Содержание к диссертации
Введение
Глава I Об инвариантных подпространствах 19
1.1 Многочлен бр(Х) 19
1.2 Обобщение теоремы о жордановой форме матрицы . 22
1.3 Теорема о характеристическом многочлене 25
1.4 Максимальные и минимальные инвариантные подпространства 30
Глава II Частичная и условная устойчивость 36
2.1 Устойчивость линейного уравнения как свойство матрицы Коши 36
2.2 Устойчивость как геометрическое свойство 41
2.3 Сведение задач а- и -устойчивости к задаче классической устойчивости 49
2.4 Уравнение с постоянным запаздыванием аргумента . 60
2.5 Устойчивость относительно правой части 63
Глава III Некоторые обобщения
3.1 Уравнения с периодической матрицей 69
3.2 Разностные уравнения 78
3.3 Сопоставление с известными результатами 85
Литература 90
- Обобщение теоремы о жордановой форме матрицы
- Максимальные и минимальные инвариантные подпространства
- Сведение задач а- и -устойчивости к задаче классической устойчивости
- Сопоставление с известными результатами
Введение к работе
История вопроса. Начало систематических исследовании функциоиалыю-дифференциалышых уравнении (ФДУ) относится к середине XX столетия. Важнейшим подклассом ФДУ являются линейные уравнения с последействием. Для таких уравнении, заданных на полуоси, первостепенное значение имеет устойчивость решений. Классические результаты, полученные в исследованиях устойчивости, содержатся в монографиях Н. В. Азбелсва и П. М. Симонова [G], Р. Беллмана и К. Л. Кука [10], К. Гопалсами [67], В. Б. Колмановского и В. Р. Носова [31], А. Д. Мышкиса [41], А. Халаная [68], Дж. Хейла [52]. Наиболее полная библиография работ по устойчивости ФДУ (415 наименований) находится в работе [С].
Обобщения на ФДУ определений устойчивости, данных для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), у разных исследователей формально различаются, что неизбежно уже в силу разного понимания решения уравнения. Все эти определения объединяет то, что устойчивость является в сущности в том или ином смысле непрерывной зависимостью нормы вектора решения от определяющих его данных. В силу эквивалентности всех норм в конечномерном пространстве смысл определении не зависит от вида нормировки. Такая устойчивость в данной работе называется классической.
Наибольшее количество работ по неклассичсским видам устойчиво- сти посвящены задаче устойчивости относительно части переменных, впервые поставленной ещё Л. М. Ляпуновым [33] как обобщение задачи устойчивости относительно всех переменных. Сам Ляпунов этой задачей не занимался; систематические исследования устойчивости относительно части переменных, или частичной устойчивости, начались в 50-х годах прошлого столетия, что было стимулировано потребностями прикладной механики и техники, в частности, ракетно-космической. Практическая значимость исследований в области частичной устойчивости была показана В. В. Румянцевым, что инициировало большое количество работ в СССР и за рубежом. Достижения в этой области систематизированы в монографиях В. В. Румянцева и А. С. Озиранера [44] и В. И. Воротникова [17], а также в новой монографии В. И. Воротникова и В. В. Румянцева [18], одной из основных тем которой является рассмотрение приложений исследований частичной устойчивости.
До сих пор исследования частичной устойчивости, как правило, ограничивались рассмотрением ОДУ, а основным методом исследован и її являлся метод функций Ляпунова. Но каждый метод имеет свои естественные границы применимости и свои естественные возможности. Главным достоинством метода функций Ляпунова является его универсальность, возможность получать условия устойчивости широких классов дифференциальных систем. Особенно успешно применяется этот метод в решении прикладных задач. Достаточно полный обзор результатов, касающихся развития метода функции Ляпунова применительно к задаче частичной устойчивости, дан в монографии [44]. Но при этом, как замечают авторы монографии [G], „для уравнений с запаздывающим аргументом классические концепции и приемы Ляпунова иногда оказываются неестественными и часто не приводят к желаемым результатам".
Так, стремление свести решение задачи частичной устойчивости именно к использованию метода функции Ляпунова помешало В. И. Воротникову с помощью предложенного им конструктивного алгоритма построения вспомогательной системы, разработке применении которого, как говорит сам автор, посвящена монография [17], получить эффективный критерий частичной устойчивости автономных систем с последействием. Подробнее результаты В. И. Воротникова и других исследователей частичной устойчивости рассматриваются в 3.3 данной работы.
