Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математика и формирование личности современного молодого человека 16
1.1. Философский анализ взаимовлияния математического довузовского образования и социокультурных факторов (на опыте отечественной школы XX века) 16
1.2. Роль математики в становлении сознания современного молодого человека 32
1.3. Особенности формирования математического стиля мышления в современной довузовской подготовке 51
ГЛАВА 2. Роль математики как предмета довузовской подготовки в формировании современной научной парадигмы мышления 68
2.1. Линейная алгебра как одна из основ формирования математической культуры 68
2.2. Парадигма нелинейности в формировании мышления у школьников эпохи информатизации 82
2.3. Математическая интуиция как элемент творческого мышления ..110
Заключение 117
Список литературы 121
- Роль математики в становлении сознания современного молодого человека
- Особенности формирования математического стиля мышления в современной довузовской подготовке
- Парадигма нелинейности в формировании мышления у школьников эпохи информатизации
- Математическая интуиция как элемент творческого мышления
Введение к работе
В современной науке под образованием обычно понимают систему знаний, навыков, овладение которыми обеспечивает развитие интеллектуальных и духовных способностей личности, формирование основ её мировоззрения и морали, подготовку молодого человека к жизни и труду.
На рубеже XX и XXI в.в. оно стало наиболее важной фундаментальной проблемой, ибо по утверждению немецкого философа М. Шелера, "Когда в трудной борьбе за новый мир новый человек дерзает создавать новые формы, центральной становится проблема образования человека"1 . Образование - проективный процесс, всей своей сущностью оно устремлено в будущее. Образование - это важнейший механизм развития не только индивида, но и общества в целом, механизм, направленный на формирование и развертывание физического, интеллектуального и духовного потенциалов общества в их различных видах и формах.
Отсюда такой интерес, особенно в последнее время, к исследованию образования со стороны философии, в том числе философии науки, в частности философии математики.
Философское осмысление образования предлагает ответ на вопрос, что из себя представляет образование как таковое, как реально существующий процесс, и образование по своему смыслу, как нечто должное, причем главным звеном в образовательном процессе с точки зрения философии является человек, его место в мире.
Образование - это очень сложный процесс "погружения" формирующегося человека в мир культуры, созданный до него человечеством. Вместе с тем, образование есть постижение человеком
смысла бытия, прежде всего высших смыслов бытия, поиск и соотношение с ними смысла собственного бытия. А это предполагает ответ на вопрос, чему учить и как учить молодого человека, на основе каких технологий, как добиться гармонии между естественнонаучным и гуманитарным образованием, что определяет его мировоззрение.
"Философ, анализируя образование как форму бытия современной культуры, имеет дело не только с его технологической стороной при всей ее важности, а с тем, что происходит с человеком в результате образования, что ожидают, во-первых, общество и государство от своей образовательной системы, и, во-вторых, что ожидает сам индивид, получающий образование от этого процесса, на которое он тратит столько времени и усилий", -справедливо пишут Н.П. Ващекин, К. X. Делокаров, А.Д. Урсул.
Обретение человеком собственного образа посредством образования реализуется путем ориентации его на определенный идеал - основу духовности, признанный в обществе или господствующий в нем. Общественные идеалы же изменчивы и историчны. Это ярко проявилось в современную эпоху.
Философия образования учитывает также смену стилей мышления, анализируя этот вопрос вместе с философией науки, что сказывается на стратегии образования.
Так Э_ Морен, изложивший в документе ЮНЕСКО свою программу реформирования системы образования, отмечает, что одна из семи задач, которые необходимо решить в современную эпоху, - это задача формирования холистического (целостного) мышления \
Само собой разумеется, что холистическое, т.е. по существу нелинейное, мышление возможно лишь при условии воспитания целостного человека. А это имеет прямое отношение к трактовке образования как
пробуждение и становления духовности. Высшее назначение образования -делать человека существом духовным. Без духовной составляющей образование не может быть полноценным процессом формирования молодого человека. X. — Г. Гадамер в этой связи подчеркивает: "Общая сущность человеческого образования состоит в том, что человек делает себя во всех отношениях духовным существом. Тот, кто предается частностям, необразован"3 .
Философия математики является исследовательской областью философии, направленной на установление оснований математического знания, места математики в системе знания, методов математики. Поэтому она связана практически со всеми философскими учениями. Для обоснования исходных положений математики нередко обращались к философии, в свою очередь философы широко использовали математические знания, чтобы подтвердить достоверность своих взглядов.
Как известно, значимость математики для философии обосновал уже Платон, который рассматривал числа и геометрические фигуры как эйдосы, т.е. как принципы и начала вещей. Изучая эйдосы, математика ориентировала ум на рассмотрение подлинно сущего, устойчивого. Тем самым она выступала как подготовительная ступень диалектики, диалектического понимания бытия.
Таким образом, математика влияет на формирование мировоззрения, духовности и стиля мышления молодого человека непосредственно через математическое довузовское образование и опосредованно через философию, конкретно через определенное мировоззрение, с которым она тесно связана и актуально и исторически.
Среди наиболее обсуждаемых проблем в философии образования, имеющих прямое отношение к математике и ее влияния на становление
личности молодых людей, являются, прежде всего, три концепции:
1. Концепция "опережающего образования";
2. Концепция глобального образования;
3. Концепция открытого образования.
