Содержание к диссертации
Введение
I. Общая характеристика работы 4
2. Состояние вопроса и задачи исследования 6
3. Обзор содержания диссертации 12
Глава I
Распределения в конформном пространстве
I. я, -мерное конформное пространство и конфоршые
преобразования 18
2. р -мерное распределение 22
3. фундаментальная последовательность геометрических
объектов Р -мерного распределения 27
4. Инвариантный репер распределения 31
5. Связность на распределении 38
6. Пара голономных распределений 46
Глава II
Распределения коразмерности один и два
I. ( VI - 1 )-мерное распределение.. 50*
2. Инвариантное оснащение гиперраспределения 54
3. Линии кривизны гиперраспределения 62
4. Теорема существования неголономной сферы 66
5. ( Yl - Z )-мерное распределение.... 69
Глава III
Гиперраспределение конформного пространства, определяемое нуль-системой
П
. _. л. „,Л._.._А___ с помощью
YI+1
2. Инвариантный репер гиперраспределения, определяемо
го нуль-системой, и его геометрическая интерпрета
ция
3. Нуль-система, присоединенная к гиперраспределению
конформного пространства
4. Нормальная конгруэнция гиперраспределения
5. Распределение трехмерного конформного пространства,
определяемое нуль-системой
Литература
Введение к работе
I. Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования» Геометрия распределений в однородных пространствах в последние годы интенсивно изучается с различных точек зрения. Это объясняется прежде всего близостью теории распределений к теории подмногообразий однородных пространств, а также многочисленными связями этой теории с различными разделами геометрии. Подробно рассмотрены различные вопросы дифференциальной геометрии распределений плоских элементов в проективном, аффинном и евклидовом пространствах, а также в пространствах аффинной и проективной связности.
В. связи с этим представляет интерес изучить конформную теорию многомерных распределений, тем более, что в конформном, как и в евклидовой пространстве, с распределением связано вполне ортогональное ему распределение, а с гиперраспределением - ортогональная конгруэнция кривых. Но при этом конформные свойства распределений существенно отличаются от евклидовых.
Дель работы. Построить конфоршую теорию многомерных распределений. Исследовать гиперраспределения и распределения коразмерности два. Изучить гиперраспределения конфоршого
, определяемые нуль-системами проек-тивного пространства I
Научная новизна. В диссертации изучена конформная теория
построено инвариантное оснащение р -верного распределения Л Рассмотрены некоторые аффинные связности Вейля конформного
П , индуцируемые распределениями. Выделены некоторые частные классы распределений. Введено понятие неголономной гиперсферы конформного пространства L и изучены некоторые типы неголономных гиперсфер.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер и дополняют общую теорию распределений однородных пространств. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях по общей теории распределений, при изучении конформных пространств, а также в исследованиях по линейчатой геометрии, ввиду ее связи с геометрией пространства С Результаты настоящей работы модно использовать как материал для специальных курсов в вузах, где ведется работа по близкой тематике, например, в МШИ им. В. И. Ленина, Калининском государственном ун-те, Московском ин-те стали и сплавов и др.
Метод исследования. Работа выполнена инвариантным методом дифференциально-геометрических исследований, основаном на методе Э. Картана и общей схеме исследования дифференциально-геометрических структур, разработанной Г. Ф. Лаптевым. Все рассмотрения носят локальный характер и встречающиеся функции принадлежат к необходимому классу дифференцируемое ти.
Апробация тэаботы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на XXX научно-технической конференции Московского института радиотехники, электроники и автоматики /1981 г./, на У и УІ научных конференциях молодых ученых и'специалистов факультета физико-математических и естественных наук Университета дружбы народов им. П. Лумумбы /1982, 1983 гг./, на УІ Прибалтийской геометрической конференции в Таллине /1984 г./, а также на геометрическом семинаре под руководством профессора В. Т. Базылева в Московском педагогическом институте им. В. И. Ленина /1981, 1983 гг./ и неоднократно на заседаниях геометрического семинара под руководством профессора М. А. Акивиса в Московском институте стали и сплавов.
