Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений Федотов Александр Евгеньевич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Смешанные методы для уравнений с сильно монотонными операторами 25

1. Постановка задачи 25

2. Существование обобщённого решения 26

3. Смешанная постановка задачи 32

4. Дискретизация задачи 43

5. Оценки точности метода 47

6. Итерационный метод и его сходимость 56

7. Численные эксперименты 63

ГЛАВА II. Смешанные методы для вырождающихся эллиптических уравнений 66

1. Постановка задачи 66

2. Смешанная постановка задачи 69

3. Дискретизация смешанной задачи 71

4. Исследование приближенного метода 72

5. Итерационный метод 77

6. Исследование сходимости итерационного метода 79

7. Численные эксперименты 81

ГЛАВА III. Пример применения смешанных схем . 84

1. Постановка смешанной стационарной задачи фильтрации несжи маемой жидкости 84

2. Дискретизация задачи 89

3. Исследование приближенного метода в случае задачи фильтрации . 89

4. Итерационный метод 92

5. Численные эксперименты 93

Литература

• Смешанная постановка задачи
• Итерационный метод и его сходимость
• Исследование приближенного метода
• Исследование приближенного метода в случае задачи фильтрации

Введение к работе

1. Актуальность темы. Метод конечных элементов является одним из наиболее распространённых методов решения задач математической физики. Это связано с большой универсальностью метода, сочетающего в себе лучшие качества вариационных и разностных методов. К его несомненным достоинствам относятся возможность использования разнообразных сеток, сравнительная простота и единообразие способов построения схем высоких порядков точности в областях сложной формы. Метод естественным образом сохраняет основные свойства операторов исходных задач, такие как симметрия, положительная определённость и т. п. Различные аспекты современной теории МКЭ изложены в работах [4,7,10,20,21,38,43,47,48].

Классические варианты МКЭ (см., например, [48], с. 112, и обзор [10]) предполагают использование пространств элементов высокой гладкости, основанных на лагранжевой либо эрмитовой интерполяции. Возникающие на этом пути численные алгоритмы зачастую оказываются весьма трудоёмкими. Стремление использовать более простые элементы объясняет появление специального класса схем МКЭ — смешанных методов конечных элементов (СМКЭ) и близких к ним разновидностей МКЭ — смешанно-гибридных и гибридных схем (см., например, обзор в [48], с. 402 - 408). Главное преимущество таких схем состоит в возможности использования простейших конечных элементов Лагранжа. Это достигается путём снижения порядка уравнений при помощи введения вспомогательных неизвестных. Как правило, эти неизвестные связаны с производными искомых функций

и имеют определённый физический смысл (например, — это поток, изгибающие моменты, и т.д.), их вычисление зачастую представляет даже больший практический интерес. Введение вспомогательных неизвестных часто осуществляется за счёт использования двойственной, смешанной или какой-либо иной вариационной переформулировки исходной задачи (см., например, [1,48,84-87]). Впервые абстрактный математический анализ таких методов был проведён в работах Обена, Бушара и Бабушки [44,51,52], позже в работах Кикути, Хас-лингер, Главачек [70-72,78].

П.А. Равьяр, Ж.М. Тома [98] построили различные пространства конечных элементов, используемые для аппроксимации смешанных схем, и получили соответствующие порядки сходимости. Дальнейшие результаты были получены в работах Мэнсфильда [83]. Для получения оценок ошибки Шольц [104], [105] применил метод весовых норм И. Нитше.

Ф. Бреззи, П.А. Равьяр [61] разработали общую теорию смешанных методов для задач четвёртого порядка и получили оптимальные

ОЦеНКИ Ошибки В Норме || 110,Г2-

Смешанные методы конечных элементов для задачи о пластине, впервые предложены Германом [74] и позже развиты в работах По-цески [94], Хеллана [73], Виссера [108]. Анализ таких методов проведён в работах [75,76,81,82,84,102]. В работах Береззи [57], Бреззи и Равьяра [61], Фалка и Осборна [64] были получены оптимальные оценки погрешности этих схем, создана общая теория СМКЭ для линейных эллиптических уравнений четвёртого порядка. Различные модификации СМКЭ и их обоснование можно найти также в [15-17,24,25,28-30,33,40,41,60,63,83,85,86,93-95].

Методы конечных элементов смешанного типа используются также при аппроксимации решений задач Стокса и Навье — Стокса. Та-

кие методы изучались Тейлором, Ходдом [106], Берковье [54], Берко-вье, Ливном [55], Жиро [68], [69], Равьяром [97], Фортином [67].

Смешанные методы также используются при решении нелинейных задач, таких, как уравнения Кармана (Миёси [85-87]), упруго-пластические пластины (Бреззи, Джонсон, Мерсье [60]), нелинейные задачи теории оболочек (М.М. Качевский, Л.Ш. Заботина [14-17]), нелинейные задачи монотонного типа (Берковье [54], Шёрер [103]).

Смешанные методы одновременно дают аппроксимацию решений основной и двойственной задач. Так как на практике решение двойственной задачи состоит в вычислении производных (градиента) от решения основной задачи, то терминология смешанный метод может быть также более широко часто используется для всякой процедуры аппроксимации, когда одновременно аппроксимируется неизвестное и некоторые из его производных независимо от того, делается ли это с помощью техники двойственности или нет. Такое определение, в частности, даётся Дж. Оденом, подробно изучившим такие методы (см. [53,88-93,99,101]).

Теория смешанных методов для линейных, а также весьма широких классов нелинейных эллиптических уравнений в пространствах W~2 развита к настоящему времени достаточно полно (см., например, [65,66]). Значительно слабее изучены теоретические вопросы смешанного метода конечных элементов для эллиптических уравнений в пространствах Wp и уравнений в W^ допускающих вырождение по нелинейности. В то же время, многие важные практические задачи приводят именно к таким уравнениям. К ним относятся стационарные задачи фильтрации жидкости, подчиняющейся закону фильтрации с предельным градиентом сдвига.

Исследованию смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений с сильно монотонными опера-

торами посвящены работы [65,66]. Общие подходы к построению и исследованию смешанных схем метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений с вырождающимися операторами изучались в работах [31,34].