Частичная устойчивость до сих пор исследовалась вне взаимосвязи с условной устойчивостью, то есть непрерывной зависимостью решения от начальных данных, на изменение которых наложены ограничения ([50], с. 294). Эта связь описывается в данной работе — по-видимому, впервые. Для ОДУ известны признаки существования устойчивого многообразия ([23], гл. IV, 22), но отсутствуют попытки его описания через параметры системы. Задача условной устойчивости ФДУ, видимо, до сих пор никем не ставилась.
В нашем понимании, исследовать вектор-функцию и отдельные сё компоненты — существенно разные задачи. Представляется, что при исследовании неклассичеекпх видов устойчивости применяются методы, разработанные для классических задач, только потому, что пока ещё мало усилий было уделено поискам других. Поэтому не стоит удивляться тому, что устойчивость но части переменных и условная устойчивость диффенциаль-ных систем только в тривиальных случаях изучены па уровне, сравнимом с уровнем разработки задач устойчивости в сё классическом понимании. Данная работа является попыткой восполнить этот пробел.
Объект исследования н основные результаты. Как отмечено выше, к формальному определению классической устойчивости решений ФДУ нет единого общепризнанного подхода. Данная работа следует в этом вопросе традициям школы Н. В. Азбелева.
Пермскими математиками с начала 70-х годов исследуется линейное функционально-дифференциальное уравнение с конечномерным (разовым пространством вида ь x{t)- fdaR(tts)x{s)=f{t)i te[azb].
Данное уравнение включает как частные случаи обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение с сосредоточенным отклонением аргумента и интегро-дифференциальное уравнение. Если уравнение имеет вид г±{t) - J dsR(t, s)x{s) = /(і), t Є [a, b], (0.1) то оно называется уравнением с распределённым запаздыванием. В работе В. П. Максимова [34] получены естественные условия на матрицу-функцию R(t,s), обеспечивающие однозначную разрешимость уравнения при задании начального значения э:(0) — xq. В таком случае данные для ОДУ определения классической устойчивости относительно начального значения переносятся на уравнение (0.1) дословно, а задача непрерывной зависимости решения от начальной функции, рассматриваемая авторами первых исследований устойчивости ФДУ, оказывается вариантом задачи устойчивости уравнения (0.1) относительно правой части.
Пусть уравнение (0.1) задано и однозначно разрешимо для любого b Є Ш-а- Тогда его решение имеет представление в виде формулы Коши ([341-1361) x(t) = C(t, а)х(а) + I C{t, s)f(s) ds. (0.2)
Классическая устойчивость на основании этого представления исследована в монографиях [49] и [6]. Устойчивость при таком подходе рассматривается как свойство матрицы Коши C(t,s).
В данной работе даны определения частичной и условной устойчивости уравнения (0.1) как свойств матрицы Коши, обобщающие определение классической устойчивости. При этом показано, что задачи частичной и условной устойчивости уравнения (0.1) тесно связаны. Становится очевидным, что в некоторых случаях эти задачи неестественно рассматривать по отдельности.
Центральным результатом диссертации является сведение задач частичной и условной устойчивости уравнения x{t) - Л fx(s) d3r{t, s) = Ді), t Є R0, (0.3) о с постоянной матрицей Л и скалярной функцией r(t, s) (являющегося частным случаем уравнения (0.1)) к задаче классической устойчивости уравнения того же вида (0.3). Благодаря такому сведению, к исследованию уравнения (0.3) оказываются применимы многочисленные результаты исследования его классической устойчивости. Выраженные в терминах параметров уравнения применимые к уравнению (0.3) критерии и признаки классической устойчивости относительно начальных данных получали Н. В. Аз- белев, Л. М. Берсзанский, В. В. Власов, С. А. Гусарснко, Ю. Ф. Долгий, М. М. Кипнис и М. Ю. Вагина, А. И. Кирьянен, В. В. Малыгина, 3. Б. Рсх-лицкий, В. А. Соколов, 10. Н. Смолин, С. Н. Шиманов, Т. Amcmiya, R. Bellman и К. L. Cooke, G. Ladas, Т. Yoneyama, J. A. Yorke и др. (см. [5], [G], [10]-|16], [20], [21], [24], [30], [31], [38], [39], [43], [45], [40], [53], [G3], [ОТ]-[С9], [71], ]72]). В диссертации обобщены на случаи частичной и условной устойчивости уравнения (0.3) теоремы о связи классической устойчивости относительно начальных данных и относительно правой части из монографии [6] (см. также [1]-[4], [9], [22], [49]).
