Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Вспомогательные результаты 23
1. Постановка задачи с монотонным оператором 23
2. Постановка задачи с сильно монотонным оператором 25
3. Смешанная постановка задачи 27
4. Аппроксимация пространства Hq(dlv,Q) 28
5. Дискретизация смешанной задачи 43
ГЛАВА II. Смешанные методы для уравнений с монотонными операторами 54
1. Разрешимость приближенной задачи 54
2. Слабая сходимость решений приближенной задачи 55
3. Сильная сходимость «потоков:», построенных по решению приближенной задачи 58
ГЛАВА III. Смешанные методы для уравнений с сильно монотонными операторами 63
1. Единственность решения приближенной задачи 63
2. Оценки точности приближенного метода 64
ГЛАВА IV. Итерационные методы для смешанных схем 71
1. Задача с сильно монотонным оператором 71
2. Итерационный метод для решения приближенной задачи с сильно монотонным оператором 74
3. Модификация итерационного метода 76
4. Исследование сходимости итерационного метода 78
5. Численные эксперименты 84
6. Итерационный метод решения задачи с монотонным оператором
7. Модификация итерационного метода 89
8. Численные эксперименты 91
Литература 93
- Постановка задачи с сильно монотонным оператором
- Слабая сходимость решений приближенной задачи
- Оценки точности приближенного метода
- Исследование сходимости итерационного метода
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Метод конечных элементов в настоящее время является одним из основных инструментов для решения различных задач математической физики. Среди преимуществ этого метода, сочетающего в себе лучшие качества разностных и вариационных методов: универсальность, сравнительная простота применения в областях сложной формы, использование различных сеток, удобство для программирования.
Классические схемы метода конечных элементов подразумевают использование лагранжевых и эрмитовых элементов. Объем вычислительной работы при реализации таких методов в общем случае может быть очень большим. Кроме того, часто при решении конкретных задач математической физики возникает необходимость в вычислении различных неизвестных, связанных с производными искомого решения. Такими неизвестными могут быть: поток в задачах термодинамики, напряжение в задачах теории упругости, изгибающие моменты в задачах об изгибе тонких пластин и т.д. Использование классических методов в этом случае приводит к разрывной аппроксимации этих неизвестных. На пути решения данных проблем были предложены специальные разновидности схем МКЭ: смешанные методы конечных элементов (СМКЭ), а также смешанно-гибридные и гибридные схемы. Одним из главных преимуществ таких схем является возможность использования простейших конечных элементов. Это становится возможным благодаря снижению порядка уравнений при помощи введения вспомогательных неизвестных, которое в свою очередь осуществляется за счет использования двойственной или смешанной переформулировки исходной задачи. В работах И. Бабушки, Ж.П. Обена, Х.Г. Бушара, М. Круазье и П.А. Равьяра впервые были
изучены такие методы. Позднее подобный анализ был проведен в работах И. Бабушки, Я. Хаслингера, И. Главачека, Ф. Кикути, М. Фор-тина.
В работах П.А. Равьяра, Ж.М. Тома, Д.Н. Арнольда, Ф. Бреззи, Дж. Дугласа, Л.Д. Марини, Ж.Е. Роберте были построены различные пространства треугольных и прямоугольных конечных элементов для аппроксимации смешанных схем, получены соответствующие оценки точности. Ж.К. Неделек обобщил эти результаты для трехмерного случая. Кроме того, СМКЭ для линейных и квазилинейных эллиптических уравнений, отличных от рассмотренных в настоящей диссертации, рассматривались Дж. Дугласом, Ж.Е. Роберте и Ф.А. Милне-ром.
СМКЭ применяются для решения различных уравнений высоких порядков. Например, СМКЭ для решения задач о пластине были рассмотрены в работах Л. Херманна, К. Джонсона, К. Хеллана. Конеч-ноэлементные схемы смешанного типа также используются при решении различных задач теории оболочек, которые рассматривались в работах Л.Ш. Заботиной, М.М. Карчевского и других.
Для аппроксимации решений задач Стокса и Навьс—Стокса также представляется естественным использовать СМКЭ. Изучению таких методов посвящены, например, работы В. Жиро и П.А. Равьяра, М. Фортина, Р. Стенберга, М. Farhloul, Н. Manouzi.