1. Цель работы. Построение смешанных схем метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка, исследование условий разрешимости и сходимости схем, получение оценок точности, построение и исследование итерационных методов их численной реализации.

2. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, списка литературы содержащего 108 наименований.

3. Содержание работы. В настоящей работе проводится подробное исследование смешанного метода конечных элементов применительно к квазилинейным эллиптическим уравнениям. Работа состоит из трёх глав. Первая глава посвящена изучению смешанных схем МКЭ и итерационных методов для уравнений с сильно монотонными операторами. Вторая глава посвящена изучению смешанных схем МКЭ и итерационных методов для уравнений с операторами допускающими вырождение по нелинейности. Результаты вычислений, представленные в конце первой и второй глав, проводятся для уравнений с сильно монотонным оператором и представляют собой реализацию двух вариантов выбора вспомогательной переменной, рассмотренных в этих главах. В третьей главе рассмотрен частный случай задачи второй главы — задача с нелинейным вырождающимся по нелинейности оператором возникающим при описании фильтрации жидкости, следующей закону фильтрации с предельным градиентом. Особое внимание при этом уделяется построению решения, соответствующего точечному источнику заданной интенсивности.

В первой главе диссертации рассмотрена задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка в ограниченной области Q с липшицевой границей дії:

— diva(x,Vu) + ao(x,u) = f(x), х Є 0,, и(х) = О, х Є дО,,

где а(ж,) = (аі(ж,0, а₂(х,)), Є Я³.

Относительно коэффициентов задачи предполагаются выполненными условия сильной монотонности и ограниченности, т. е. при

1 < р < 2 функции аДх,), і — 0,2 удовлетворяют неравенствам

Ых,0-Ф,г_])\^с₁\^-г₁\р-\ г = 0Д (2)

(а(х, 0 - Ф,г/)) ( - V) № + hl)²^ > с₄|Є - ^|² V,і]ЄД³,жЄО, с₄ = const > 0, где а(-) = (a₀(-),ai(-),a₂{-)), при р ^ 2

(3)

Кя;,0-аг(а;,»?)|^С2ІЄ-г?Ш + МГ², * = 0,2 (4)

(5)

(а(я, 0 - Ф, 77)) « - г/) с₃|С - v\^P V V Є R³,

х Є Q, сз = const > 0. Для исходной задачи введено понятие обобщённого решения. Под

обобщённым решением задачи (1) понимается функция и Є Wl (fi), р > 1, удовлетворяющая интегральному тождеству

L{u, v) = / (а(ж, и, V«) X7v + ао(^₅ w, Vw)f)cfo; = - f fvdx = (f,v) VveW^l_p(Q).

Существенным, при построении смешанной схемы первой главы, является наличие обратного оператора у а(х,-)₇ что обусловлено выбором «потока» в качестве вспомогательной переменной.

В связи с этим далее предполагается, что а(х,-) не зависит от и, т. е. а(х, и, Vw) = а(х, Vw). Относительно ао(х, ) будем считать, что ao(x,u,Vu) — а$(х,и) и удовлетворяет условию

(аоОсО-аоМН-К-т^О У^еЛ¹. (6)

Лемма 1. Пусть выполнены условия (2)-(6). Тогда оператор а(х, ) имеет обратный оператор а~¹(х, ), обладающий свойствами

(ф-ф)- (а-\х, ф) - а~\х, ф)) > с_ъ\ф - ф\\

\аГ\х, ф)-а-¹(х,ф)\_р^с₆\ф-ф\1-¹^ < со (|0| + Н)⁵"² \Ф-Ф\, Кр<2Щ,феП²; (ф-ф)- (а-\х, ф) - а~¹(х, ф)) (\ф\ + \ф\)²~< > с₇|0 - ^|²,

В третьем параграфе сформулирована смешанная постановка задачи. При этом используется пространство

#(div,fi) = Я_в((ІІу,П) = [j Є (L_g(ft))² : divj Є L_e(fi)}

с нормой ||j||^_{(diVj n)} = у (Ь'Г + І div j\^q)dx.

n Если г/ — обобщённое решение задачи (1), то при j = a(x,Vu)

j Є H_q(div_} О,) и выполнены соотношения

/ [— divj-\-ao(x,u)]vdx = I f(x)v(x)dx Vv Є L_p(Q),

"/ , / ⁿ (7)

a (x,j)-qdx+ udivqdx = 0 \/q Є H_q,

ft ft

которые кладутся в основу расширенной постановки задачи (1), а именно, разыскивается пара функций (u,j) Є iy_p(Q) X #_g(div, Q), удовлетворяющих интегральным тождествам (7).

Теорема 1. При любой функции / Є L_q(Q) решение задачи (7) существует.

Для смешанной постановки задачи доказана теорема устойчивости из которой следует единственность решения задачи.

Теорема 2. Задача (7) является устойчивой по правой части, то есть если (ui,j\) -решение, соответствующее правой части /i, a (u2,J2) - решение, соответствующее правой части /2, то в случае р ^ 2 справедлива оценка

1!«2 - щ\\1_АЩ + \\j₂ - h\\^q_Hi[s„, щ < с (||/₂ - /,1 +

\Р)

+ ІІЛ - /1ІІ0П, + (ИЛ - ЛІІВД + 11/2 - /.11)

и в случае 1 < р < 2 оценка

ІІ«2-«і|ІІ_дп) + І!і₂-іі|І!_адл,_п) <с(||/₂-_Л||*-;' +

^{+ ІІЛ - лік,»,,+(ил - лс+ил - /ііі}_м^{«,)") .}

Постоянная С имеет вид

С = max (МЦЛЦад + ЦЛНвд)"²-"⁷'³-",

^(11/211^, + 11/111^,)^²¹)

прир^2 и

C = max(l₎c(||/₂||_{t(n) +} ||/₁|U_g(nl)*-^2)/('-¹',

cdlbC + ll/ilQr²"^^¹¹)

при 1 < р < 2.

