Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Краткий анализ методов дискретного представления сплошной среды 19
1. Выбор системы координат расчетной сетки при построении численных схем 20
2. Метод частиц в ячейках Ф.Х.Харлоу 23
3. О методе крупных частиц 25
4. Геометрическая интерпретация метода зсрупных частиц (методологический подход) 29
Глава II. Исследование неустановившихся двумерных течений газа"в ударных трубах методом крупных частиц 33
1. Геометрическая интерпретация метода крупных частиц для двумерной постановки задачи о неустановившемся течении газа в цилиндрической ударной трубе 37
2. Апробация метода. Анализ численных результатов полученных для одномерного течения газа и их сопоставление с известными решениями 44
3. Разработка механико-математической моде ли задачи Лагранжа для неустановившихся двумерных течений газа в ударных трубах переменного сечения 46
4. Сравнительный анализ полученных решений для двумерной модели задачи с решениями задач в одномерной постановке 57
5.Исследование численных результатов He Застано вившихся двумерных течений. Эффек
ты двумерности 60
Глава III. Исследование неустановившихся течений газа с горящими дисперсными включениями в ударных трубах переменного сечения 65
1. Математическое моделирование задачи на основе геометрической интерпритации ме тода крупных частиц 68
2. Сопоставление частных случаев решения задачи с известными ее решениями 79
3. Исследование численных результатов разрежения двухфазной гетерогенной среды с Злетом горения дисперсных включений 84
Выводы 90
Литература
- Метод частиц в ячейках Ф.Х.Харлоу
- Апробация метода. Анализ численных результатов полученных для одномерного течения газа и их сопоставление с известными решениями
- Сравнительный анализ полученных решений для двумерной модели задачи с решениями задач в одномерной постановке
- Сопоставление частных случаев решения задачи с известными ее решениями
Метод частиц в ячейках Ф.Х.Харлоу
В работе Р.Й.Нигматулина /44/ последовательно изложены теоретические основы, необходимые для понимания и расчета движения гетерогенных сред. Подробно изложены вопросы вывода уравнений движения, реологии и термодинамики гетерогенных сред. Получены замкнутые системы уравнений для монодисперсных смесей с учетом вязкости, сжимаемости фаз, фазовых переходов, теплообмена, относительного движения фаз и других эффектов.
Решение математических моделей задач механики многофазных сред немыслимо без применения численных методов и ЭВМ.
Говоря о численных методах применительно к задачи волновой механики гетерогенных сред, надо отметить, что задачи данной теории имеют очень сложную структуру. Для этих течений характерна чрезвычайно высокая нестационарность, однов - 10 ременное наличие в потоке очень больших и очень малых плотностей, давлений, температур, а также положительных и отрицательных скоростей. Существенную сложность представляют разрывы газодинамических функций на некоторых подвижных поверхностях, положение которых заранее неизвестно и должно определяться в ходе решения. Под подвижными поверхностями здесь подразумеваются ударные волны и контактные поверхности. Подвижные поверхности могут возникать, взаимодействовать между собой, а также исчезать в ходе процессов. Количество таких подвижных поверхностей может быть очень большим, что предъявляет высокие требования к численным методам, применяемым для их расчета.
При решении одномерных и двумерных задач волновой механики применяют разнообразные численные методы. Это прежде всего конечноразностные методы сеток, метод характеристик и метод интегральных соотношений.
Из названных численных методов наиболее широкое распространение получили конечноразностные методы сеток, использование которых позволяет исходные дифференциальные уравнения в частных производных аппроксимировать конечноразностными уравнениями на сетке, не связанной с характеристическими направлениями. Сетка может быть как фиксированной, так и не фиксированной, то есть меняющейся в процессе расчета. Вычисления производятся от слоя к слою. Теория конечноразностных методов очень хорошо разработана и подробно освещена во многих специальных монографиях. Отметим лишь отдельные работы, в которых большое место уделено численному решению нестацио - II нарных задач газовой динамики, а именно следующие монографии: А.А.Самарский и Ю.П.Попов /62/, Б.Л.Рождественский и Н.Н.Яненко /63/, С.К.Годунов, А.В.Забродин, М.Я.Иванов и др./64/, Р.Рихтмайер, К.Мортон /65/ и Г.И.Марчук /66/.
