Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Поля геометрических объектов на распределении картана 23
1. Распределение Картана СМ в проективном пространстве Р2т 23
1. Дифференциальные уравнения распределения Картана OW в проективном пространстве Р2/п 23
2. Инвариантные оснащения распределения Картана оМ" в Р2т в смысле А. П. Нордена и Э. Картана 29
2. Ассоциированное гиперполосное распределение Картана С&Є в проективном пространстве Р2/и 33
1. Дифференциальные уравнения ассоциированного гиперполосного распределения Картана с&6 в Р2ш; поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на распределении о^б. 33
2. Двойственный образ регулярного ассоциированного' гиперполосного распределения Картана С&6 в Р2/п 41
3. Инвариантные оснащения распределения Картана OW в Р2 с использованием ассоциированного гиперполосного распределения .. 44
1. Двойственная нормализация распределения Картана Of Г в P2w . 44
2. Оснащение в смысле Э. Картана распределения Картана O^TBP2W 48
3. Поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик 02т-\ на распределении Картана 50
ГЛАВА II. Линейные связности на распределении картана с*г в проективном пространстве Р2т 54
1. Двойственные аффинные связности на нормализованном распределении Картана ОМ в Р2/и 54
2. Первая проективная связность на оснащённом в смысле Э. Картана распределении Картана OW в Р2т 59
3. Двойственные проективные связности на оснащённом распределении Картана Q>W в Р2/„ 62
4. Нормальные связности первого рода, индуцируемые на оснащённом в смысле Нордена-Картана распределении Картана сЛС в Р2то 70
5. Поля плоскостей на распределении Картана, параллельные в нормальных связностях 77
6. Приложение двойственных аффинных связностей к изучению геометрии вполне сопряжённой ткани на распределении Картана ОМ" в P2w 80
1. Двойственные поля гармонических плоскостей вполне сопряжённой /га-ткани Е с oW 80
2. Чебышевские и геодезические /и-ткани первого и второго рода на распределении Картана 82
ГЛАВА III. Внутренняя геометрия поверхности картана v, в проективном пространстве 2т 93
1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на поверхности Картана 93
1. Дифференциальные уравнения поверхности Картана Vm в Р2от... 93
2. Ассоциированная с поверхностью Картана Vm гиперполоса Картана Нт в Р2/я 96
3. Двойственный образ регулярной гиперполосы Картана Нт в Р2/„ 101
2. Нормализация Нордена-Чакмазяна поверхности Картана Vm в Р2/и 105
3. Двойственные аффинные связности на поверхности Картана и их приложения 107
1. Двойственные аффинные связности на нормализованной
в смысле Нордена-Чакмазяна поверхности Картана Vm в 2т 107
2. О внутренней геометрии взаимной нормализаци поверхности Картана Vm в P2m 111
3. Двойственная геометрия сопряжённой сети на поверхности Картана 114
Литература 123
- Ассоциированное гиперполосное распределение Картана С&Є в проективном пространстве Р2/и
- Инвариантные оснащения распределения Картана OW в Р2 с использованием ассоциированного гиперполосного распределения
- Первая проективная связность на оснащённом в смысле Э. Картана распределении Картана OW в Р2т
- Нормализация Нордена-Чакмазяна поверхности Картана Vm в Р2/и
Введение к работе
Связность является одним из основных понятий дифференциальной геометрии присоединённых расслоенных многообразий. История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [93] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. Для построения единой теории поля в 1918 году Г. Вейль [99] ввёл понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 году Р. Кэниг [92], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.
Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [24] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году Ш А. Схоутен [95], [96] установил взаимосвязь между концепциями Кэнига и Картана.
В 1950 году начинается следующий этап в развитии теории связностей, когда В. В. Вагнер [17] и Ш. Эресман [91] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.
В 50-х годах XX века Г. Ф. Лаптевым [39] был развит новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью. С использованием этого метода задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов, подмногообразия. Г. Ф. Лаптев, следуя идеям Э. Картана, линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия, удовлетворяющие определённым условиям.
Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [44].
В 1926 г. Э: Картан [88] ввёл понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой G».
Некоторые задачи движения механических систем, подчинённых добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтег-рируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы приводят к понятию неголономного многообразия (см. работы В.В.Вагнера [14], А. В. Гохмана [22], П. К. Рашевского [57], С. А. Чаплыгина [79]).