В четвёртом параграфе проводится дискретизация задачи в смешанной постановке. При этом полагается, что область Q является многоугольником, на котором выполнена правильная регулярная триангуляция % Для приближения функции и на каждом конечном

элементе используется пространство Р_к полиномов степени к по совокупности переменных, а для приближения функции j — пространство полиномов Равьяра — Тома вида

RT_k(K) = (Р_к(К))²фхР_к(К), х = (x_hx₂),

где К — треугольник триангуляции. На всей области О, функции и и j приближаются соответственно функциями из пространств

M_h = {v_h Є L_p(Q); v_h\_K Є Р_к(К) ШЄ%}, N_h = {q_heH_q]q\_KeRT_k(K) VKeT_h}.

Под приближенным решением задачи (7) понимается пара функций (uk,jh) Є Mh х Nh — X/j, удовлетворяющих системе уравнений

і [-divj_h + a₀(x, u_h)]v_hdx= / f(x)v_h(x)dx,

ⁿ_f r ^Q (10)

/ сГ¹ (x, j_h) -q_hdx+ u_h div q_h dx = 0 У(и_Л, q_h) Є X_h.

ft ft

Приближенная задача является устойчивой по правой части, при этом имеют место оценки аналогичные (8) и (9). Относительно приближенного решения задачи доказана

Теорема 3. Задача (10) имеет единственное решение при любой правой части f L_q(Q).

В пятом параграфе получены оценки точности смешанной схемы.

Теорема 4. Пусть (u,j) — решение смешанной задачи (7), ^а i^uh,jk) — решение приближенной смешанной задачи (10), выполнены условия гладкости

и Є W^{Q), j Є (wf⁺¹⁾(Q))\ div j Wf⁺¹⁾{Q).

Тогда в случае р ^ 2

ll^W - ^Uh\\l_pin) + НІ - ІЛІІ1,(П) + II ^div0' - ІЛ)ІІІ,(П) <

< ^^(fc+1)- (імі v^+ііііі^_(П)+її^div K^^f <

и в случае 1 < р < 2

II" - ""-Над + Ні - ЛІІІ,(П) + II ^div(j - І'0НІ,(п) < «=(h<^||_U||^_1|(fl)+

^+ft('^+1,5(lWIV-_m ^{+ l|divill}Hf-(J)^^Cft(t+1)P-В шестом параграфе предложены итерационные методы решения приближенной задачи (10) и рассмотрены способы их численной реализации.

Оператор Ah введён соотношением

AhU_h -v_h= /(- div j(u_h) + a₀(x, u_h))v_hdx \/u_h, v_h Є M_h, ft где j(uh) Є Nh определяется уравнением

/ a~^l(j_h(u_h)) q_hdx + / u_h divq_hdx = 0 Mq_h Є N_h.

ft ft

При таком определении оператора Aj_t приближенная задача (10) может быть переписана в виде

A_hu_h = f_h, /^ = //^ V„„6«, (11)

Оператор Bh определён как частный случай Л/_г, соотношением

BhU_h -v_h= jl(u_h) j*(vh)dx Vu/_t, v_h Є M_h, ft где Jl(^uh) Є Nh удовлетворяет соотношению

/ Іл(«л) ' 4hdx + u_h div ^dz = 0 Vq_h Є N_h.
n ft

Для решения задачи (10) предлагается использовать итерационный процесс:

к+1 _ к

Вн-Ъ ^h- + A_hu^k_h = f_h, А: = 0,1,..., (12)

где и\ задана, а г > 0 — итерационный параметр.

Реализация итерационного метода (12) может быть сведена к решению системы уравнений с седловой матрицей:

(13)

D,d +C_hw^k_h =0,
-СЇ9Ї = П,

и ul^+l = u^k_L + tw\. Здесь

Dhh -Qh= jh Qhdx Vj_h, q_h Є N_n, n

C_hv_h -q_h= / v_h div q_hdx Vv/_t Є M_h,q_hG N_n,

ft К -Vh={f + div j,* - a_Q(x, u^k_h))v_hdx Vu_/t Є M_h. a Система (13) возникает при решении уравнения Пуассона с использованием смешанного метода конечных элементов. Прямые и итерационные методы решения таких системы достаточно хорошо изучены.

Из (13) видно, что B_h = ClDj_}^lC_h. Матрицы B_h и B_h = h-²C%C_h энергетически эквивалентны:

c\^xB_h ^ B_h <С _CQ^lB_h,

поэтому наряду с итерационным процессом (12) предлагается использовать итерационный процесс

,А+1

_ВнЧ 4_+AhUk _{= fhj} /, = 0,1,2,....

Реализация нового итерационного процесса с Bh существенно проще, чем реализация итерационного процесса с Bh, так как вместо решения системы с седловой матрицей здесь приходится решать систему с симметричной положительно определенной ленточной матрицей Bh меньшей размерности.

Теорема 5. Пусть р = 2 и выполнены условия (2), (3), (6). Тогда оператор Ah является сильно монотонным и липшиц-иепрерывным в энергетической норме Bh, т. е. имеют место неравенства

(A_hu_h - A_hv_h) [u_h - v_h) ^ c₃||u_ft - v_h\\_Bh Чщ, v_h Є M_h,

\{A_hu_h - A_hv_h) w_h\ ^ ci||ua - v_h\\B_h\\wh\\B_h 4u_h,v_h,w_h M_h.

Здесь \\щ\\в_н ⁼ (BhUh-Uh)¹'² - это норма, соответствующая опера,-тору Bh-

С использованием свойств сильной монотонности и липшиц-неп-рерывности в энергетической норме Bh доказана

Теорема 6. Пусть выполнены условия (2)_; (3), (6). Тогда последовательность uf_b построенная с использованием итерационного метода (12) сходится для любого начального приближения и\ и для любого г Є (0,Cq/ci] к решению задачи (11) и имеет место оценка

\\u\^+l -u_h\\_Bh<^q(T)\\u^k_h-u_h\\_Bh,

где 0 < q(r) < 1.

Оценки скорости сходимости итерационного метода (12) не зависят от шага сетки h. Следовательно объём вычислительной работы, необходимый для решения исходной системы, определяется в основном используемым для решения системы (12) методом.

