Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Курс «Элементарная геометрия» и его роль в профессиональном становлении будущего учителя в высшей педагогической школе.
1 Курс «Элементарная математика» в высшей педагогической школе: история становления, развитие, современное состояние 11
2 Анализ различных курсов элементарной геометрии по изучению свойств равных фигур и пути совершенствования системы изложения этих вопросов 44
Выводы к главе 1 74
Глава 2 Методика взаимосвязей элементарной геометрии и методической подготовки будущих учителей математики, связанных с изучением равенства фигур.
1 Осуществление методической подготовки будущих учителей математики по изучению равенства плоских фигур и его взаимосвязи с курсом элементарной геометрии 75
2 Методика изучения равенства пространственных фигур в курсе элементарной геометрии и в процессе методической подготовки будущего учителя математики 99
3 Анализ результатов педагогического эксперимента 127
Выводы к главе 2 143
Заключение 144
Литература 146
Приложение 1 164
- Курс «Элементарная математика» в высшей педагогической школе: история становления, развитие, современное состояние
- Анализ различных курсов элементарной геометрии по изучению свойств равных фигур и пути совершенствования системы изложения этих вопросов
- Осуществление методической подготовки будущих учителей математики по изучению равенства плоских фигур и его взаимосвязи с курсом элементарной геометрии
Введение к работе
На современном этапе развития системы высшего педагогического образования важной задачей в подготовке кадров остается формирование всесторонне развитой личности педагога, обладающей высокой общей культурой и широким кругозором, умеющей творчески мыслить. Особая роль в решении этой задачи принадлежит психолого-педагогической и методической подготовке будущих учителей общеобразовательной школы.
Для профессиональной подготовки будущего учителя математики большие образовательные возможности имеет курс элементарной математики, обладающий особенностями, отличающими его от других математических и методических дисциплин. Во-первых, он имеет сходную со школьным курсом математики логическую структуризацию математического материала; во-вторых, терминологически совпадающие понятия трактуются в данном курсе значительно шире и глубже, чем в школе, что позволяет формировать не только приемы учебной математической деятельности студентов, но и приемы обучающей — методической - деятельности.
Необходимость введения курса элементарной математики в систему подготовки учителя является предметом споров в течение многих десятилетий. В 1988 году на заседании бюро отделения математики Академии наук СССР, где выступил академик СП. Новиков с докладом «О состоянии математического образования в педвузах СССР», была выработана следующая рекомендация: «...необходимо ввести большой курс углубленного изучения школьной математики...». На страницах журнала «Математика в школе» (1989, №4) был опубликован ряд статей, в которых обсуждались предложения академика С.П.Новикова и постановления бюро отделения математики Академии наук СССР.
Вопросы совершенствования методической подготовки будущих учителей математики постоянно находятся в центре внимания ученых - математиков и
методистов (И.И.Баврин, В.Г.Болтянский, М.Б.Волович, В.Л.Гусев, Г.В.Дорофеев, И.В.Дробышева, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, В.Л.Матросов, Н.В.Метельский, В.И.Михеев, А.Г.Мордкович, И.А.Новик, СП. Новиков, Е.Н.Перевощикова, Е.С.Петрова, Е.И.Санина, Г.И.Саранцев, И.М.Смирнова, А.Г.Солонина, Н.Л.Стефанова, Л.М.Фридман, Г.Г.Хамов, Р.С.Черкасов, М.И.Шабунин и др.).
Так, В.Л.Матросов, выступая с докладом «О проекте Программы развития педагогического образования России» на совместном заседании Ассоциации педагогических университетов и институтов и Совета по педагогическому образованию при Министерстве Образования РФ (13-15 июня 2000г.), отмечает, что «образованность общества, прежде всего, подрастающего поколения, должна стать основой для решения социальных и экономических проблем, сохранения и развития науки и культуры, национальных традиций, укрепления государства и обеспечения его безопасности» [110].
В диссертационном исследовании Г.Л.Луканкина [103] разработаны научно-методические основы профессиональной подготовки будущих учителей математики, построена оптимальная методическая система обучения студентов педагогических институтов.
В работе И.В.Дробышевой [68] создана концепция методической подготовки будущего учителя математики к дифференцированному обучению на основе таких принципов, как принцип интегративности, предметной приоритетности и компетентности, системности и целостности, паритетности и ведущей роли, распределенности.