Наряду с этим независимо от задач механики к понятию неголономного многообразия математики пришли путём обобщения основных положений геометрии подпространства на случай, когда поле /w-мерных пучков направлений не задаёт семейства m-мерных подпространств (см. работы В. В. Вагнера [13], [15], Д. М. Синцова [58], А. И. Схоутена [97], монографию Михэй-леску [94]).
В 70-х годах 20-го столетия теория распределений га-мерных касательных элементов в пространстве представления некоторой группы Ли, а также обобщённая теория распределений га-мерных линейных элементов в проективном пространстве Р„ и пространстве проективной связности получили дальнейшее развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [42], [43], [51], [52]).
В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью» без кручения эта теория нашла своё отражение в работах В. И. Близникаса [11], [12]. Ю. Г. Лумисте [45] изучает распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. Исследования Э. Д. Алшибая, [1] посвящены изучению распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. А. П. Норден [47], [48] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.
В 1950 году появилась монография А. П. Нордена [46, 2-е изд.], вкото-рой разработан метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Согласно работе А. П. Нордена [46], нормализация w-мерного проективного пространства Р„ состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия «точка А0 — гиперплоскость 0 », где AQ f0 • При этом, принимая гиперплоскость о за образующий элемент пространства, автор строит проективное пространство Ря, двойственное исходному пространству Р . Нормализации AQ- - Q отвечает внутренняя5 проективно-евклидова геометрия (первого рода). Применение принципа двойственности к нормализованному пространству Pw позволило принять гиперплоскость 0 за нормализуемый элемент проективного пространства Р„, а связку гиперплоскостей с центром в точке А0 — за нормализующее многообразие и связать с тем же двойственным соответствием внутреннюю аффинную связность второго рода (без кручения), также принадлежащую к классу проективно-евклидовых пространств. В силу двойственности пространств Р„ и Pw индуцируемые аффинные связности первого и второго родов А. ПІ Норденом также названы двойственными.
Используя двойственный характер геометрии проективного пространства Р„, А. И. Норден [46], В. В. Вагнер [16], А. И. Чахтаури [81], [82],
А. П. Широков [84], А. В. Чакмазян [76], Ю. И. Попов [54] - [56], М. А. Ва-силян [18] — [20] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению ч
некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности Vn_x с Рл, гиперполосы Нт а Р„, нормализованного пространства Pw, а также по изучению двойственной геометрии сетей 2 Рг и Е2 с: Г2 с: Р3. В указанных работах важное место занимают исследования по двойственным аффинным связностям.
В работе А. В. Столярова [73], используя данное им определение двойственных пространств с линейной связностью с точки зрения инволютивных преобразований форм их связностей, значительно расширена теория двойственных линейных связностей (аффинных, проективных, нормальных), индуцируемых при различных оснащениях (в смысле Э. Картана, А. П. Нордена, Э. Бортолотти) ряда многообразий пространства проективной связности р
В классической дифференциальной геометрии теория сетей занимает существенное место. В этом направлении по двумерным и трёхмерным сетям интересные результаты получили Годо (Godeaux L.), Швец (Svec А.), СуБу-цин (Su Buchin), Ефимов Н. В., Дубнов Я. С, Бланк Я. П., Гольд-берг В. В., Чахтаури А. И., Шуликовский В. И. и др.
В области дифференциальной геометрии многомерных сетей существенные результаты получили Чжень Шэн-шэнь [90], Смирнов Р. В. [59], Ба-зылев В. Т. [2] - [10] и др. Степанов С. Е. [60] - [62] в пространстве аффинной связности Ln (п 2) изучает геометрию оснащений поверхности (гиперповерхности), ассоциированных с чебышевской сетью.
Но следует заметить, что все эти исследования проведены без привлечения теории двойственности; исключения составляют работы А. И. Чахтаури по двумерным сетям и некоторые работы Столярова А. В. — по многомерным [63], [68], [71]. В начальной стадии находятся исследования двойственной геометрии аналогов сетей, а именно, тканей на неголономных подмногообразиях, погружённых в пространства проективной структуры.
Э. Картан [86], [87] при изучении семейства асимптотических форм многомерных поверхностей проективного пространства Р„ выделил класс таких поверхностей Vm (п 2т), для которых:
1) число линейно независимых квадратичных асимптотических форм фа = Aaik6) 10О) О (г, у, к = 1, т\ а = т +1,2т)на поверхности равно т;
2) поверхность Vm несёт сеть сопряжённых линий; следовательно, в репере, отнесённом к этой сети, направления касательных к её линиям попарно сопряжены относительно любого конуса направлений Фа - 0.
