(X,y)=0, Vkf(X,Y) = 0.
Доказывается теорема:
Теорема. Компоненты символов Кристоффеля Г1ік согласованной связности в координатной окрестности U двуметрических двумерных пространств с метрическими функциями
f(X, Y) = а}Х* - a\Y\ f(X, Y) = а\Х{ - a2Y{
f\X,Y) = (а1Х*-а1^)(а2ХЧе), f(XtY) = {а\Х>-а^){а2^+Є)
имеют следующие выражения: для первой двуметрики:
Г1 =й*М ik *дхк'
где а - матрица, обратная матрице а; для второй двуметрики:
* ik — ат о /j + amai ^ jfc ) I, J, К, 1,П,ГП = 1, 2,
причем a — e{m)af, є{1) = 1, є(2) — —1.
Доказывается инвариантность символов Кристоффеля относительно преобразований структурных функций: а — Ьа.
В 3 определяется локальная группа Ли локальных изометрий двуметрического двумерного многообразия. Находятся уравнения на группу локальных изометрий:
Теорема. Для того, чтобы в координатной окрестности U произвольной точки двуметрического двумерного многообразия М векторное поле X определяло инфинитезимальную изометрию, необходимо и достаточно, чтобы его компоненты Хк были решениями следующей системы дифференциальных уравнений:
для пространств с двуметрикой /1 = ajdx1, f2 = afdx1:
да) , . dXk
для пространств с двуметрикой /1 = (a}dxl)(a2dxl+2), /2 = a\dx1^2: do}Jvk {dXk ... ;<Э1п2 ,
Ф где i,j,k — 1,2, причем Xі и X2 - компоненты векторного поля X,
(1) = -1, (2)-=1.
Находятся базисные операторы группы локальных изометрий в простейших случаях.
В последнем параграфе приводится физическая интерпретация двуметрического двумерного пространства в неравновесной термодинамике.
Оговорим правила ссылок. Каждое уравнение в каком-либо параграфе
нумерается отдельным числом. При ссылке на уравнение или формулу
из другого параграфа данной главы номер этого выражения снабжается
через точку дополнительным числом, который нумерует параграф, на
пример, (2.13). При ссылке на уравнение из другого параграфа другой
главы номер этой формулы снабжается через точки двумя дополнитель
ными числами, первое из которых нумерует главу, а второе - параграф,
ф например, (1.2.13). Нумерация теорем и определений по параграфам неза-
висима.
Линейные гельмгольцевы пространства
Рассмотрим двумерное вещественное векторное пространство V2. За фиксируем в нем базис е\, Є2. Тогда произвольный вектор из V2 будет иметь координаты ( , 2). Примером векторного пространства может слу жить пространство свободных векторов собственно гельмгольцевой, псев- догельмгольцевой, дуальногельмгольцевои и симплициальнои плоскостей (каждая из которых представляет собой аффинную плоскость с введенной в ней соответствующей структурой), причем координатами произвольного t jk: вектора этого пространства являются разности соответствующих коорди- нат двух точек плоскости. В предыдущем параграфе было сказано, что плоскость Г2, (РГ2, D2 или S2) допускает локальную группу движений с уравнениями (1.5), ((1.6), (1.7) или (1.8)) в специальной системе координат и параметров. Эти группы движений мы будем обозначать G(T2), G(PT2), G(D2) и G(S2) или просто G(F2), где в каждом конкретном случае под F2 понимается либо Г2, либо PV2, либо D2, либо S2. Выделим в группе Л(2, R) подгруппу Ли 0(F2), называемую группой вращений плоскости F2. Группа вращений задается уравнениями: для плоскости Г2 — 0(Г2): Эти группы является однопараметрическими подгруппами Ли группы аффинных преобразований Л (2, R). Группам (1) — (4) можно однозначно поставить в соответствие матричные группы Ли, являющиеся подгруппами Ли группы GL(2, R), для которых сохраним эти же обозначения. Зададим в V2 действие группы гельмгольцевых вращений 0(F2), уравнения которой относительно фиксированного базиса е\, Є2 принимают вид: для группы О (Г2): Рассмотрим два произвольных вектора = (\2) и 77 = (т?1, 2) пространства К2. Пусть группа вращений 0(F2) эти векторы переводит в векторы = ( \/2) и г/ — (г/ 1,// 2) соответственно. Пусть Ф — гладкая функция пары векторов, являющаяся инвариантом группы вращений: Заметим, что уравнение (9) представляет собой тождество по параметрам группы 0(F2), то есть является функциональным уравнением на двух-векторный инвариант, которое после дифференцирования по независимому параметру в окрестности тождественного преобразования сводится к дифференциальному уравнению: где X - оператор алгебры Ли группы вращений [21].