Первые две обстоятельно изложены в упомянутой выше монографии трех авторов «Образование и устойчивое развитие». По их мнению, в образовании следует учитывать фактор будущего. "Образование как процесс, совершающийся в настоящем, оказывается тем самым на "перекрестке" прошлого и будущего, "склоняясь" все больше в пользу последнего". А это требует " дальнейшего развития философских проблем науки и техники, философии образования, методологии и технологии современного обучения .
При этом авторы подчеркивают, что концепция "опережающего образования" предполагает два аспекта: 1) "опережающее" развитие образования по сравнению с другими сферами человеческой деятельности, 2) "опережающий механизм в самом образовательном процессе, его ориентацию на будущее и формирование его желаемой модели"5 Характеризуя вторую концепцию, они отдают предпочтение планетарному разуму. По сути дела основная цель информатизации общества сводится к созданию "гибридного интегрального интеллекта всей цивилизации, способного предвидеть и управлять совокупной деятельностью человечества... когда единый коллективный интеллект цивилизации сможет направлять ее развитие и обеспечит приоритет разума, духовно-интеллектуальных ценностей над вещественно-энергетическими, материальными" \
Чтобы реализовать это, необходимо будет выработать парадигму всемирного образования, которая не должна быть единой для всех стран. Напротив, информационное общество предполагает многовариантность в развитии региональных обществ, в том числе их образовательных систем с сохранением всего положительного в этих системах.
Сущность третьей концепции раскрывается, в частности, в книге "Российский портал открытого образования. Обучение, опыт, организация". Авторы утверждают: "Мировые тенденции все ярче показывают, что будущее за гибкими, электронными моделями образовательного процесса, в котором активно используются различные средства, методы и технологии, в том числе и дистанционные"7 . И делают очень важный вывод на основании анализа образовательного процесса: "Новым принципом образования становится управление знаниями, а новыми технологиями - формализация создания знаний, передачи (распространения) знаний (доступа к знаниям) и контроля знаний"85.
Информационное общество возникло на основе культуры всего общества, прежде всего научного знания, отсюда такой интерес к нему в глобальном обществе, к процессу передачи коллективного знания от поколения к поколению.
Степень разработанности проблемы.
Исследование философских аспектов математики, выявление и анализ философских проблем, имманентно присущих математическому знанию, имеет солидную традицию. Она представлена трудами многих виднейших западноевропейских и отечественных философов (Р.Декарта, Б.Спинозы, И.Канта, ЭТуссерля, Г.Башляра, ЛВитгенштейна, А.Айера, ИЛакатоса, Б.Рассела, У.Куайна, К.Поппера, П.Флоренского, В.И.Вернадского и др.), а также работами математиков, обращающихся к гносеологическим и онтологическим вопросам (Л.Брауэр, Б.Больцано, Н.Винер, Г.Вейль
К.Гедель, С.Клини, Н.И. Лобачевский, П. Лоренцен, Г.Фреге, А.Пуанкаре и др.). Представители отечественной философии науки XIX в., обращалась, кроме того, к таким проблемам как взаимосвязь математического мышления и эстетического миросозерцания (Н.В. Бугаев), единство познавательного и этического способов освоения мира (Д.И. Менделеев).
В отечественной философии XX века методологические особенности математики являлись предметом анализа в контексте проблем развития логики и методов научного познания, содержания и структуры научного знания, роли науки в формировании картины мира и в смене мировоззренческих парадигм. Это работы И.С.Алексеева, А.С.Кармина, П.П.Гайденко, В. Н. Садовского, В-А.Лекторского, С.А. Яновской,
В.С.Степина, В.С.Швырева, Б,М.Кедрова, Г.И.Рузавина, Э.Г. Юдина и Б.Г.Юдина, П.В.Копнина, Смирнов В.А., ДЛГорского, А.Д.Урсула, В.С.Готта, Б.С.Грязнова, Ю.А.Петрова, Л.А.Микешиной. Другой ракурс философского дискурса математического знания связан с разработкой проблем сознания и представлен в работах Ю.М.Бородая, А.С.Богомолова Н.В.Мотрошиловой, В .А. Лекторского и др.
Однако в философии, как правило, не рассматривались методологические и другие философские проблемы математики как предмета довузовского образования. Именно в этом аспекте математика является преимущественно предметом анализа педагогики, точнее, ее конкретной области - методики преподавания - что сообщает методологическим проблемам более узкий и частный характер. Это обусловлено, прежде всего, тем, что методика преподавания разрабатывается в основном специалистами в области конкретных наук (разумеется, с учетом данных психологии и общей теории педагогики). Например, исследование такой актуальной философской проблемы как взаимовлияние особенностей математического знания и развития мышления в онтогенезе представлено в основном работами специалистов по методике преподавания математики
(Глейзер Г.Д., Никольский СМ., Кудрявцев Л.Д., Луканкин Г.Л., Шабунин М.И., Ваганян В.О., Волович М.Б., Виленкин Н.Я., Репьев В.В., Метельский Н.В., Черкасов Р.С., Столяр А.А. и др.). При этом внимание преимущественно уделяется разработке методических аспектов математического образования, основанной на данных психологических исследований. Но, на наш взгляд, важно также изучение тех интеллектуальных умений, которые формируются под воздействием математического образования и входят в состав процесса мышления.