Сеть на поверхности Картана является голономной, то есть вдоль каждой линии сети поверхность Vm допускает расслоение на (т -1) -мерные подповерхности, несущие сети из линий остальных /72 — 1 семейств. Чжень Шэн-шэнь [90] показал, что для поверхности Картана Ут можно построить преобразования, которые конструктивно выполняются так же, как и преобразования Лапласа поверхности V2 в Р3, осуществляемые с помощью конгруэнции касательных к двум семействам линий сопряжённой сети на поверхности V2. Этому результату Чжень Шэн-шэня дал значительное обобщение Р. В. Смирнов [59], построив преобразования Лапласа для произвольных/ -сопряжённых систем. При этом р-сопряжёшая система определяется как такая -мерная поверхность Vp в Pw, на которой существует сеть Т,р, обладающая тем свойством, что касательные к линиям z-го семейства, взятые вдоль любой линии /-го семейства, образуют развёртывающуюся поверхность (i j). Если такую поверхность Vp отнести к
подвижному реперу, построенному на касательных к линиям сети, то Щі = 0, і Ф j и a,j = 0 (все индексы различны). Следовательно, эта сеть является, сопряжённой голономной сетью Точки F/ =-a{j AQ+At, ІФ j — фокусы касательной А0Аг к линии /-го семейства в точке А0 - описывают поверхности, для которых, а также и для исходной поверхности V , прямая A0Aj является общей касательной. Таким образом, в общем случае существует р{р-\) новых поверхностей \F{) — преобразований Лапласа исходной поверхности Vp. Эти поверхности \Ff) также являются р-сопряжёнными системами (если исключить случаи вырождения), к которым можно применить то же преобразование, и т.д.
Поверхность Картана есть частный случай/7-сопряжённой системы.
Изучением поверхности Картана Vm также занимались В. Т. Базылев [2], А. В. Столяров [66] и др.
Обобщая понятие поверхности Картана, нами вводится [25], [26] понятие «распределения Картана».
В проективном пространстве P2m, отнесённом к подвижному реперу R = {AJ}, рассмотрим распределение OW касательных элементов (А0,Пт) [43]. В репере нулевого порядка (вершины репера А0,А, расположены в соответствующей плоскости распределения, причём А0 совпадает с его центром) система дифференциальных уравнений распределения /и-мерных линейных элементов имеет вид Й 7 = Чь о [43].
Продолжая уравнения этой системы, получим, что совокупность функций (Л . есть тензор первого порядка, вообще говоря, не симметричный по индексам /, к, но им охватывается симметричный тензор a def 1 (Ка ,ка\ Допустим, что: 1) число линейно независимых квадратичных асимптотических форм Фа = a"ka)Qu)Q на распределении равно т; 2) распределение ОІҐ несёт /и-ткань сопряжённых линий, то есть направления касательных к линиям ткани Е с сМ" попарно сопряжены относительно любого конуса направлений Фа = 0.
Такое распределение, по аналогии с поверхностью Картана [86], [87], назовём распределением Картана QM.
Следует заметить, что двойственная теория ряда оснащённых подмногообразий (голономная и неголономная гиперполосы, голономная и неголо-номная гиперповерхности), вложенных в и-мерное пространство проективной связности Ynn (в проективное пространство Р,г) разработана достаточно полно (см., например, [73]). Но до настоящего времени вопросы, изучения двойственной геометрии поверхности и распределения Картана математиками не ставились и не рассматривались.
Ассоциированное гиперполосное распределение Картана С&Є в проективном пространстве Р2/и
Дифференциальные уравнения ассоциированного гиперполосного распределения Картана off? в Р2/и; поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на распределении off?. Определение [64]. Гиперполосным распределением т-мерных линейных элементов с б в проективном пространстве Р2т называется пара распределений первого рода, а именно, распределение га-мерных линейных элементов (A,TLm) и распределение гиперплоскостных элементов (А, П2т_і) с общим центром и отношением инцидентности: еПисП2Ы. Распределение ш-мерных линейных элементов (А, Пот) называется базисным, а распределение гиперплоскостных элементов (А, П2,„_і) — оснащающим. Рассмотрим распределение Картана Q W в Р2/п; инвариантная гиперплоскость П2/и_! в Р2/н, определяемая тензором Ъа (см. (1.59)) и имеющая уравнение Ъаха = 0, в каждом центре А0 содержит текущий элемент Ит(А0) распределения Картана. Следовательно, справедлива Теорема 1.8. Распределение Картана OW в V2m во второй дифференциальной окрестности порождает инвариантно присоединённое к нему гиперполосное распределение, для которого исходное распределение является базисным.
