Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ ЗНАНИЙ ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ У УЧАЩИХСЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ УГЛУБЛЕННОГО ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ 11
1.1 Анализ проблемы формирования системы знаний об алгебраических структурах в процессе обучения математике в научно-методической литературе 11
1.2 Психолого-педагогические основы формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений 27
1.3 Углубленное изучение математики: цели, содержание, формы 33
1.4 Математические структуры. Содержательные аспекты изучения математических структур в школьном курсе математики 47
1.5 Классификации уровней математических структур 73
1.6 Особенности формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики 84
Выводы по первой главе 93
ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ ЗНАНИЙ ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ У УЧАЩИХСЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ УГЛУБЛЕННОГО ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ 96
2.1 Пропедевтика формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики 96
2.2 Методические аспекты реализации факультативного курса «Элементы алгебраических структур» 106
2.2.1 Содержание и формы учебной деятельности в процессе формирования системы знаний об алгебраических структурах в углубленном изучении математики 106
2.2.2 Методические особенности изучения факультативного курса «Элементы алгебраических структур» 112
2.3 Результаты педагогического эксперимента 145
Выводы по второй главе 154
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 155
БИБЛИОГРАФИЯ 157
ПРИЛОЖЕНИЕ 174
- Анализ проблемы формирования системы знаний об алгебраических структурах в процессе обучения математике в научно-методической литературе
- Углубленное изучение математики: цели, содержание, формы
- Пропедевтика формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики
Введение к работе
В «Стандарте среднего (полного) общего образования по математике»
указаны следующие цели математического образования: формирование цело
стного представления о мире, научного мировоззрения учащихся, формирова
ние представлений об идеях и методах математики как универсального языка
науки, средства моделирования явлений и процессов, воспитание культуры
личности и отношения к математике как части общечеловеческой культуры,
имеющей особую роль в общественном развитии. Одними из важных условий
достижения этих целей являются фундаментализация математического обра
зования, а также интеграция науки и математического образования, что пред
полагает формирование у учащихся представлений об объекте и предмете со
временной математики, приобщение учащихся к творческой, исследователь
ской деятельности. _ _.
Проблемы формирования математических понятий, изучения теорем, обучения решению задач исследованы в трудах Г.И. Саранцева, В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, М.И. Зайкина, Т.А. Ивановой, Л.С. Капкаевой и др. Различные аспекты проблемы активизации учебной деятельности и повышения качества знаний, умений и навыков школьников исследованы в работах Г.Д. Глейзера, С.Н. Дорофеева, Ю.М. Колягина, М.А. Родионова, Р.А. Утеевой и др.
Углубленное изучение математических теорий содействует овладению учащимися новыми методами изучения явлений и процессов окружающего мира, а также позволяет раскрыть взаимосвязи курса школьной математики с современной наукой. Отечественная школа обладает большим опытом в разработке и реализации углубленного обучения математике. В рассматриваемом контексте можно отметить работы М.Б. Балка, Н.Я. Виленкина, О.Б. Епишевой, В.М. Монахова, И.М. Смирновой, В.В. Фирсова, СИ. Шварцбурда и др.
Идеи изучения особенностей математических структур в школьном курсе математики связаны с реформами математического образования и представлены в трудах П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова и др.
В настоящее время в методической литературе представлено значитель
ное количество исследований, посвященных особенностям овладения матема
тическими абстракциями в обучении математике учащихся средней школы. В
контексте исследования можно отметить работы И.В. Егорченко, В.А. Тестова
и др. Возможности знакомства школьников с математическими структурами
раскрываются в ряде диссертационных исследований (И.В. Васильевой,
А.Н. Колобова, И.В. Кузнецовой; М.Е. Сангаловой и мн. др.). В этих работах
рассматриваются отдельные вопросы изучения математических структур. Вме
сте с тем, отсутствует обобщение различных аспектов процесса изучения ал
гебраических структур, которое позволило бы: приблизить содержание школь
ного курса математики к наиболее важным и образовательно-ценным достиже
ниям современной математики; повысить уровень математической подготовки
учащихся; осуществлять формирование научного мировоззрения учащихся;
формировать творческие, исследовательские способности учащихся.
Таким образом, актуальность данного диссертационного исследования обусловлена имеющимися противоречиями между:
необходимостью формирования системы знаний об алгебраических структурах и отсутствием целостной концепции изучения структур алгебры в школьном обучении математике;
возможностью реализации образовательного потенциала школьного курса алгебры и отсутствием соответствующей теории и методического обеспечения, нацеленного на достижение указанных выше целей.