Вследствие неравенств эквивалентности матриц Bh и Bh все утверждения относительно сходимости первого итерационного метода сохраняются (с очевидной корректировкой условий на параметр т) и для второго предложенного итерационного метода с матрицей Б/₍.

Во второй главе рассмотрена задача Дирихле для двумерного квазилинейного дивергентного эллиптического уравнения второго порядка допускающего вырождение по нелинейности на некоторой подобласти определения решения. Решается задача

—diva(x,u,Vu) + ao(x,u,X7u) = f(x), х Є Q, и(х) = О, х Є Г

в ограниченной области О, С R² с липшицевой границей Г. Здесь а(х,ф) — (а\(х,ф), а,2(х,ф)), ао(х,ф) — заданные функции, непрерывные при х Є Q, ф — (фо, ф\, ф<і) Є R³.

Относительно коэффициентов задачи предполагаются выполненными алгебраические условия монотонности, коэрцитивности и ограниченной нелинейности:

{а{х,ф)-а(х,ф))-(ф-ф)^0 VrrGfi, ф,ф Є R³, (15)

а(х, ф)-ф^ с_х{ф\ + ф\) - с₂ УхЄП, фЄ R\ (16)

\а(х,ф)\^ф + \ф\) УжЄО,ЄЯ³, (17)

где а(х, ф) = {а>о(х, ф),аі(х, ф),й2{х, )), а, с₂ = const > 0.

Условия, налагаемые на функции, образующие уравнение, являются весьма общими и допускают вырождение уравнения по градиенту на некоторой подобласти определения решения. Оператор задачи при этом оказывается лишь монотонным.

Под обобщённым решением задачи (14) понимается функция

и Є W\ (^)) удовлетворяющая интегральному тождеству L(u, v) = I (а(х, и, Vu) Vv + clq(x, и, Vu)v) dx =

f o, (18)

= I fvdx = (f, v) V«e^i(fi).

Во втором параграфе формулируется смешанная задача. В качестве вспомогательной переменной при построении смешанной задачи предлагается выбирать функцию j — Vu. При этом, если и — обобщённое решение задачи (14), то тождественно выполняется система

a(x,u,j(u))-j(v) + ao(x,u,j)vdx= fvdx \/v Є Ь₂{Щ,
ft Q

/ j{u) -qdx-\- I udivqdx = 0 Vg Є H(div,Q).

fi n

(19)

Система (19) кладётся в основу смешанной постановки, а именно, разыскивается пара функций (и, і) Є -^г(^) х (^(^)) , удовлетворяющая интегральным тождествам (19).

В третьем параграфе формулируется дискретная смешанная задача. Относительно области Q, как и в первой главе, предполагается, что она является многоугольником. Вводится правильная регулярная триангуляция % Функции и и h приближаются функциями из пространств Mh и Nh соответственно.

Под приближенным решением задачи (14), понимается пара функций (u_h,j_h) X_h = M_h х N_h таких, что

і (а(х, Щ, jh(uh)) jh{vh) + ao{x, Щ, jh{uh))vh) dx = fv_h dx (20)
n n

для любых Vh Є Mh, где функция jh(uh) Є Nh определяется по

Щ Є Mft как решение уравнения

/ Jh(uh) -qhdx+ / u_h divq_h dx = 0 \/д_л Є iV/_t. (21)

n n

В четвёртом параграфе доказаны существование решения приближенной задачи и слабая сходимость подпоследовательности приближенных решений к точному.

Теорема 7. Пусть выполнены условия (15)-(17). Тогда задача (20), (21) имеет по крайней мере одно решение при любой правой части f Є 2(^)- Д^ЛЯ любого решения задачи (20), (21) справедлива априорная оценка

\\кЫ\\ьм <* 4йып)> (²²)

где с — постоянная не зависящая от h.

Доказано, что для любого решения (20), (21) имеет место оценка типа неравенства Фридрихса

/ u\dx^c I \jh(uh)\²dx Mu_h Є M_h,

ft ft

которая совместно с (22) позволяет оценить ||м/_г||і,₂(П)-

Теорема 8. Пусть выполнены условия (15)-(17). Тогда существуют последовательности решений щ и jh{uh) и функции и* и j* такие, что щ —* и*, jh{uh) —^ j* ^ о 1^(^2), причём, пара функций и*, j* является точным решением, задачи (19).

Использование вместо условия монотонности (15) более сильного условия (условия подчинения)

\а{х, 0 - а(х, ті) | < с((а(х, ) - а(х, г,)) « - г]))¹'² V, г, Є Я³ (23)

^х'Как обычно, символ —* обозначает слабую сходимость в соответствующем пространстве.

даёт возможность доказать единственность точного и приближенного потоков и сильную сходимость приближенного потока к точному по шагу сетки, а именно, установлены следующие результаты.

Лемма 2. Пусть выполнены условия (16), (17), (23). Тогда «поток» a(x,u,j(u)), построенный по решению задачи (19) и его конечноэлементная аппроксимация a(x,Uh,jh{^uh)), построенная по решению задачи (20), (21), определяются исходными данными задачи (14) однозначно.

Теорема 9. Пусть выполнены условия (16), (17), (23). Тогда существует последовательность h —» 0 такая, что имеет место сильная сходимость a(x,Uh,jh{uh)) ~* ^a(^xi^u,j(^u)) ^в пространстве

В пятом и шестом параграфах рассматриваются итерационные методы для решения задач допускающих вырождение но нелинейности. Введены конечномерные операторы Ah, Ch и вектор Д соотношениями

ЛнЩ -v_h= (а{х, u_h, jh(uh))' jh(vh) + a₀(x,u_h, j_h(u_h))vh) dx, ft

ft ft

Vu_h,v_h Є M_h.

Для решения задачи (20), (21) предложено использовать итерацион

ный метод

B_h^U,l+ ~^Uh=f_h-A_hu^k_h = r^k_h, = 0,1,2,..., (24

либо итерационный метод с В, рассмотренный в первой главе.