Теория смешанных методов для линейных и различных классов нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в пространствах И-2 развита к настоящему времени достаточно полно. Значительно слабее изучены теоретические вопросы СМКЭ для эллиптических уравнений в пространствах Wp . Так, в работах М. Farhloul и Н. Manouzi предложена и исследована конечноэлементная схема смешанного типа для частного случая задачи с сильно монотонным
оператором, часто называемой уравнением с р-лапласианом, в пространстве Wp . Исследованию СМКЭ для общих дивергентных квазилинейных эллиптических уравнений с сильно монотонными операторами в пространстве Wp посвящены работы А.Е. Федотова и М.М. Карчевского. В этих работах получены оценки точности смешанных схем, основанных на использовании потока, т. е. функции а(ж,и, Vw), в качестве вспомогательной переменной. Отметим, что в настоящей работе рассмотрена иная конечноэлементная схема: в качестве вспомогательной переменной при постановке смешанной задачи выбирался градиент искомого решения. Смешанные схемы для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с монотонными операторами в пространстве W^ рассмотрены в работах М.М. Карчевского и А.Е. Федотова. Полученные в них результаты обобщены в данной диссертации на случай пространства Wp .
Многие важные практические задачи приводят к квазилинейным эллиптическим уравнениям второго порядка с монотонными операторами. К ним относится, например, задача с нелинейным вырождающимся по нелинейности оператором, возникающим при описании фильтрации жидкости, следующей закону фильтрации с предельным градиентом.
Различные итерационные процессы для смешанных методов конечных элементов изучались в работах М.М. Карчевского, А.Е. Федотова. В данной диссертации предложены модификации построенных ими итерационных процессов, которые существенно уменьшают объем вычислительной работы, оценки скорости сходимости при этом сохраняются.
Целью диссертации является построение смешанных схем метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с монотонными и сильно монотонными опера-
торами в пространстве Wp , исследование условий разрешимости и сходимости схем, получение оценок точности смешанной схемы для задачи с сильно монотонным оператором, построение и исследование итерационных методов численной реализации смешанных схем МКЭ.
Методы исследования. В работе использованы фундаментальные положения функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, теории методов конечных элементов. Все результаты, полученные в диссертации, верны и подтверждены строгими математическими доказательствами и численными экспериментами для модельных задач.
Научная новизна. Исследованы смешанные методы конечных элементов для квазилинейных эллиптических задач второго порядка с монотонными и сильно монотонными операторами в пространствах Wp . А именно, в случае монотонного оператора доказаны разрешимость дискретной задачи, слабая сходимость решений приближенной задачи, сильная сходимость <потоков> а(х, Uh,jh(uh)), построенных по решению приближенной задачи. Для уравнений с сильно монотонным оператором показаны существование и единственность решения дискретной задачи. Получены оценки точности метода. Кроме того, предложены модификации известных (см. [1]) итерационных процессов, исследована сходимость таких модифицированных процессов.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при численном решении конкретных прикладных задач, при теоретическом исследовании смешанного метода конечных элементов для нелинейных задач, в учебном процессе.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докла-
дывались на XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, г. Алушта, Крым, 25-31 мая 2011 года; Всероссийской научной конференции с международным участием <Математическая теория управления и математическое моделирование:». Ижевск, 15-18 мая 2012 года; Девятой Всероссийской конференции <Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань, 17-22 сентября 2012 года; XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным программным системам, г. Алушта, Крым, 22-31 мая 2013 года; XII Всероссийской молодежной школе-конференции <Лобачев-ские чтения-2013». Казань, 24-29 октября 2013 года; Итоговых научных конференциях КФУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе две статьи в изданиях из списка ВАК.
Благодарности. Диссертационная работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-01-00814, 11-01-00667, 12-01-00955, 12-01-97022, 12-01-97026).
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 115 наименований. Объем работы — 108 страниц.