Краткое содержание работы. Первая глава содержит доказательства некоторых свойств линейных преобразований конечномерных пространств. Полученные результаты, которые могут рассматриваться как самостоятельные утверждения, сформулированные языком классической линейной алгебры, применяются в последующем изложеппи к исследованию устойчивости ФДУ.
Пусть Л — комплекснозпачная п х п-матрица.
Обозначим через Dp множество всех многочленов, являющихся минорами порядка р А-матрицы размера пхру образуемой р левыми столбцами А-матрпцы (А — XI); через бр(Х) — наибольший общий делитель всех многочленов из множества Dp.
Далее, обозначим через R линейную оболочку множества {ejt}^=1 столбцов единичной матрицы порядка п и через S линейную оболочку множества столбцов {ejt}JJ=p+1 (таким образом, Сп = ІЇФ5). Через Ra обозначим максимальное инвариантное относительно преобразования Л Є \Сп] подпространство, содержащееся в /2, и через Sa — минимальное инвариант- hog относительно преобразования Лт Є [С1] подпространство, содержащее S.
Лемма 0.1. Имеет место соотношение Cn = Ra Sa.
Теорема 0.1. Многочлен 5Р(Х) является характеристическим для cyoice-пия преобразования А па инвариантное подпространство Яа; многочлен Ар(А) = с Yty\ является характеристическим для суоісепия преобразования ЛТ на инвариантное подпространство Sa.
Рассматривая вместо матрицы А матрицу АТ и наоборот, получаем для приведённых результатов двойственные утверждения. Эта двойственность играет важную роль в описании свойств частичной и условной устойчивости ФДУ.
Получен алгоритм построения матрицы сужения линейного преобразования на минимальное инвариантное подпространство, содержащее заданное.
Во второй главе излагаются основные результаты работы.
В 2.1 излагается подход к пониманию устойчивости решений, выработанный Пермской школой исследования ФДУ. Показано, что устойчивость уравнения (0.1) естественно рассматривать как свойство лштрицы Коши — ядра C(t, s) интегрального оператора в формуле (0.2). Даны определения разновидностей классической устойчивости в виде оценок сверху нормы матрицы Коши.
В 2.2 понятия частичной и условной устойчивости уравнения (0.1), обобщающие понятие классической устойчивости, рассматриваются с геометрических позиций.
Выясняется геометрическая природа частичной устойчивости, которую скрывает традиционное определение. Даются определения а-устпой-чивостип ^-устойчивости уравнения (0.1). Эти свойства матрицы Коши описывают соответственно частичную и условную устойчивость уравнения, выявляя единство этих свойств.
В 2.3 рассматриваются задачи а- и ^-устойчивости уравнения (0.3). Его матрица Коши C(t, s) обладает замечательным свойством перестановочности с матрицей A: AC(t, s) = C{t, s)A. Именно это свойство можно рассматривать как естественную причину существования простого сведения задачи частичной и условной устоіічішости ФДУ вида (0.3) к задаче классической устойчивости уравнения того же вида. С использованием результатов первой главы получен конструктивный алгоритм такого сведения.
Матрица АТ приводится к виду Т~1АтТа — [ ), где Ua — \0 WJ матрица сужения преобразования Ат на минимальное инвариантное подпространство, содержащее S; аналогично матрица А приводится к виду
Т„ АТр — \ I, где Up — матрица сужения преобразования А на \0 WpJ минимальное инвариантное подпространство, содержащее 5.
Теорема 0.2. Уравнение (0.3) устойчиво относительно части координат, задающих базис подпространства S тогда и только тогда, когда уравнение
Ш-иа J i(s)d,r(t,s) = g(t) о устойчиво в классическом смысле.
Теорема 0.3. Уравнение (0.3) условно устойчиво относительно подпространства S тогда и только тогда7 когда уравнение t i{t)-U(ijs(s)dar(t>s) = g{t) о устойчиво в классическом смысле.
Результаты первой главы предоставляют также возможность сформулировать ряд признаков равносильности частичной и условной устойчивости уравнения (0.3) его классической устойчивости.
В 2.4 рассматривается уравнение с постоянным запаздыванием ±{t)-Ax(t-r) = f(t), ЄМ0, (0.4) х(0 = о, є[-т,о), для которого получены выраженные через коэффициенты матрицы А критерии частичной и условной устойчивости относительно подпространства, являющегося линейной оболочкой нескольких столбцов единичной матрицы.
Положим argO = 7г/2. Обозначим Г = {z Є С : \z\r < j argz| — тг/2}, dV= {zeC: \z\r = |argz|-7r/2}.