Определение операторов группы Ли преобразований приведем по книге [21]. Рассмотрим порождающее отображение группы Ли преобразований пространства V: / : V х В — V, где В — группа Ли, действующая в V, которое определяется формулой х = f(x,a), х,х Є V, а Є В. Пусть 0 — нуль группы В. Определение 1. Частные производные хг{х) = da где = 1 і71-! п — dimF, называются компонентами векторных полей группы Ли преобразований пространства V, а дифференциальные выражения — операторами группы Ли преобразований. Ниже под V понимается векторное пространство V2. Лемма 1. Оператор алгебры Ли группы вращений 0{F2) в заданной системе координат имеет такой вид: для группы 0(Г2): для группы 0{D2): для группы 0(S2): Для доказательства леммы, согласно определению 1, необходимо найти производные: для группы 0(Г2) с уравнениями (5): х1 = g -\a=o, X2 = - -Q=0) где a = cosae-7", b = sinae-7"; для группы 0(РГ2) -с уравнениями (б) эти-же производные: х1 и X2) причем а — спае @а, b = shae Pa] для группы 0(D2) с уравнениями (7) — х1 и Х2- гДе а = е а, b = ае а и, наконец, для группы 0(S2) с уравнениями (8) производные: Лемма 2. Произвольный двухвекторный инвариант Ф группы вращений собственно гельмголъцевой, псевдогельмголъцевой и дуальногелъм-голъцевой плоскостей является функцией трех независимых инвариантов: дляОІТ2): Для доказательства этой леммы мы должны решить дифференциальное уравнение (9 ) с операторами, найденными в лемме 1 для каждого из трех случаев: Тогда выражения (10) — (12) будут функционально независимыми интегралами этих уравнений [10]. Аналогично проверяется Лемма 3. Группа вращений 0{S2) симплициальной плоскости имеет два независимых инварианта: Замечания. 1. Если V2 интерпретировать как пространство собственных векторов плоскостей Г2, РГ2, D2 и S2, то инвариант ш() превращается в метрическую функцию /. 2. Очевидно, что Несложно убедиться в том, что областью определения функции (, 77)г2 является множество U С V2 х V2, которое состоит из пар векторов , 77, не удовлетворяющих условию: первая координата одного из векторов нулевая, а областью определения функции (, )рг является множество L С V2, которое состоит из векторов , с ненулевыми первыми координатами. Обратим внимание на то, что область опреления функции () )г2 совпадает с областью определения функции (, 7)г2- Очевидно, что L х L D L . Аналогично, областью определения функции (, т])рг2 является подмножество L С V2 х V2, которое состоит из пар векторов , ту, не удовлетворяющих условию: координаты хотя бы одного из векторов связаны равенствами L = 2 и 1 = 0, а областью определения функции ())РГ2 является множество L С V2, которое состоит из векторов , с условами на координаты l 1! ф 2 и х ф 0. Обратим внимание на то, что область опреления функции (, ту)рг2 совпадает с областью определения функции (,1])рг2- Как и выше несложно убедиться во включении L х L D V. Нетрудно установить также, что области определения функций (,г]))2, (,7/).02 J (,v)s2 совпадают с областью определения функции () ?)г2) а области определения функций (, )z 2, (, )52 - с областью определения функции (,)г2, причем как и выше V С L х L. Рассмотрим два вектора и ту векторного пространства V2 такие, что пара из них составленная, принадлежит множеству V. Тогда под собственно гельмгольцевым, псевдогельмгольцевым, дуальногельмгольцевым и симплициальным квазискалярными произведениями между этими векторами будут пониматься числа (, 7)г2, (,??)РГ2 (ZI D И (,77)52 соответственно [10]. Замечание.
