Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ В ШКОЛЕ.
1.1. Исследовательская работа учащихся. Необходимые элементы ее начальной стадии 12-22
1.1.1 Математический эксперимент и его роль в развитии исследовательских возможностей учащихся 22-34
1.2. Методика индуктивных поисков закономерностей 34-40
1.3. Метод математической индукции и методика его применения в исследовательской работе с учащимися 40-51
ВЫВОДЫ 51
Глава II. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА В ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
2.1. Необходимость и целесообразность систематического применения косвенных методов доказательств в учебном процессе 53-57
2.2. Методика применения косвенных методов доказательств в учебно-исследовательской работе с учащимися 57-74
ВЫВОДЫ 74
Глава III. СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ, РЕШЕНИЙ И СОСТАВЛЕНИЯ ЗАДАЧ
3.1. Исследования "в малом" 75-94
3.2. Некоторые методы решения задач и методика их применения в исследовательской работе с учащимися 94-111
3.3. Разработка методов составления задач как результат исследовательской работы учащихся 111-122
3.4. Развитие критического мышления учащихся и их математического стиля мышления - необходимое средство для проведения исследовательской работы в школе 122-133
ВЫВОДЫ 133
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ 134-162
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 163-164
ЛИТЕРАТУРА 165-178
- Исследовательская работа учащихся. Необходимые элементы ее начальной стадии
- Необходимость и целесообразность систематического применения косвенных методов доказательств в учебном процессе
- Исследования "в малом"
Исследовательская работа учащихся. Необходимые элементы ее начальной стадии
Процесс познания предусматривает комплекс признаков, на которых следует основываться в исследовательской деятельности. Этот комплекс содержит следующие требования:
1. Рассмотрение объектов исследования с интересующей стороны должно быть объективным и охват возможно большего числа многоразличных отношений изучаемых объектов к другим.
2. Явления следует изучать в их развитии, движении, с раскрытием внутренне - противоречивых тенденций.
3. Понимать процесс познания надо как сумму и единство противоположностей.
4. Анализ и синтез всегда взаимосвязаны.
5. Надо учитывать, что отношения каждого объекта не только многоразличны, но всеобщи, универсальны.
6. Следует стремиться к распознаванию переходов каждого качества в каждое другое (в свою противоположность).
7. Всегда надо иметь в виду, что процесс раскрытия новых сторон изучаемых объектов и их отношений бесконечен.
8. Учитывать, что бесконечность процесса углубления познания явлений требует открытия специальных методов изучения сущности различных отношений, взаимосвязей переменных величин, многообразия функциональных зависимостей (от явлений к сущности и от менее глубокой сущности к более глубокой).
9. Необходимо знать, что имеет место переход от существования к причинности и от одной формы связи и взаимозависимости к другой, более общей.
10. Закономерными в процессе познания являются:
а) Повторение в высшей стадии известных черт, свойств низшей.
б) Возврат якобы к старому (отрицание отрицания).
в) Противоречие содержания с формой и обратно.
г) Переход количества в качество и обратно.
д) Скачкообразность процессов развития.
Диалектический метод о познавательном процессе дает возможность сделать вывод о существовании трех основных фаз в исследовательской работе на базе определенного запаса знаний, Такими фазами, всегда сопутствующими в разумных поисках нового (и относительно нового), являются:
ПЕРВИЧНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ, ФАЗА ФОРМАЛИЗАЦИИ, ФАЗА ПРИОБЩЕНИЯ НАЙДЕННОГО (ПОЗНАННОГО) К ОБЩЕЧЕЛОВЕЧЕСКИМ
ЗНАНИЯМ
Первичное исследование тесно связано с наблюдениями, предположениями, фантазией и проходит, в большей мере, на индуктивном, эвристическом уровне.
Формализация представляет собой этап более высокой абстракции. Здесь уже вводятся новые понятия, характеристические свойства их и формулируются критерии существования различных отношений этих понятий, проводятся л огико-предметные доказательства (в частности, логико-математические) ,
Заключительная фаза - фаза накопления и систематизации найденных знаний, установления их взаимосвязей, построения научных систем, применения полученных знаний, передачи этих знаний обучающимся, появления импульсов в потребности новых исследований (возвращения к первой стадии на более высоком научном уровне).