В прошлом веке были созданы программы данного курса ведущими специалистами по элементарной математике И.К.Андроновым, Е.Б. Арутюняном, Б.М.Брадисом, И.А.Гибшем, Г.В.Дорофеевым, В.И.Левиным, Г.Г.Левитасом, А.Г.Мордковичем, В.И. Нечаевым, О.И.Плакатиной, В.А.Смирновым и др.
Проблеме изучения курса элементарной математики в педагогическом вузе посвящены диссертационные исследования Н.В.Батькановой [34], Л.Н.Евелиной [70], Л.Г.Куликовой [98], О.И.Мартынюк [106], В.Л.Рабинович [158], К.И.Ткаченко [187], О.И.Федяева [189] и др.
Так, Н.И.Батьканова сформулировала и обосновала систему профессиональных умений, адекватных принципу профессионально-направленного обучения элементарной геометрии, разработала методику формирования системы профессиональных умений в процессе изучения элементарной геометрии.
Л.Н.Евелиной рассмотрены профессиональные умения, которые целесообразно формировать в процессе решения задач, разработана методика профессионально-педагогического обучения студентов в процессе решения задач на материале элементарной геометрии.
В работах Л.Г.Куликова и О.И.Мартынюк обоснована система профессиональных умений, адекватная концепции профессионально-педагогической направленности обучения.
В.Л.Рабинович исследует вопросы измерения геометрических величин и применения теории пределов в курсе элементарной геометрии.
В исследовании К.И.Ткаченко выявлены методические умения и определены условия их успешного формирования в ходе изучения элементарной математики и практикума по решению задач.
В диссертационной работе О.И.Федяева сформулированы и обоснованы цели и задачи специального курса элементарной математики в педвузе в соответствии с принципом профессионально-педагогической направленности всей системы обучения студентов и дана практическая реализация концепции курса органично сочетающего и лекционный курс, и самостоятельную исследовательскую работу студентов.
Данные исследования вносят большой вклад в теоретическое и практическое решение проблем изучения элементарной геометрии в
педагогическом вузе. В то же время следует отметить, что остается недостаточно исследованной та роль, которую играет элементарная геометрия в профессиональном становлении будущего учителя математики, в частности, отсутствуют фундаментальные исследования комплексных вопросов взаимосвязи курса элементарной геометрии с методической подготовкой будущего учителя и со школьным курсом геометрии.
Все вышесказанное определяет актуальность тематики нашего исследования.
Проблема исследования заключается в установлении взаимосвязей между структурами курса элементарной геометрии по проблемам изучения равенства фигур в учебниках разных авторов, методической подготовкой будущих учителей математики и курсом школьной геометрии, а также в комплексной разработке изучения этих вопросов.
Цель исследования: разработать и экспериментально проверить методику изучения курса элементарной математики, в частности, элементарной геометрии, во взаимосвязи с методической подготовкой будущего учителя математики на примере разделов, связанных с равенством плоских и пространственных фигур.
Объект исследования: процесс изучения курса элементарной геометрии на примере изучения разделов, связанных со свойствами равенства фигур на плоскости и в пространстве, и осуществление методической подготовки будущих учителей математики в высшей педагогической школе.
Предмет исследования: выявление возможных взаимосвязей изучения курса элементарной геометрии и методической подготовки будущих учителей математики на примере изучения равенства геометрических фигур на плоскости и в пространстве.
В основу исследования положена гипотеза, согласно которой взаимосвязанное изучение свойств равенства плоских и пространственных фигур в курсе элементарной геометрии и методической подготовки будущего
учителя позволит понять математический и дидактико-методический смысл этих понятий и выработать стратегию изучения этих понятий в средней школе. Сформулированная гипотеза и проблема исследования предусматривают решение следующих задач:
1) определить роль и место курса элементарной математики в системе методико-математической и профессиональной подготовки будущего учителя математики;
2) раскрыть содержание и методику изучения разделов, связанных с понятием равенства геометрических фигур в курсе элементарной геометрии разных авторов;
3) рассмотреть возможности изучения равенства фигур на плоскости и в пространстве в различных школьных учебниках геометрии и установить взаимосвязи с подходами их изучения в курсе элементарной геометрии;
4) экспериментально проверить эффективность использования разработанной методики с учетом взаимосвязей курса элементарной геометрии и методической подготовки будущих учителей при изучении равенства фигур.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы педагогического исследования:
- изучение и анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы по теме исследования;
- анализ программ, учебников, учебных пособий по элементарной геометрии для вузов и по геометрии для общеобразовательных школ, а также школ и классов с углубленным изучением математики;
- анализ и обобщение собственного опыта работы в школе и вузе (с 1989 по настоящее время — более 14 лет);
- поисковый и обучающий эксперименты. Научная новизна исследования состоит в следующем:
1) изучены и обобщены практически все возможности изучения свойств равенства плоских и пространственных фигур в курсе элементарной геометрии
различных авторов (Ж.Адамара, Б.И.Аргунова и М.Б.Балка, Л.С.Атанасяна и др., И.А.Гибша, А.Н.Глаголева, А.П.Киселева, Д.И.Перепелкина, А.В.Погорелова);
2) дан анализ методической подготовки будущих учителей математики, содержащейся в школьных учебниках геометрии, связанной с вышеперечисленной системой изучения курса элементарной геометрии;
3) разработаны рекомендации по комплексному изучению следующих трех направлений:
- курса элементарной геометрии;
- методической подготовки будущих учителей математики;
- соответствующих этой подготовке школьных учебников по геометрии. Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что
для будущих учителей математики даны практические рекомендации по изучению свойств равенства плоских и пространственных фигур в различных курсах элементарной геометрии, а также соответствующие рекомендации по методической подготовке и по изучению учебников геометрии для средней школы, кроме того, подобрана комплексная система задач по всем указанным направлениям.