Доказана

Теорема 10. Пусть выполнены условия (16), (23). Тогда существует решение задачи (20), (21), и при любом начальном приближении u_h, 0 < г < 2/ci последовательность невязок AhU^k_h — Д стремится к нулю.

Сходимость последовательности приближений построенных с использованием предлагаемых итерационных методов имеет место только при более сильных ограничениях на а(х,р).

Теорема 11. Пусть выполнены условия (23) и

{а(х,р) - а(х, q)) (р - q) ^ с₀\р - q\² Vp, q Є Я³,

где со — положительная постоянная. Тогда задача (20), (21) имеет единственное решение. Последовательность приблиэ/сений, построенная по итерационному методу (24), сходится к приближенному решению, т. е. и\ —> щ при к —У со. Справедлива следующая оценка скорости сходимости итерационного метода (24):

\\u^h_h⁺¹ - u_h\\_Bh ^ р{г)\\и\ - U_h\\_Bh, где р(т) = (1 - 2гс₀ + т²с\)¹!² < 1 при 0 < г < 2с₀/с?.

Таким образом, можно использовать предлагаемые итерационные методы для решения задач с сильно монотонным оператором когда в качестве вспомогательной переменной выбирается градиент искомого решения, при этом последней теоремой даётся оценка скорости сходимости. Важно отметить, что при этом не требуется независимость функции а(х, ) от и, в отличие от условий налагаемых на функцию а в первой главе.

В третьей главе работы проведено подробное исследование смешанного метода конечных элементов применительно к квазилинейным эллиптическим вырождающимся уравнениям, возникающим при

описании фильтрации жидкости, следующей закону фильтрации с предельным градиентом. Особое внимание при этом уделяется построению решения, соответствующего точечному источнику заданной интенсивности. Приведены также результаты численных экспериментов.

Рассмотрена краевая задача

(25)

и(х) = О, ж Є Г. Поле скоростей фильтрации определяется как

v = -#(|Vu|)|Vu|^_1Vu,

где и — поле давлений жидкости. Изучается фильтрация в области Q из R², с липшиц-непрерывной границей Г, на которой давление считается равным нулю, при наличии источников плотности f(x).

Считаем, что функция д, определяющая закон фильтрации, пред-ставима в виде

JW = { ' ^{S < S}' (26)

[ 9*{s - so), s ^ s₀,

где so ^ 0 — заданное число, называемое предельным градиентом сдвига.

Уравнение (25) вырождается при |Vu| ^ so- Подобласти области Q, в которых выполнено это условие называются застойными зонами. Скорость фильтрации в застойных зонах обращается в нуль.

Относительно функции д* : [0, +оо) —> R¹ предполагаются выполненными условия:

g*(0) = 0,g*{s)>g'{t) Vs > * > 0, (27)

g*{s*) > Ь*, g*(s) - g*(t) > k(s - t) Vs ^ t> s*, (28)

g*{s)-g*{t)^L{s-t) VO^O, (29)

где к > О, L > О, s* ^ О — заданные постоянные. По функции g определён оператор G : R² —> Я²:

1 0, у = 0.

С точки зрения приложений особенно интересен случай, когда в качестве функции плотности источников f(x) рассматривается функция q5(x), где 5(х) есть ^-функция, сосредоточенная в начале координат. Это соответствует задаче с точечным источником (скважиной) с заданной интенсивностью (дебитом) q. Предполагается, что начало координат принадлежит Q.

Под обобщённым решением задачи (25), понимается функция v

из пространства W}(fi), удовлетворяющая интегральному тождеству
/ G(Vv{x)) Vri(x)dx = qr](0) Vr> Є C₀(fi). (ЗО)

Существование решения задачи (30) доказано в [18] на основе

представления его в виде v = v_r + Vf + и, где и — функция из W^l^) такая, что

/ {G(V(v_r + v_r + и)) - G{Vv_r)) Vr₁dx = 0 Vr/ Є C₀(fi), n v_r Є Wi(Q) — сужение на область Q решения задачи (30) для круга

В_г = {хЄ Rⁿ : \х\

где г > 0 фиксировано, г>г — произвольная фиксированная функция из пространства W^O^) такая, что

vy = —v_r(x) \/х Є Г.

Функция v_r существует и допускает явное представление (см., например, [3]) .

При построении численного метода решения задачи (30) используется ее расширенная смешанная формулировка.

Разыскивается пара функций (u,j) Є ^2(^) х (^2^)) , удовлетворяющая системе

[ (G(W{v_r + «г) + j{u)) - G{Vv_r)) j{v) dx = 0 Vve L₂(fi),

/ 7(^) ' qdx-h / vdiv qdx = 0 V# Є #(div, О).

fi n

(31)

В силу того что любое обобщённое решение задачи (25) порождает решение задачи (31), имеет место

Теорема 12. Пусть выполнены условия (26)-(29). Тогда решение задачи (31) существует.

Во втором и третьем параграфах третьей главы проводится дискретизация смешанной постановки задачи и её исследование. При этом существенно используются результаты второй главы.

Под приближенным решением задачи (25) понимается пара функций (u_hJ_h(u_h)) Є X_h таких, что

J G₀{j_h(u_h)) Jh(v_h)dx = 0, Vvft Є M_h, (32)

гдеСоО'л(ил)) = G{V(v_r+vr)+jh(u_h))-G(Vv_r), функция j_h(u_h) є N_h определяется по щ Є Mh как решение уравнения:

/ h(uh) -qhdx+ u_hdiv q_h dx = 0 Vg/, Є iV/_t. (33)

n n

Теорема 13. Пусть выполнены, условия (26)-(29). Тогда задала (32), (33) имеет по крайней мере одно решение. Для любого решения задачи (32)_; (33) справедлива априорная оценка:

ІЬ'лМИад r|U₂₍fi) + l), 21

где с — постоянная не зависящая от h.