Теорема 0.4. Уравнение (0.4) экспоненциально устойчиво относительно переменных с номерами из миооїсества {р+1,р+2,...,п} тогда и только тогда, когда все корпи многочлена Ар(А) принадлеоісат внутренности миооїсества Г.
Теорема 0.5. Уравнение (0.4) устойчиво по Ляпунову относительно переменных с номерами из миооїсества {р + 1, р + 2,..., п] тогда и только тогда, когда осе корни многочлена АР(Л) припадлеоісат множеству Г, причём те из них, что лсоїсат па кривой дГ, имеют простые элементарные делители.
Получены также аналогичные критерии условной устойчивости уравнения (0.4).
2.5 посвящен обобщению теорем о связи классической устойчивости относительно правой части и относительно начальных данных. В диссертации приводятся по два варианта результатов такого типа для частичной п условной устойчивости уравнения (0.3).
В третьей главе предлагаются пути применения предложенных во второй главе методов исследования уравнения (0.3) к уравнениям, не являющимся его частными случаями, а также произведено сопоставление результатов диссертации с известными результатами.
В 3.1 рассматриваются уравнения вида x(t) - A(t)x(t) = 0, [tt +оо), (0.5) где матрица-функция А(і) локально суммируема и A(t + и) = A(t) для некоторого из > 0. Устойчивость уравнения (0.5) в ее классическом понимании обладает следующими качествами: во-первых, если уравнение устойчиво, то оно равномерно устойчиво; во-вторых, для устойчивости решения х = x(t), t Є [0,+оо), достаточно устойчивости последовательности {х(киз)}^^. Выясняется, что в общем случае частичная устойчивость уравнения (0.5) обладает только первым из этих качеств, а условная — только вторым. Если известна матрица монодромии уравнения (0.5), то методом, аналогичным описанному во второй главе, получается критерий условной устойчивости уравнения (0.5). Для частичной устойчивости аналогичный критерий можно получить только для устойчивости последовательности значений решения в точках ки, к = 0,1,2,...
В 3.2 рассматриваются разностные уравнения, обладающие общими алгебраическими свойствами с дифференциальными уравнениями, рассматриваемыми во второй главе диссертации. При этом аналитическая природа разностных уравнений проще и, следовательно, разностные уравнения можно использовать как „полигон" для исследования алгебраических свойств дифференциальных уравнений.
Дифференциальному уравнению (0.1) сопоставляется разностное уравнение t {5x)(t) - ^Q(, s)x{s) = Ді), t = 0,1,2,...,
5 = 0 где (Sx)(i) — x(t + 1)- x{t), на значения функций Q(t,s) и f(t) не наклады пется никаких ограничений. Для этого уравнения определяется аналог функции Копій и получено представление решения в виде аналога формулы Кош и x(t) = C(i,0)х(0) + ^ С(, s)x(s - 1).
Для разностных уравнении получены аналоги результатов 2.1-3.1.
В 3.3 основные результаты работы сопоставляются с полученными другими исследователями. В этом вопросе автора интересуют критерии и признаки частичной и условной устойчивости дифференциальных уравнений, выраженные через исходные параметры — в случае уравнения (0.3) это коэффициенты матрицы Л, оператор запаздывания р и правая частії
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Пермском семинаре по ФДУ (2002-2005 гг.), на научной конференции „Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Ижевск, 2002 г.), в Воронежской весенней математической школе „Поптрягипские чтения-XIV" (Воронеж, 2003 г.), на семинаре проф. А. Б. Костючспко и проф. В. В. Власова в Московском гос. университете (Москва, 2003 г.), па VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Н. Новгород, 2004 г.), па семинаре кафедры теоретической механики Уральского гос. университета (Екатеринбург, 2005 г.), на семинаре проф. Ю. Н. Смолина в Магнитогорском гос. университете (Магнитогорск, 2005 г.).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [54]-[G2].
Обобщение теоремы о жордановой форме матрицы
История вопроса. Начало систематических исследовании функциоиалыю-дифференциалышых уравнении (ФДУ) относится к середине XX столетия. Важнейшим подклассом ФДУ являются линейные уравнения с последействием. Для таких уравнении, заданных на полуоси, первостепенное значение имеет устойчивость решений. Классические результаты, полученные в исследованиях устойчивости, содержатся в монографиях Н. В. Азбелсва и П. М. Симонова [G], Р. Беллмана и К. Л. Кука [10], К. Гопалсами [67], В. Б. Колмановского и В. Р. Носова [31], А. Д. Мышкиса [41], А. Халаная [68], Дж. Хейла [52]. Наиболее полная библиография работ по устойчивости ФДУ (415 наименований) находится в работе [С].