Постановка задачи с сильно монотонным оператором
При реализации данного метода на каждом шаге по сравнению с методом (38) экономится одно обращение матрицы масс. При начальном приближении u j таком, что Bhj + ChUQh = 0, и выполнении условий (5) и (14) при р = 2 имеет место сходимость итерационного метода (40), (41) по невязке. В восьмом параграфе приведены примеры численной реализации предложенной модификации итерационного метода (40), (41). 5. Обозначения. Далее в работе для ссылки внутри одного параграфа используется одно- либо двухзначное число (XX). Для ссылок в пределах одной главы используется пара чисел разделенная точкой (XX.XX). Ссылки между главами оформляются как тройки чисел (XX.XX.XX), причем первое число в тройке представляется римскими цифрами. 6. Апробация работы. 1. XVII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, г. Алушта, Крым, 25-31 мая 2011 года. 2. Всероссийская научная конференция с международным участием Математическая теория управления и математическое моделирование; ». Ижевск, 15-18 мая 2012 года. 3. Девятая Всероссийская конференция Сеточные методы для краевых задач и приложениям Казань, 17-22 сентября 2012 года. 4. XVIII Международная конференция по вычислительной механике и современным программным системам, г. Алушта, Крым, 22-31 мая 2013 года. 5. XII Всероссийская молодежная школа-конференция Лобачев-ские чтения-2013». Казань, 24-29 октября 2013 года. 6. Итоговые научные конференции КФУ. 7. На защиту выносятся. 1. Теоремы о сходимости смешанных схем МКЭ для задач с квазилинейными монотонными операторами в пространствах Wp . 2. Оценки точности смешанных схем МКЭ для задач с квазилинейными сильно монотонными операторами в пространствах Wp . 3. Модификации итерационных методов решения смешанных схем МКЭ для уравнений с монотонными и сильно монотонными операторами в пространстве W2 . 4. Оценки скорости сходимости модифицированного итерационного метода решения смешанных схем МКЭ для задач с сильно монотонными операторами в пространстве W2 . 8. Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ [9-14,86], в том числе две статьи в изданиях из списка ВАК [9,12]. здесь Сі,С2,Сз — положительные постоянные, а через а(-) также обозначена вектор-функция вида a(-) = ( 2о(-) ))- Здесь и в дальнейшем точкой обозначаем стандартное скалярное произведение в арифметическом пространстве Rn соответствующей размерности.
Условия (4)-(6) являются довольно общими и допускают вырождение уравнения по градиенту на некоторой подобласти определения решения. где постоянная с зависит только от констант c i и Сз из условия (6). Здесь и далее через q будем обозначать такое число, что l/p+l/q = 1.
При исследовании существования обобщенного решения (7) используются методы монотонных операторов (см., например, [18]). Доказательство теоремы 1 приведено, например, в [56]. 2. Постановка задачи с сильно монотонным оператором
Рассмотрим задачу (1.1), (1.2), однако при этом для коэффициентов задачи будем предполагать выполненными условия сильной монотонности и липшиц-непрерывности и GWl( ), V 1? удовлетворяющую интегральному тождеству (1.7). Поскольку условия (1.4)-(1.6) являются более общими, чем (1)-(4), то существование обобщенного решения непосредственно следует из теоремы 1. Также имеет место (см., например, [18]) следующая Теорема 2. Если выполнены условия (1)-(4), то задача (1.1), (1.2) имеет единственное обобщенное решение при любой правой части f Є Lq(Q). При этом справедлива априорная оценка (1.9), в которой константа с зависит от постоянных CQ и c i из условий (1), (3).
Доказательство теоремы единственности обобщенного решения приведено в [18, с. 55]. Примером задачи с сильно монотонным оператором может слу о жить задача минимизации на пространстве Wp(Q), р 1 (см. [54, к пространству Wp{Q) Известно, что задача (5) эквивалентна решению уравнения Аи = /, где оператор Л, часто называемый р-лапласианом, определяется соотношением
В качестве вспомогательной переменной при построении смешанной схемы выберем градиент искомого решения. Особенностью таких схем является возможность их применения для широких классов квазилинейных уравнений, в том числе и для уравнений, допускающих вырождение по градиенту. Таким образом, положим j = Vit. Тогда нетрудно видеть, что если и — обобщенное решение задачи (1.1), (1-2), то
Систему (2), (3) положим в основу смешанной постановки задачи (1.1), (1-2), а именно: будем разыскивать пару функций (u,j) Є X = Lp(Q) x (Lq(Q))n, удовлетворяющую интегральным тождествам (2), (3).
Поскольку любое обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) порождает решение задачи (2), (3), то решение задачи (2), (3) существует при любой функции / Є Lq(Q). При этом если выполнены условия (2.1)-(2.4), то решение смешанной задачи (2), (3) единственно.
Слабая сходимость решений приближенной задачи
Нетрудно показать, что определенный таким образом оператор проектирования Ик также обладает свойствами (14), (15) для любых функций q Є {W ]{K)Y ,рЛ_х Є Pk-i(K),s 1.
Прямоугольные аппроксимации Hq(div, К). Рассмотрим теперь случай триангуляции области Q прямоугольными элементами (например, четырехугольниками при п = 2 или параллелепипедами при п = 3). Так же, как в пункте 1 этого параграфа, определим два пространства, аппроксимирующих Hq(div, Q).