Наличие большого разнообразия конечноразностных методов позволяет классифицировать их по определенным признакам. Разностные схемы могут характеризоваться количеством слоев, привлекаемых в вычислительном алгоритме, количеством вычислительных шагов, необходимых для перехода к новому расчетному слою, способом расчета искомых величин.
Разностные схемы характеризуются порядком аппроксимации дифференциальных уравнений. Однако понятие порядка аппроксимации имеет смысл лишь на гладких решениях и утрачивает его для решения с разрывами, по крайней мере, в значительной их окрестности, что не является гарантией получения высокоточного решения в задачах с разрывами.С этой точки зрения, более важными являются свойства монотонности и консервативности разностных схем, при соблюдении которых выполняются законы сохранения и в численных решениях не возникают нефизичные осцилляции.
Апробация метода. Анализ численных результатов полученных для одномерного течения газа и их сопоставление с известными решениями
В настоящей главе рассматривается задача Лагранжа о движении поршня в ударных трубах постоянного и переменного сечения и распределении параметров газа в пространстве между поршнем и дном трубы в двумерной постановке. Цель такой постановки задачи заключается в выявлении эффектов двумерности течения газа в камере и их исследование.
В I данной главы разработаны модель и алгоритм численного решения нестационарной задачи о течении газа в цилиндрической трубе постоянного сечения, базирующийся на идеях метода крупных частиц, изложенных в работах О.М.Бе-лоцерковского и Ю.М.Давыдова /85,87/, Р.И.Нигматулина, А.А.Губайдулина, А.И.Ивандаева /97/, Ф.Б.Абуталиева.Н.М. Ильясова /84/. Особенностью модели является использование геометрической интерпретации метода крупных частиц, перестроение ячеек и перераспределение частиц последовательным образом в двух направлениях с вожможностью выбора сетки, т.е. сохранения наилучших свойств подходов Лагранжа и Эйлера.
В 2 анализируются результаты проведенной апробации разработанного метода для одномерной задачи. Полученные результаты для неустановившихся одномерных течений газа в круглой цилиндрической ударной трубе сопоставлены с известными решениями по методу-характеристик.
В 3 разработана механико-математическая модель задачи Лагранжа для неустановившихся двумерных течений газа в ударной трубе переменного сечения. На первом этапе моделирования задачи на основе геометрической интерпретации метода частиц рассматривается радиальное движение частиц,а на втором - продольное. Можно рассматривать и наоборот: сперва продольное движение частиц, затем - радиальное. В случае трубы постоянного сечения координаты частиц условно определялись правыми границами ячеек, что обеспечивает выполнение граничных условий на дне камеры. При составлении модели задачи для трубы переменного сечения координаты частиц определяются правыми нижними углами ячеек, что обеспечивает правильное участие в процессе движения ячеек, находящихся у стенки камеры, т.е. соблюдение граничных условий на стенке камеры. Данное обстоятельство подтверждено результатами численных экспериментов.
При математическом моделировании задачи, где ударная труба имела постоянное сечение, движение газа рассматривалось в переменных Лагранжа, где координаты связаны с движением газа в пространстве и отвечают фиксированным точкам в среде. В этом случае аппроксимирующая сетка также движется с газом. При моделировании задачи в случае трубы переменного сечения вначале был также применен лаг-ранжевый подход, а именно двумерная лагранжева сетка перестраивалась на лагранжевы сетки связанные с ячейками в граничных областях камеры, но во всех вариантах перестроения, проведенные численные эксперименты показали нецелесообразность применения такого подхода. При применении перестроений на лагранжеву систему координат ячейки, находящиеся у дна камеры и у стенки, сильно возрастают,а ячейки, находящиеся перед входом в канал, стремительно уменьшаются, что затрудняет процесс вычисления. Поэтому для математического моделирования двумерной задачи был использован совместный эйлерово-лагранжевый подход, то есть уравнения записывались в переменных Лагранжа. Затем, после каждого шага решения, делался перерасчет параметров газа на фиксированную эйлерову систему координат как в продольном так и в радиальном направлениях. Для движения газа в области канала применялся чисто лагранжевый подход.