Обобщения на ФДУ определений устойчивости, данных для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), у разных исследователей формально различаются, что неизбежно уже в силу разного понимания решения уравнения. Все эти определения объединяет то, что устойчивость является в сущности в том или ином смысле непрерывной зависимостью нормы вектора решения от определяющих его данных. В силу эквивалентности всех норм в конечномерном пространстве смысл определении не зависит от вида нормировки. Такая устойчивость в данной работе называется классической.
Наибольшее количество работ по неклассичсским видам устойчивости посвящены задаче устойчивости относительно части переменных, впервые поставленной ещё Л. М. Ляпуновым [33] как обобщение задачи устойчивости относительно всех переменных. Сам Ляпунов этой задачей не занимался; систематические исследования устойчивости относительно части переменных, или частичной устойчивости, начались в 50-х годах прошлого столетия, что было стимулировано потребностями прикладной механики и техники, в частности, ракетно-космической. Практическая значимость исследований в области частичной устойчивости была показана В. В. Румянцевым, что инициировало большое количество работ в СССР и за рубежом. Достижения в этой области систематизированы в монографиях В. В. Румянцева и А. С. Озиранера [44] и В. И. Воротникова [17], а также в новой монографии В. И. Воротникова и В. В. Румянцева [18], одной из основных тем которой является рассмотрение приложений исследований частичной устойчивости.
До сих пор исследования частичной устойчивости, как правило, ограничивались рассмотрением ОДУ, а основным методом исследован и її являлся метод функций Ляпунова. Но каждый метод имеет свои естественные границы применимости и свои естественные возможности. Главным достоинством метода функций Ляпунова является его универсальность, возможность получать условия устойчивости широких классов дифференциальных систем. Особенно успешно применяется этот метод в решении прикладных задач. Достаточно полный обзор результатов, касающихся развития метода функции Ляпунова применительно к задаче частичной устойчивости, дан в монографии [44]. Но при этом, как замечают авторы монографии [G], „для уравнений с запаздывающим аргументом классические концепции и приемы Ляпунова иногда оказываются неестественными и часто не приводят к желаемым результатам".
Так, стремление свести решение задачи частичной устойчивости именно к использованию метода функции Ляпунова помешало В. И. Воротникову с помощью предложенного им конструктивного алгоритма построения вспомогательной системы, разработке применении которого, как говорит сам автор, посвящена монография [17], получить эффективный критерий частичной устойчивости автономных систем с последействием. Подробнее результаты В. И. Воротникова и других исследователей частичной устойчивости рассматриваются в 3.3 данной работы.
Частичная устойчивость до сих пор исследовалась вне взаимосвязи с условной устойчивостью, то есть непрерывной зависимостью решения от начальных данных, на изменение которых наложены ограничения ([50], с. 294). Эта связь описывается в данной работе — по-видимому, впервые. Для ОДУ известны признаки существования устойчивого многообразия ([23], гл. IV, 22), но отсутствуют попытки его описания через параметры системы. Задача условной устойчивости ФДУ, видимо, до сих пор никем не ставилась.
В нашем понимании, исследовать вектор-функцию и отдельные сё компоненты — существенно разные задачи. Представляется, что при исследовании неклассичеекпх видов устойчивости применяются методы, разработанные для классических задач, только потому, что пока ещё мало усилий было уделено поискам других. Поэтому не стоит удивляться тому, что устойчивость но части переменных и условная устойчивость диффенциаль-ных систем только в тривиальных случаях изучены па уровне, сравнимом с уровнем разработки задач устойчивости в сё классическом понимании. Данная работа является попыткой восполнить этот пробел.
Объект исследования н основные результаты. Как отмечено выше, к формальному определению классической устойчивости решений ФДУ нет единого общепризнанного подхода. Данная работа следует в этом вопросе традициям школы Н. В. Азбелева.
Максимальные и минимальные инвариантные подпространства
Имеем: F = С - А0Р, G = -Р, где С,Р Є Срхр таковы, что, по определению Sp(X), Ао является корнем кратности не меньшей чем т многочлена dct(C — АР). Отождествим матрицы С и Р с определяемыми ими преобразованиями пространства Ср. Согласно лемме 1.2 существует подпространство размерности т пространства Ср, базис которого состоит из серий со значением Ао относительно пары преобразований С, Р. Каждой такой серии }ц, hs, где }ц = поставим в соответствие последовательность ди02, ,9s тр-ысриых столбцов вида
Нетрудно убедиться, что вес элементы системы {gi}f=l являются решениями уравнения М д — 0. Объединив последовательности {gi} , построенные для каждой серии {/ij}-Lb получаем га решений уравнения М д — 0. Линейная независимость этих решений следует из линейной независимости системы столбцов всех серий. Таким образом, dimkorM7 т, а значит, в силу произвольности выбора матрицы вида М , dim ker М т.