Методологической основой исследования явились:
- современная теория построения высшего педагогического образования;
- многоуровневая подготовка учителя математики;
- концепции профессионально-педагогической направленности обучения математике в педагогическом вузе;
- труды ведущих педагогов, методистов и математиков.
На защиту выносятся следующие положения диссертационного исследования:
1) учет и реализация взаимосвязей курса элементарной геометрии и методической подготовки будущих учителей математики, связанных с изучением равенства плоских и пространственных фигур;
2) содержание методической подготовки будущих учителей математики, включающая систему соответствующих задач, направленных на изучение свойств равенства плоских и пространственных фигур во взаимосвязи с курсом элементарной геометрии.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается опорой на научно-методические исследования в области теории и методики преподавания элементарной геометрии в высшей педагогической школе; построением исследования на основе положений современной методики преподавания геометрии в средней школе; положительными результатами педагогического эксперимента.
Апробация работы осуществлялась при преподавании курса элементарной геометрии и методики преподавания математики на педагогическом отделении математического факультета Института математики и информатики ЯГУ; на заседаниях научно-методического семинара кафедры методики преподавания математики, Ученого Совета Института математики и информатики ЯГУ; на Республиканской научно-методической конференции учителей-исследователей «Алексеевские чтения» (г. Якутск, 1998-2003 г.), на научно-методической и научно-практической конференциях Якутского государственного университета (г. Якутск, 1999 г., 2002 г.), на Республиканской научно-практической конференции «Математика. Информатика. Образование» (г. Якутск, 2002г.), на 2-й Республиканской научно-практической конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (г. Якутск, 2003г.).
Курс «Элементарная математика» в высшей педагогической школе: история становления, развитие, современное состояние
Подготовка школьного учителя вследствие его роли и значения в развитии интеллектуального потенциала общества, несомненно, заслуживает особого места в образовательном пространстве.
В России серьезно заговорили о необходимости специальной подготовки учителей средних школ (гимназий, реальных училищ и т.п.) в конце XIX начале XX веков. На I Всероссийском съезде преподавателей математики, состоявшемся в 1911 году, был прямо поставлен вопрос о специальной подготовке учителей математики на базе законченного университетского образования.
В Москве возник педагогический институт имени П.Г.Шелапутина, в котором получали педагогическую специализацию в течении двух лет после окончания высших учебных заведений, пожелавшие посвятить себя преподавательской деятельности. Наиболее педагогически ценным в опыте этого института были конференции выпускников. Такая форма обратной связи со своими выпускниками свидетельствовала о превращении педагогического института в методико-педагогической консультационный центр.
После Октябрьской революции 1917 года уже в 18-19-х годах появляются специальные учебные заведения - институты народного образования, реорганизованные в начале 20-х годов в педагогические вузы. С момента появления специальных учебных заведений, готовящих учителей, возникает проблема определения содержания специального педагогического образования. С самого начала было ясно, что вся система обучения педагогического вуза должна состоять в профессионально-педагогической направленности обучения.
Курс элементарной математики составляет основу общеобразовательного курса математики. Он обладает высоким гуманитарным потенциалом уже, в частности, потому, что за ним стоит огромный исторический срок.