Определенное нами квазискалярное произведение не удовлетворяет всем аксиомам евклидова скалярного произведения [9]: 4)(& О 0, если ф 0, (, 0 = 0, если і = О, где , 77, С произвольные векторы, а А - произволное действительное число. Из перечисленных выше аксиом для (, 77) рг справедливы первая и третья. Квазискалярное произведение (, )рг вектора на себя будем называть квазискалярным квадратом. Введем теперь понятие угла между векторами собственно гельмгольце-ва, исевдогельмгольцева и дуальногельмгольцева линейных пространств. Ниже под F2 понимается либо Г2, либо РТ2, либо D2. Воспользуемся для этого леммой 2. Из этой леммы следует, что инварианты р, ф, со удовле- творяют очевидному тождеству [10]: для собственно гельмгольцева пространства: для псевдогельмгольцева пространства: для дуальногельмгольцева пространства: Таким образом, имеем следующие двухвекторные инварианты группы вращений 0(F2): для собственно гельмгольцева пространства: причем д принимает значения от 0 до 27г. для псевдогельмгольцева пространства: при для дуальногельмгольцева пространства: Определение 2. Величина & называется углом между векторами и ту собственно гельмгольцева, псевдогельмгольцева и дуальногельмгольцева пространств У2 [10]. Рассмотрим теперь плоскость F2. Предположим, что V2 - пространство касательных векторов к плоскости F2 в произвольной точке, которое определяется стандартным образом. Обратим внимание на то, что касательный вектор к плоскости в произвольной точке можно свободно перенести в любую другую точку, причем ему будет соответствовать единственный вектор. Рассмотрим две произвольные гладкие неизотроиные параметризованные кривые х = х (і) и у — у (і), пересекающиеся в точке Лемма 4. Касательный вектор неизотропной параметризованной гладкой кривой х — х(і) принадлежит L. Доказательство. Согласно определению касательного вектора к гладкой кривой и определению неизотропной кривой, существуют выражения (24) — (26) из 1, поэтому касательный вектор принадлежит L. Пусть х кУ касательные векторы к кривым х = x(t) и у = y(t) соответственно в точке р. Под углом между пересекающимися кривыми в точке р плоскости F2 будем понимать угол между касательными векторами в этой точке.
Двуметрические феноменологически симметричные плоскости
В самом широком смысле двуметрическая геометрия - это геометрия с двумя расстояниями. В этой геометрии определена функция, паре точек ставящая в соответствие не одно число ("расстояние") как обычно, а два. Михайличенко Г. Г. в монографии [6] провел полную классификацию двуметрических двумерных феноменологически симметричных геометрий, краткое определение которых следующее. Существует многообразие N , являющееся плотным подмногообразием прямого произведения N х N некоторого двумерного многообразия N на себя и гладкая невырожденная функция / : N — R2, которую будем называть метрической функцией или двуметрикой или двуметрической функцией, ее компоненты мы будем обозначать (/1, /2). Существует также такая гладкая функция шести переменных Ф : R6 — R2 с компонентами (Ф\,Ф2), причем rang Ф = 2, что для любой тройки x,y,z точек из N, каждая пара из которой принадлежит множеству N , имеет место функциональная связь Введем в N систему локальных координат, относительно которой точка ее имеет координаты (ж1, ж2). Тогда условие невырожденности метрической функции / принимает такой вид: причем пара х, у принадлежит открытому и плотному подмножеству N . Существует всего две двуметрические феноменологически симметричные двумерные геометрии. Это геометрии с метрическими функциями, которые в некоторой системе координат и при некотором ее масштабном преобразовании ф : R2 — R2 имеют следующие представления: где (х1, 2) - координаты точки х, а (у1, у2) - координаты точки у. Пространство, в котором определена данная дву метрическая структура будет обозначаться F2. Очевидно, F2 можно представить как аффинную плоскость с дополнительной структурой. Заметим, что области определения двуметрических функций (2) и (3) совпадают со всем прямым произведением: N = Для двуметрических функций (2) и (3) функциональные связи (1 ) имеют достаточно простой вид: соответственно. Рассмотрим две бесконечно близкие точки: у = (х1,х2) их — (х1 + dxl,x2+dx2). На них метрические функции (2) и (3) принимают значения: Переходя в выше выписанных метрических функциях (2 ) и (3 ) от специальных координат (х1,х2) к произвольным {у1, у2) по формулам: х1 = х1(у1,у2), х2 = х2(у1,у2), получаем Преобразование у двуметрического двумерного пространства F2 назовем движением, если оно сохраняет метрическую функцию /, то есть оставляет ее инвариантной.