Необходимостью разрешения указанных противоречий определяется проблема данного исследования, которая заключается в разработке методики формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики на основе выделения уровней абстрактности алгебраических структур и адекватных им уровней математического мышления.
Система знаний об алгебраических структурах включает:
1) содержательно-методические линии (числовую, уравнений и нера-
венств, функциональную, тождественных преобразований; интегрального и дифференциального исчисления и др.) и их обобщение и систематизацию;
понятия алгебраической операции, группы, изоморфизма;
прикладные аспекты изучения алгебраических структур.
Цель исследования заключается в разработке теоретических основ и методического обеспечения углубленного изучения алгебраических структур в школьном курсе математики.
Объектом исследования является процесс обучения алгебре и началам анализа учащихся общеобразовательных учреждений.
Предмет исследования - цели, содержание, методы, формы, средства формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики.
Гипотеза исследования: качество знаний; умений и навыков школь
ников в процессе обучения^маттатике будет более высоким, если:
разработать теоретические основы формирования,системы.знанийоб' алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики;
создать на этой основе методическое обеспечение и внедрить его в процесс школьного обучения математике.
Проблема, цель и гипотеза исследования обусловили необходимость решения следующих частных задач:
Выполнить анализ состояния проблемы исследования в методической, психолого-педагогической литературе и практике обучения математике.
Исследовать возможности школьного курса математики для формирования у учащихся знаний об алгебраических структурах.
Определить наиболее важные факторы процесса изучения алгебраических структур в школьном курсе математики.
Разработать методику формирования системы знаний об алгебраических структурах и выявить аспекты ее реализации в процессе углубленного изучения математики.
7 5. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики в практике школьного обучения.
Для решения указанных задач использовались методы исследования:
анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования;
сравнительный анализ учебных планов и программ по математике, учебников и учебных пособий для общеобразовательных учреждений и школ (классов) с углубленным изучением математики;
изучение и обобщение педагогического опыта учителей математики;
статистическая обработка и анализ результатов педагогического эксперимента.
К научно-теоретическим предпосылкам, составляющим методологическую основу исследования, относятся: системный анализ и концепция деятельностного подхода; труды по теории формирования математических понятий; исследования по использованию задач в обучении; работы по проблеме изучения абстракций в школьном курсе математики.
Исследование проводилось поэтапно.
На первом этапе в рамках констатирующего эксперимента осуществлялся анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования с целью разработки теоретических основ формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики, изучалось состояние исследуемой проблемы в практике обучения.
На втором этапе в рамках поискового эксперимента разрабатывалась теория и методические приложения, используемые при формировании системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики, изучались его результаты, формулировались выводы исследования.
8 Научная новизна выполненного исследования заключается в:
предлагаемом подходе к формированию системы знаний об алгебраических структурах в процессе углубленного изучения математики на основе учета уровней абстрактности алгебраических структур, их видов и адекватных им уровней математического мышления;
выявлении различных факторов, влияющих на формирование и развитие системы знаний об алгебраических структурах в процессе углубленного изучения математики учащимися общеобразовательных учреждений;
— выделении содержательной основы, необходимой в процессе форми
рования системы знаний об алгебраических структурах, а также вьывлении
ее роли и места в обучении математике (см. таблицу 2).
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:
— обобщены представления об основных видах и последовательности
изучения алгебраических структур в школьном курсе математики; „
— исследованы особенности углубленного изучения алгебраических
структур на основе учета уровней абстрактности данных структур и соответ
ствующих им уровней математического мышления;
- определены формы, содержание, средства формирования у учащихся
знаний об алгебраических структурах и выявлены наиболее оптимальные пу
ти изучения алгебраических структур в процессе углубленного изучения ма
тематики.
Практическая значимость исследования заключается в разработке конкретной методики формирования системы знаний об алгебраических структурах, использование которой позволит повысить качество математических знаний, навыков и умений учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Процесс изучения алгебраических структур обусловлен: 1) уровнями абстрактности алгебраических структур; 2) видами алгебраических структур; 3) уровнями мышления, адекватными данным алгебраическим структурам.
2. В процессе формирования системы знаний об алгебраических
структурах у учащихся средних общеобразовательных учреждений
необхб^имэучение понятия «алгебраическая операция», что содействует
обобщению свойств операций, как в самой алгебре, так и в раскрытии взаи
мосвязей алгебры с другими предметами;
изучение понятия группы, его особенностей и роли в математике, а также прикладной значимости групп в математическом познании человека и построении современной картины мироздания;
формирование представлений о сущности изоморфного отображения и его роли в математическом моделировании.