Конечные элементы Равьяра—Тома ГіТщ. Пусть К — n-мерный куб. Рассмотрим следующее пространство полиномов где Щщ(дК) = {v Є Lp(dK) v\ei Є Qk{ei)/i = 1,6} В силу унисоль-вентности конечного элемента (ІЇТ, і2Т[&](ІЇТ), _) данная задача разрешима единственным образом. Понятно, что оператор П обладает свойствами (14), (15) для любых функций q Є ( Ws (К)) , s 1,
Конечные элементы BDM . Пусть, по-прежнему, К — n-мерный куб. Рассмотрим пространство (см., например, [70-72])
Вследствие того, что выполнена теорема 2 [16, с.80], из этой леммы непосредственно следует унисольвентность конечного элемента (К, BDM (K),Tij{), а также существование и единствен ( (і) Xа ность локального оператора проектирования П : \WS (К))
Необходимо отметить, что принадлежность qh Є Nh пространству Hq обеспечивает непрерывность нормальных компонент вектор функции qh при переходе через общую границу двух любых соседних элементов триангуляции Th- Обозначим [qh v\e\ — скачок qh У при переходе через ребро (или грань) е, то есть
Теорема 3. Пусть Th — триангуляция области Q. Щ(К),К Є Th — одно из пространств, определенных в (3), (19), (30), (39), (40). Nh — пространство, определенное в (47). Предположим, что Nk(K) С Hq(div}K)}K є Th,
Далее в работе будет изучен данный класс смешанных методов для задач с монотонными и сильно монотонными операторами, а также будет показано, что все полученные результаты имеют место при использовании любого из пространств BDM , RT , ВИМщ или ВТщ для аппроксимации Hq(div, Q).
При исследовании дискретной задачи и получении оценок точности приближенного решения будем использовать глобальный оператор проектирования Щ Є С м Ws ( )) ,Nhj,s 1, который определим следующим образом: где Щ: — один из операторов, определенных в (4.13), (4.29), (4.38) или (4.46). В силу того, что каждый из этих операторов обладает свойствами (4.14), (4.15), для определенного в (3) глобального оператора проектирования выполнены следующие соотношения (см., например, [72]):
При исследовании задачи (1), (2) важную роль играет следующая лемма. Ее доказательство основано на свойствах (4), (5) глобального оператора проектирования Щ,ив том случае, когда для аппроксимации Hq(div}Q) выбирается пространство ЛТо, приведено в [79], [80]. Однако необходимо отметить, что утверждение леммы имеет место при выборе любого из пространств DM&, ЛТ&, ВБМщ или ВТщ для аппроксимации Hq. Итак, выполнена
Лемма 6. (см. [79,80]) Существует положительная постоянная с, не зависящая от h, такая, что для любой функцииVh Є М .
Отметим, что это доказательство несколько обобщает и уточняет соответствующие рассуждения из [79,80]. При получении оценок точности метода (1), (2) в случае сильно монотонных операторов будем опираться на следующие леммы, сформулированные и доказанные нами. Лемма 7. Пусть uh — элемент наилучшего приближения к и в пространстве М в смысле нормы L2(Q),
Доказательство. Рассмотрим Th — определенную в параграфе 4 точную регулярную триангуляцию области Г2, и Eh = (е,Ре,Ее), є Є 71, — семейство аффино-эквивалентных элементов, ассоциированных с базисным элементом (ё,Р,Е). При получении оценки (15) будем опираться на результат теоремы 3.1.4 [54, с. 124] и будем учитывать, что и можно строить как элемент наилучшего приближения в пространстве L на каждом конечном элементе е триангуляции Th Пусть (ё, Р, Е) — базисный конечный элемент, и Р&(ё) — множество полиномов степени не выше к. Далее, обозначим через Пе Wp (ё), Mh) оператор наилучшего приближения кив пространстве Mh в смысле нормы L/2(e). Очевидно, что П является оператором, сохранящим многочлены, то есть удовлетворяет следующему соотношению
Доказательство. Уравнение (1.5.2) — уравнение с положительно определенной матрицей (матрицей масс) относительно jh(uh) при заданном Uh- Поэтому на уравнение (1.5.1) можно смотреть как на уравнение вида Ah{uh) = 0 относительно Uh- Покажем, что для конечномерного оператора А {щ) выполнены условия топологической леммы Брауэра (см., например, [5, с. 94]). Вследствие условий (1.1.4)-(1.1.6) функции ttj(-), і = 0,1,... , п порождают операторы Немыцкого (см., например, [3, с. 62]) , а значит, оператор Ah является непрерывным.