С другой стороны, к анализу математических понятий обращались психологи, изучающие общие закономерности формирования научных понятий, - А.А.Смирнов, Н.А.Менчинская, А.Н.Богоявленский, Е.Н.Кабанова-Меллер, Ю.А.Самарин, М.Н.Шардаков, а также отечественные методисты - М.Н.Верзилин, М.Н.Скаткин, С.ГШаповаленко, И.В.Гиттис, С.И.Иванов. Одними из последних фундаментальных работ, посвященных формированию понятий в процессе обучения, стали исследования Н.Е.Кузнецовой и АЛЗ .Усовой. В результате были установлены общие моменты и существенные различия процессов образования понятий в науке и в процессе обучения.
Сегодня можно назвать ряд содержательных исследований научного стиля мышления в целом и математического стиля мышления в частности. Это работы АА.Ивина, А.Г.Барабашева, М.А.Розова, А.В.Родина, В.Я.Перминова, С.С.Демидова и др. Значителен вклад в разработку данной проблемы и известных математиков Н.И.Лобачевского, Д.Пойа, А.Пуанкаре, Н.Винера. В контексте проблемы стиля математического мышления рассматривается вопрос о роли интуиции в математике. В целом, изучению роли интуиции в научном познании и творчестве посвящено большое число фундаментальных психологических исследований (Л.С.Выготского, С.Л..Рубинштейна, В.В.Давыдова, М.ГЛрошевского, О.К.Тихомирова, А.В.Брушлинского, В.Н.Пушкина, К.А.Абульхановой-Славской,
І
В.ПЗинченко и многих других). Ряд известных отечественных философов, например, П.В.Копнин и Б.С.Кедров, также обосновывали важность интуиции в научном познании. В 1970 г. была переведена книга Ж.Адамара «Исследование психологии изобретения в области математики». Среди работ, посвященных исследованию интуиции именно в освоении математических знаний, следует выделить работы А.А.Лобузова, Л.Б.Султановой.
Для осмысления проблемы формирования стиля мышления в условиях определенной системы образования представляет также интерес позиция известного представителя постмодернизма П.Бурдье, изложенная в статье «Система образования и система мышления».
Публикации работ И.Пригожина, Г.Хакена, в которых были сформулированы основы новой парадигмы научного познания, вызвал широкий резонанс в среде отечественных и зарубежных специалистов в области методологии научного познания. В отечественной философии и науке анализу синергетики и разработке нелинейной логики, методов изучения, математического описания и моделирования динамических процессов в открытых системах посвящены исследования В.С.Степина, К.К.Колина, Г.И.Рузавина, Ю.ПСачкова, ГХ.Малинецкого, Д.С.Чернавского, Т.Я.Дубнищевой, Т.О.Бажутиной, А.И.Уварова, Г.А.Ключарева, В.И.Аршинова и др. Но на сегодняшний день практически отсутствуют работы по изучению тех мировоззренческих и стилевых особенностей мышления, которые формируются в результате ознакомления с методами решения нелинейных уравнений в курсе математического довузовского образования. Этот пробел в какой-то мере стремился восполнить автор предлагаемого диссертационного исследования.
В последнее десятилетие интенсивно обсуждаются философские проблемы образования. Здесь необходимо выделить обсуждение данных проблем на «круглом столе» в журналах «Педагогика» (6/95)и «Вопросы
философии» (11\95), сборники статей «Философия образования для XXI века» (1992), а также вышедшие уже в новом столетии фундаментальные монографии: Б.С.Гершунский «Философия образования для XXI века», В.ПВащекин, К.Х.Делокаров, А.Д.Урсул «Образование и устойчивое развитие. Концептуальные проблемы». Среди публикаций, посвященных вопросам математического довузовского образования, в которых формулируются его цели и задачи, следует назвать статьи ИА.Шарыгина, МА-Цфасмана, К.Н.Лунгу и др. Основное внимание авторы уделяют роли математического знания в подготовке молодого человека к будущей профессиональной деятельности в условиях становящегося информационного общества. К специфике математического знания в аспекте его воспитательной функции, к возможностям математики в развитии общей культуры личности и ее духовных способностей сегодня обращаются значительно реже. Но, отметим, что уже Платон, а в философии ХУ11 в. Декарт, Лейбниц, Спиноза рассматривали вопрос о роли и значении математики в формировании ценностных ориентиров личности.
Объектом диссертационного исследования является современное довузовское математическое образование.
Предметом исследования является структура и функции математики как предмета современного довузовского образования.
Цель исследования - раскрыть значение довузовского математического образования для формирования научного мировоззрения и современного стиля мышления молодого человека в условиях информационного общества, указать пути этого воздействия на его духовный облик в целом.
В соответствии с целью диссертации определены следующие задачи: • проанализировать взаимное влияние математического образования и
социальных и культурных факторов;
• раскрыть роль современного математического знания в становлении культуры мышления молодого человека;
• охарактеризовать воздействие новой естественнонаучной парадигмы на мировоззрение молодого человека;
• рассмотреть особенности математического стиля мышления и его формирования в системе довузовского образования;
• выявить значение современного математического знания для развития творческих способностей молодого человека;
• показать важность и перспективность факультативных курсов по математике в формировании научного мировоззрения и современного мышления у школьников;
исследовать роль математики как предмета довузовского образования в формировании личности молодого человека.