Такое гиперполосное распределение назовём гиперполосным распределением Картана с Є, ассоциированным с распределением сЛС Найдём дифференциальные уравнения гиперполосного распределения Картана с б и условие его регулярности. Согласно работам [16], [64] гиперполосное распределение называется регулярным, если в каждом его центре текущей элемент Ит(А0) базисного распределения и характеристика Iim_v{A0) текущего элемента И2т_х{Ао) оснащающего распределения имеют лишь одну общую точку - центр А0 распределения. Предположим, что А2т П2т_і; последнее равносильно соотноше нию Ъ2т Ф О. Очевидно, что точки Ви - Аи — А2т находятся в общем положении и лежат в гиперплоскости Т12т-\, то есть П2,„_1 = [AQAJBU]. Рассмотрим новый репер R = [Bjy} второго порядка, где В0 = А0, В І = Af, Ви = Аи —Атт, В7т = А0т. Инфинитезимальные перемещения репера R определяются уравнениями не должны выходить за пределы текущего элемента Пш распределения Картана СМ (то есть справедливо SB} єТІт(В0)); следовательно, QV = М к QQ, Q.jm = М QQ . Смещения SBV вершин Bv должны принадлежать гиперплоскости П27Я_і(і?о) так как 8BV =KvBo+KvBk+7r"Bu + +ЛуВ2т, то формы ;г " должны быть главными: Q = A jQ0 . Таким образом, относительно выбранного репера R уравнения ассоциированного гиперполосного-распределения Картана с&Є в, P2w запишутся в виде В силу уравнений (1.3), (1.63) и соотношений (1.62) имеем, в частности. Отметим, что функции М?/7 относятся ко второй, А2-" - к третьей дифференциальной окрестности элемента распределения Otf. Продолжая уравнения системы (I-.63), в частности, имеем Совокупность функций (М2/ ]- образует тензор второго порядка, в общем случае, не симметричный по индексам і, к. С учётом соотношений (1.64)хправедлива. Теорема 1.9. Ассоциированное гиперполосное распределение Картана 0&Є регулярно тогда и только .тогда, когда тензор второго порядка baAfk невырожден. Регулярное гиперполосное распределение Картана С&Є допускает следующую специализацию репера R= {В0,В{,Ви,В2т}: из дифференциальных уравнений (1.66), согласно лемме Н. М. Остиану [49], следует, что функции А2 можно привести к нулю, при этом формы. Q.lv становятся главными: Q v = N IQ . Здесь функции N являются компонентами геометрического объекта четвёртого порядка.
В выбранном репере третьего порядка дифференциальные уравнения регулярного гиперполосного распределения Картана Q&6 в Р2/и примут вид Найдём геометрическую характеристику построенного репера третьего порядка. Для этого, следуя работе [18], возьмём тангенциальный репер \%к , взаимный точечному \В- )\ причём гиперплоскость %2т совпадает с гиперплоскостью П2ш_і. Инфи-нитезимальные перемещения тангенциального репера с учётом (1.61) определяются уравнениями Пусть Ир — характеристика гиперплоскости П2от_і при смещениях центра В0 вдоль кривых /, принадлежащих распределению Картана оМ в P2w. Уравнения кривых / в учётом (1.22), (1.62) в репере R запишутся в виде: Направление [В0,р В{] в плоскости Um(BQ) распределения oU] одновременно принадлежащее характеристике Пр, определяется из условия В силу А г = 0 и (1.68), (1.69) имеем произвольности /.і получим равенства Мйот р = 0. Последняя система равенств доказывает справедливость следующего утверждения: В силу А2=0 имеем: \Bv,d 2mJ= 0(mod/). Значит, вершины Bv є П ,, следовательно, р-т — 1. Таким образом, частичная канонизация репера R = [Bj7} имеет следующую геометрическую характеристику: вершины,! выбираются таким образом, чтобы m-мерная плоскость [505а] пересекала гиперплоскость П2от_і по её характеристике Пиг_1 (В0), то есть ви є П/и-1 Продолжая уравнения системы (1.68), имеем (1.65) и
Инвариантные оснащения распределения Картана OW в Р2 с использованием ассоциированного гиперполосного распределения