Публикации. По результатам диссертации опубликовано шесть статей. Исследования, включенные в диссертацию, выполнены без соавторов.
Структура и объем работы, диссертационная работа выполнена на 115 страницах машинописного текста, состоит из введения, трёх глав и списка литературы, насчитывающего 62 наименования.
СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ
I. История развития теории распределений берет свое начало с конца прошлого века. В это время потребовалось изучить механические связи, описанные уравнением Пфаффа общего вида:
?iz + adf + R
В механике такие связи называются неголономными. Поэтому потребовалось развить теорию не вполне интегрируемых уравнений Щаффа, получившую название "неголономная геометрия".
А. Фосс [62] обратил внимание на то, что уравнение Щаффа каждой точке пространства ставит в соответствие плоскость, проходящую через эту точку, ввиду чего он назвал эту конструкцию точечно-плоскостной системой ( г ~t~ jllltoyri). Р. Инцингер [ 50J для обозначения множества всех интегральных кривых произвольной систегш уравнений Щаффа ввел теїмин "пфаффово многообразие". Но множество всех интегральных кривых системы уравнений Щаффа не образует дифференцируемого многообразия в смысле современной геометрической терлиноло-гии. Поэтому термин Р. Инцингера сейчас почти не используется. К. Шевалле (см. [46J ) для точечно-плоскостной системы, определяемой уравнением Щаффа или системой таких уравнений, ввел термин "распределение", который сейчас является общеупотребительным.
Большую серию работ посвятил теории распределений Д. М. Синцов. В этих работах в основном изучаются распределения, определяемые в трехмерном евклидовом пространстве уравнением Щаффа (зе), рассматриваются ассимптоткческие линии, линии кривизны и геодезические линии на распределении.. В них отмечается, что многие известные в теории поверхностей линии и сети линий в теории распределений ращепляются на два типа -линии первого и второго рода. В статье ( [43], с. 148-166) рассмотрено также гиперраспределение в многомерном ёвклйдо-
вом пространстве.
В работе [19] , удостоенной в 1937 г. премии им. Н. И. Лобачевского, В. В. Вагнер, продолжая исследования Я. А. Схо-утена и Е. Р. Ван-Кампена [55] , строит теорию кривизны двумерных распределений в трехмерном евклидовом пространстве.
С. С. Бкшгенс l8J при изучении векторных полей и связанных с ними двумерных распределений в трехмерном евклидовом пространстве применил метод подвижного репера и внешних форм Э. Картана. В этой работе теория распределений используется для выяснения геометрической структуры стационарных потоков жидкости.
Обзор работ по теории распределений, выполненых до 1946 года, приведен в статье П. К. Рашевского [41] . В 60х и 70х годах публикуют свои исследования по теории распределений Н. И. Кованцов, Р. Н. Щербаков, М. Р. Роговой и В. И. Елизникас.
В работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану при изучении теории распределений были применены инвариантные методы изучения дифференпиально-геометрических структур (см. [28] ). В статье [Зі] Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану, депонированной в 1971 году, строится последовательность фундаментальных объектов распределения р -мерных элементов в Пг -мерном проективном пространстве и ряд объектов, ими охваченных. Этим объектам дается геометрическое истолкование, в частности, в инвариантной форме трактуется неголономность распределения. В последующих работах [32] и [38] эти результаты обобщаются на распределения в пространствах проективной связности. В статье Г. Ф. Лаптева [30J в инвариантной аналитической форме изложены исходные понятия геометрии распределений на многообразиях, в которых действует некоторая группа Ли.
В докладе, прочитанном К. И. Гринцевичусом вместе с В. И. Близникасом на геометрической конференции в Паланге (см.