Теоретико-методологические основы исследования
Методологической основой при написании диссертации послужили, прежде всего, основные положения диалектики, системный и синергетический подходы. Автор опирался на философскую традицию анализа научного знания (работы И.Канта, Л.Витгенштейна, И.Лакатоса, К.Поппера и др.), на результаты отечественных исследований в области философии математики (работы И.С.Алексеева, Б.С.Грязнова, Б.М.Кедрова, Г-И.Рузавина, В.А.Смирнова, С.С. Шевелевой, С.А.Яновской).
Теоретическую основу диссертации составляют фундаментальные работы по философии образования Б.СГершунского, Л.П.Буевой, В.ПВащекина, К.Х.Делокарова, Т.Ф.Кузнецовой, В.Н.Сагатовского, а также концептуальные выводы специалистов в области довузовского математического образования (С.М.Никольского, Г.Л.Луканкина, М.И.Шабунина, Ю.М. Колягина, А.Г.Кисунько и др.). Важное значение для определения теоретико-методологической позиции автора диссертации
имели труды по исследованию нелинейности И.Пригожина, В.С.Степина, Д.С.Чернавского, С.П.Курдюмова, А.И.Уварова.
Основные результаты диссертационного исследования и их научная новизна
1. Сформулирована одна из основных задач довузовской системы образования, состоящая в формировании антропологической альтернативы той личности, которая развивается под влиянием современных негативных социокультурных факторов (экспансия рыночных отношений во все области человеческого бытия, технологизация всех сфер человеческой деятельности и коммуникаций и др.). Раскрывается роль математики в решении этой задачи.
2. Выявлено влияние социокультурных факторов на структуру математического знания как предмета довузовского образования (на опыте отечественной школы XX века).
3. Показано, как математика влияет на процесс формирования современной личности молодого человека:
• развивается интеллектуальная привычка к обобщению получаемых результатов в любой сфере деятельности;
• на основе решения нелинейных систем уравнений и задач с параметрами формируется представление о принципиальном разнообразии фрагментов реальности;
• развивается плюрализм мышления;
• формируется элемент новой интеллектуальной культуры, состоящий в умении видеть существенное значение малых и на первый взгляд несущественных явлений, учитывать их в принятии решений;
• происходит становление интеллектуальной толерантности, суть которой в признании правомочности разных решений.
4. Показана роль математики в формировании мышления и творческих способностей молодого человека:
• выявлена роль визуализации при решении геометрических задач векторной алгебры в развитии образного мышления;
• раскрыта роль линейной алгебры в развитии строгости, аргументированности мышления;
• показана роль линейной алгебры в развитии представлений об однородности пространства и универсальности действия законов природы;
• выявлено формирование принципа естественно-научного и технического мышления, состоящего в доказательстве для множества на основе доказательства для его любого элемента;
• показано, что при решении нелинейных уравнений с использованием аппарата комплексных чисел развивается установка на кооперацию в любой сфере деятельности;
• показано, что при решении систем нелинейных уравнений развивается представление о возможности различных типов логик;
• установлено, что при создании идеальных моделей с использованием современной вычислительной техники развивается вариативность мышления.
5. Исследованы процессы развития и изменения различных предметных стилей мышления в их взаимосвязи с исторической эпохой.
6. Установлено, что обучение решению нелинейных уравнений и систем изменяет мировоззрение, из которого элиминируется антропоцентризм как мировоззренческий принцип, сложившийся под влиянием классической научной парадигмы и послуживший косвенной причиной экологического кризиса.
Научно-практическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты диссертационного исследования можно использовать в преподавании таких наук, как философия и культурология, особенно в технических вузах, но также в математических курсах средней школы, колледжах и вузах. Полученные результаты могут быть использованы в разработке методики преподавания математики и факультативных курсов по математике для довузовского образования, а также способствовать реализации в условиях информационного общества Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования, утвержденной Министром образования РФ приказом от 18.07.2002 № 2783.
Апробация работы
Диссертация обсуждена и рекомендована к защите на совместном заседании кафедры философии Московского Государственного Технологического Университета «СТАНКИН» и Межвузовского центра по философскому образованию РФ. Основные положения диссертации автором изложены в выступлениях на:
- Ш Международная научная конференция по математическому моделированию, Тверь, 1998 г.,
- V Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», Дубна, 1998 г.
- 1У Международная конференция «Нелинейный мир. Языки науки- Языки искусства», Суздаль, 1999 г.
П и 1У Региональные научно-практические конференции «Профессиональная ориентация и методика преподавания в системе школа-вуз»,Москва, 2001 и 2003 гг.
- V Международный конгресс по математическому моделированию, Дубна,
2002г.,
— XXIX Всероссийская научная конференция «Проблемы естественных наук и вопросы педагогики», Москва, 2003г.
Структура диссертации
Роль математики в становлении сознания современного молодого человека
Философская мысль с момента ее оформления в эпоху античности всегда обращалась к анализу проблемы образования, воспитания в контексте задач, стоящих перед обществом. Особенно интенсивным философский дискурс становился в условиях социального и культурного кризиса. Так, например, было во времена кризиса греческого полиса и эллинской культуры, побудившего Сократа, Платона, Аристотеля уделить особое внимание пайдейе. Современная ситуация, в которой философы активно обсуждают вопросы образования и воспитания, о чем свидетельствует предпоследний Всемирный философский конгресс, также определяется как кризисная. При этом нередко подчеркивают, что современный кризис является и антропологическим - это кризис форм и содержания собственно человеческого бытия.
