Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕДМЕТНО -МЕТОДИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА «ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ»
§1. Рош> и место курса «Числовые системы» в предметно-методаческой подготовке^ 15
§2 Содержательные линии курса «Числовые системы» - основа гтредметно-методической подготовки будущего учителя математики 46
§3. Содержательная линия натуральных чисел в курсе «Числовые системы» 58
§4. Содержательная линия целых чисел в курсе «Числовые системы» 75
§5. Содержательные линии рациональных, действительных и комплексных чисел в курсе «Числовые системы» 80
§6. Содержательная линия кватернионов в курсе «Числовые системы» 102
Основные выводы первой главы 111
ГЛАВА II. ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ПРЕДМЕТНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА «ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ»
§1.1Ънятаесистемызадачиосновньктре6овашыкеепсстроениюв математических курсах педвузов 113
§2 Блоки задач по содержательной линии натуральных чисел и методика их реализации 121
Блок 1. Аксиомы Пвано и следствия из них 121
Блок 2 Отношения и обратные операции на множестве натуральных чисел 132
БпокЗ. Конечные и бесконечные множества 138
Блок 4. Характеристика системы аксиом Пеано и возможность расширения упорядоченных полуколец 145
§3. Блоки задач по содержательной линии целых чисел и методика их реализации 149
Блок 5. Свойства системы аксиом целых чисел 149
Блок б. Упорядоченные множества и кольца 155
§4. Блоки задач по содержательным линиям рациональных, действительных и комплексных чисел и методика их реализации 160
Блок 7. Свойства системы аксиом рациональных чисел 160
Блок 8. Пэсовдс«ательности и математическая индукция 164
Блок 9. Аксиомы поля действительных чисел и некоторые следствия из них 168
Блок 10. Метод математической индукции в системе действительных чисел 174
Блок 11. Аксиомы поля комплексных чисел и некоторые следствия из них 178
Блок 12 Решение уравнений в системе комплексных чисел 184
§5. Блоки задач по содержательной линии кватернионов и методика их реализации 187
Блок 13. Аксиомы тела кватернионов и некоторые следствия из них... 187
Блок 14. Алгебраические свойства кватернионов 191
§6 Эксперимент и его результаты 194
Основные выводы второй главы 208
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 209
ЛИТЕРАТУРА 211
ПРИЛОЖЕНИЯ 233
Введение к работе
Актуальность исследования. Последние десятилетия XX века ознаменовались глубокими изменениями в общественно-политической жизни нашей страны Эта изменения диктуют новые требования к системе образования, причем сегодня речь идет уже не только о реформе средней школы; началось реформирование и высшей школы Как известно, в системе школьного и высшего образования в России математике отводилась исключительная роль - роль математики в образовании подрастающего поколения уникальна, её ничем заменить нельзя Математика в эегда быт неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, так как она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и вавшойкомпсшентой развития личности (ЕМ. Тихомиров).
Поэтому математические дисциплины имеют исключительно большое значение как для процесса формирования профессиональной компетентности учителя математики в процессе обучения, так и для последующей преподавательской деятельности.
Текущий этап развития образования выдвигает повышенные требования к предметной подготовке учителя, вооруженного новейшими методиками и технологиями обучения, творчески мыслящего созидателя учебного процесса Качество профессионализма учителя зависит как от математической, так и методической его подготовки (Г И Саранцев).
На Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков» (Дубна, сентябрь 2000 г.) в докладе BJL Магросова, ВВ Афанасьева и ЕЙ. Смирнова «Современные проблемы прсфессионализвции предметной подготовки учителя в 21 веке» отмечено:
1) ведущей задачей педагогического процесса подготовки учителя средней (полной) школы является преобразование личности студента в
учителя - профессионала, способного решать все многообразие задач, связанных с обучением и воспитанием шкюоьников;
2) некоторое падение ровня предметаого оортювания буггупщх учителей в педвузах России (80 % учителей математики в средних школах -выпускники педагогических вузов).
По мнению авторов, это связано с тем, что фундаментальность содержания образования еще слабо увязывается с будущей профессиональной деятельностью студентов педвузов. ГЬэтому совершенствование профессиональной подготовки учителя математики требует поиска не только новых, эффективных путей организании учебнс всчіїитательного іфоцесш в педвузе, но и пересмотра структуры и содержания предметной подготовки студентов.
Итак, необходимость говорить о предметной (математической) подготовке будущего учителя математики вообще вызвана: ролью математики в образовании подрастающего поколения; преобразованием личности студента в учителя - профессионала; падением уровня предметного образования будущих учителей в педвузах.
В педагогической науке имеется широкий спектр исследований, посвященных профессиональной подготовке студентов педагогических вузов. Можно отметить несколько направлений, в котогжк ведутся исследования:
I. Проблемы общей подготовки учителя (О.А Абдулина, СИ Архангельский, НЕ Кузьмина, ЕГ. Осовский, НА Сластенини др.).
II. Методология математики (АД Александров, В Г. Болтянский, НЯ Виленкин, KB Гнеденко, АН Колмогоров, ЯД Кудрявцев и др.) и математического образования в педвузах (АЯ Жохов, ВИ Крупич, Ю.М. Калягин, ВЯ Шгросов, ВМ Монахов ЯМ Наумова, Г.И Саранцев, А А Столяр, Я М Фридман, ПМ Эрдниев и др.).
III. Г)облемы совершенствования предметной подготовки будущих учителей математики в педвузе (СП Амутнова, ВВ. Афанасьев, АЯБлох,
С.Н Дорофеев, Г.Л. Луканкин, ЕЮ. КАпвнова, Т.Н Мирекова, АГ. Морд-кович, АХ Наоиев, МА Родионов и др.).
IV. Дифференциация математического образования (Г. Д. Глейзер, ВА Гусев, Г.В Дорофеев, ИВ Дробышева, ИМ Смирнова, Р.А Утеева).
V. Совершенствование методической подготовки учителя математики (АК Артёмов, НГ. Воробьева, НА Демченкова, ВА Далингер, O.R Епишева, МИ Зайкин, Т. А Иванова, ЯС. Капкаева, ЕЙ Ляшенко и др.).
Отмеченные направления не исчерпывают широкий круг проблем, связанных с исследованием педагогической деятельности и проблемой предметной подготовки будущих учителей математики. В них недостаточно полно отражены вопросы формирования предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений будущего учителя математики, в частности, в области теоретико-числовой подготовки.
Анализ литературы и опыта работы молодых учителей показал, что многие из них испытывают затруднения в своей предметной деятельности, связанные с несформированностью основных предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений; оторванностью «вузовских» математических знаний и умений от школьного курса математики.
Основными компонентами профессионально-педагогической подготовки будущего учителя математику как и общефилософская; математическая; психолого-педагогическая и методическая. Не затрагивая все компоненты указанной подготовки в целом, остановимся лишь на математической и методической подготовке будущего учителя математики, объединяя их в общее понятие «предметно - методическая подготовка».
Курс «Числовые системы» служит своеобразным «мостиком» между циклами вузовских математических и школылых математических дисциплин Эффективность данного курса во многом определяется, на наш взгляд, использованием и иллюстрацией ведущих методов научного познания:
аксиоматического, метода математической индукции и метода обобщении. Это дает возможность будущему учителю «выйти» в перспективе на целенаправленную реализацию гуманитарного потенциала школьного курса математики Кроме того, курс «Числовые системы» открывает широкие возможности не только для формирования предметно (и пгюфессионально)-значимык знаний, умений и навьжов студентов, но и для развития их самостоятельности, формирования позитивной мотивации к учебе и будущей работе в качестве учителя математики
Обратимся к анализу ранее проведенных диссертационных исследований, так или иначе связанных с курсом «Числовые системы» и методикой его изучения.
Одним из первых диссертационных исследовании является исследование Ф.Э. Молина (1892), основополагающее значение которого в теории строения систем гиперкомплексных чисел отмечается многими учеными (например, Г. Вейлем в книге «Классические группы, их инварианты и представления)), 1947 г.).
Диссертационное исследование НН Литвинова (1958) посвящено преподаванию учения о числе в педагогическом вузе. Автор отмечает, что улучшить качество подготовки учителя по вопросам о числе можно за счет дальнейшего совершенствования пршодавания арифметики в курсе элементарной математики в педвузе и ликвидации пробелов в знаниях вопросов, относящихся к расширению и обобщению понятия о числе у преподавателей математики школ
В диссертационном исследовании Р. М Рафиковой (1972) предлагается методика изучения алгебраических структур на факультативных занятиях в средней школе.
Т.Я Федотова (1975) в своей диссертации берет за основу построения единого курса математики в 8-летней школе - математические струкіурьі Понятию аксиоматического метода и его формированию на уроках
алгебры средней школы (на примере чисиювых систем) посвящено исследование Т.Я. Каджоян(1977).
Взаимосвязи теории и практики как основы совершенствования методики изучения чисел в курсе математики 5-6 классов отражены в исследовании АВ Шажина( 1990).
Непосредственно вопросам совершенствования методики изложения курса «Числовые системы» на математических факультетах педвузов посвя-1пены диссертационные исследования 1С Карденаса (1986); Ю.Н КЬэиорова (1992), ЕЕ Неискашевой (1999). В частности, Ю.Н Козиоров строит курс «Числовые системы» на основе аксиом теории множеств; ЕВ Неискашева исследует пгхэфессиональную направленность обуіения студентов ткдаузов в процессе углубленного изучения понятия числа
Вопросам совершенствования предметно - методической подготовки будущего учителя математики в педвузе посвящены также докторские диссертации Г.Г. Хамова (1994) и В.А Тестова (1998). Результатом исследования Г.Г. Хамова явилась методическая система обучения алгебре и теории чисел в педвузе на основе гфофессис шлшо-педвгогичесжого подхода. Единый подход к построению математических курсов на основе математических структур в системе непрерывного обучения (школа - вуз) обоснован в диссертационном исследовании ВА Тестова
Анализ перечисленных выше диссертационных исследований показал, что: в предмето-методической подготовке будущего учителя математики большое значение отводится курсу «Числовые системы» (понятие числа, операций над числами, отношений, заданных в числовых множествах и понятие изоморфизма - основные понятия не только математики, но и школьного курса математики); большинство выпускников средних школ и студентов 1-3 курсов имеют существенные недостатки в знаниях о числе; практически не было исследований, посвященных выявлению методических возможностей курса «Числовые системы» в формировании предметно (и про
фессионально) - значимых знаний и умений будущего учителя математики, необходимых ему для реализации числовой линии в школьном курсе математики. Наше исследование направлено на вошолшение этого пробела.
Таким образом, актуальность данного исследования определяет возникшее противоречие между объективными потребностями практической деятельности учителя математики в средней школе (реализация в шкальном курсе математики числовой линии) и его недостаточной ПОДГОТОВЛЕННОСТЬЮ к згой предметно-методической деятельности, в силу несовершенства методики формирования предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений в курсе «Числовые системы» в педвузе.
Проблема исследования заключается в выявлении специфических особенностей и методических возможностей курса «Числовые системы» в предметно-методической подготовке будущего учителя математики и поиске средств формирования предметно ( и профессионально)- значимых знаний и умений о числе и числовых системах
Объектом исследования выбран процесс предметно - методической подготовки будущих учителей математики в педагогическом вузе.
Предмет исследования - содержание курса «Числовые системы» в целом, а также содержание и структура блоков задач, ориентированных на формирование у будущего учителя математики предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений о числе и числовых системах
Цель исследования состоит в разработке концепции формирования предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений у будущего учителя математики и её применения к построению методики изучения курса «Числовые системы» в педвузе.
Гипотеза исследования: если выделить содержательные линии курса «Числовые системы» и разработать соответствующие им блоки задач, а также методику их реализации, то это позволит сформировать у будущего учителя математики предметно (и профессионально) - значимые знания и
умения о числе и числовых системах и, тем самым, повысить качество предметно-методической подготовки в цел»!
Для решения исследуемой проблемы и проверки соответствующей гипотезы были сформулированы следующие задачи:
1. Определить роль и место курса «Числовые системы» в предметно -методической подготовке будущего учителя математики
2 Выделить содержательные линии курса «Числовые системы» в педагогическом вузе.
3. Отределить требования к задачам, ориентированным информирование у будущего учителя математики предметно (и профессионально) -значимых знаний и умений о числе и числовых системах и на их основе разработать соответствуїсщиекаждсж содержав блоки задач.
4. Разработать методику формирования предметно ( и пгюфессиональ-но значимых знаний и умений у будущего учителя математики и соответствующее ей методическое обеспечение курса «Числовые системы».
5. Проверить экспериментально эффективность разработанной методики.
Научно-методическую основу исследования составили работы, посвященные проблемам совершенствования:
- предметно - методической подготовки будущих учителей математики в педвузе (СП Амутновой, АЯ Блоха» Ю.Н Козиорова, НН Литвинова, Г.Я JryKaHKHHa, АГ. Мэрдковича, ВМ Монахова, АХ Назиева, КВ. Не-искашовой, ВА Тестова, Р.А Утеевой, МИ ИЬбунина, AR Шзвкина, Г.Г. Хамова и др.);
- постановки и обучения решению задач в средней школе и в вузе (Ю.М Калягина, ВИ Крупина, Т.Н Караковой, Г.И Саранцева, ДМ Фридмана и др)
Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования: аналго пси юлоп педагооіческой, научно -методической и
учебной литературы по ітгюблеме исследования; анализ программ по математике средней школы, государственных стандартов математического образования высшей школы, учебных пособий, заданного материала по курсу «Числовые системы»; изучение и обобщение опыта преподавания курса «Числовые системы» в педвузах; педагогический эксперимент.
Исследование проводилось поэтапно.
На первом этапе (1999 - 2000 гг.) осуществляюсь изучение и анализ психаіюгх педагогической и научно - методической литературы по теме исследования с цепью выявления теоретических основ обучения числовым системам, состояния исследуемой проблемы в практике обучения, проводился констатирующий эксперимент. Были выделены основные вопросы, подлежащие исследованию и проверке.
На втором этапе (2000- 2001 гг.) определялись роль и место курса «Числовые системы» в предметно-методической подготовке будущего учителя в педвузе; выделялись содержательные линии курса; разрабатывались требования к задачам по курсу, составлялись блоки задач по каждой содержательной линии; уточнялись этапы построения числовой системы и выявлялись особенности фундаментальных методов при изучении понятий числа и числовой системы Цэоводился поисковый эксперимент по проверке отдельных положений разрабатываемой концепции
На третьем этапе (2001 - 2003 гг.) проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики, анализировались результаты исследования, формулировались выводы
Научная новизна проведенного исследования заключается в том, что в нем проблема выявления специфических особенностей и методических возможностей курса «Числовые системы» в предметно-методической подготовке будущего учителя математики решена в контексте соотнесения каждой содержательной линии курса соответствующих блоков задач, ориентированных на формигюваниегтгхдметно (и пгхх)есионально)- значимых знаний и
умений у студентов.
Теоретическая значимость работы состоит в выделенных содержательных линиях курса «Числовые системы», характеризуемых через предметно-значимые знания и умения; разработке требований к задачам, соот-ветствукжцим каждой линии и блоков задач, ориентированных на формирование указанных знаний и умений
Практическая значимость работы заюіочается в разработке методики формирования предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений, которая может быть использована на практике преподавателями педвузов и учителями математики при обучении учащихся средних школ в классах с углубленным изучением математики, а также в создании методического обеспечения курса «Числовые системы». Результаты исследования могут быть также использованы при написании учебных пособий по курсу «Числовые системы» для студентов, а также методических пособий для учителей математики средних школ.
Апробация основных положений и результатов исследования проводилась в виде докладов и выступлений на научно-методических семинарах кафедры геометрии и методики преподавания математики Тольяттинского государственного университета (1999 - 2002 IT), методики преподавания математики Мордовского государственного пединститута (2002 г); на лекциях и практических занятиях со студентами 3-5 курсов физико-математического факультета Тольяттинского филиала Самарского государственного педагогического университета (1999-2001 гг.) и факультета математики и информатики Тольяттинского государственного университета (2002 -2003 гг.); научно-методических конференциях: внутривузовской (Тольятти, 2000, 2001, 2002), региональной (Арзамас, 2002), Всероссийской (Дубна, 2000 г.; Саранск, 2002; Нижний Новгород, 2002).
Достоверность и обоснованность результатов исследования подтверждается соответствием полученных в ходе исследования теоретических выводов практическим (зксаіфиментшіьньїм) результатам.
Внедрение результатов исследования счтуществлялось в ходе опьпно-экшериментапыюй работы на фюико-математическом факультете Тольят-тинасого филиала Самарского государственного педагогического университета и факультете математики и информатики Тольяттинского государственного университета Экспериментальная программа, методические рекомендации и подборка задач по курсу «Числовые системы» используются в процессе предметно-методической подготовки будущих учителей математики в ТГУ. Спецкурс и спецсеминар «Приложения кватернионов к геометрии» третий год читается студентам 5 курса
По теме исследования имеется 7 публикаций.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Повышение качества предметно - методической подготовки будущего учителя математики при изучении курса «Числовые системы» достигается совершенствованием методики формирования предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений о числе и числовых системах за счет соотнесения каждой содержательной линии курса соответхлвующих блоков задач.
2 Содержательными линиями курса «Числовые системы» являются: линия натуральных чисел; линия целых чисел; линия рациональных чисел; линия действительных чисел; линия комплексных чисел и линия кватернионов.
3. Методика формирования предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений по каждой содержательной линии включает в себя следующие этапы мотивация введения числовой системы; ознакомление с определением числа и числовой системы; усвоение содержания определения числовой системы; доказательство непротиворечивости и категоричности системы аксиом числовой системы; изучение свойств операций и отношений в числовой системе; показ необходимости и возможности расширения число • вой системы; реализация числовой системы в школьном курсе математики.
4. Средством формирования предметно (и профессионально) -значимых знаний и умении о числе и числовых системах являются задачи, удовлгтворякхцие определенным требованиям.
Ні защиту также выносятся методическое обеспечение курса «Числовые системы» (экспериментальная программа, программа спецкурса» методические рекомендации, блоки задач).
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы, приложений.