В качестве приближения к скорости фильтрации естественно рассматривать функцию Vh(uf_t) = GCVvr + X/vr+jhiuh)), где щ — какое-либо решение задачи (32), (33), для которого доказана

Теорема 14. Пусть выполнены условия (26)-(29). Тогда функция Vh определяется единственным образом и существует последовательность h —> О такая, что имеет место сильная сходимость Vh(uh) —) V(u) в пространстве 1^(^)-

В четвёртом параграфе предлагается использовать для решения задачи (32), (33) итерационный метод

,/+¹ _ ₇/

B_h^ ± + A_hu^k_h = 0, fc = 0,l,2,...,

Айн -Vh= / G₀(jh(u_h)) jh{vh) dx Vu/„ Vh Є M_hl n 5 -v_h= jh(uh) jh{vh) dx Vu_h,v_h M_h.

Такой итерационный процесс сходится при любом начальном приближении u_h и итерационном параметре г Є (0,2/L{).

В заключительном пятом параграфе рассмотрены варианты реализации предлагаемых методов, приведены результаты численных экспериментов.

5. Обозначения. Всюду в работе для ссылки внутри одного параграфа используется одно либо вухзначное число (XX). Для ссылок в пределах одной главы используется пара чисел разделённая точкой (XX.XX). Ссылки между главами оформляются как тройки чисел (RR.XX.XX), причём первое число в тройке представляется римскими цифрами.

6. Апробация работы.

1. Пятый Всероссийский семинар, посвященный 200-летию Казанского государственного университета, «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань, 17-21 сентября 2004 года.

2. Международная научная конференция «Актуальные проблемы математики и механики». Казань, 26 сентября-1 октября 2004 г.

3. V Республиканская научно-практическая конференция молодых учёных и специалистов. Казань, 9 июня 2005 г.

4. Шестой Всероссийский семинар «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань, 1-4 октября 2005 года.

5. III международная конференция «Математические идеи П.Л. Че-бышёва и их приложение к современным проблемам естествознания». Обнинск, 14-18 мая 2006 г.

6. VII международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». Саранск, 17-19 мая 2006 г.

7. Седьмой Всероссийский семинар «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань, 21-24 сентября 2007 года.

7. На защиту выносятся.

8. Оценки точности схем МКЭ для уравнений с квазилинейными сильно монотонными операторами в пространствах Wp и теоремы о сходимости схем МКЭ для уравнений с вырождающимися по нелинейности операторами в W\\ .

9. Итерационные методы решения смешанных схем МКЭ для уравнений с квазилинейными сильно монотонными операторами и вырождающимися по нелинейности операторами в W\

3. Оценки скорости сходимости итерационных методов решения смешанных схем МКЭ для уравнений с квазилинейными сильно монотонными операторами и теоремы о сходимости для уравнений с вырождающимися по нелинейности операторами в И⁷^ .

4. Смешанные методы решения нелинейных задач теории фильтрации с предельным градиентом сдвига и точечными источниками.

8. Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе одна статья в издании из списка ВАК.

Смешанная постановка задачи

. Метод конечных элементов является одним из наиболее распространённых методов решения задач математической физики. Это связано с большой универсальностью метода, сочетающего в себе лучшие качества вариационных и разностных методов. К его несомненным достоинствам относятся возможность использования разнообразных сеток, сравнительная простота и единообразие способов построения схем высоких порядков точности в областях сложной формы. Метод естественным образом сохраняет основные свойства операторов исходных задач, такие как симметрия, положительная определённость и т. п. Различные аспекты современной теории МКЭ изложены в работах [4,7,10,20,21,38,43,47,48].

Классические варианты МКЭ (см., например, [48], с. 112, и обзор [10]) предполагают использование пространств элементов высокой гладкости, основанных на лагранжевой либо эрмитовой интерполяции. Возникающие на этом пути численные алгоритмы зачастую оказываются весьма трудоёмкими. Стремление использовать более простые элементы объясняет появление специального класса схем МКЭ — смешанных методов конечных элементов (СМКЭ) и близких к ним разновидностей МКЭ — смешанно-гибридных и гибридных схем (см., например, обзор в [48], с. 402 - 408). Главное преимущество таких схем состоит в возможности использования простейших конечных элементов Лагранжа. Это достигается путём снижения порядка уравнений при помощи введения вспомогательных неизвестных. Как правило, эти неизвестные связаны с производными искомых функций и имеют определённый физический смысл (например, — это поток, изгибающие моменты, и т.д.), их вычисление зачастую представляет даже больший практический интерес. Введение вспомогательных неизвестных часто осуществляется за счёт использования двойственной, смешанной или какой-либо иной вариационной переформулировки исходной задачи (см., например, [1,48,84-87]). Впервые абстрактный математический анализ таких методов был проведён в работах Обена, Бушара и Бабушки [44,51,52], позже в работах Кикути, Хас-лингер, Главачек [70-72,78].

П.А. Равьяр, Ж.М. Тома [98] построили различные пространства конечных элементов, используемые для аппроксимации смешанных схем, и получили соответствующие порядки сходимости. Дальнейшие результаты были получены в работах Мэнсфильда [83]. Для получения оценок ошибки Шольц [104], [105] применил метод весовых норм И. Нитше.

Ф. Бреззи, П.А. Равьяр [61] разработали общую теорию смешанных методов для задач четвёртого порядка и получили оптимальные оценки Ошибки В Норме 110,Г2 Смешанные методы конечных элементов для задачи о пластине, впервые предложены Германом [74] и позже развиты в работах По-цески [94], Хеллана [73], Виссера [108]. Анализ таких методов проведён в работах [75,76,81,82,84,102]. В работах Береззи [57], Бреззи и Равьяра [61], Фалка и Осборна [64] были получены оптимальные оценки погрешности этих схем, создана общая теория СМКЭ для линейных эллиптических уравнений четвёртого порядка. Различные модификации СМКЭ и их обоснование можно найти также в [15-17,24,25,28-30,33,40,41,60,63,83,85,86,93-95].

Методы конечных элементов смешанного типа используются также при аппроксимации решений задач Стокса и Навье — Стокса. Такие методы изучались Тейлором, Ходдом [106], Берковье [54], Берко-вье, Ливном [55], Жиро [68], [69], Равьяром [97], Фортином [67].