Среди отечественных авторов многочисленных статьей, монографий, выступлений на «круглых столах» и т.п., посвященным проблеме развития культуры и образования в XXI веке можно выделить «оптимистов» и «пессимистов». Первые полагают, что кризис модели современной цивилизации - болезнь роста, и дальнейшее совершенствование образовательных технологий (интерактивные режимы, дистанционное обучение и т.д.) будет способствовать ускоренному формированию новой постиндустриальной цивилизации и ее культуры. Поэтому образование, и в первую очередь довузовское, должно быть ориентировано на воспитание человека, которому предстоит жить в новом, информационном, обществе. Вторые, пессимисты, рассматривают кризис современной цивилизации как надвигающуюся антропологическую катастрофу, среди многих причин которой называется, в том числе современная модель образования. Она сложилась в Западной Европе 200 - 300 лет назад, претерпела существенную технологизацию на американской почве, превратившись в «фабрику знаний», и сегодня приобрела глобальный характер. Возможность предотвратить дальнейшее развитие катастрофы видится, таким образом, и в кардинальном изменении образовательной модели.
На наш взгляд, каждая из этих позиций обладает одним существенным недостатком, а именно - недостатком реалистичности. Каким будет человеческое общество через 15-20 лет, предсказать точно невозможно. А кардинально изменить сложившуюся образовательную модель в существующих социокультурных, экономических и политических условиях не представляется возможным. Но можно выбрать третий путь — в рамках существующей образовательной формы корректировать ее содержание, исходя при этом из задачи «не создавать рая на земле, а не допустить ада» (В.С.Соловьев). Иными словами, задача образования должна состоять в том, чтобы компенсировать или хотя бы уравновесить опасные тенденции наличной исторической ситуации, создавая им альтернативу. Необходимо стимулировать развитие тех социально и культурно значимых свойств и способностей личности, которые составили бы противостояние издержкам современной социокультурной практики. Если последняя способствует развитию некоторых черт современного мышления, мировоззренческих позиций и психологических установок, потенциально опасных и угрожающих существованию культуры и человека, то образование следует нацелить на актуализацию альтернативных потенций человека. Поэтому обратимся к болевым точкам культуры и социокультурного типа человека нашего времени.
Вопреки оптимистическим заявлениям о складывающемся антропогенном импульсе, определяющем суть информационного общества, развитие современной цивилизации по-прежнему сохраняет сложившийся ранее техногенный характер. Формирование человеческой личности в условиях экстенсивно и интенсивно развивающейся техносферы становится все более односторонним, а сам человек - «одномерным», по выражению Г.Маркузе. «Человек, - писал он в середине XX века, - по-прежнему порабощен инструментами своего труда, и это порабощение происходит в рационализированной, эффективной и многообещающей форме [70; 55]. В течение прошедших с тех пор пятидесяти лет техносфера продолжает расширять свое влияние в социокультурном пространстве, а ее воздействие на развивающуюся личность становится все более заметным. Таким образом, проблемы, возникшие в сфере культуры и человеческого бытия в течение XX века и ставшие предметом философского дискурса, не только не сгладились, но и в определенной мере обострились.
Среди этих проблем, исходя из целей данной диссертационной работы, следует выделить прежде всего те, решение которых так или иначе может быть связано с системой довузовского образования.
Проблема сохранения сапиентальности человеческого существа, сохранения разумности как атрибутивного определения его родовой сущности является, на мой взгляд, наиболее актуальной. Влияние информационных технологий на развитие мышления, а именно использование различных программ в самых разных сферах человеческой деятельности уже с раннего возраста, является весьма амбивалентным. С одной стороны развивается инструментальность, операциональность мышления, способность ориентироваться в предлагаемых алгоритмах, с другой - сужается возможность развития творческой самостоятельности мышления, его поисковая активность, в результате которой создается новый вариант алгоритма, а не отыскивается из наличных наиболее удобный. Современная социокультурная практика интенсивно формирует мышление -компас, позволяющий человеку ориентироваться в пространстве информации и передвигаться в нем, не замечая при этом структуру пространства, не познавая его, не понимая и не запоминая связи и сути (содержания) образующих его информационных объектов. Нередко можно встретить в работах, посвященных проблеме образования, утверждение о необходимости развивать именно такое, «ориентировочное», мышление. Так, Я.Кузьминов в статье «Реформа и образование» пишет: «Сегодня школа должна учить думать, самостоятельно находить нужную информацию и ориентироваться в ней» [56; 25]. Исходя из контекста статьи можно с уверенностью сказать, что ее автор отождествляет способность думать (мыслить) с умением находить готовое знание, ориентироваться в нем и пользоваться им. Но так ли уж необходимо целенаправленно развивать это умение в школе?
Особенности формирования математического стиля мышления в современной довузовской подготовке
Известно, что освоение окружающего мира человеком начинается с изучения единичных вещей, явлений, фактов. Идя от частных случаев, он приходит к общему правилу, от фактов — к обобщению. Никакое теоретическое мышление вообще не было бы возможно, если бы человек индуктивным путём не приходил к установлению тех или иных общих закономерностей.
