Содержание к диссертации
Введение 3
Глава 1 Аппроксимация неконформными элементами 13
-
Формулировка исходной задачи 14
-
Дискретизация 16
-
Сеточное неравенство Корна 21
-
Анализ сходимости 34
-
Влияние стабилизирующего функционала 50
-
Численный эксперимент 53
Глава 2 Переобусловливание сеточных уравнений 57
2.1 Неконформная аппроксимация трехмерной
задачи упругости 58
2.2 Эквивалентность энергетической и градиентной
сеточных норм 60
2.3 Диагоиализация матриц при нормальных и
касательных перемещениях 64
2.4 Переобусловливатель с внутренними
чебышевскими процедурами 73
2.5 Численные эксперименты 79
Глава 3 Экстраполяция по параметру в возмущенной вари
ационной задаче в смешанной постановке 86
-
Предварительные сведения 87
-
Экстраполяция по параметру регуляризации 92
-
Приложение к краевым задачам 99
-
Численные примеры 107
Заключение 113
Литература 114
Введение к работе
Современные приложения имеют дело, как правило, с трехмерными математическими моделями, включающими комплексное описание целого ряда физических процессов. Такие модели содержат уравнения разных типов (эллиптические, параболические, гиперболические). Ярким примером такой модели является математическое описание процесса электромиграции атомов при функционировании устройств микроэлектроники - одновременно решаются эллиптические уравнения электростатики, стационарной теплопроводности, упругости и параболическое уравнение диффузии атомов. Другим характерным примером являются задачи двухфазной филырации несжимаемых жидкостей, описывающих, например, процессы вытеснения нефти водой при эксплуатации нефіяньгх пластов. При этом часто основным "иередатчиком"ипформации между уравнениями является не само поле, а ею градиент. В связи с этим, наряду с экономичностью и точностью алгоритмов, важную роль приобретает проблема эффективного согласования уравнений друг с другом.
Указанная выше проблема может быть эффективно решена в рамках метода конечных элементов (МКЭ) с использованием неконформных элементов. Данная диссертация посвящена построению и исследованию неконформных конечных элементов нового типа для решения трехмерных уравнений Ламе. Основное достоинство предлагаемых элементов со- стоит в согласованности с элементами Равьяра-Тома [46], широко используемыми в смешанном МКЭ, и степени свободы для которых "привяза-ны"к граням ячеек сетки. Отметим, что смешанный МКЭ является одним из способов одновременного оіьіскаиия потенциала и его градиента. Под согласованностью понимается единая структура данных программного комплекса. Так же в данной работе будет проведено обсуждение одного из способов реализации смешанного МКЭ.
В этом введении мы по традиции приведем некоторые соображения по поводу актуальности данной тематики, конкретизируем цель исследования, а также остановимся на научной новизне результатов. Затем приведем краткое описание содержания отдельных глав, сопровождая его необходимыми комментариями литературных источников.
Следующие факторы обуславливают актуальность тематики данной работы. Во-первых, это отмеченная выше возрастающая поіребпость в математическом моделировании сложных процессов при помощи единых программных комплексов. В частности, при одновременном решении эллиптических задач в смешанной постановке и уравнений линейной теории упругости возникает необходимость согласования структуры данных, привязкой степеней свободы к граням ячеек. Такую привязку для уравнений Ламе можно осуществить введением множителей Лагранжа. При этом Арнольд и Брецци [18] показали, что дополнение Шура для множителей Лагранжа может бьиь получено непосредственно с помощью неконформных элементов. Именно такого рода элементы и будут рассмотрены в данной работе. Во-вюрых, необходимым требованием к современным алгоритмам является возможность их эффективной реализации на многопроцессорных ЭВМ. Разрабатываемая в работе методика допускает достаточно эффективное распараллеливания па малом числе процессоров. И наконец, приводимые в диссертации теоретические факты имеют, на наш вигляд, актуальность в смысле фундаментальных исследований по вычислительной маїематике в контексте возросшего интереса к некопфорному и смешанному МКЭ.
Теперь кратко остановимся на научной новизне полученных результатов. - В диссертации предлагается 2 новых семейства неконформных ко нечных элементов на параллелепипедальной сетке для трехмерных урав нений Ламе. Для каждого шпа элементов доказан сеточный аналог нера венства Корна (теорема 1.3.1) и получены оценки погрешности в раз личных нормах. Необходимо добавить, что наличие неравенства Корна обусловлено добавлением стабилизирующего функционала.