Согласно работе [64] двойственной нормализацией [76] ассоциированного гиперполосного распределения Картана 0$Є назовём нормализацию его базисного распределения сМ в смысле А. П. Нордена [46], причём в каждом центре В0 нормаль, первого рода Nm содержит характеристику Пда-і -[ВоВц] текущего элемента оснащающего распределения гиперплоскостных элементов; при этом будем говорить, что исходное распределение Картана oW в Р2т нормализовано двойственным образом. Согласно работе [64], требование инвариантности поля нормалей первого рода Nm = [B0,BinN2m], где N2m = В2т + v2mB, +v2mBu, накладывает на функции v2m условия: на функции v2m это требование не накладывает никаких условий. Потребуем инвариантность прямой h = [B0N2m]; тогда функции v2m должны удовлетворять дифференциальным уравнениям Следовательно, в качестве функций v2m можно взять квазитензор второго порядка а2т (см. (1.94)). Тогда точка N2m имеет разложение Ниже под полем инвариантных нормалей первого рода Nm(v) регулярного гиперполосного распределения Картана Q&6 в Р2/„ будем понимать поле соответствующего квазитензора v 2m. Например, квазитензоры (- W2OT J и F27„ (см. (1.118)) четвёртого порядка, найденные в случае Rt = 0, в силу (1.119) удовлетворяют уравнениям (1.129); следовательно, на распределении Картана оМ в Р2/„ с полем симметричного тензора MJ поля этих квазитензоров определяют поля инвариантных нормалей первого рода соответственно Вильчинскогои Фубини [64]. Поле квазитензора в третьей дифференциальной окрестности определяет поле нормалей Ми-хэйлеску первого» рода на распределении Картана оМ в Р2,„, ибо в силу (1.65), (1.72), (1.73), (1.80), (1.87), (1.93), (1.94) удовлетворяет уравнениям (1.129). Заметим, что аналог поля нормали (1.131) из геометрических соображений построен Михэйлеску [94] на. распределении двумерных линейных элементов трёхмерного проективного пространства (то есть на неголоном-ной поверхности). В случае гиперполосного распределения Картана с&б с полем симметричного тензора М " поле нормалей Михэйлеску первого рода (11131) определяется полем квазитензора третьего порядка Требование инвариантности поля нормалей второго рода Nm_i =\_Bf +v;50] на ассоциированном гиперполосном распределении Картана Q&6 в Р2от, а, следовательно, на исходном распределении Картана СМ, равносильно тому, что функции vf подчинены следующим уравнениям Пусть ассоциированное распределение С&Є в Р2/и (следовательно, и исходное распределение Картана OU) нормализовано полями квазитензоров v2m, v? (см. (1.129), (1.133)). Функции в силу (1.65), (1.87), (1.120), (1.129), (ІсІЗЗ) удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям где, например, Из уравнений (1.129), (1.133), (1.135), (1.136) следует Теорема 1.11. Нормализация одного из регулярных распределений Картана С&Є в Y2m и С Є в Р2т равносильна нормализации другого; при этом компоненты полей оснащающих объектов \у 2т, v/ Щт і J связаны соотношениями (IA34).
Ниже, следуя работе А. В. Столярова [73], построим двойственные инвариантные нормализации распределения, Картана оА ( в Р2т с использованием двойственного образа регулярного гиперполосного распределения с б в P2w по следующей схеме: 1) зная закон охвата объекта нормали первого (второго) v 2m \yf) рода распределения Qf6 в Р2от, строим охват квазитензора, v2m (vfj двойственного образа С&6 в Р2т, аналогичный охвату v 2m (у?); 2) по закону (1.134) находим нормаль второго (первого) рода vf \y2mJ, которая называется двойственной исходной нормали v 2m (у? J. В силу соотношений (1.84), (1.94), (1.95), (1.124), (1.125) справедливо Доказана Теорема 1.12. Двойственные поля квазитензоров Ml2m,Mi (см. (1.131), (1.140)) в четвёртой дифференциальной окрестности определяют инвариантную нормализацию Михэйлеску распределения Картана QM в проективном пространстве Р2ш. В случае М =0 в силу (1.85), (1.96), (1.97), (1.99), (1.111), (1.116), (1.118), (1.120), (1.124)-(1.126), (1.138), (1.139) находим Теорема 1.12 . Поля квазитензоров М2т, Mi {см. (1.132), (1.142)) в четвёртой дифференциальной окрестности определяют внутреннюю инвариантную нормализацию Михэйлеску распределения Картана с№ с по лем симметричного тензора M.f. Так как, согласно (1.118), имеем то в силу (1.138), (1.141)-находим нормаль Вильчинского второго рода W;- , двойственную нормали первого рода (-W2w2): Доказаны Теорема 1.13. Поля квазитензоров (-W2w), W,- (см. (1.118), (1.143)) четвёртого порядка определяют внутреннюю инвариантную нормализацию Вилъчинского распределения Картана ОМ в Р2/и с полем симметричного тензора М;.. Теорема 1.14.