Индуктивное умозаключение сложилось в процессе многовековой общественно — исторической производственной практики людей. В течение десятков тысяч лет первобытный человек замечал и фиксировал такие, например, явления природы: когда при выделке каменного топора быстро шлифуется один камень о другой, то оба трущихся камня нагреваются; когда при сооружении лодки выскабливается древесина из ствола дерева, то нагревается и древесина и нож. Так, исследуя явления природы и общества, наблюдая и изучая отдельные предметы, факты и события, люди приходили к общему правилу. Этот процесс мыслительного познания окружающего мира совершался индуктивно: от единичных суждений человек шёл к общим суждениям, в которых выражалось знание общего правила, общего положения. Индуктивная форма умозаключения, являясь отображением производственной практики человека, зародилась вместе с первыми трудовыми навыками людей.
Однако в процессе исторического развития человечество встало перед необходимостью не только трудиться, но и прогнозировать результаты своего труда. Поэтому результатом предварительного индуктивного познания всегда является дедуктивная форма изучения любого явления, с помощью которой знание общего положения применяется к изучению отдельных фактов и предметов. При этом индукция и дедукция всегда сочетаются с анализом, выделением в сходных фактах и явлениях того, что служит основанием общего вывода.
В мышлении, таким образом, одинаково важны и индукция, и дедукция. Они составляют две неразрывные части единого процесса познания, которые дополняют друг друга. Нельзя себе представить такое мышление, которое совершается только индуктивно или только дедуктивно. Индукция в процессе реального опытного исследования осуществляется в неразрывной связи с дедукцией. Именно это и даёт возможность приходить к вполне достоверным выводам в процессе исследования. Значит, как в научном, так и повседневном мышлении по любому вопросу дедукция и индукция всегда тесно связаны друг с другом, неотделимы друг от друга, находятся в неразрывном единстве. Об этом очень хорошо сказал А. Эйнштейн [172; 123]: "Для применения своего метода теоретик в качестве фундамента нуждается в некоторых общих предположениях, так называемых принципах, исходя из которых, он может вывести следствия. Его деятельность, таким образом, разбивается на два этапа. Во-первых, ему необходимо отыскать эти принципы, во - вторых, развивать вытекающие из этих принципов следствия. Для выполнения второй задачи он основательно вооружён ещё со школы. Следовательно, если для некоторой области, т.е. совокупности взаимозависимостей. Первая задача решена, то следствия не заставляют себя ждать. Совершенно иного рода первая из названых задач, т.е. установлениепринципов, могущих служить основой для дедукции. Здесь не существует метода, который можно было бы выучить и систематически применять для достижения цели. Исследователь должен выведать у природы чётко формулируемые общие принципы, отражающие определённые общие черты совокупности множества экспериментально установленных фактов".
В современной философской литературе встречается много различных определений стиля мышления. Понятие "стиль мышления" в последние годы весьма активно обсуждается и математиками [129]. Само название "стиль" в математике является новым и еще пока не привычным, но оно несет более объемную смысловую нагрузку, чем ранее употребляемые слова "направления", "акценты", "подходы", "пути исследования" и т.д. Под словом "стиль" ученые - математики подразумевают понятие, обозначающее единство идеи и ее доказательства (обоснования и изложения), целостное единство содержания и формы математического творчества и его результата -научного произведения, таким образом, характеризующее целостность математического знания как образной системы.
Предметными стилями мы будем называть стили в предметных областях человеческого знания - науке, искусстве, технике, социально — политической сфере. В свою очередь каждый предметный стиль мышления включает в себя много разновидностей.
Весьма интересен тот факт, что нередко возникают противоречия между различными предметными стилями мышления в толковании одного и того же понятия. То, что в пределах сферы методологии одного предметного стиля мыслится как правильное, при соотнесении с другим предметным стилем может быть малоэффективным и даже безрезультатным. Вот яркий пример разногласия между физическим и математическим стилями мышления. Мы давно привыкли к тому, что скорость материальной точки изображается вектором. Известно, что исторически понятие вектора возникло из необходимости решать задачи физики, но термин "вектор" {лат. vector - несущий) введён в науку в начале XIX века известным математиком У. Гамильтоном и в математике под вектором подразумевается направленный отрезок прямой. Затем уже в середине XX века, в связи с созданием на основе векторной алгебры новой области математики — линейной алгебры, было сформулировано ещё одно определение : вектор как упорядоченный набор чисел (компонент). Однако ни одно из этих определений уже не устраивает физиков. Редко кто из физиков будет расписывать сейчас уравнения движения Ньютона в компонентах. Совсем покажется странным вид расписанных в компонентах уравнений электромагнитного поля. Если выбрать из свойств векторов самое главное, то лучше всего остановить свой выбор на законе сложения векторов. Действительно, как можно наиболее кратко ответить на вопрос: Что такое вектор? «Определение вектора как совокупности чисел (компонент) или как объекта, имеющего величину и направление, явно неудовлетворительно, пишут физики в монографии. - Почему в таком случае время, расстояние и температура не образуют вектора? Лучше определять вектор как три числа, которые преобразуются по заданному закону при вращении системы координат. Это определение хорошее, но не очень практичное. Наиболее удобно определять вектор, задав закон сложения двух векторов" [7]. Таковы противоречия в стилях мышления физиков и математиков. Однако тот факт, что люди сплошь и рядом мыслят противоречиво, не опровергает, по мнению Э. Гуссерля, истинности закона непротиворечивости как априорного и обязательного для всякого мышления.