Перечисленные составляющие процесса формирования системы знаний об алгебраических структурах целесообразно осуществить во взаимосвязи с обобщением и систематизацией числовой линии школьного курса математики и изучением геометрических преобразований (см. таблицу_2).
Использование разработанного факультативного курса и методики его изучения, нацеленных на овладение указанными выше понятиями (алгебраической операции, изоморфизма, группы) содействует формированию у учащихся системы знаний об алгебраических структурах, а также, повышению качества математических знаний, навыков и умений школьников.
Достоверность и обоснованность проводимого исследования, его результатов и выводов обусловлены опорой на основные теоретические положения методики обучения математике, а также результатами педагогического эксперимента и применением при анализе его результатов статистических методов, используемых в педагогических исследованиях.
Апробация и внедрение основных положений и результатов исследования проводились в ходе экспериментальной проверки в школьном процессе обучения математике; в форме докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры методики преподавания математики Мордовского госпединститута (Саранск, 2003-2007 гг.); международной конференции «Интеграция региональных систем образования» (Саранск, 2006 г.);
10 Всероссийских научных конференциях: «Фундаментальные и прикладные исследования проблем образования» (Санкт-Петербург, 2004 г.), «Методология и методика формирования научных понятий у учащихся школ и студентов вузов» (Челябинск, 2004 г.), «Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы» (Пенза, 2005 г.), «Актуальные проблемы образования и педагогики: диалог истории и современности» (Саранск, 2005 г.), «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования» (Саранск, 2005 г.), «Современный урок математики: теория и практика» (Н. Новгород, 2005 г.); региональных научно-практических конференций «Учить учителя» (Самара, 2004 г.), «Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики» (Глазов, 2006 г); в виде публикаций в межвузовских сборниках научных трудов: «Технические и естественные науки: проблемы, теория, эксперимент» (Саранск, 2005 г.), «Интеграция математической и методической подготовки студентов в педвузе» (Саранск, 2006 jr.),. «Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона» (Киров, 2007 г.); на ежегодных Евсевьевских чтениях (Саранск, 2003-2007 гг.); в виде публикации в журнале «Обозрение прикладной и промышленной математики» (Москва, 2007 г.). Результаты исследования опубликованы в журнале «Интеграция образования» (Саранск, 2007 г.).
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.
Анализ проблемы формирования системы знаний об алгебраических структурах в процессе обучения математике в научно-методической литературе
Попытки перестроить школьное математическое образование в плане введения важнейших алгебраических понятий предпринимались достаточно давно. Ряд идей о реформе математического образования был высказан еще Ф.Клейном в Эрлангенской (1872 г.), а затем в Меранской программе (1906 г.). В частности, на ведущие позиции им были выдвинуты групповая точка зрения на геометрию и идея внедрения преобразований в основу построения курса геометрии.
Процесс реформирования среднего математического образования в XX веке представлен несколькими этапами [152]. Первый этап реформ (от начала столетия до 70-х годов) осуществляется в условиях, когда математика рассматривается как наука, изучающая количественные отношения и пространственные формы действительного мира. Второй этап реформ (70-е - 90-е годы) характеризуется тем, что математика рассматривается как наука о математических структурах. Третий этап берет начало с 90-х годов. В этот период предметом математики являются математические модели.
Практическим введением в курс средней школы понятия алгебраической структуры занимались многие ученые. Например, академик Д.А. Граве [103] выступал за модернизацию курса алгебры русской средней школы. Под модернизацией изложения элементарной алгебры он понимает введение в курс алгебры понятия числового поля. После изучения рациональных чисел в его книге делается заключительный вывод, что рациональные числа удовлетворяют основным законам формальной алгебры (переместительному, сочетательному, распределительному, произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, действие вычитания всегда возможно, действие деления всегда возможно, за исключением деления на нуль). Затем числовое поле определяется как совокупность чисел, над которыми можно производить все четыре действия: сложение, умножение, вычитание и деление, причем эти действия должны быть установлены так, чтобы были справедливы все шесть приведенных выше законов. В качестве примера поля рассматривается совокупность рациональных чисел, а впоследствии - совокупности вещественных и комплексных чисел.