Поля квазитензоров F F, (см. (1.118), (1.144)) четвёртого порядка определяют внутреннюю инвариантную нормализацию Фубини распределения Картана оМ в Р2/я полем симметричного тензо ра М%т. 2. Оснащение в смысле Э. Картана распределения Картана QM в У2т Ассоциированное гиперполосное распределение с&Є в P2w называется оснащённым в смысле Э. Картана [89]; если каждому центру В0 поставлена в соответствие плоскость Nm_-l(BQ) размерности т — 1, не имеющая общих точек с текущим элементом Пт(В0) исходного распределения Картана оМ. Пусть на распределении Картана ОМ в Р2да задано поле инвариантных нормалей первого рода Nm (v), определяемое полем квазитензора v 2m (см. (1.129)). Продолжая уравнения (1.129), при фиксированных главных параметрах имеем В плоскости нормали первого рода Nm (v)" ищем инвариантную оснащающую плоскость Nm_i (v), натянутую на точки инвариантности плоскости Nm_l(v) (5M2m(y) = 6M2nl(v), SMu(v) = &„Mv(v)) равносильно уравнениям Таким образом, оснащение в смысле Э. Картана распределения оМ в Р2/и равносильно заданию на oW полей геометрических объектов \у 2т),
Первая проективная связность на оснащённом в смысле Э. Картана распределении Картана OW в Р2т
Пусть распределение Картана сМ в Р2от оснащено в смысле Э. Картана ПОЛЯМИ ГеОМетрИЧеСКИХ объеКТОВ v2wz), \гт а2тіу 2т\- \vu) (См- гл- L 3, п.2); следовательно, подмногообразие OW оснащено полем плоскости Картана Nm_l{B0) = [M2m,M i где точки М2т и Mv имеют строение (1.146). Тогда на распределении оМ индуцируется проективная связность, определяемая системой форм -Ш , Q \\ слоевые формы П- соответст i вующего пространства проективной связности Р2/я,/н имеют строение: В структурных уравнениях Картана—Лаптева [23], [39] Из последних соотношений следует, что если оснащающая плоскость Nm_x (v) распределения Картана оМ в 2т неподвижна, то тензор кривиз 1 Т і HbI-КруЧЄНИЯ Rjpn (П. 14) Обращается В НуЛЬ, ТО ЄСТЬ ПрОСТраНСТВО Р2/я,/и является плоским. Таким образом, справедлива Теорема II.3. На оснащённом в смысле Э. Картана распределении Картана о№ в P2w/ индуцируется первая проективная связность; слоевые формы Q.j соответствующего пространства проективной связности і _ 2т,т имеют строение (11.12). Если оснащающая плоскость Nm_\(y) не 1 подвижна, то пространство Р2т,т является плоским. На оснащённом распределении Картана /" в Р2т другая линейная связность проективного типа определяется системой форм JQ0, 0j \, в которой слоевые формы получаются преобразованием [41] Требование того, чтобы система форм ]QQ, QJ J удовлетворяла структурным уравнениям Картана-Лаптева накладывает следующие дифференциальные уравнения на функции TLjL : при этом совокупность функций (-211 1 есть тензор кривизны кручения соответствующего пространства проективной связности. Уравнения (П. 17) при П = Tl0L = 0 запишутся в виде:
Ниже в 3 будем рассматривать распределение Картана Q W с полем симметричного тензора М ш. Уравнениям (11.18) в силу (1.87), (1.94), (1.101), (1.105), (1.129) удовлетворяют следующие охваты: С учётом соотношений (11.29) - (II.31) формулы преобразований форм связности J2 и J3 (см. (11.24), (11.25)) можно записать в виде: 2 Ir J m + 2 Таким образом, доказана Теорема II.4. При оснащении в смысле Э. Картана распределения Картана ОМ с полем симметричного тензора М/ кроме первой проективной связности с формами связности \ Q0 , Q j индуцируются ещё две линейные связности проективного типа, определяемые системами форм (11.24) и (11.25) соответственно, причём: і 1) соответствующие пространства проективной связности 1?2т,ш и ?2т,т двойственны (в смысле [73]) тогда и только тогда, когда тензор Div (v) (см. (11.22)) обращается в нуль; і з 2) пространства 2т,т и P2m,w являются двойственными. 