Михайличенко Г.Г. в монографии [6] показал, что по метрической функции / находится двухпараметрическая локальная группа Ли движений G(F2), а по этой группе она восстанавливается с точностью до гладкой масштабной функции ф : R2 —» R2. Решая эту задачу для выше приведенных пространств, приходим к локальным группам движений G(F2) со следующими уравнениями: для метрической функции (2) для метрической функции (3): где a, a, b - произвольные постоянные. Заметим, что эти группы можно рассмотреть как локальные подгруппы Ли групп Ли из А(2, R) с такими же уравнениями. Заметим, что двухточечными инвариантами группы (5) являются также и следующие функции: Двуметрическая геометрия с метрической функцией (3) допускает содержательную интерпретацию в равновесной термодинамике циклов Карно. Рассмотрим идеальную термодинатическую систему, находящуюся в равновесном состоянии. Предположим, что она совершает цикл Карно по пути Т1, Sl, Т2, S2, где S1 S2, то есть этот цикл однозначно характеризуется параметрами (Т1, S T2, S"2) [23]. Пусть Т1 и Т2 температуры нагревателя и холодильника соответственно, причем Т1 Т2. Предположим, что в результате этого процесса система от нагревателя получает количество тепла Q1 = 7 (51 — S2) и отдает холодильнику количество тепла Q2 = T2(S2 — S1). Допустим, что х - состояние системы с энтропией S1 = х1 и с температурой Т1 = ж2, а у - состояние системы с энтропией S2 = і/1 и с температурой Т2 = у2. Тогда интерпретируем двуметрическое пространство F2 как пространство состояний равновесной системы, а дву-метрические функции fl{x,y) и f2(x,y) как количества тепла Q1 и Q2 соответственно Заметим, что пара состояний х и у однозначно определяет цикл Карно с параметрами (Т1, S1, Т2, S2). Согласно этой интерпретации инвариант (6) представляет собой коэффициент полезного действия цикла Карно: а инвариант (7) является полезной работой цикла Карно: Из неравенства (6 ) следует, что в интерпретируемом пространстве у2 О, х2 у2. Заметим, что по своему физическому смыслу координаты х1 и у1 строго положительны [23]. Рассмотрим произвольное движение д плоскости F2, которое произвольные состояния х и у переводит в состояния х и у соответственно, то есть S" = g\S\T% Т 1 = g2(S\Tl), S 2 = g\S2,T2), Г2 = g2(S2,T2). Это приводит к тому, что цикл Карно с параметрами («S T S T2) переходит в цикл Карно с параметрами (Sn,Tn,Sf2,T 2). Физически это означает, что преобразование д устанавливает связь между двумя круговыми процессами (циклами). Следовательно, КПД г\ и полезная работа А этих циклов неизменны. Заметим, что в этом случае то есть температуры нагревателя и холодильника при преобразовании д меняются пропорционально с одним и тем же коэффициентом. Выражая е а из преобразований температур нагревателей и подставляя в преобразования температур холодильников этих циклов, приходим к соотношению Для определения коэффициента е а рассмотрим состояние с эталонной температурой То, которое при преобразовании д переходит в состояние с температурой Т. Тогда а = 1п(То/Т). Поэтому, согласно (8), температуры холодильников циклов Карно относительно преобразований д, температура нагревателя первого из которых равна То, связаны так: Рассмотрим однопараметрическую подгруппу группы (5 ): Заметим, что траекториями этой группы являются гиперболы, а также вертикальные и горизонтальные прямые. Пусть группа преобразований (5") состояние х переводит в состояние х . Тогда, согласно (5"), на возрастание температуры система реагирует убыванием энтропии и наоборот. Из (5") также следует равенство: Из инвариантности двуметрической функции (/1, /2) пространства F2 относительно группы движений следует, что цикл Карно любой равновесной системы можно заменить на физически более удобный цикл Карно с тем же КПД г\ и той же полезной работой А. 6. Геометрическое описание идеального газа В этом параграфе рассматривается интерпретация псевдогельмгольце-вой и симплициальной плоскостей в равновесной термодинамике идеального газа [24].