Итерационный метод и его сходимость

Смешанные методы также используются при решении нелинейных задач, таких, как уравнения Кармана (Миёси [85-87]), упруго-пластические пластины (Бреззи, Джонсон, Мерсье [60]), нелинейные задачи теории оболочек (М.М. Качевский, Л.Ш. Заботина [14-17]), нелинейные задачи монотонного типа (Берковье [54], Шёрер [103]).

Смешанные методы одновременно дают аппроксимацию решений основной и двойственной задач. Так как на практике решение двойственной задачи состоит в вычислении производных (градиента) от решения основной задачи, то терминология смешанный метод может быть также более широко часто используется для всякой процедуры аппроксимации, когда одновременно аппроксимируется неизвестное и некоторые из его производных независимо от того, делается ли это с помощью техники двойственности или нет. Такое определение, в частности, даётся Дж. Оденом, подробно изучившим такие методы (см. [53,88-93,99,101]).

Теория смешанных методов для линейных, а также весьма широких классов нелинейных эллиптических уравнений в пространствах W 2 развита к настоящему времени достаточно полно (см., например, [65,66]). Значительно слабее изучены теоретические вопросы смешанного метода конечных элементов для эллиптических уравнений в пространствах Wp и уравнений в W допускающих вырождение по нелинейности. В то же время, многие важные практические задачи приводят именно к таким уравнениям. К ним относятся стационарные задачи фильтрации жидкости, подчиняющейся закону фильтрации с предельным градиентом сдвига.

Исследованию смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений с сильно монотонными опера торами посвящены работы [65,66]. Общие подходы к построению и исследованию смешанных схем метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений с вырождающимися операторами изучались в работах [31,34].

2. Цель работы. Построение смешанных схем метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка, исследование условий разрешимости и сходимости схем, получение оценок точности, построение и исследование итерационных методов их численной реализации.

3. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, списка литературы содержащего 108 наименований.

4. Содержание работы. В настоящей работе проводится подробное исследование смешанного метода конечных элементов применительно к квазилинейным эллиптическим уравнениям. Работа состоит из трёх глав. Первая глава посвящена изучению смешанных схем МКЭ и итерационных методов для уравнений с сильно монотонными операторами. Вторая глава посвящена изучению смешанных схем МКЭ и итерационных методов для уравнений с операторами допускающими вырождение по нелинейности. Результаты вычислений, представленные в конце первой и второй глав, проводятся для уравнений с сильно монотонным оператором и представляют собой реализацию двух вариантов выбора вспомогательной переменной, рассмотренных в этих главах. В третьей главе рассмотрен частный случай задачи второй главы — задача с нелинейным вырождающимся по нелинейности оператором возникающим при описании фильтрации жидкости, следующей закону фильтрации с предельным градиентом. Особое внимание при этом уделяется построению решения, соответствующего точечному источнику заданной интенсивности.

Исследование приближенного метода

Для смешанной постановки задачи доказана теорема устойчивости из которой следует единственность решения задачи.

Теорема 2. Задача (7) является устойчивой по правой части, то есть если (ui,j\) -решение, соответствующее правой части /i, a (u2,J2) - решение, соответствующее правой части /2, то в случае р 2 справедлива оценка

В четвёртом параграфе проводится дискретизация задачи в смешанной постановке. При этом полагается, что область Q является многоугольником, на котором выполнена правильная регулярная триангуляция Для приближения функции и на каждом конечном элементе используется пространство Рк полиномов степени к по совокупности переменных, а для приближения функции j — пространство полиномов Равьяра — Тома вида RTk(K) = (Рк(К))2фхРк(К), х = (xhx2), где К — треугольник триангуляции. На всей области О, функции и и j приближаются соответственно функциями из пространств

Под приближенным решением задачи (7) понимается пара функций (uk,jh) Є Mh х Nh — X/j, удовлетворяющих системе уравнений

Приближенная задача является устойчивой по правой части, при этом имеют место оценки аналогичные (8) и (9). Относительно приближенного решения задачи доказана Теорема 3. Задача (10) имеет единственное решение при любой правой части f Lq(Q). В пятом параграфе получены оценки точности смешанной схемы. Теорема 4. Пусть (u,j) — решение смешанной задачи (7), а iuh,jk) — решение приближенной смешанной задачи (10), выполнены условия гладкости

Реализация итерационного метода (12) может быть сведена к решению системы уравнений с седловой матрицей:

Система (13) возникает при решении уравнения Пуассона с использованием смешанного метода конечных элементов. Прямые и итерационные методы решения таких системы достаточно хорошо изучены. Из (13) видно, что Bh = ClDj}lCh. Матрицы Bh и Bh = h-2C%Ch энергетически эквивалентны: c\xBh Bh С CQlBh, поэтому наряду с итерационным процессом (12) предлагается использовать итерационный процесс

Реализация нового итерационного процесса с Bh существенно проще, чем реализация итерационного процесса с Bh, так как вместо решения системы с седловой матрицей здесь приходится решать систему с симметричной положительно определенной ленточной матрицей Bh меньшей размерности.

Теорема 5. Пусть р = 2 и выполнены условия (2), (3), (6). Тогда оператор Ah является сильно монотонным и липшиц-иепрерывным в энергетической норме Bh, т. е. имеют место неравенства

Здесь это норма, соответствующая опера,-тору Bh С использованием свойств сильной монотонности и липшиц-неп-рерывности в энергетической норме Bh доказана

Теорема 6. Пусть выполнены условия (2); (3), (6). Тогда последовательность ufb построенная с использованием итерационного метода (12) сходится для любого начального приближения и\ и для любого г Є (0,CQ/CI] К решению задачи (11) и имеет место оценка

Оценки скорости сходимости итерационного метода (12) не зависят от шага сетки h. Следовательно объём вычислительной работы, необходимый для решения исходной системы, определяется в основном используемым для решения системы (12) методом.