Движение частиц в области канала рассматривается в математической модели отдельным этапом.
Применение метода крупных частиц при разработке механико-математической модели задачи Лагранжа позволило описать процесс системой алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение полученной нелинейной задачи осуществляется модифицированным методом Эйлера с автоматическим выбором шага по заданной степени точности.
В 4 и 5 данной главы анализируются и обсуждаются результаты численных экспериментов по разработанной модели, рассматриваются эффекты двумерности впервые полученные для данной задачи.
Сравнительный анализ полученных решений для двумерной модели задачи с решениями задач в одномерной постановке
В данной главе рассматривается задача о движении поршня и гетерогенной среды в осесимметричной ударной трубе переменного сечения в одномерной постановке. Эффекты дву-мерности учитываются в разрабатываемой модели осредненным образом. Исследование двумерных постановок задачи Лагран-жа, проведенное в предыдущей главе при различных режимах процесса разрежения газа в ударных трубах, показывает правомерность такой постановки. С другой стороны, одномерная постановка необходима как первый шаг для исследования сложных волновых газодинамических процессов, происходящих в неравновесной гетерогенной среде.
Ударная труба (рис. 18а), профиль которой может быть задан кусочно-гладкой функцией, ограничен слева неподвижной стенкой, а справа - поршнем, движущимся в канале под действием большого перепада давлений. В отличии от работ Б.М. Павлова, Н.Н.Попова /83/, М.М.Муминова /104/, где рассматривается процесс разрежения газа и работы Ш.Б.Абу-талиева, Н.М.Ильясова /84/, где исследовано адиабатическое разрежение гетерогенной среды, в исследуемой задаче предполагается, что объем ударной трубы заполнен сжатой двухфазной гетерогенной средой с горящей дисперсной фазой. Моделирование производится с учетом двухскоростных эффектов взаимопроникания фаз, изменения концентрации газа и дисперсных включений, их тепловой неравномерности. Первой фазой сжатой смеси считается идеальный газ, второй - некоторые твердые частицы, которые в результате горения, будут преобразовываться в первую фазу. Согласно метода крупных частиц, начальный объем ударной трубы разобьем на N лагранжевых ячеек, в каждой из которых поместим частицу, соответствующую первой фазе среды данной ячейки. В эти /V ячеек вложим еще N ячеек с соответствующими частицами второй фазы. Таким образом, движение гетерогенной смеси будет моделироваться как движение 2А/ материальных точек (с 2 N степенями свободы) под действием разности давлений с обеих сторон от каждой частицы и взаимодействия частиц обеих фаз. Координаты частиц определяются правыми границами ячеек, что соответствует более точной аппроксимации граничных условий на дне камеры, а с физической точки зрения более правильному участию донных частиц в процессе движения. Важньм обстоятельством процесса является изменение структуры потока, связанное с горением дисперсных включений и с изменением концентраций фаз, вследствие отставания частиц (ячеек) второй фазы от частиц первой фазы. Ячейки первой фазы будем считать основными. На рис. 186 К - ая ячейка первой фазы ограничена сплошной линией, а соответствующая К - ая ячейка второй фазы - пунктиром. В связи с необходимостью решения дифференциальных уравнений движения в одной пространственно-временной области, после каждого шага по времени делается перестроение (перераспределение) ячеек второй фазы на основные ячейки частиц первой фазы, то есть на лагранжевы координаты несущего газа, полученные для нового момента времени. Такое представление модели позволяет использовать положительные качества метода крупных частиц в лагранжевой постановке для решения поставленной нестационарной задачи. Моделирование движения гетерогенной смеси на основе геометрической интерпретации метода крупных частиц позволяет записать модель задачи с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Сопоставление частных случаев решения задачи с известными ее решениями
На рис. 22 приведены графики скорости поршня U (Зі) и давления Р (СИ ) на него в зависимости от координаты поршня. Полученные кривые показаны в сравнении для однофазного случая (—) и двухфазных случаев без горения (- -) и с горением (- -). Расчеты здесь представлены для соотношения радиусов камеры и канала равного единице. Концентрация второй фазы равна 0,01. Плотность второй фазы взята равной 1350 кг/м . Начальная температура второй фазы равна 227С. Присутствие дисперсной твердой фазы, как видно из графиков, замедляет скорость движения поршня, а в случае горения этой фазы скорость поршня значительно возрастает. Давление за поршнем в случае горения дисперсных включений также растет.