п] ), линейчатым неголономным многообразием было назва
но грассманово многообразие (у(Рр^) р -мерных плоскостей
уь -мерного проективного пространства Г , оснащен
ное дифференциально-геометрическим объектом первого порядка,
характеризующим строение первой дифференциальной окрестности
подмногообразия размерности W в и) . Основы
ваясь на этом определении было выполнено большое количество
работ по линейчатой неголономной геометрии К. И. Гринцевичу
сом, В. И. Близникасом, И. В. Бяизникене и С. И. Григелиони-
сом.
Другим способом неголономные линейчатые образы на шестой Всесоюзной геометрической конференции в Вильнюсе определил Ю. Г. Лумисте (см. [34] ). При таком подходе неголономные линейчатые образы трактуются как т -мерные распределения на грассмановом многообразии G-(f}^) , и исследования по неголономной линейчатой геоглетрии включаются в общую теорию распределений на однородных пространствах (см. обзор Ю. Г. Лумисте [35] работ по теории распределений на однородных пространствах). В статье В. В. Кайзера [Zl\ на основе этого определения изучается теория неголономных комплексов и конгруэнции прямых в трехмерном проективном пространстве.
Теория распределений тесно связана с теорией связностей, так как связность в главном расслоенном пространстве С ІП
можно определить с помощью горизонтального распределения, инвариантного относительно действия группы U на (см. [33] ). В работах В. Т. Базылева, А. В. Столярова, Ml К. Кузьмина и В. А. Тихонова [vj , [8] ,
[2б] , [27 J , [44] теория распределений применяется при изучении геометрии сетей.
Теория распределении также имеет важное значение в механике и теоретической физике, так как неголономные механические связи описываются с помощью распределений. Исторический обзор работ, связанных с приложениягли теории распределении к механике, теоретической физике и к вариационному исчислению дали Г. Георгиев и Р. Мирон на конференции по неголономным пространствам, проходившей в городе Яссы (см. [ 53~] с. 17-25). В статье Г. Георгиева и М. Игната'(см. [ 53 J с. T6I-I76), также опубликованной в трудах этой конференции, теория распределений применяется для изучения геометрических свойств линий тока и траекторий частиц при стационарных движениях сплошной среды. Ж. Д. Теодореску [бо] применяет теорию распределений при рассмотрении физического пространства-времени.
2. Дифференциальная геометрия трехмерного конформного пространства L начала развиваться в конце прошлого века внутри классической дифференциальной геометрии. Первые работы по конформной геометрии отражены в обзоре Бервальда [48] .
Г. Томпсен в статье [ 61] опубликованной в 1924 г. применяет пентасферические координаты и тензорное исчисление при изучении поверхностей конформного пространства.
Во всех этих работах изучение конфорлно-дифференциальной геометрии поверхностей только наїлечается. Более далеко удалось продвинуться, используя построенную А. П. Норденом теорию нормализованных WI -мерных поверхностей многомерных однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой группы проективных преобразований (см. [ 37] ). Но
-II -
так как в этом случав поверхность изучается вместе с ее нормализацией, то большинство результатов, полученных этим методом, связаны не только с самой поверхностью но и с ее нормализацией*
Р. М. Гейдельман, применяя метод Картана, изучает конгруэнции окружностей трехмерного и многомерного конформного пространства [" 20 J . Изучаются конгруэнции окружностей, у которых одно или несколько семейств круговых поверхностей являются каналовими поверхностями.
М. А. Акивис [і] , используя метод Г. Ф. Лаптева, строит основы инвариантной теории поверхностей многомерного конформного пространства. В его работах построено инвариантное оснащение р -мерной поверхности уь -мерного конформного пространства, то есть к каждой точке поверхности присоединена инвариантным образом Р -мерная касательная сфера j и нормальная ( УЬ - Р )-мерная сфера J . С помощью инвариантного оснащения на поверхности строится конформная связность и связность Вейля, внутренним образом присоединенные к этой поверхности, а также система конформно-инвариантных тензоров, определяющих поверхность конформного пространства с точностью до конформного преобразования. В работе [4] да-
, несущих сеть линий кривизны, и изучено их строение.