Данный курс был введен в учебный план педагогических вузов в 1937 году по рекомендации комиссии Академии наук СССР, изучавшей постановку математического образования в пединститутах [130].
В процессе своего существования он претерпел значительные изменения. На основе изученных нами диссертаций и других источников [70, 174, 189] мы фиксируем три основных этапа в истории преподавания курса элементарной математики:
1 этап (с 1937 до 1970 года). На этом этапе основной задачей являлось расширение и углубление знаний студента, вынесенных ими из школы.
2 этап (с 1971 до конца 80-х годов). Здесь произошел отказ от курса элементарной математики и появился «Практикум по решению математических задач» (ПРМЗ).
3 этап (с конца 80-х годов по настоящее время). Этот этап по настоящее время протекает на фоне структурных изменений всей системы народного образования
На протяжении всех этапов в истории преподавания курса элементарной математики постоянно велись дискуссии по вопросу о его содержании и организации.
В предисловии к своей книге И.А.Гибш [53] пишет: «Элементарная математика представляет собою дисциплину, точные границы которого не могут быть установлены. Но в одном нет сомнения: современная наука включает в область элементарной математики большое число разделов, которые выходят за пределы школьного курса элементарной математики средней школы. Эти разделы содержат в себе как дополнительный материал, на который опираются другие ветви математики, так и учения, которые имеют самую тесную связь с курсом элементарной математики средней школы, представляя собою научные основания этого курса».
К его содержанию можно подойти с двух сторон: научной и образовательной. С научной точки зрения курс элементарной математики охватывает «совокупность таких разделов, задач и методов математики, которые не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела и тем более, общим понятием множества. Другими словами, элементарная математика пользуется теми общими математическими понятиями (абстракциями), которые сложились до появления математического анализа, хотя элементарная математика продолжает развиваться, и теперь в ней появляются новые результаты, все же это происходит в рамках тех же понятий» [40, с. 129]. Содержание курса элементарной математики в изложенном представлении включает арифметику, элементарную геометрию, теорию чисел, тригонометрию, элементарную алгебру.
Рассматривая содержание курса элементарной математики с позиции современного обучения математике, имеют в виду совокупность таких математических разделов, которые изучаются в средней школе. Таким образом, курс элементарной математики включает в себе элементы арифметики, теории чисел, алгебру, геометрию, тригонометрию и математический анализ. Изучение элементарной математики в педвузе означает овладение понятиями, фактами и методами, составляющими стержневую идею каждого из ее разделов. Причем такой подход к изучению курса элементарной математики предполагает его тесную связь с методической подготовкой будущих учителей математики и со школьным курсом математики в рамках программы для высших учебных заведений, готовящих учителей математики.
Анализ различных курсов элементарной геометрии по изучению свойств равных фигур и пути совершенствования системы изложения этих вопросов
В этом параграфе мы приводим достаточно подробный анализ возможных путей изучения РФ практически во всех имеющихся курсах элементарной геометрии. При этом в этой главе основное внимание будет уделено равенству треугольников, а затем рассматриваем равенства других плоских фигур, а равенство пространственных фигур будет специально изучено во втором параграфе второй главы.
Огромной сложности проблема, с которой сталкиваются все, занимающиеся школьной геометрией и курсом элементарной геометрии, является введение и доказательство ПРТ. Это само по себе сложная и важная проблема, всю остроту, которой должны решать совместные усилия элементарной математики и методической подготовки будущих учителей математики.
Анализ курса элементарной геометрии начнем с учебника А.П.Киселева, написанного для педагогических училищ [81]. Особенностью этого учебника является то, что во введении дается общее определение равенства пространственных фигур (хотя нас сейчас будет интересовать равенство треугольников): «Геометрические фигуры могут перемещаться в пространстве, не подвергаясь никаким изменениям. Две геометрические фигуры называются равными, если перемещением одной из них в пространстве ее можно совместить со второй фигурой так, что они совместятся во всех своих частях». Из этого следует, что понятие РФ основано на понятии перемещения фигуры в пространстве как твердого тела, и совмещение фигур понимается в физическом смысле. Такая точка зрения также поддерживается последующим разрешением «перевертывать» всякую часть плоскости при наложении ее на другое место этой же или другой плоскости.
Приводится следующее определение равенства треугольников: «Две геометрические фигуры, например два треугольника, называются равными, если они при наложении могут быть вполне совмещены. В совмещающихся треугольниках, конечно, должны быть равны все соответствующие элементы их, т.е. стороны, углы, высоты, медианы и биссектрисы» [81, с.24].