Рассмотрим аффинную плоскость Л2, в которой введем некоторую систему координат. Относительно этой системы координат произвольная точка х имеет координаты х\, х-і- Введем в Л2 структуру симплициальной геометрии {симплициалъная плоскость S2) [6], то есть определим в ней метрическую функцию (1.4). Аналогично в А2 вводим структуру псевдогельмгольцевой геометрии (псевдогелъмголъцева плоскость РГ2) [6] с метрической функцией Ш) причем от этой функции можно перейти к (1.2) переобозначая: Ниже нам понадобится метрическая функция псевдогельмгольцевой причем 7 1- Переобозначение а = 7 вводится из физических соображений. Рассмотрим теперь прямое произведение плоскостей S2 и РГ2: N = S2 х РГ2. Его элементами являются пары (х,у), где х Є S2, у Є РГ2. В N естественно вводится "метрическая"структура: под квазирасстоянием Щ] между произвольными двумя парами (х,у) и (и, v) понимается пара чисел (f(x,u), g(y,v)). Рассмотрим диагональ No пространства N. Индуцированная метрическая структура в ДГо позволяет находить квазирасстояние между парами (х,х) и (у, у). Заметим, что разности соответствующих координат произвольных двух точек х и у из А2 образуют вектор этого пространства. Согласно 1 эти геометрии обладают трехпараметрическими группами движений с уравнениями: для симплициальной плоскости - (1.8), а для псевдогельмгольцевой - (1.6). Естественно определяется действие каждой из групп в пространстве TVo- Перейдем теперь к равновесной термодинамике. Как известно состояние идеального газа определяется двумя уравнениями состояния [23]: термическим: Пространство NQ разностей соответствующих координат пар точек диагонали No будем интерпретировать как пространство состояний идеального газа. Если (х\,Х2,х\, х ) и (уі,У2,Уі,У2) произвольная пара точек из NQ, ТО разность их координат (х\ — у\,Х2 — У2,х\ — уі,Х2 — г/2) принадлежит NQ. В такой интерпретации полагаем: давление Р = Х\ — у\, температуру Т — Х2 — У2, где х и у - некоторые точки в А2, 7 - показатель адиабаты идеального газа, причем 7 I и J — рациональное число.
Согласованные связности гельмгольцевых многообразий
Приступим теперь к исследованию связностей в гельмгольцевых двумерных многообразиях, согласованных со структурой. Рассмотрим линейные связности в расслоении линейных реперов этих многообразий, которые аналогичны метрической связности в римановых пространствах. Построения этого параграфа, как и предыдущего носят локальный характер, то есть проводятся относительно координатной окрестности U Є М [31]. Определение 1. Вектор X = (Xі, X2) пространства ТХ(М) будем называть неизотропным, если на нем определено значение квадратного корня из метрической функции собственно гельмгольцева пространства (1.13"), псевдогельмгольцева пространства (1.14") и дуальногельмгольце-ва пространств (1.15"), либо значение метрической функции симплици-ального пространства (1.16"). Образ неизотропного вектора X при отображении (1.10) для гельмгольцева пространства принадлежит множеству векторов L" С L С V2, где L" - область определения функции yj (, )F2- Определение 2. Связность в L(M) называется квазиметрической или согласованной связностью двумерного гельмгольцева многообразия М, если параллельный перенос слоев из Т(М) переводит неизотропный вектор в неизотропнуй с сохранением значения метрической функции Следует заметить, что при параллельном перенесении относительно согласованной связности неизотропный вектор переходит в неизотропный. Вообще, связность - это изоморфизм между касательными пространствами расслоения Т(М). В случае квазиметрической связности налагается еще дополнительное условие: на неизотропном векторе и на его неизотропном образе метрическая функция / принимает одно и то же значение. Из определения квазиметричекой связности следует равенство нулю ковариантной производной: Кручение определяется обычным образом, как в произвольном пространстве с линейной связностью [25]. Справедлива следующая Теорема 1. Гельмгольцево двумерное многообразие в координатной окрестности U произвольной точки допускает квазиметрическую связность с нулевым кручением, символы Кристоффеля которой задаются выражениялш: Введем теперь определение геодезической. Определение 4. Параметризованная кривая Xt, а t b гельмголь-цева многообразия М с квазиметрической связностью называется геодезической, если касательное векторное поле X =xt, вдоль кривой xt, параллельно вдоль xt, то есть ковариантная производная V X существует и равна нулю для всех t из области определения [25]. В координатной форме система уравнений на геодезическую принимает вид: Для локально плоских пространств в координатной окрестности U Тгк1 — 0, поэтому геодезической является прямая.