Выберем произвольно линейно независимую систему X = {со1(ж],xf,... ІХ7Р)}І-\ решений уравнения Мд — 0. Для всех пар ihj) {1,2, ...,га}2 положим у( = co\{x\j l)p+\x\j i)p+2,..,,xf) Є С. Обозначим через Ар р х р-матрицу, образуемую пересечением р верхних строк и р левых столбцов матрицы Л. Для любого і Є {1,2,..., m} имеем {Ар - A0/)yJ = yf,..., (Ap - ХОПУГ1 = У?, (АР - )У? = - t1-1) Система Y\ = {у}}Т=\ линейно независима. Действительно, из (1.1) следует, что если ciy] + с2у\ +.. - + cmylm = 0, то сіу{ + с2? -f . . . + СтУ3т = О для любого j Є {1,2,..., т}. Следовательно, откуда (ci)2+(c2)2 + . - - + (cm)2 = 0, поскольку в противном случае система X была бы линейно зависима. Таким образом, ранг системы У = {у$ }fj=i не меньше т. Определим систему Z n-мерных столбцов, которые получаются приписыванием к столбцам системы Y снизу (п — р) нулей. Из определении систем X, Y и Z и соотношения (1.1) следует, что для каждого z Є Z и для некоторого к Є N имеем (А — X$I)kz = 0. Система Z в базисе Е пространства Ф определяет систему векторов, принадлежащих подпространству R. Обозначим линейную оболочку этой системы через Ro- Имеем: dim RQ m и (А — AoI)fcRo — 0 для некоторого к Є N. Значит, Ro v(A) и кратность корня Ло зхарактеристнческого многочлена сужения преобразования А на подпространство Ro не меньше т. Искомое подпространство Rp получаем как объединение соответству ющих каждому корню XQ многочлена Sp(X) подпространств Ro- Обозначим ДДА) — -fjx) Следствие 1.1. Многочлен Ар(Х) имеет степень (п — р) тогда и только тогда, когда осе элементы матрицы, образуемой пересечением (п — р) ниоісиих строк и р левых столбцов матрицы А, рав}1Ы 0; в противном случае степень АР(А) выше (п—р). Доказательство. Пусть в г-ії строке и j-u столбце матрицы Л, где р+ЦКпи 1 j р, находится элемент с ф 0. Рассмотрим матрицу, образуемую пересечением р левых столбцов матрицы А — XI и следующих её строк: i-i i и всех с 1-й по р-ю кроме j-ii. Определитель этой А-ыатрпцы принадлежит множеству Dpi а его степень равна (р — 1). Значит, степень многочлена 5Р(Х) не превосходит (р — 1), а многочлена Др(А) — не ниже (n-p+1). D Следствие 1.2. Многочлени Ар(Х) и Дл(А) совпадают тогда и только тогда, когда среди многочленов из миоэ/сества Dp найдутся несколько взаимно простых (таких, что их наибольший общий делитель равен 1). Следствие 1.3. Пусть р = п — 1. Тогда многочлены АР(Х) и Ал(А) совпадают если и только если среди всех кроме верхнего элементов левого столбца матрицы Л есть ненулевые. Следствие 1.4. Пусть р п — 2. Тогда если при отбрасывании от каоїс-дого из двух левых столбцов матрицы Л двух верхних элементов получаются два линейно независимых столбца, то многочлены АР(А) и Ал(А) совпадают. 1.4. Максимальные и минимальные инвариантные подпространства Пусть Y — подпространство линейного пространства X и С Є [X]. Будем называть максимальным содержащимся в Y инвариантным относительно С подпространством сумму всех таких Z Є V(C), что ZCY. Будем называть минимальным содсроісащим Y инвариантным относительно С подпространством пересечение всех таких Z 6 (С), что ZDY.
Подпространство RQ, рассматривавшееся в теореме 1.1, есть максимальное содержащееся в подпространстве R С ф инвариантное относительно преобразования А подпрострапство. Обозначим через S такое подпространство пространства Ф, что Ф = R S. Через Sa обозначим минимальное содержащее S подпрострапство, инвариантное относительно преобразования А , определяющегося в базисе Е (см. 1.1) матрицей ЛТ. Обозначим через Ир и S подпространства: соответственно максимальное содержащееся и R инвариантное относительно Ат и минимальное содержащее S инвариантное относительно А.