Эти определения плохо согласованы между собой, но в учебнике не дается никаких разъяснений и вряд ли целесообразно использовать этот учебник на практике при методической подготовке будущих учителей.
Признаки равенства треугольников доказываются чисто наглядно, без ссылки на какую-либо аксиоматику. При этом два первых признака доказываются с помощью «наложения», а третий - «приложения». В учебнике А.П.Киселева нет ни слова, о том что такое «наложение» и «приложение», отсутствует аксиоматика наложения.
2.1.2 Далее рассмотрим «Курс элементарной геометрии» авторского коллектива Л.С.Атанасяна [28]. Здесь фиксируется, что понятие равенства плоских фигур вводится с помощью наложения одной фигуры на другую и рассматривается подробно аксиоматический подход в определении понятия «наложение». Предполагается, что могут существовать отображения плоскости на себя, которые называются наложениями. Свойства наложений выражены в аксиомах группы III, состоящей из семи аксиом. Для упрощения формулировок этих аксиом вводится понятие равных фигур. «Фигура Ф называется равной фигуре Ф;, если существует наложение, при котором фигура Ф переходит в фигуру Ф1, и каждая точка фигуры Ф; имеет прообраз, принадлежащий фигуре Ф» [28, с. 15]. Перечислим аксиомы наложения на плоскости:
Заметим, что первые три аксиомы наложения, более общего характера, они характеризуют свойства равных фигур и не обязательно связаны с понятием наложения. Аксиомы об откладывании углов и отрезков также не обязательно связаны с наложением фигур.
Определение РТ дается на основе общего определения РФ практически так же, как у А.П.Киселева: «По общему определению РФ треугольники ABC и А в с называются равными, если существует наложение f, при котором ААВС отображается в ДА ВС . При этом, очевидно, каждая сторона ААВС отображается на какую-нибудь сторону ДА В С7, поэтому каждая вершина первого треугольника переходит в какую-нибудь вершину второго. Запись ААВС=АА/В/С/ означает, что треугольники равны и A/=f(A), B =f(Bf), C7=f(C)» [28, с.32].
Осуществление методической подготовки будущих учителей математики по изучению равенства плоских фигур и его взаимосвязи с курсом элементарной геометрии
Определение взаимосвязи можно найти в Большой Советской энциклопедии: «Взаимосвязь, взаимная обусловленность существования компонентов действительности друг с другом, взаимная зависимость их отдельных характеристик» [40]. В нашей работе в качестве компонентов мы определяем вопросы, связанные с равенством геометрических фигур в курсах элементарной геометрии, курсах школьной геометрии и при методической подготовке будущих учителей математики. С точки зрения изучения взаимосвязи наибольший интерес представляет влияние курса элементарной геометрии на методическую подготовку будущих учителей математики.
Рассуждая о методической подготовке, мы будем придерживаться трактовки, предложенной Д.Пойа: «Все курсы, которые я читал учителям математики, были построены так, чтобы они могли служить в какой-то мере и курсами методики. В названии курса обычно указывался только учебный предмет, которому посвящался курс, отводимое же время распределялось между математикой и методикой ее преподавания: вероятно, девять десятых всего времени тратилось на предмет, и одна десятая — на методику» [140, с.304].
Другими словами, каждый предмет, изучаемый студентами в вузе, готовящем учителей, вносит свой вклад в формирование основ педагогического мастерства. Курс элементарной математики принадлежит к числу дисциплин, от которого напрямую зависит методическая подготовка будущего учителя математики.
По мнению ряда исследователей [34, 70, 148, 171, 183, 189 и др.] курс элементарной математики должен стать фундаментом для формирования определенной базы математических знаний, умений и навыков, обеспечивающее понимание целей, задач и методов обучения математике в современной школе и готовность к их реализации. Уровень этих знаний должен позволить будущему учителю определять логическую структуру и содержание школьного курса математики.
Курс элементарной математики помогает сместить акцент в преподавании методики математики с обсуждения содержания школьных учебников на рассмотрение методических проблем.
1.1 Рассмотрим особенности изучения равенства треугольников в различных вариантах школьного курса геометрии.
При этом мы будем руководствоваться тем, что будущий учитель математики должен научиться грамотно анализировать содержание курса школьной математики, ясно представлять научное развитие основных понятий курса, знать различные точки зрения по вопросам методики изложения разделов школьного курса геометрии, в частности разделов курса, связанных с равенством фигур и уметь выбрать наиболее эффективные способы для преподавания.