Для пространств с метрическими функциями (1.22 ) - (1.24 ) уравнения на геодезическую принимают вид: для собственно гельмгольцевых пространств: для псевдогельмгольцевых пространств: для дуальногельмгольцевых пространств: где введены обозначения: х = dx1 /dt, у = dx2/dt, а\ = да/дх1, а2 — да/дх2. Заметим, что если а\ = const и а2 = const, то уравнения (21) - (23) совпадают с уравнениями на проекцию орбиты оператора некоторой однопараметрической подгруппы трехмерного гельмгольцева пространства на плоскость ху [34]. В оставшейся части параграфа определим сопряженную согласованную связность и вычислим для нее символы Кристоффеля. Для начала заметим, что для неизотропного вектора определено значение квадратного корны из сопряженной метрической функции. Определение 5. Связность в L(M) называется сопряженной квазиметрической или сопряженной согласованной связностью двумерного гельмгольцева многообразия М, если параллельный перенос слоев из Т(М), переводящий неизотропный вектор в неизотропный, сохраняет значение сопряженной метрической функции / . Из определения сопряженной квазиметричекой связности следует равенство нулю Справедлива следующая Теорема 4. Гельмгольцево двумерное многообразие в координатной окрестности U произвольной точки допускает сопряженную квазиметрическую связность с нулевым кручением, символы Кристоффеля которой задаются выражениями: для собственно гельмголъцевых пространств: Эта теорема доказывается также как и теорема 1. Подробно разберем случай собственно гельмгольцевых пространств. Предположим, что X - параллельно переносимое неизотропное векторное поле. Ковариант-ная производная равна: 7)).
Учитывая равенства для ко- вариантных производных Vkgij, V a:-, V X (теорема 1), после несложных вычислений, будем иметь для открытого и плотного подмножества из ТХ{М): После распространения данного выражения на все касательное пространство ТХ(М), имеем Записывая эти равенства для трех упорядоченных троек индексов: i,j, к , j,k,i и к, i, j , а затем их складывая, получаем (25). Теорема 5. Символы (25 ) - (27 ) образуют тензоры. Доказательство. Рассмотрим две пересекающиеся координатные окрестности U и U . В пересечении U П U , по лемме из 1, символы (25 ) - (27 ) связаны законом преобразования Определение 6. Тензоры h j называются сопряженными квазиметрическими тензорами. Из доказательства теоремы 4 видно, что символы Кристоффеля сопряженной согласованной связности удовлетворяют уравнениям: для собственно гельмгольцевых пространств: для псевдогельмгольцевых пространств: для дуальногельмгольцевых пространств: Найдем закон преобразования уравнений (28) - (ЗО) при преобразовании структурных функций: а — Ьа. Заметим, что относительно данных преобразований инвариантна сопряженная метрическая функция.
Группы изометрий двумерных гельмгольцевых многообразий
Приступим теперь к исследованию собственно гельмгольцевых, псев-догельмгольцевых, дуальногельмгольцевых и симплициальных многообразий М с метрическими функциями (1.17) - (1.20), допускающих локальные группы локальных изометрий [13, 31]. Все построения в этом параграфе носят исключительно локальный характер, то есть относительно координатной окрестности U Є М. Определение. Локальная изометрия в собственно гельмгольцевом, псевдогельмгольцевом, дуальногельмгольцевом и симплициальном многообразиях М - это локальное преобразование многообразия М, которое оставляет метрическую функцию / инвариантной в координатной окрестности U Є М. Множество всех локальных изометрий образует локальную группу Ли, которую будем обозначать G(M). Через д(М) обозначим алгебру Ли локальной группы Ли G(M). Пусть - векторное поле на многообразии М. Будем говорить, что это поле задает инфинитезимальную изометрию, если локальная 1 - параметрическая группа локальных преобразований, порожденная полем в окрестности каждой точки из М состоит из локальных изометрий, то есть если Є д{М). Из [25] следует, что векторное поле является инфините-зимальной изометрией тогда и только тогда, когда где L - производная Ли в направлении векторного поля . Заметим, что не для каждого направления существует инфинитезимальная изометрия, поскольку метрические функции (1.17) — (1.20) определены не для всех направлений. Справедлива следующая Теорема 1. Векторное поле порождает локальную группу изометрий в координатной окрестности U гельмгольцева пространства М с метрической функцией вида: (1-17) - (1.20), тогда и только тогда, когда компоненты этого поля удовлетворяют уравнениям: А. для собственно гельмгольцевых пространств: причем для координат х1, х2 векторное поле — гд/дхг, i,j,k — 1,2, h{j - квазиметрический тензор собственно гелъмгольцева, псевдогельм-гольцева, дуалъногелъмгольцева и симплициального многообразий. Докажем теорему для собственно гельмгольцевых пространств. Вычисляя производную Ли от метрической функции /, приходим к выражению зие М допускает группу изометрий G(M), то производна Ли L f = 0 и поэтому имеют место уравнения (2). И, наоборот, если преобразования пространства М удовлетворяют уравнениям (2), то L f = 0, то есть они являются изометриями. Аналогично эта теорема доказывается и для оставшихся случаев. Следствие.