Сведение задач а- и -устойчивости к задаче классической устойчивости
Благодаря однозначной разрешимости каждого уравнения (2.2) при задании начального условия x(s) — х3, однозначно определяется следующее понятие.
Определение 2.2. Матрицей Коши уравнения (2.1) называется матрица-функция двух переменных С : А = C(t,s), столбцы которой при каждом фиксированном s Є Mo являются решениями уравнения (2.2), заданными начальным условием C(s,s) — /.
Таким образом, при каждом фиксированном s Є MQ матрица Коши задает фундаментальную матрицу решений уравнения (2.2): если х : Rs — Сга — его решение, то для любого і Є Rs имеем
Определение 2.2 обобщает понятие, используемое в теории обыкновенных дифференциальных уравнении {[9], [23]). Естественно, что такое обобщение можно производить не единственным способом и при любом расширении применения матрицы Коши на уравнения с последействием сохраняются не все свойства, присущие матрице Коши уравнений „без памяти". Поэтому остановимся на вопросе, какие именно свойства имеют для нас принципиальное значение.
Если в уравнении (2.1) отсутствует последействие, то уравнение принимает вид Нетрудно видеть, что формула (2.3) справедлива для любого решения соответствующего однородного уравнения при всех (t,s) Є А, Отсюда получаем: если s = и t, то
Для уравнения (2.4) матрица-функції я X{i) — C(t,0) является фундаментальной матрицей решений. Так как det X(t) 0 при всех і Є Мо то из (2.5) следует соотношение C(t,s) — X(t)X l(s), которое обычно принимают в качестве определения матрицы Коши обыкновенного дифференцпалыгого уравнения ([22], с.147; [23], с. 7G). Для уравнений с последействием ни одно из указанных свойств уравнения (2.4), вообще говоря, не справедливо (обобщение на уравнение (2.1) важного в теории обыкновенных дифференциальных уравнений свойства (2.5) получено в работе [49]). Ценность матрицы Коши определяется нижеследующим.
Решение дифференциального уравнения (2.1) представимо в виде [35] где оператор Коши С определяется равенством Формула (2.6) предлагает представление любого решения уравнения (2.1) через значение х(0) в начальной точке и правую часть /. В Пермском семинаре по ФДУ её по сложившейся традиции называют формулой Коши. Следствием линейности уравнения (2.1) является равносильность устойчивости одного его решения устойчивости всех решений. Формула (2.3) показывает, что устойчивость решений уравнения из семейства (2.2) определяется наличием определённого вида оценки сверху нормы матрицы Коши C(t,s) при фиксированном s Є Мо и всех і Ms. Решение неоднородного уравнения (2.1) определяется значениями C(t,s) при всех (t,s) Є А. В соответствии с этим будем называть неоднородное уравнение (2.1) устойчивым, если устойчивы решения всех уравнений семейства (2.2). А Устойчивость будем называть равномерной, если оценка нормы ]C(,s)] равномерна относительно s. Определение 2.3. Уравнение (2.1) называется асимптотически устойчивым, если для любого фиксированного 5 Ко имеем \C{t, s)\ —» 0 при t —» оо; равномерно асимптотически устойчивым, если C(i,s) — 0 при t —+ оо равномерно по 5; экспоненциально устойчивым, если для любого 5 Є MQ существуют такие Ns 0 и 75 0, что C(f, s)\ Nae-i V- ) при всех te Rs. равномерно экспоненциально устойчивым, если существуют такие iV 0 и 7 0, что \C{t,s)\ Ne-rt- ) при всех (t,s) А. Устойчивость уравнения (2.1) в смысле данного определения далее будем называть классической. Таким образом, классическая устойчивость уравнения (2.1) относительно начального значения будет рассматриваться как справедливость некоторой оценки сверху нормы его матрицы Копій. В этом мы используем подход авторов монографий [9], [22], [6]. В следующем параграфе вводятся в рассмотрение свойства решений, для которых классическая устойчивость является частным случаем.
Сопоставление с известными результатами
Фазовым пространством Ф уравнения (2.1) будем называть п-мериое комплексное линеііное пространство. Базис задаёт в фазовом пространстве систему координат: разложение по базису ставит в соответствие каждому вектору пространства Ф координатный столбец из пространства С". Таким образом, каждое решение х : RQ — Сп уравнения (2.1) определяет при заданном базисе фазового пространства отображение х : EQ — где для каждого t Є Mo столбец x(t) Є С1 является координатным столбцом вектора х(і) Є Ф.