Для решения сисіемьі уравнений полученной из уравнений Ламе с помощью предложенных неконформных элементов сконструирован достаточно эффективный переобуславливатель в итерационном методе сопряженных градиентов. Конструкция основана па спектральной эквивалентности оператора сеточной задачи сеточному оператору Лапласа и использовании внучренних чебышевских проце/гур вмесю обращения дополнения Шура. - Для уравнений в смешанных постановках и уравнений Ламе с вы делением одного из инвариантов предложен эффективный способ реше ния задачи, основанный на экстраполяции но малому параметру метода ш графа.
Полученные результаты являются новыми и опубликованы в рецензируемых научных журналах.
Перейдем к краткому описанию содержания диссертации. Кроме данного введения, работа состоит из трех глав, заключения и списка литературы. Собственно материалам исследования посвящены главы с цервой но третью. Для удобства чтения каждая глава предворяется кратким введением. Заключение содержит краткое резюме о полученных результатов. Список литературы содержит 52 наименования. Ссылки на первоисточники даны во введении. В основной части текста упоминаются лишь работы, содержащие некоторые конкретные факты, используемые для доказательств утверждений. Каждая глава разделена на пункты с двухиндексньши номерами. В диссертации принята сквозная трехин-дексная нумерация формул, теорем, лемм и ссылок на них. Первый индекс соответствует номеру главы, второй - номеру пункта главы, третий - номеру формулы или утверждения данной главы.
Как уже говорилось, диссертационная работа посвящена развитию численных методов для решения системы уравнений Ламе. С литературой по уравнениям Ламе и непосредственно по эллиптическим уравнениям, частным случаем которых они являются, а также по МКЭ и решению систем сеточных уравнений, можно ознакомиться в [9, 10, 2, 13, 14, 15, 22, 16].
При решении задач механики сплошной среды широко используется пеконформный метод конечных элементов, когда допустимое пространство сеточных функций не является подмножеством пространства разрешимости исходной вариационной задачи. При '-этом одним из наиболее употребимых средств являются элементы Крузея Равьяра [29], степени свободы для которых связаны со сюронами симплициальной сегки. Более подробно с неконформными конечными элементами можно озна- комигься в [ЗО, 32, 43, 45, 16, 49],
Для трехмерной задачи Стокса иеконформпые элементы со степенями свободы на гранях ячеек параллелейипедальной (или "почти" па-раллслепииедалыюй) сетки были введены в работе [44]. При этом были рассмотрены узловые и "моментные"сгепени свободы. Для двумерных уравнений Ламе аналогичный неконформный МКЭ был детально проанализирован Р. Фолком в работе [30]. Перенос этих результатов на трехмерный случай вызывает определенные ірудности, связанные с наличием жестких вращательных перемещений (даже при наличии условий Дирихле на части границы). В работе [34] в рамках разрывного метода Галеркина проведено исследование неконформного меюда на симпли-циальном разбиении для плоской задачи теории упругости. При этом устойчивость обеспечивается добавлением стабилизирующего функционала на границах ячеек. В недавней работе [33] анонсирован перенос результатов Р. Фолка на трехмерный случай. Однако, в [3.3] не используется стабилизирующая добавка, а для приведенного способа аппроксимации отсутствуют доказательства корректносіи сеючной задачи и сходимости приближенного решения к точному. Математически проблема неустойчивости связана с тем, что в общем случае закрепления части границы может отсутствовать сеючный аналої' неравенства Корна. В эюм случае сехочный оператор теории упругости имеет не пустое ядро и, следовательно, не порождает скалярное произведение в пространстве разрешимости сеточной задачи.