Уравнения (2) - (5) инвариантны относительно следующих преобразований структурных функций: а — Ьа, где в произвольной точке из U матрица Ь Є 0(F2). Доказательство этого следствия аналогично доказательству инвариантности символов Кристоффеля согласованной связности относительно преобразований структурных функций: а Замечание. Уравнения, аналогичные уравнениям (2) - (5) для рима-новых пространств называются уравнениями Киллинга [19]. Используя известные выражения для производной Ли тензора вдоль векторного поля, приходим к более компактной форме записи равенств (2) - (5): для собственно гельмгольцевых пространств: для псевдогельмгольцевых пространств: причем i,j,k= 1,2. Пусть локально конформное преобразование координатной окрестности-{X произвольной точки пространства М метрическую функцию / переводит в метрическую функцию / , которая связана с / формулой (5.1). Пусть - инфинитезимальная изометрия пространства с функцией / . Справедлива следующая Теорема 2. Векторное поле порождает локальную группу изомет-рий в координатной окрестности U гельмголъцева пространства М с метрической функцией f, локально конформно эквивалентной метрической функции / (1.17) - (1.20), тогда и только тогда, когда компоненты этого поля удовлетворяют уравнениям: A. для собственно гельмгольцевых пространств: B. для псевдогельмгольцевых пространств: C. для дуальногельмгольцевых пространств: D. для симплициальных пространств: причем для случая A. дц = ajoj + a ah, для случая В. g = a\ah — afaZ, для случая С. g = a}aj и, наконец, для случая D. дц — ajaj + aha2, ak = dajdxk, i,j,k — 1,2. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. В качестве следствия получаем Следствие.
Векторное поле порождает локальную группу изомет-рий в координатной окрестности U гелъмгольцева пространства М с метрической функцией f, локально конформно эквивалентной метрической функции f плоского пространства, тогда и только тогда, когда компоненты этого поля удовлетворяют уравнениям: A. для собственно гельмгольцевых пространств: B. для псевдогельмгольцевых пространств: C. для дуальногельмгольцевых пространств: D. для симплициальных пространств: причем для случая A. g = 8\5 + 5252, для случая В. дц = 6}5j — S26j, для случая С. gij — 5}5j и, наконец, для случая D. д — 5} 5? + S}Sf, ак = da/dxk, i,j,k = 1,2. D Расписывая подробно выражения (10) - (13), приходим: для собственно гельмгольцевых пространств: для дуальногельмгольцевых пространств: для симплициальных пространств: Пусть M - локально плоское собственно гельмгольцево, псевдогельм-гольцево, дуальногельмгольцево или симплициальное двумерное пространство, то есть пространство, метрическая функция / которого в координатной окрестности U имеет вид (1.1.1 ), (1.1.2 ), (1.1.3 ) или (1.1.4 ). Тогда уравнения (10 ) - (13 ), в которых а = 0, принимают такой вид: для собственно гельмгольцевых пространств: для дуальногельмгольцевых пространств: для симплициальных пространств: , Теорема 3. По квазиметрическому тензору h гельмголъцева локально плоского пространства в координатной окрестности U восстанавливается алгебра Ли g{U) ее группы, изометрий G(U) с базисными операторами: для собственно гельмголъцева пространства: для псевдогельмгольцева пространства: для дуальногельмгольцева пространства: для симплициалъного пространства: Обратно, операторы алгебры Ли группы движений восстанавливают квазиметрический тензор локально плоского пространства с точностью до постоянного множителя.