Парадигма нелинейности в формировании мышления у школьников эпохи информатизации
В настоящее время активно развивается новое направление в философии познания — неклассическая, иначе говоря, нелинейная диалектика. Это направление, прежде всего, связано с понятием нелинейности в науке, с имеющимися новейшими экспериментами и математическими результатами, которые получены как в естественных науках, так и в социальных исследованиях. Приведем некоторые основные положения, касающиеся данной проблемы, которые рассматриваются в статье А.И Уварова [140; 235-238].
А.И. Уваров пишет, что одним из важнейших принципов формирующейся диалектики является принцип нелинейности. «Вторым принципом когнитивной диалектики является принцип нелинейности. Подобно классической диалектике данный принцип выражает видение мира. Но в отличие от нее принцип нелинейности указывает на новое современное видение мира, связанное с нелинейностью, синергетикой, компьютеризацией, с развитием всей современной науки как естественной, так и гуманитарной, и технической.
Формирующееся нелинейное мышление более гибко, оно допускает и даже предполагает вариантность решения проблемы, вариантность истины, нарушение принципа суперпозиции, когда результат одного из воздействий на систему при наличии другого воздействия оказывается не таким, каким он был бы при отсутствии последнего. Как известно, принцип суперпозиции был характерен для линейного мышления, и классическая диалектика опиралась на него в качестве одного из естественнонаучных оснований. Нелинейное мышление ориентировано на исследование сложных нелинейных систем с широким использованием ЭВМ. Складывается новый стиль мышления и поскольку материальные процессы по своей сущности нелинейны, то за ним будущее. Формируется новая философская категориальная сетка, категориальная структура путем либо повышения статуса общенаучных категорий, либо формирования новых, либо изменения статуса прежних философских понятий. В качестве примера можно назвать категорию случайности, статус которой в системе категорий нелинейной диалектики становится равным с категорией необходимости или понятие хаоса, которое начинает играть роль философской категории в познании...
К анализу нелинейного мышления можно подходить с двух позиций: 1)можно идти от конкретных наук, что и наблюдается сейчас в философии, а можно и 2) с точки зрения глобалистики, с точки зрения планетарного мышления, цивилизационного подхода. Последний собственно и предполагает нелинейность».
Другой важной категорией нелинейной диалектики является кооперация. Кооперация непосредственно связана с развитием образования и с получением новых знаний в различных областях наук, в том числе и в математике. В той же статье далее А.И. Уваров отмечает: «Категория кооперации шире по своему содержанию понятия синтеза. И синтез, и анализ - стороны кооперации. Кооперация в современном познании начинает занимать исключительное место, тем самым она как бы откладывает свой отпечаток на философском методе, современной гносеологии и методологии.
Вырисовывается следующая общая цепочка в развитии гносеологии. 17 век - определяющей методологию и гносеологию категорией является категория анализа (позиция Декарта). 18 век и последующее время до середины 20 века такой категорией во многом была категория синтеза (позиция Канта), в настоящее время ею становится категория кооперации... Это связано с нелинейностью мышления, и с плюрализмом в современной науке, и с планетарным разумом, предполагающим диалог различных культур.
Фундаментальность и приоритетность категории кооперации по сравнению с понятиями анализа и синтеза, ее когнитивная эффективность связана с ее такими признаками как: 1) иерархичность, кооперация направлена на создание структур разного уровня; 2) основой, исходным началом кооперации служит хаос, который исключает линейность, упрощенный, прямолинейный подход; 3) неоднозначность при решении обратной задачи, когда в отличие от синтеза не обязательно можно получить те же самые исходные данные, так как исходной точкой был хаос.
Последнее как раз свидетельствует о том, что при кооперации повышается уровень системы, который препятствует простому возвращению назад этой системы, этой новой организации. Тем самым кооперация как бы включает в когнитивный процесс время, способность появления принципиально нового, неповторимого» [140; 237-240]. Здесь мы привели довольно большие цитаты ввиду их важности для нашего дальнейшего изложения.
Остановимся на некоторых естественнонаучных результатах и математических методах, которые сыграли и играют важнейшую роль в формировании научной парадигмы на современном этапе. Такое формирование началось примерно в семидесятые годы прошлого столетия, хотя некоторые экспериментальные результаты, необъяснимые с линейных позиций были известны значительно раньше. Еще в начале прошлого века были известны ячейки Бенара — структуры, возникающие в вязкой жидкости, находящейся в плоском сосуде, подогреваемом снизу. Через много лет правильные шестигранные призмы ячеек Бернара были получены на компьютере путем численного моделирования. В 1951 г. Б.П. Белоусовым была открыта первая периодическая химическая реакция («химические часы»), которая ярко демонстрировала явление самоорганизации. Явление «девятого вала» - необычайно высокой и мощной волны в океане известно с незапамятных времен. В своей книге «Синергетика» Г. Хакен [154] описывает большое число экспериментов из различных областей науки, объяснить которые можно только с учетом кооперативных эффектов. В настоящее время уже имеется достаточно мощный математический аппарат, позволяющий исследовать нелинейные задачи. Это методы анализа нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, позволившие получить важнейшие результаты по большому классу задач типа «жертва -хищник». Это методы исследования порядка и хаоса, основанные на идеях Пуанкаре, Ляпунова, Колмогорова. Это математическая теория катастроф, позволяющая описывать скачкообразные изменения, которые могут возникнуть при плавном изменении внешних условий, что невозможно сделать, используя аппарат дифференциального исчисления (малому Ах соответствует малое Ду)- [9].