Подробный обзор работ по конформной геометрии выполне-ных до 1963 г. приведен в статье М. А. Акивиса [5]
В совместной работе Р. Зуланке и К. Шиманк [ 54J и в работах Р. Зуланке [ 57-59 ] строится теория кривых конформного пространства, изучаются поверхности в многомерных конформных пространствах и доказывается аналог теоремы 0. Бон-
не для гиперповерхности конформного пространства.
Конфоршая геометрия в последнее время находит применение в физике. Например, Ж. А. Лестер [оТ] , [52] использует конфоршую геометрию для изучения физического пространства-времени .
3. Обзор содержания диссертации
I. Диссертация состоит из введения и трех глав. Во введении обоснована актуальность постановки темы диссертации, дан краткий исторический обзор литературы по теме диссертации и смежным направлениям, кратко изложено ее содержание.
Первая глава диссертации посвящена изучению р -мерных распределений в И, -мерном конформном пространстве О ' . Первый параграф этой главы носит вводный характер. Далее даются определения Р -мерного элемента и р -мерного рас-пределения конформного пространства С- .С р -мерным распределением Д однозначно связывается вполне ортого-
п-р .К
распределениям А и Д присоединяется подвижной конформный репер {хд| С А = О, І,..., /І + 1 ), находятся дифференциальные уравнения определяющие распределения Д , Д и рассматриваются линии, принадлежащие этим распределениям.
После этого строится последовательность фундаментальных геометрических объектов, определяющих распределение Д в
И/ с точностью до конформного преобразования. Показано, что геометрические объекты первого порядка А об и At определяют касательную и нормальную сфе-
- ІЗ -
ры элемента распределения, инвариантные относительно стационарной подгруппы этого элемента. С помощью фундаментальных геометрических объектов построены основные тензоры распределения конформного пространства.
Затем в первой главе диссертации строится аффинная связ-
п п
в конформном пространстве С , определя
емая заданным распределением Д . Выясняется, что эта
аффинная связность является связностью Вейля, и распределения
Д и Д"1 переносятся в ней параллельно. Доказыва
ется, что связность j не имеет кручения тогда и
только тогда, когда распределения 1л и /\ одновре
менно голономны и их интегральными поверхностями являются
сферы соответствующих размерностей. Показано, что интеграль
ные поверхности голономного распределения несут сеть линий
кривизны тогда и только тогда, когда некоторый подтензор тен
зора кривизны связности Вейля I равен нулю. В пространст
ве С строится конформно-плоская связность Вейля Г и
с ее помощью определяются геодезические линии. Доказывается,
что необходимым и достаточным условием для того, чтоб любая
линия, геодезическая в связности I и проходящая в
направлении элемента распределения 1л , принадлежала
этому распределению, является кососимметричность тензора
dїї , определяемого окрестностью первого порядка распределения А
В заключение первой главы изучается случай, когда р -
мерное распределение А и вполне ортогональное ему
( W - f )-мерное распределение Д одновременно голо
номны. Оказывается, что в этом случае интегральные поверхности
V распределения 1л несут сеть линий кривизны
тогда и только тогда, когда сеть линий кривизны также несут
интегральные поверхности V распределения Д
Д , точно так же, как и в общем случае, связыва-
2. Во второй главе диссертации изучается геометрия распределений конформного пространства коразмерности один и два. Так как для гиперраспределения Д конформного пространства не нужно рассматривать нормальные и смешанные тензоры, то часть формул первой главы упрощается. С гиперраспределением
ется подвижной конформный репер и находятся дифференциальные уравнения, определяющие гиперраспределение Д конформ-
. После этого с помощью дифференциальных геометрических объектов первого порядка строится
л-1
состоящий из центральной гиперсферы Ctv , инвариантно
го пучка гиперсфер Сі * ортогональных центральной
гиперсфере, и из двух точек Со и Сп+1 пересе
чения этих гиперсфер.