1 2 Замечание 1. Если пространства P2w,w И г2т,т ЯВЛЯЮТСЯ ДВОИСТ I 2 ВеННЫМИ, ТО ВСЄ Три Пространства ПроекТИВНОЙ СВЯЗНОСТИ 2т,т, P2w,w, 2т,т ПОПарНО ДВОЙСТВеННЫ МЄЖДУ Собой. q к Замечание 2. Компоненты тензора кручения RQPQ пространства ч ?2т,т (q - 2,3) имеют следующее строение: Отметим, что в выражениях (11.34) в качестве функций П/Х берутся: при q = 2 - функции (11.19), (11.20); при q = 3- функции (11.19), (11.21). Найдём геометрическую характеристику аналитического условия 1 2 ДВОЙСТВеННОСТИ ПрОСТраНСТВ Р2/и ,/и и V2m,m Обращение в нуль тензора Div (v) (см. (11.22)), в силу M/yfcw 0 равносильно обращению в нуль тензо (V) = 0 N;/+ VV=0. При смещениях центра В0 распределения Картана оМ в Р2т вДль любой кривой / (см. (1.70)), принадлежащей oW, согласно соотношениям (1.1502), с использованием дифференциальных уравнений (1.68) ассоциированного распределения сУс? в Р2ш находим дифференциалы точек Ми : dMu =vliMi0Bo+ kui+Slkvou)Ml0Bk+nlMv(modl). В силу последних соотношений с учётом (1.95), (1.1490 справедлива і 2 Теорема II.5.
Связности пространств Т 2т,т и 2т,т двойственны тогда и только тогда, когда при смещениях центра В0 распределения Картана оМ в V2m вдоль любой кривой I, принадлежащей распределению сМ, смещение оси Nm_2(B0) = [Ми\ оснащающей плоскости Картана Nm_l(B0) = [M2m,Mu] принадлежит характеристике nw_j оснащающего распределения гиперплоскостных элементов , при этом ось [Ми] совпадает с осью Кёнигса \KV ]. Из соотношений (11.24) непосредственно следует инвариантное анали 1 2 ТИЧеСКОе уСЛОВИе СОВПадеНИЯ СВЯЗНОСТеЙ ПрОСТраНСТВ 2т,т И 2т,т Таким образом, с учётом теоремы П.4 справедлива 1 2 Теорема II.6. Связности пространств 1?2т,т и Р2т,т, индуцируемых при оснащении распределения Картана &W в P2w с полем симмет ричного тензора M w, совпадают тогда и только тогда, когда эти пространства двойственны и тензор Ь " обращается в нуль. Аналогично, из соотношений (11.25) непосредственно следует і Теорема II.7. Условием совпадения связностей пространств Р2т,т з , 0 и Р2т,т является одновременное обращение в нуль тензоров blv(v) и Ь}г. \
Нормализация Нордена-Чакмазяна поверхности Картана Vm в Р2/и
Будем говорить, что ассоциированная гиперполоса Картана Нт в P2w оснащена в смысле А. П. Нордена [46], если на поверхности Картана Vm заданы два поля, соответственно, т -мерных и (т — 1) -мерных плоскостей Nm(B0), Nm_i(B0), причём в каждой точке В0 є Vm имеет место: Nm(B0)nTm(B0) = B0, #«-і ( о ) с Тт (В0), В0 Nm_x (В0 ). Плоскости Nm(B0) и Nm_l(B0) называются, соответственно, нормалями первого и второго родов. Нормализованную в смысле А. П. Нордена гиперполосу Картана Нт в V2m, для которой в каждой точке В0 є Vm нормаль первого рода Nm(BQ) содержит характеристику Пш_, главной касательной гиперплоскости П2от_і(50), назовём нормализованной в смысле Нордена—Чакмазяна [76]. Поля нормалей первого Nm(B0) и второго Nm_l(B0) родов определяются полями квазитензоров v2m, vf (см. гл. I, 3, п.1), дифференциальные уравнения которых в силу (III. 191) запишутся в виде: Справедлива Теорема III.4. Нормализация одной из регулярных гиперполос Картана Нт в 1т и Нт в Р2/и равносильна нормализации другой; при этом компоненты полей оснащающих объектов \yl2m, vt , \v2m, vt связаны соотношениями (1.134). Замечание. С использованием теории двойственности можно сказать, что поле нормалей второго рода Nm_x{v), согласно (1.130), есть поле пересечений т +1 полей гиперплоскостей и Vim = /// + 2пЛі + a2m%v где в силу соотношений (1.134), (111.61) имеем