Оценки точности приближенного метода
Доказательство. Рассмотрим Th — определенную в параграфе 4 точную регулярную триангуляцию области Г2, и Eh = (е,Ре,Ее), є Є 71, — семейство аффино-эквивалентных элементов, ассоциированных с базисным элементом (ё,Р,Е). При получении оценки (15) будем опираться на результат теоремы 3.1.4 [54, с. 124] и будем учитывать, что и можно строить как элемент наилучшего приближения в пространстве L на каждом конечном элементе е триангуляции Th Пусть (ё, Р, Е) — базисный конечный элемент, и Р&(ё) — множество полиномов степени не выше к. Далее, обозначим через Пе Wp (ё), Mh) оператор наилучшего приближения кив пространстве Mh в смысле нормы L/2(e). Очевидно, что П является оператором, сохранящим многочлены, то есть удовлетворяет следующему соотношению
Покажем, что П — ограниченный оператор в нормах пространства С [Wp (e),M/jj. Введем в конечномерном пространстве Рк{ё) ор-тонормированный в смысле скалярного произведения в (ё) базис {Фз\п=ъ к = dim(Pk). Тогда, как хорошо известно, Поделим обе части неравенства на /iz, (п), возьмем точную верхнюю грань по всем qh Є Nh. Тогда, используя лемму 6, получим искомую оценку.
Лемма 9. Пусть и —решение задачи (1.1); (1.2); (uh,jh(uh)) — решение задачи (1), (2), выполнены условия гладкости (13). Тогда существует такая постоянная с, что Разрешимость приближенной задачи Рассматривается задача (1.1.1), (1.1.2). Для коэффициентов задачи предполагаются выполненными условия (1.1.4)-(1.1.6). Исследуем класс приближенных методов (1.5.1), (1.5.2) при данных условиях.
Покажем разрешимость задачи (1.5.1), (1.5.2). Имеет место Теорема 1. Пусть выполнены условия (1.1.4)-(1.1.6). Тогда задача (1.5.1), (1.5.2) имеет по крайней мере одно решение при любой правой части f Є Lq(Q). Для любого решения задачи (1.5.1), (1.5.2) справедлива априорная оценка где с — постоянная, не зависящая от h. Доказательство. Уравнение (1.5.2) — уравнение с положительно определенной матрицей (матрицей масс) относительно jh(uh) при заданном Uh- Поэтому на уравнение (1.5.1) можно смотреть как на уравнение вида Ah{uh) = 0 относительно Uh- Покажем, что для конечномерного оператора А {щ) выполнены условия топологической леммы Брауэра (см., например, [5, с. 94]). Вследствие условий (1.1.4)-(1.1.6) функции ttj(-), і = 0,1,... , п порождают операторы Немыцкого (см., например, [3, с. 62]) , а значит, оператор Ah является непрерывным.
При ислледовании приближенного метода будем считать, что каждая триангуляци с меньшим шагом строится по триангуляции с большим шагом путем разбиения ее элементов.
Относительно слабой сходимости последовательностей решений Uh и jh(uh) в пространтсве Lp(Q) справедлива следующая теорема. При этом необходимо отметить, что слабая сходимость таких последовательностей в пространстве Ь2( ) изучалась в работе [56].
Теорема 2. Пусть выполнены условия (1.1.4)-(1.1.6). Тогда существуют последовательности решений Uh и jh(uh) и функции u ,j такие, mmouh — и } jh(uh) j в Lp(Q)} причем пара функций u ,j является точным решением, задачи (1.1.7).
Исследование сходимости итерационного метода
Вернемся к вопросу сходимости итерационного метода (3.8). Теорема, аналогичная следующей, доказана в [51]. Справедлива
Теорема 4. Пусть оператор Lh(jh) имеет производную Га-то L h(jh) в каждой точке пространтства Nh, которая при любом дь_ Є Nh удовлетворяет условиям (20). Тогда при т = TQ = 2/(сю + Си) итерационный метод (3.8) сходится и для погрешностей верны оценки: где S bfi) = E- TB-hlL h{g\), g\ = jkh + t(j - Jkh) Є Nh, если j Є Nh. Таким образом, задача доказательства сводится к оценке энергетической нормы By, оператора S {gk). Из определения нормы, используя свойства (20) оператора L h(g ), получим
Так как функция (/?і(т) убывает на отрезке [0,то], a (/ ) возрастает при т го, то минимум нормы оператора S (g ) достигается при г = го и равен р(г) = 1-тоСю = т0сц-1 = (1- )/(1+ ), = Сю/сц. Таким образом, получена оценка (21). Оценка (8), полученная в теореме 3, обеспечивает выполнение (22).