На рис. 23 показано распределение давления Р( Е) по всей длине трубы в случаях с горением дисперсной фазы (--) и без горения (- -). Графики представлены в фиксированные моменты времени. В случае горения дисперсных включений давление газовой среды возрастатет из-за притока тепла. По графику видно, что в момент времени t =400 мкс волна разрежения газовой среды еще не дошла до дна камеры и что наиболее существенное снижение давления происходит непосредственно за поршнем. Анализ кривых в момент времени t =1600 мкс показывает, что отраженная волна разряжения в случае с горением дисперсных включений движется быстрее и за ее фронтом давление значительно больше. На рис. 24 приведены расчетные кривые скорости поршня ОС ( ОС ) и давления Р ( OZ- ) на него при различных значениях некоторых параметров. Исходные данные графика (I) отличаются от исходных данных графика (2) начальными температурами второй фазы. В первом случае начальная температура второй фазы взята равной температуре первой, т.е. 1504С, а во втором случае температура второй фазы 227С. Уменьшение скорости и давления на поршень во втором случае объясняются большим теплообменом, происходящим между фазами. Первая фаза отдает часть своего тепла второй (дисперсными частицами), вследст-вии чего Энергия, а следовательно давление и скорость становятся меньше. Исходные данные графика (3) отличаются от исходных данных графика (2) плотностями второй фазы. В случае (3) плотность второй фазы взята равной половине плотности второй фазы случая (2). Уменьшение скорости поршня и давления на него здесь объясняются тем, что при сохранении концентрации дисперсной фазы сгораемая масса меньше, а следовательно к выделяемая энергия, получившаяся при горении, становится меньше, что влечет за собой уменьшение давления, а следовательно и скорости. Сравнивая графики (4) и (2) можно сказать, что при увеличении концентрации второй фазы скорость, поршня, а также давление на него значительно возрастают. Объясняется это увеличением объема и массы сгораемой дисперсной фазы, что влечет за собой увели Ща0 чение энергии, давления, скорости. Рассмотренные кривые показывают результаты расчета для ударной трубы переменного сечения ( R / Z =1,5). Концентрация второй фазы в случаях (I), (2), (3) взята равной 1$, а для случая (4)-3$.
На рис. 25 представлено распределение температуры первой фазы по длине трубы в момент времени t =1200мкс. Сравниваются результаты исследований однофазной среды двухфазной среды с горением дисперсных включений с концентрацией С =0,01 (- -) и с концентрацией Ж ,-=0,03 Начальная температура второй фазы взята равной 227С. Наличие дисперсных включений (имеется в виду случай без горения) может значительно снизить температуру газа, но в зоне разрежения температура снижется незначительно из-за уменьшения концентрации второй фазы и следовательно меньшего теплообмена в этой зоне. При горении частиц твердых включений температура газа повышается и ее максимальное значение приходится на зону высокой концентрации дисперсной фазы. Наличие дисперсных включений с Ъ% концентрацией значительнее сказывается на повышение температуры газа, чем с 1% концентрацией.