Исследование приближенного метода в случае задачи фильтрации

Пусть выполнены условия (1.4) и (1.6). Тогда последовательность и\ построенная с использованием итерационного метода (6) сходится для любого начального приблиоісеиия и\ и для любого т (0, CQ/CI] К решению задачи (5) и имеет место оценка

Справедливость теоремы сразу вытекает из теоремы 8 и теоремы (см., например, [36, с. 106], теорема 3, [46], глава XIII, 1):

Пусть оператор Ah является Bh монотонным, и Bh-липшиц-непрерыным с постоянными с и CQ соответственно, тогда уравнение (5) однозначно разрешимо при любой правой части. Справедлива оценка следующая оценка скорости сходимости итерационного процесса (6):

Очевидно, что при достаточно малом положительном г сходимость итерационного метода (9) обеспечивается условиями (1.4) и (1.6).

Оценки скоростей сходимости итерационных методов (6) и (9) не зависят от шага сетки h. Следовательно объём вычислительной работы, необходимый для решения исходной системы, определяется в основном используемым для решения системы (7) методом.

Вследствие неравенств (11) все утверждения относительно сходимости итерационного метода (б) сохраняются (с очевидной корректировкой условий на параметр т) и для итерационного метода (12).

В качестве тестовой рассмотрена нелинейная задача

Хорошо известно, что оператор задачи a(x,Vu) = g(\Vu\2)Vu удовлетворяет условиям (1.4), (1.6) (см., например, [42]), поэтому для решения такой задачи могут быть использованы результаты данной главы.

Решение задачи производилось при известных точных решениях. На каждом шаге итерационного метода оператор а(-) обращался с использованием метода Ньютона.

Первой рассмотрена задача с функцией правой части / построенной по функции и(х,у) = х(1 — х)у(1 — у). В таблице 1 приведены результаты вычислений при различных шагах сетки. Во втором случае функция правой части / строилась по функции и(х,у) = sin(7nc) sin(7n/) - таблица 2. Важно отметить, что для

Таблица 2. Погрешности при вычислениях с и(х, у) — sin(7rx) sin(7ry) гладких функций наблюдается эффект суперсходимости по вспомогательной неизвестной jh, т.е. погрешность вычисления jh ведёт себя как 0(h2). В связи с этим интересен случай когда неизвестная функция является менее гладкой, например, и(х,у) — sin(27rx) sin(27ry). В этом случае наблюдается сходимость jh только лишь порядка 0(h) (см. таблицу 3), что согласуется с результатами главы. Во всех вычислениях количество итераций, требуемое для достижения указанной малости невязки, не зависит от шага сетки и не превышает одиннадцати.

Рассматривается задача Дирихле для двумерного квазилинейного дивергентного эллиптического уравнения второго порядка: Здесь а(ж,) = (аі(ж,), а2(ж,)), ао(х,) — заданные функции, непрерывные при х Є П, = (о, ь 6 ) Л3, Г — граница области Q. Предполагаются выполненными алгебраические условия монотонности, коэрцитивное и ограниченной нелинейности:

Условия, налагаемые на функции, образующие уравнение, являются весьма общими и допускают вырождение уравнения по градиенту на некоторой подобласти определения решения. Оператор задачи при этом оказывается лишь монотонным.

Обобщённым решением задачи (1), (2) назовем функцию и Є W\ ( ) удовлетворяющую интегральному тождеству L(u, v) = {а(х, и, Чи) Vv + UQ(X, и, Wu)v) dx = о (6) = ffvdx = {f, v) VvewKtt). Исследуем существование обобщённого решения (6). При этом будем использовать методы монотонных операторов (см., например, Ю.А. Дубинского [11]).

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3)-(5). Тогда задача, (1), (2) имеет хотя бы одно обобщенное решение.

Доказательство. Пусть v\(x),..., vn(x),...- система функций, о полная в W\{ty- Приближенное решение ип(х) задачи (1), (2) будем искать в виде п un(x) = Y ckvk(x)i (7) /fc=l определяя постоянные Ck из следующей системы нелинейных уравнений: L(un,vk) = (/, vk), k = l,n. (8) Разрешимость этой системы следует из леммы 1.1. Действуя по аналогии с доказательством теоремы 1.1 можно получить, что L(un,un) = (f,un), откуда, в следствие условия (4) и неравенства Пуанкаре — Фридрихса вытекает априорная оценка Wlwf (П) Kh W где постоянная К\ зависит от правой части / и области Q,. Из оценки (9) и слабой компактности ограниченного множества следует, что существует подпоследовательность {иПк} последовательности {ип}, слабо сходящаяся к некоторой функции и Wl(ty ипк{х) - и(х), к — со в И С )- Докажем, что функция и(х) - обобщённое решение задачи (1), (2), т. е. и{х) удовлетворяет интегральному тождеству (G).

Для этого заметим, что из условия (5) относительно роста функций а,{(х,р) и оценки (9) следует, что \/г {щ(х,иПк,\7ищ)}=1 ограниченны в Li- Отсюда следует, что существуют такие функции Ьі{х) Є L2{0) и такая подпоследовательность uv{x) последовательности [иПк] решений СИСТеМЫ

Похожие диссертации на Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений

Методы конечных элементов решения эллиптических уравнений при первом краевом условииЛециус Ральф

Неконформный метод конечных элементов для трехмерных уравнений ЛамеКалинкин Александр Александрович

Оценки точности и итерационные процессы для смешанных методов конечных элементов решения квазилинейных эллиптических уравненийГогин Алексей Павлович

Численное решение краевых задач для вырождающихся уравнений методом конечных разностейГахраманов, Полад Фаррух оглы

Решение некоторых задач для гиперболических уравнений методом Монте-КарлоБелинская, Ирина Игоревна

Решение задачи Дирихле для многомерных эллиптических уравнений методом Монте-КарлоЧешкова, Анна Федоровна

Оценка производных от решения стационарного диффузионного уравнения методом Монте-Карло Бурмистров Александр Васильевич

Численное решение краевых задач для телеграфного уравнения методом потенциаловПереймыбида, Андрей Андреевич

Решение краевых задач для параболических уравнений методом Монте-Карло на основе преобразования ФурьеМеньщиков Борис Владимирович

Об одном классе итерационных методов решения уравнений вязкой несжимаемой жидкостиЛапко, Сергей Леонидович