Поля квазитензоров пятого порядка (-W2/;;) и 2т, согласно (111.45), (111.46), (III.70), на поверхности Картана Vm в 2т определяют поля нормалей первого рода соответственно Вильчинского и Фубини. о Для поверхности Картана Vm в Р2т, аналогично распределению Картана оМ в Р2/и, можно построить поля двойственных нормалей Фубини F/ и Вильчинского W,- . Согласно (111.44), имеем с использованием (III.61), (111.63), (111.68) построим нормаль Фубини вто Определение. Гиперквадрика Q2m-i, касающаяся главной касательной гиперплоскости Н2т-\ поверхности Картана Vm в точке В0, называется соприкасающейся, если с любой кривой /, принадлежащей поверхности Vm, она имеет касание второго порядка, то есть В0,В0 + dB0, о +dBQ+ d2B0 є Q\m_x (mod /). Кривая, принадлежащая поверхности Картана Vm в Р2от, задаётся дифференциальными уравнениями Уравнения соприкасающихся гиперквадрик Q2m \ в репере четвёртого порядка R = [Bj;} записываются в виде Справедлива
Теорема III.5. Поверхность Картана Vm в Р2т 6 пятой дифференциальной окрестности внутренним образом порождает поле инвариант-ных соприкасающихся гиперквадрик Q2m_l, уравнения которых записываются в виде (111.75), причём в каждой точке В0 є Vm касательная плоскость Тт(В0) и характеристика П7;;_(0) полярно сопряжены относительно соответствующей локальной гиперквадрики (III.75). Условием соприкосновения третьего порядка гиперквадрик поля (111.75) с поверхностью Vm является обрагцение в нуль тензора Дарбу D (Ш.35). Поле геометрического объекта JM M j (см. (111.29)) на поверхности Картана Vm в Р2/и устанавливает полярное соответствие (взаимность) между полями нормалей v2m, vz- первого и второго родов относительно поля соприкасающихся гиперквадрик (111.75) тогда и только тогда, когда С учётом соотношений (111.76) доказаны следующие предложения: Теорема III.6. Поля квазитензоров 2т, Fz- {см. (111.44), (111.72)) пятого порядка определяют взаимную внутреннюю нормализацию Фубини поверхности Картана Vm в Р2т Теорема III.7. Поля квазитензоров (-W jwf (см. (111.44), (III.73)) пятого порядка определяют взаимную внутреннюю нормализацию Вильчинского поверхности Картана Vm в V2m. 1. Двойственные аффинные связности на нормализованной в смысле Нордена - Чакмазяна поверхности Картана Vm в_ 2т Пусть поверхность Картана Vm в P2w нормализована полями квазитензоров v2m, v? (см. (111.70), (111.71)). fi . i.l Возьмём систему форм Пфаффа 0 Q, 0 \ , где Из соотношений (111.78) следует, что система форм (III.77) определяет аффинную связность V без кручения і странство аффинной связности обозначим через Ат,т. В структурных і . уравнениях (111.78) система функций r\st образует тензор кривизны про 1 странства Ат,т. іензор г i = г fci называется тензором Риччи пространства аффинной і связности Ат,т без кручения, в силу (1.95), (111.79) он имеет следующее строение: Замыкая уравнения DQ.!0 =Q.0 л 0 \ (см. (111.78)), получим r \to) 0, то есть, справедливы тождества Риччи. Свёртывая последние тождества по индексам / и t, имеем і
Обращение в нуль альтернированного тензора Риччи г (- , есть усло 1 вие эквиаффинности [46] пространства аффинной связности Ат,т В силу двойственности нормализованной ассоциированной регуляр 2/ 2/ ной гиперполосы Картана Нт система форм 0о,0 строения (Ш.77), где входящие в них формы Q и функции пишутся с чёрточкой сверху, оп 2 (2- } ределяет вторую аффинную связность V без кручения г st= О ; соответст V J вующее пространство аффинной связности обозначим Через А/и,т В силу соотношений (III.58), (111.60), (1.134) находим строения слое 2/2/ 2 2 вых форм 0о, 0 связности и тензора кривизны г fa пространства Ат,т