Доказано, что гиперсферы Сі инвариантного пучка
пересекаются по окружности, имеющей касание второго порядка с
д (г- 4 линией нормальной конгруэнции гиперраспределения L\
Выяснено, что нормальная конгруэнция гиперраспределения
n- і является конгруэнцией окружностей тогда и только
тогда, когда относительный ковектор hі , связанный с
окрестностью второго порядка, равен нулю.
П. _
называется гиперраспределение l\ , для каждого гипер-
элемента которого центральная гиперсфера имеет касание второго порядка со всеми линиями, принадлежащими распределению и
проходящими через центр гиперэлемента. Показано, что косо
симметричность тензора (Ли необходима и достаточна для
того, чтоб данное гиперраспределение 1л являлось
неголономной гиперсферой.
Затем с помощью тензора (Llj, , определяемого окрест
ностью первого порядка гиперраспределения й , и мет
рического тензора ftij, определяются главные направле-
ния и линии кривизны гиперраспределения 1л . Доказа-
но, что равносильны следующие утверждения:
а) гиперраспределение 1л является неголономной
гиперсферой;
б) линии кривизны гиперраспределения А не опре
делены;
в) относительный инвариант J , связанный с ок
рестностью первого порядка, равен нулю.
Далее доказывается, что неголономные сферы трехмерного конформного пространства С существуют с произволом в две функции двух аргументов. Заметим, что в трехмерном евклидовом пространстве Е неголономные сферы изучались Сперанцей в 1961 году (см. [56] ). Им был подсчитан произвол существования неголономной сферы в Е3 . сов-
падающий с указанным выше.
л і-г Далее, во второй главе, изучается распределение /j
коразмерности два. Пока
зано, что для него ряд формул первой главы упрощается. Стро
ится неголономное гиперраспределение Д , присоединен-
ное к распределению 1\ коразмерности два. В четырех-
мерном конформном пространстве С к двумерному распре
делению й присоединяется пара неголономных трех-
мерных распределений.
3. В последней главе диссертационной работы изучается
гиперраспределение уь -мерного конформного пространст
ва С * » определяемое нуль-системой oi ( УЬ + 1 )-
мерного проективного пространства г . С помощью нуль-
системы oi строится гиперраспределение на квадрике 6L
, прообразом которого при отображении Дарбу является гиперраспределение конформного
. Доказано, что полученное в конформном пространстве гиперраспределение является неголономнои гиперсферой.
Затем строится инвариантный репер гиперраспределения конформного пространства, определяемого нуль-системой в
и-и . При отображении Дарбу этому реперу соответствует
, состоящий из точки Сс квадрики Gl , полюса Си, гиперплоскости об (Со) * соответствующей точке Со в нуль-системе
X , точек Сі лежащих в пересечении гиперплос-
кости U, (Со) с касательной гиперплоскостью
квадрики Qb и точки Cn,+ i , сопряженной точкам
Си, и Сі относительно квадрики Су После этого к элементу произвольного гиперраспределения
П/ присоединяется нуль-систе-
ма проективного пространства г . Доказано, что каж-
дая присоединенная нуль-система является соприкасающейся тогда и только тогда, когда данное гиперраспределение - неголо-номная гиперсфера. Найдены необходимые и достаточные условия
для того, чтоб данное гиперраспределение порождалось нуль-системой проективного пространства.
Далее изучается нормальная конгруэнция гиперраспределе
ния, определяемого нуль-системой. Найдены условия, каждое из
которых эквивалентно тому, что нормальная конгруэнция гипер
распределения является конгруэнцией окружностей. Показано
также, что если нормальная конгруэнция гиперраспределения
Д является конгруэнцией окружностей, то данное гипер-
не имеет особых точек, то есть точек
в которых гиперплоскости проективного
пространства г совпадают.
В заключение рассматривается распределение трехмерного конформного пространства, определяемое нуль-системой. Для него в окрестности первого порядка построены относительные инварианты J і , J ь , J з » и найден геометрический смысл этих инвариантов. Доказано, что на прямой (Сс Су) в общем случае существуют три фокуса, совпадение которых означает, что нормальная конгруэнция распределения будет конгруэнцией окружностей.