Академик П.С. Александров в 1935 году на совещании преподавателей математики выступал за внедрение в школьную математику теоретико-множественного подхода и ряда идей абстрактной алгебры, в частности, понятия группы, утверждая, что «на простом и элементарном материале можно учить большим математическим идеям» [15, с. 3]. В своей книге «Введение в теорию групп», специально предназначенной для учащихся, он отмечал, что понятие числа, множества, функции и группы являются теми четырьмя краеугольными камнями, на которых держится все здание математики и к которым сводится всякое другое математическое понятие. Он также высказывал убеждение, что «понятие группы не труднее понятия функции: его можно освоить на самых первых ступенях математического образования, тем более что сделать это можно на материале элементарной математики» [15, с. 4].
Зарубежные ученые, методисты [56, 66, 103] полагали, что элементы математических структур должны изучаться в средней школе. «Вместо того чтобы рассматривать изучение математики, как изучение серии определенных глав, необходимо вести преподавание с помощью структур мышления, существующих в умах учеников, изучающих близкие к ним математические структуры» [56, с. 117].
Автор работы [103] высказывается за необходимость изучения в школе следующих понятий алгебры: группа, кольцо, векторное пространство. Подчеркивается мысль о том, что введение основных понятий общей алгебры поможет «сделать учащихся средней школы причастными к тому, что составляет сущность науки» [103, с. 64].
В статье [66] автор считает, что школьники должны овладевать абстрактными понятиями по мере развития их ума для того, чтобы математика представлялась им в настоящем виде. Ему присуща тенденция к «алгебраизации» всей математики и к полному выявлению ее основных
Представляют несомненный интерес идеи введения в курс средней школы понятий высшей алгебры, изложенные в трудах Ж. Папи [188], который организовал эксперимент по обучению школьников понятиям высшей алгебры (группы, кольца, поля, векторные пространства).
Взгляды на проблему модернизации содержания курса математики в средней школе разделялись и другими авторами. Так в приложении к учебнику для учащихся 15-16 лет [187] автор предлагает упражнения на проверку свойств ассоциативности и коммутативности операции, излагает теорию сравнений на примере вычетов по модулю пять.
Углубленное изучение математики: цели, содержание, формы
Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.
Программа по математике для средней школы, работающей по базисному учебному плану, предполагает формирование у школьников представлений о математике как части общечеловеческой культуры, как определённом методе познания мира. Отметим, что математическое образование предполагает не только развитие личности учащихся средствами математики, но и овладение системой знаний, навыков, умений, дающей представление о предмете математики, методах математического исследования, основных понятиях, приме-нении математики в процессе исследования явлений природы и общества.
Но на данный момент содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, предъявляемым к уровню выпускников образовательных учреждений, а также необходимому уровню знаний, умений и навыков нужному современному человеку. Объём знаний, необходимый каждому члену современного общества, резко возрастает, в то время как количество отводимых для занятий часов сокращено. Математика как школьная дисциплина оставляет учащихся на рубеже прошлых веков и чрезвычайно мало знакомит с современными научными достижениями.
Анализ содержания школьного математического образования позволил выявить ряд недостатков:
1. Отмечается систематическое снижение уровня математической подготовки выпускников школ. Результаты единого государственного экзамена, анализ ответов абитуриентов на вступительных экзаменах свидетельствуют об отсутствии структурности и четкого понимания взаимосвязей, как между отдельными понятиями, так и разделами школьного курса алгебры.
2. Неподготовленность учащихся к пониманию ряда важных аспектов и особенностей присущих научному мировоззрению и необходимых для овладения современной картиной мироздания, овладение которыми необходимо каждому члену современного общества. Это объясняется тем, что учебный предмет алгебры в настоящее время дает весьма узкое представление о современной математике, что не позволяет реализовать во всей полноте образовательный потенциал школьного курса алгебры.
Перечисленные недостатки указывают на необходимость изменений в содержании школьного математического образования и методике обучения математике учащихся средних общеобразовательных учреждений.
Поиск новых направлений в образовании связан с идеей гуманизации и гуманитаризации образования, личностном подходе и учете интеллектуальных возможностей школьников.
Одним из средств разрешения имеющихся проблем является углубленное изучение математики.
В соответствии с пояснительной запиской программы для школ (классов) с углубленным изучением математики [127], наряду с решением основной задачи углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе.
В углубленном изучении математики выделяются два этапа (8-9 и 10-11 классы), отвечающие возрастным возможностям и потребностям школьников и соответственно различающиеся по целям. Учащийся может начать углубленно заниматься математикой, как с восьмого, так и с десятого класса.
Первый этап углубленного изучения математики является в значительной мере ориентационным. На этом этапе ученику необходимо помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им, с тем, чтобы по окончании девятого класса он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего углубленного либо обычного изучения математики. Интерес и склонность учащегося к математике должны всемерно подкрепляться и развиваться. В случае же потери интереса, изменения его в другом направлении ученику должна быть обеспечена возможность перейти от углубленного изучения к обычному.