Описывая эти фазы, мы хотели бы обратить внимание на то, что речь идет о фазах научного познания, основанного на определенном материале, который может быть достаточно основательным по объему и систематизации. Поэтому все эти фазы имеют место при продолжающемся изучении и создании каждой науки в ее развитии. Они показывают, что развитие происходит по спирали и что всякому развитию науки присущи эксперимент, все виды индуктивных поисков и другие научные методы исследования.
Все три фазы должны иметь место и в школьном обучении. И хотя математика - наука дедуктивная, в ее созидательный аппарат входят не в меньшей мере, чем в другие науки, все элементы исследовательской работы, включая и эксперименты.
Естественно возникают вопросы: "Чем характерна каждая из этих стадий исследовательского процесса в школе?", "Есть ли предпосылки для развития исследовательских возможностей учащихся?", "Можно ли эти возможности реализовать более полно?" и ряд других.
Частые наблюдения, жизненный опыт, размышления об известных нам истинах и возможных их взаимосвязях, интеллектуальный эксперимент (геометрический, знаковый, т.е. эксперимент с числами) всегда приводят к вопросам, первым из которых является: "Какие существуют закономерности?".
Выделение ряда необходимых признаков изучаемого объекта является основой опытного (экспериментального) метода. Он служит не только для установления законов природы, формул, которые могут служить общими посылками дедукции, но и, в какой-то мере, дедуктивным инструментом в получении новых знаний, связанных с обнаруженным таким путем "законом".
Развивающий характер обучения есть, прежде всего, его трудовое качество, ибо оно не столько нагружает память, не столько требует заучивания фактического материала (хотя и это очень важно), сколько приучает к овладению знаниями через ряд умственных действий и усилий.
Необходимость и целесообразность систематического применения косвенных методов доказательств в учебном процессе
В отличие от математической науки в школьной математике прямой метод доказательства пока что остается основным. Отчасти это объясняется тем, что многие известные ученые и методисты выступали против знакомства учащихся младших и средних классов с косвенным методом. Отдельные из них аргументировали это тем, что сама косвенность якобы выступает в виде фокуса и не укладывается в голове ученика, так как приходится делать допущения, на первый взгляд противоречащие здравому смыслу, особенно в тех случаях, когда они сопровождаются чертежами, не соответствующими действительному положению дел, но являющимися необходимыми иллюстрациями априори допустимых случаев в рассматриваемом вопросе. (Действительно, такие ситуации бывают и на первых шагах обучения, разумеется, их следует избегать.) Другие из них считают, что косвенное доказательство легко можно преобразовать в прямое (Д.Пойа), или косвенное доказательство хорошо, когда есть прямое доказательство (К.Гаусс).
На необходимость разработки путей обеспечения усвоения учащимися методов косвенных доказательств обращено внимание Международным симпозиумом по вопросам преподавания математики (76).
Косвенный подход к разрешению какого-либо вопроса - такой же естественный, как и прямой. Представьте себе мальчика, прибежавшего с улицы домой (в большую квартиру) и спрашивающего у отца, "не знает ли он: мама дома или нет?". Отец отвечает: "не могу точно сказать, скорее всего ее дома нет". Тогда сын ставит сам себе вопрос "А может быть она дома?" и начинает проверять:
1) забегает в одну комнату и видит, что ее там нет; 2) затем в другую и т.д.
Проверив во всех комнатах и не обнаружив ее, он делает окончательный вывод - матери нет дома.
Такой естественный ход проверки есть не что иное, как косвенное доказательство. Ведь он сделал допущения, убедился в их несостоятельности и пришел к выводу, что "мамы дома нет".
Существует много примеров, убеждающих в том, что в ряде случаев косвенное доказательство оказывается более удобным и кратким, а иногда даже неизбежным. Здесь уместно привести такие факты,
1. На олимпиаде в г. Махачкале (1972г.) среди других задач была предложена и следующая задача 6-го класса. "Может ли выпуклый многоугольник иметь более трех тупых внешних углов?"
Интересным оказалось то, что отдельные преподаватели ВУЗа (специалисты по матанализу), участвовавшие в проведении олимпиады, сетовали на трудность именно этой задачи потому, что им пришлось проводить длинное и сложное прямое доказательство, а над тем, что следует дать простое косвенное доказательство, они не задумывались.