В главе 1 для трехмерной задачи теории упругости предлагаются неконформные элементы типа Крузея-Равьяра на параллелепипедаль-иой сетке (отличные от предложенных в [44]). Глава организована сле- дующим образом. Во вспомогательном п.1 приводятся некоторые обозначения и формулируется вариационная задача теории упругости. В и.2 вводится пространство неконформных конечных элементов с двумя типами интерполмнтов - узловым и "момснтным". После эх ого формулируются соответствующие сеточные задачи с использованием аналогичного [34J стабилизирующего функционала. Причем вид этого функционала является есхесхвенной добавкой необходимой для выполнения сеточного неравенства Корна, доказательство которого содержится п.З (теорема 1.3.2). Сеточные неравенства Корна для различных типов конечно элементных аппроксимаций усханавливаютсн в работах [30, 16, 50, 51, 52]. Отличихельной особенностью полученною неравенства является независимость константы ог параметров сегки (от ох ношения шагов). Непосредственным следствием этой теоремы являехся утверждение об однозначной разрешимости рассматриваемых сехочных систем (теорема 1.3.3). Далее, в и.4 приводятся результаты о сходимости метода. Отметим, что в п.З мы следовали техническим приемам работы [25], а п.4 повторяет, отчасти, некохорые рассуждения из статей [29, 44]. П.5 посвящен обсуждению роли стабилизирующего функционала. В случае наличия условий Дирихле на всей границе области билинейная форма задачи без стабилизирующего функционала нораждает энергетическое скалярное произведение (теорема 1.5.1). С другой стороны, приводніся пример сеточной задачи без этой добавки, в котором, несмотря на наличие условий Дирихле на части границы, оператор задачи имеет непустое ядро. И наконец, п.6 содержит результаты численных экспериментов. При этом основным вохіросом, на кохорый эксперимент дает ответ, является вопрос о роли стабилизирующего функционала. Одним из основных резулыа- тов 1-ой главы, наравне с сеточным аналогом неравенства Корна, можно считать доказательство сходимости сеточного решения в энергетической норме с порядком 0(Д2), а в І^-норме с порядком 0(h2) (теоремы 1.4.1 и 1.4.2).
Построению экономичного ніерационного метода решения возникающих сеточных задач посвящена глава 2. Собственно речь идет о конструировании переобуславливателя в обобщенном методе сопряженных градиентов. Объем литературы по построению переобуславливателей для итерационных методов решения сеточных эллиптических задач огромен, и поэтому мы будем ссылаться только на работы, непосредственно имеющие отношение к нашему исследованию. К таким работам следует отнести, в первую очередь, статьи [39, 23], в которых для двумерных задач теории упругости с использованием элементов из [44] рассматриваются двухуровневые переобуславливатели. Основная цель этих работ состоит в организации эффективного распараллеливания вычислений. Отсутствие в указанных работах стабилизирующего функционала должно вызвать определенную настороженность при практическом применении предлаїаемьіх в них алгоритмов.
Общая схема построения переобуславливателя, предлагаемого в данной главе, состоит из трех этапов. На первом этапе осуществляется переход от оператора Ламэ к оператору Лапласа. Позволяет это сделать се j очное неравенство Корна из предыдущей главы [38] и непрерывность сеточного знеріегического скалярною произведения, устанавливаемая в п.2. (теорема 2.2.1). Второй этап состоит в диагопализации некоторых блоков матрицы жесткости, соответствующей оператору Лапласа. Это позволяет существенно упростить дальнейшие вычисления. Близкий подход использован в работах [23, 17, 42]. Эквивалентность таким образом модифицированной матрицы матрице, соответствующей оператору Лапласа, показана в п.З (лемма 2.3.1. И, наконец, третий этап состоит в в замене обращения дополнения Шура для нормальных компонент вектора перемещений на некоторое фиксированное число шагов чебышевского процесса с внутренним иереобусловливателем. Здесь мы следуем работе [40], в которой, в частности, показана связь числа обусловленности для внутренней чебышевской процедуры и общей переобусловленной системы (лемма 2.4.1). Переобусловливатель для дополнения Шура строится в одной из форм метода SSOR (в форме попеременно-треугольного метода, в терминологии А.А. Самарского) с оптимальным параметром [15]. Однако, указанный подход 'требует знания спектральной информации о дополнении Шура {как для вычисления коэффициентов чебышевского метода, так и для указания оптимального параметра в попеременно-треугольном нереобусловливателе). Для решения этой проблемы мы используем недавние результаты А.Н. Коновалова, где для оптимизации попеременно-треугольного метода не требуеіся априорной спектральной информации [5, 6]. Более того, требуемая для применения чебышевской процедуры информация вырабатывается в начале вычислений, благодаря наличию асимптотического режима [31, 15]. Следует отметить, что переобусловливание общей системы (без выделения дополнения Шура) при помощи оптимального попеременно-треугольного метода не целесообразно - соответствующая аргументация приведена в конце п.4. В и.5 приводится ряд тестовых расчетов, иллюстрирующих весьма высокую эффективность предложенной методики.