Математическая интуиция как элемент творческого мышления
В предыдущем параграфе уже обращалось внимание на важнейшую задачу обучения - развитие творческой личности. В частности, речь шла о решении творческих задач в математике, существенным элементом решения которых является проведение исследования. Но вот что пишет, например Д.Пойа в своей книге «Математическое открытие»: «Решение задачи может возникнуть перед нами совершенно неожиданно. Мы долго копались в задаче без какого-либо видимого прогресса - и внезапно нас осеняет блестящая идея, вспышка вдохновения, мы вдруг видим проблеск света во тьме!» (С. 237). Как видим, здесь речь идет о догадке. Момент озарения, блестящей догадки обычно присутствует в творчестве. Можно ли описать этот момент математически, например, используя аппарат математической теории катастроф, пока неясно, но безусловно этот момент тесно связан с интуицией. Ж. Адамар [40] выделяет следующие этапы процесса математического открытия. Первый этап — это «подготовка», когда происходит осознанное исследование проблемы; второй этап — «инкубация», когда проблема как бы вытесняется в подсознание и исследователь даже может вообще забыть о ней; третий этап - «озарение», когда решение проблемы вдруг неожиданно прорывается в сознание; и четвертый этап -этап проверки и теоретического оформления результатов.
Действительно, нередки случаи, когда математик интуитивно угадывает результат и лишь потом проводит его формальное доказательство. Интуиция (особая способность мышления к неосознанным, как бы свернутым умозаключениям) является движущей силой творческого процесса. Л.Б. Султанова отмечает: «В настоящее время выяснено, что на этапе инкубации, предшествующем озарению, неосознаваемые образы могут трансформироваться в так называемое неявное знание. В результате озарения это неявное знание может быть вербализовано и затем преобразовано посредством дискурсивных рассуждений в явное математическое теоретическое знание, выраженное непосредственно в символах и терминах математики» [41]. Неявное знание по характеристике М. Полани [42], личностно, оно непосредственно связано с индивидуально-психологическими особенностями личности. Неявное знание включает в себя априорное знание (например, представление о трехмерности пространства, понятие количества, единичного, множества, непрерывного, дискретного, образы чисел, прямой, квадрата), скрытые леммы, определения, некоторые элементы доказательств, используемые как очевидные. Безусловно, в неявное знание входит и информация, поступающая к личности в условиях информационного общества из самых различных источников. Часть этой информации может оказаться ценной для решения математических задач. Кроме того, в неявное знание частично входит и личностный опыт освоения математики, что и создает предпосылку к развитию интуиции у молодого человека в процессе обучения. Формированию интуитивного и эвристического методов рассуждений у юношей и девушек учителем должно уделяться особое внимание. В настоящее время в процессе обучения математике учитель контролирует уровень логической подготовленности школьников (ошибки в проводимых учащимися преобразованиях и рассуждениях обычно легко заметны). Мера же развития интуиции молодых людей учителю менее известна. Это объясняется как тем, что интуиция не является объектом пристального внимания со стороны учителя в отличие от логики обучающихся, так и тем, что оценить хотя бы в какой-то степени неявные знания значительно сложнее. Между тем, как уже отмечалось выше, для формирования математической культуры и вообще математического мышления интуитивный компонент не менее важен, чем логический. Так, например, Л.Д. Кудрявцев пишет, что и знания, и интуиция являются основными компонентами математической культуры [43].
Нами было проведено среди учащихся экспериментальное исследование в форме анкетирования с целью выяснить не только знание или незнание определений вводимых математических понятий, но и разобраться, каким образом учащиеся обходятся без знания строгих определений этих понятий, какими интуитивными представлениями они оперируют в своих рассуждениях. Участниками анкетирования были учащиеся десятых классов, успевающие на «хорошо» и «отлично». В анкетирование был включен ряд определений, в частности определение функции. Понятие функции вводится в 7 классе и ее определение дается следующим образом.
«Соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует не более одного элемента другого множества называется функцией» [44]. «Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие по некоторому правилу число у, то говорят, что на этом множестве определена функция» [45]. « Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение » [46].
Анкетирование показало, что 75% опрошенных не помнят теоретико-множественного определения функции, которое они изучали в 7 классе. Мы обращали внимание на ответы тех учащихся, которые не знают определения функции, но ее понятие успешно используют. Мы интересовались их интуитивном представлением о функции, сформулированным вместо -строгого логического определения и ставшим орудием их математической деятельности. Типичный ответ: «Зависимость величины у от величины х». Такой ответ встречался в 45% анкет. Таким образом, у многих учащихся понятие функции увязывается со словом «зависимость». Понятие «функция есть зависимость» возникло в сознании учащихся интуитивно, вытеснив понятие «функция есть соответствие», вероятно как слишком сложное для восприятия.