Численные эксперименты Отметим, что функция а(х, Vw) = /І(VM2)VM удовлетворяет (см., например, [47]) условиям (1.2.1), (1.2.2). Поэтому задача (1), (2) имеет единственное решение при любой правой части f(x).
Триангуляция области Q выполнялась треугольными элементами. Пространство (div, Г2), возникающее при смешанной формули ровке задачи (1), (2), аппроксимировалось пространством конечных элементов Равьяра — Тома порядка 0.
При вычислении матриц В и С\7 определенных в (2.9) и (2.10), соответственно, и используемых при построении описываемого итерационного метода, применялся следующий алгоритм, предложенный в [73]. Отметим, что в этой работе приведена также реализация данного алгоритма на языке MATLAB.
Рассмотрим К Є 71, треугольник со сторонами Єї, е2, є з и противолежащими им вершинами Р\,р2,Рз. Определим локальные матрицы жесткости Вк-,Ск Є Rixi элемента К соотношениями 1
Отметим, что при расчетах использовались квадратурные формулы с тремя узлами, расположенными в серединах сторон треугольников.
Далее, рассматривались две области Q — единичный квадрат [0,1] х [0,1] и L-образная область ([0,1] х [0,1]) \ ([0,1/2] х [1/2,1]). Расчеты производились при известных точных решениях задачи (1), (2). На каждом шаге итерационного метода оператор а(-) обращался с помощью метода Ньютона. Параметр г определялся из условия минимума функции q(r). Линейная система алгебраических уравнений с матрицей (3.9) на каждом шаге итерационного процесса решалась стандартным методом треугольной факторизации с выбором главных элементов. Отметим, что при этом использовалась технология sparse пакета прикладных программ MATLAB. Поскольку точное решение задачи известно, итерации продолжались до выполнения условия \\и — Uh\\b2(n) єі є = Ю-5.
Первой (см. табл. 1) рассмотрена задача с функцией правой части f(x)} построенной по функции и(х, у) = sin(7r:r) sin(7n/) в том случае, когда область Q — единичный квадрат. Кроме того, на единичном квадрате рассмотрены задачи с функциями /(ж), построенными по точным решениям и(х,у) = sin(27nr) sin(27n/) и и(х,у) = sin(27r:r) sin(27n/) cos(7r:r)(l —у) (таблицы 2 и 3, соответственно). Так же рассматривался случай L-образной области Q. Результаты численных экспериментов для задачи с функцией правой части /(ж), построенной по функции и(х, у) = sin(27nr) sin(27n/), приведены в таблице 4. Здесь N означает количество разбиений стороны квадрата Q при построении триангуляции. Через Na обозначено количество итераций, требуемое для достижения указанной точности. Во всех рассмотренных случаях Nn не зависит от шага сетки. Кроме того, видно, что результаты численных экспериментов подтверждают теоретические оценки сходимости, представленные в параграфе 1 этой главы, а для рассмотренных примеров порядок сходимости Uh более высокий.
Теорема 6. Пусть выполнены условия (1.2.1), (1.2.2) при р = 2. Тогда последовательность приближений, построенная по итерационному методу (1); сходится к приближенному решению задачи (1.5.1), (1.5.2), т.е. ukh — ин при к — оо. Справедлива следующая оценка скорости сходимости итерационного метода (1):
При вычислении значения Ahu\ на каждом шаге итерационного метода (6.1) приходится решать систему линейных уравнений ви да (1.5.2) относительно J /J(M). В этом параграфе предлагается модификация итерационного метода (6.1), при реализации которой данная операция опускается. все сформулированные выше результаты о сходимости метода сохраняются. Нужно лишь отметить, что в силу определений Rhi С\и /j, а также уравнения (1.5.2), Bhjh-qh = -C jh-qh и Lh(uh,jh) = Ahuh-vh, а оператор Rh фактически совпадает с В . Таким образом, итерационный процесс (1), (2) может быть приведен к виду (6.1). 8. Численные эксперименты
Приведем пример численной реализации итерационного мето-да (7.1), (7.2). В качестве тестовой рассматривалась задача (5.1), (5.2). Расчеты производились описанным в параграфе 5 способом. Однако в отличие от задачи с сильно монотонным оператором в данном случае получены оценки погрешностей только функций Uh И jh