Свойства решений уравнения (2.1), не связанные с выбором системы координат фазового пространства, будем называть геометрическими свойствами решений. Таким образом, геометрическими являются те свойства решения х : Ro , что присущи в равной степени любому отображению Но в Сп, определяющему в некоторой системе координат пространства Ф заданное решением х отображение х : 1 — Ф. Геометрическими свойствами уравнения (2.1) будем называть свойства, определяемые множеством всех его решений как отображений RQ В Ф.
Из эквивалентности всех норм в конечномерном линейном пространстве ([48], гл. 1, п. 3.2) очевидным образом следует, что устойчивость (то есть её наличие или отсутствие) является геометрических! свойством решения уравнения (2.1). Следовательно, классическая устойчивость является геометрическим свойством уравнения (2.1).
Ниже определяются типы устойчивости, обобщающие понятие классической устойчивости и имеющие те же разновидности (см. определения 2.1 и 2.3): устойчивость по Ляпунову, асимптотическая, экспоненциальная и соответствующие виды равномерной устойчивости. Излагаемое в этом параграфе относится в равной степени ко всем этим разновидностям, которые поэтому далее специально не указываются.
Назовём S С Ф устойчивым подпространством уравнения (2.1), если для любых таких решений x(t) и у(), что определяемые их начальными точками х(0) и т/(0) векторы х(0) и у(0) лежат в S, справедливо условие соответствующего пункта определения 2.1. Существование нетривиального устойчивого многообразия фазового пространства уравнения называется в литературе условной устойчивостью ([23], гл. IV, 22; [50], гл. 4, 8). Устойчивость заданного подпространства S С Ф является геометрическим свойством уравнения (2.1) вследствие эквивалентности всех норм в S.
Условную устойчивость, как и классическую, можно определит!) как свойство матрицы Коши. Действительно, для решении х = x(t) иі/ = у (і) уравнения (2.2) имеем x(t) — y{t) — C(t,s)(x{s) — y[s)). Значит, подпространство S С Ф является устойчивым для уравнения (2.1) если и только если для всех х Є S справедлива соответствующая оценка нормы \C(t, s) х\, где х — координатный столбец вектора х.
Решение х = col(xi,:c2,) уравнения (2.1) называется устойчивым относительно переменных жц. ,...,2 , если соответствующее неравенство, указанное в определении 2.1 для нормы вектора x{t) — y(i) — col(xi(i) — т/і(),..., xn(i) — yn{t}), выполняется для нормы вектора x (t) — y (t) = co\(xi(t) — з/і(ї),... ,xp(t) — 2/p(),0,... ,0) (например, устойчивость решения х = x(t) по Ляпунову относительно переменных xi,..., хр означает, что для любого е 0 существует 5 = 6(e) 0 такое, что для любого решения у = y(t) такого, что :г(0)—у(0) , имеем: устойчивость называют устойчивостью по части переменных или по части координат, а также частичной устойчивостью ([17], [18]); в англоязычной литературе, как правило, используется термин partial stability.
Устойчивость относительно переменных жі,...,жр столбца матрицы Коши как решения уравнения (2.2) определяется оценкой норм первых р его элементов. Любое решение уравнения (2.2) является линейной комбинацией столбцов матрицы Копій, следовательно, устойчивость уравнения (2.1) относительно переменных жі,...,Жр (которая есть устойчивость всех уравнений семейства (2.2)) определяется существованием оценки норм всех элементов первых р строк матрицы Копій. Значит, устойчивость по части переменных уравнения (2.1) равносильна существованию для всех а = со1(аі,..., сир, 0,..., 0) соответствующей оценки сверху нормы \CF[t}s)-a\.
В данном определении частичной устойчивости система координат фазового пространства предполагается выбранной. Причём оказывается, что без ущерба для смысла определения нельзя менять не только то компоненты базиса фазового дростраиства, что указаны явно, но и остальные.
Пример 2.1. Матрица Кошн обыкновенного дифференциального уравнения х Ах, где х = col(xi)X2), А = ("о1?)» "мест вид C(t}s) — (е п «-») Уравнение устойчиво относительно переменной Х\. Изменим второй базисный вектор фазового пространства: пусть векторы нового базиса имеют в старом координаты col(l,0), col(l, 1). Тогда старые базисные векторы имеют в новом базисе координаты со1(1,0), col(—1,1). Матрица А при переходе к новому базису переходит в матрицу