2. Мы составили и предложили учащимся старших классов и студентам задачу на признак ромба, косвенное доказательство которого вообще говоря доступно учащимся 7-го класса. Многие из них не смогли решить ее (она действительно трудна для доказательства). Вот ее текст: "Будет ли ромбом выпуклый четырехугольник, две противоположные стороны которого равны и диагонали являются биссектрисами двух углов, прилежащих к одной из равных сторон?" Задача имеет изящное косвенное доказательство, а поиски простого прямого доказательства пока- что не увенчались успехом.
Необходимость обучения косвенным доказательствам вызывается очень тонкими соображениями. Часто бывает так, что мы не можем найти прямого доказательства (во всяком случае в данной ситуации, когда у учащихся не хватает знаний для проведения такового). Тогда мы вынуждены допустить утверждение, противоречащее доказываемому, и путем анализа условий и нового заключения прийти к абсурду. После такого доказательства нередко удается пойти и обратным путем. В этих случаях можно предлагать учащимся прямые доказательства. Но такие преобразования не всегда удается сделать. Вот пример:
№ 36. В выпуклом четырехугольнике ABCD ZA ZC , диагональ BD в точке пересечения диагоналей О делится пополам. Будет ли четырехугольник ABCD - параллелограммом?
Необходимость и целесообразность систематического применения косвенных методов доказательств в учебном процессе
В этой главе описывается и приводится небольшая часть того материала, который тщательно и по крупицам собирался и систематизировался при проведении экспериментально - исследовательской работы по созданию тренировочных упражнений с целью развития творчества учащихся при более основательном изучении математики (на факультативных занятиях, частично на уроках, кружках, олимпиадах, в работе математической школы, при проведении педпрактики студентов) .
Для того, чтобы хотя бы в очень малой степени проследить за протеканием этого этапа исследовательской работы учащихся, учителя вместе с ними занимались разрешением тех вопросов-проблем, которые им предлагались в заданиях, называемых нами "Исследования в малом". В такие задания включались не только и не столько известные предложения-теоремы, методы, построения, для переоткрытия их, но и новые задачи, решения которых нам не были известны, серии непохожих друг на друга задач, решаемых одним и тем же методом .
При работе над такими "Исследованиями" было обнаружено, что учащиеся довольно часто давали импульсы для новых "Исследований" в постановке новых задач. Они с удовольствием брались за все те вызовы, которые им бросались, особенно в тех случаях, когда сообщалось, что та или иная задача еще никем не решалась, или не разрешена. Здесь проявлялась "дерзость", порожденная детской непосредственностью .
Когда составлялись задания, обращалось внимание на следующее:
1. Прежде всего, исследование должно было требовать как можно большего числа элементов творческой работы. При этом, понятно, что нередко само содержание задания не представляло проблемы, значимой для науки математики.
2. Каждое задание имело элементы новизны.
3. Выбирались такие задачи, которые подкупали простотой постановки вопроса.
4. Для ответа на поставленные вопросы не надо было писать больших сочинений.
5. Каждое задание включало небольшую вводную часть.
Проведение подобной исследовательской работы при разумном участии самого учителя всегда порождает вопросы, дающие взаим о обратные импульсы творчеству учащихся и учителей.
Что мы понимаем под "Исследованием в малом"? Исследование "в малом" - это творческая работа ученика, проявляющаяся в разнообразии умений самостоятельных изысканий, а именно в том, что он:
1. Решает нестандартную задачу, пользуясь при этом основопо
лагающими методами математики.
2. Решает набор задач (предложенный ему) определенным методом.
3. Находит какой-либо оригинальный подход к решению конструктивной задачи.
4. В ходе решения задач обнаруживает какие-либо "новые" закономерности.
5. Берется за анализ и делает попытки решений нерешенных задач и получает при этом, пусть неполные, но некоторые результаты.
6. Может составить, подобрать и систематизировать ряд задач, решаемых предложенным методом.
7. Получает новые, иногда и более простые доказательства ряда фактов школьного курса математики.
8. Создает новые приемы, рационализирующие пути решений определенного круга задач.
9. Составляет содержательные задачи через обобщение или через абстрагирование наблюдаемых вещей, явлений.
10. Успешно проводит работу по поиску ошибок в условиях и решениях задач, в доказательствах теорем, включая самоконтроль, самопроверку своих решений и выводов.
Приведем примеры некоторых заданий - "Исследований в малом".
Задание, в котором присутствует немало обязательных элементов исследовательской работы.