Углубленное изучение математики на втором этапе предполагает наличие у учащихся более или менее устойчивого интереса к математике и намерение выбрать по окончании школы связанную с ней профессию. Обучение на этом должно обеспечить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования, а также к профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.
Пропедевтика формирования системы знаний об алгебраических структурах у учащихся общеобразовательных учреждений в процессе углубленного изучения математики
Как уже отмечалось (см. п. 1.3), в углубленном изучении математики выделяются два этапа: 8-9 и 10-11 классы. Учащиеся могут начать углубленно заниматься математикой, как с восьмого, так и с десятого класса.
В процессе углубленного изучения математики с восьмого класса формирование системы знаний об алгебраических структурах предполагает первичное знакомство учащихся с математическими абстракциями (8-9 классы) и обобщающий факультативный курс (10 класс). На первом этапе осуществляется пропедевтика изучения алгебраических структур. Система упражнений, предлагаемая учащимся, не содержит специальной символики и сложных математических терминов. Формирование знаний об алгебраических структурах осуществляется в неявной форме. На втором этапе в десятом классе в рамках углубленного изучения математики предполагается проведение факультативного курса «Элементы алгебраических структур». Данный курс является обобщением и систематизацией знаний об алгебраических структурах.
Если углубленное изучение математики осуществляется с десятого класса, то пропедевтическое знакомство школьников с элементами алгебраических структур возможно и наиболее целесообразно проводить на кружковых занятиях в средней школе (при изучении тем «Векторы», «Многочлены», «Логарифмы», «Движения» и т.д.).
Приведем примеры упражнений на формирование понятия «алгебраическая операция».
Упражнение. Проверить, является ли сумма двух многочленов третьей степени многочленом третьей степени?
Упражнение. Что является результатом суммы двух векторов?
Упражнение. Доказать, что сумма двух четных чисел является четным числом.
Упражнения на формирование понятия группы включают задания на выполнение аксиом группы (в неявной форме). Например, при изучении темы «Движения» учащимся предлагаются следующие упражнения.
Упражнение. Найдите все повороты квадрата вокруг центра, при которых квадрат переходит сам в себя.
Упражнение. Приведите примеры фигур, каждая из которых при не котором повороте переходит сама в себя. Для каждой фигуры найдите центр и угол поворота. " Рассмотрим пропедевтику формирования знаний об алгебраических структурах подробнее.
В процессе формирования знаний об алгебраических структурах необходимо изучение таких основных понятий, как
- замкнутость множества относительно введенной операции (или понятие алгебраической операции, определенной на данном множестве);
- свойства операции: ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального и нейтрализующего (симметричного) элемента;
- в зависимости от набора свойств, количества введенных операций на множестве имеем частные виды алгебраических структур: группы, кольца, поля.
Овладение системой знаний, включающей понятие алгебраической операции, ее свойства представляет необходимую «основу» для изучения конкретных алгебраических структур. На нем базируется понятие группы, векторного пространства и вообще алгебраической структуры.
Понятие алгебраической операции пронизывает весь курс школьной математики. В начальной школе учащиеся знакомятся с операциями сложения и умножения на множестве натуральных чисел, изучаются законы этих опера 98 ций. Позднее учащиеся выполняют различные алгебраические операции во множестве целых, рациональных, действительных чисел.
Однако часто оканчивающие школу имеют весьма «примитивные» представления об алгебраических операциях и их свойствах. Объясняется это тем, что традиционное содержание курса математики в школе имеет ряд существенных пробелов относительно рассматриваемого вопроса. Поэтому первые занятия в рамках углубленного изучения школьного курса математики целесообразно начинать с рассмотрения понятия алгебраической операции.
Понятие бинарной операции трактуется в математике в широком и узком смыслах. В широком смысле понятие бинарной операции - это закон, по которому некоторым упорядоченным парам элементов данного множества М (то есть некоторым элементам из квадрата множества М) ставятся в соответствие элементы из М, один или много.
В курсах алгебры понятие бинарной алгебраической операции рассматривается в узком смысле, как закон, по которому для любой упорядоченной пары элементов множества М ставится в соответствие единственный элемент из М.
Изучению бинарной алгебраической операции должен предшествовать обзор развития понятия числа в средней школе.
При изучении различных числовых множеств на каждом этапе расширения понятия числа целесообразно делать вывод, какие операции выполнимы в данном множестве, а какие - нет. Например, при изучении чисел, кратных данному числу (6 класс) целесообразно выполнить упражнения:
