Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретический анализ инновационных педагогических технологий на современном этапе преподавания математики 13
1.1. Различные подходы к понятию педагогической технологии 14
1.2. Анализ современных педагогических технологий обучения математике 26
1.3. Инновационный подход в реализации содержания геометрического материала 43
Выводы 63
Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по выявлению инновационных педагогических технологий совершенствования процесса преподавания геометрии 65
2.1. Создание модели организации учебного процесса 66
2.2. Определение наиболее эффективных форм и методов обучения математике при реализации модели 91
2.3. Критерии усвоения геометрических знаний учащимися 119
2.4. Опытно-экспериментальная проверка эффективности разработанной методики 133
Выводы 151
Заключение 153
Библиографический список 160
Приложения 180
- Различные подходы к понятию педагогической технологии
- Создание модели организации учебного процесса
- Определение наиболее эффективных форм и методов обучения математике при реализации модели
Введение к работе
Актуальность исследования. Современное российское общество находится на стадии интенсивных социально-экономических преобразований, при этом высокую научную и практическую значимость имеют педагогические инновации, направленные на развитие личности индивида и улучшение качества преподавания математики в средней общеобразовательной школе.
Развитие педагогической науки свидетельствует о том, что главным составляющим современного образования является человек, способный свободно ориентироваться в современном информационном пространстве, продолжать свое дальнейшее образование, добиваться успеха в будущей профессиональной деятельности. Эффективность учебного процесса, результативность обучения школьников в значительной мере зависят от уровня разработанности технологических условий интенсификации целостного педагогического процесса в личностно-ориентированном образовании.
В условиях реорганизации образовательного процесса и межличностных отношений в обучении особую значимость приобретает проблема реализации инновационно-педагогических технологий в учебном процессе и совершенствовании технологического подхода в области проектирования геометрической подготовки учащихся.
Одной из тенденций развития современного курса геометрии является постоянное расширение его предметной области, что позволяет усилить общеобразовательный потенциал курса, раскрыть его связь с другими предметами. Осознание многосторонности образовательных задач в обучении геометрии приводит к необходимости выделения этапов обучения этой дисциплины в школе: пропедевтического, базового, профильного. Такая тенденция отражена и в базисном учебном плане, утвержденном коллегией Министерства образования России в 2004 году.
Для эффективного развития подрастающего поколения должна быть найдена такая основа, которая позволяла бы опираться на достигнутое в науке и человеческой практике и гибко реагировать на новые образовательные тенденции. В связи с этим наиболее адекватным представляется обогащающий подход. Его основные положения исходят из того, что каждый человек имеет свои природные задатки и развитие личности возможно только путем обогащения индивидуального умственного и интеллектуального опыта ребенка в процессе изучения математики.
По этой причине становится актуальной разработка определенных методических подходов к использованию инновационных технологий в преподавании геометрии для реализации идей развивающего обучения, развития личности обучаемого, в частности, для развития творческого потенциала индивида, формирования умения учащихся осуществлять прогнозирование результатов, своей деятельности, разрабатывать стратегию поиска путей и методов решения задач - как учебных, так и практических.
Общие специфические особенности творческой педагогической деятельности исследовались в 60-80-х гг. и нашли свое отражение в трудах Ф.Н.Гоноболина, С.М.Годника, В.И.Загвязинского, В.А.Кан-Калика, Н.В.Кузьминой, Ю.Н.Кулюткина, А.К.Марковой, Н.Д.Никандрова, В.А.Сластенина, Г.С.Сухобской, Л.М.Фридмана и др.
Для отечественной педагогики традиционны исследования инновационной деятельности с точки зрения теории и практики внедрения достижений педагогической науки и распространения передового педагогического опыта (А.А.Арламов, Ю.К.Бабанский, В.И.Журавлев, М.М.Поташник, М.Н.Скаткин и др.).
В диссертационных работах В.П.Кваши и Н.В.Коноплиной, посвященных проблемам инноватики, рассматриваются вопросы управления инновационными процессами в образовании. В исследовании М.В. Кларина обобщаются и анализируются инновационные модели учебного процесса в со временной зарубежной педагогике. Основы теории инновационных процессов в сфере воспитания изложены в диссертации С.Д. Полякова.
Вопросы проектирования методической системы обучения математике отражены в работах О.Б.Епишевой, Г.К.Безруковой, В.П.Беспалько, В.С.Гершунского, В.В. Петровского и др. Проблемы технологизации инновационных процессов в обучении математике освещены в исследованиях С.А.Смирнова, И.Є.Дмитрик, М.А.Чошанова, ШМ:Эрдниева, М.В.Кларина, В .Ю.Питюкова, Н.В. Щурковой и др.
В методических исследованиях на основе системно-деятельностного подхода к обучению математике изучаются общие и специфические закономерности решения задач, выявляется роль мыслительных операций и логического- мышления (Ю.М.Колягин, А.А.Столяр, BtA.FyceB, Г.Л.Луканкин, О.П.Горина, О.В.Алексеева, В.М.Монахов, Г.ИХлейзер, Г.ВсДорофеев и др.).
Различные аспекты личностно ориентированного обучения-математике исследовались Н .С.Подходовой, И.С.Якиманской, И.В.Дробышевой, В.В.Давыдовым, Л.В.Занковым, П.Я.Гальпериным и др.
Однако вопросы реализации инновационно-педагогических технологий в процессе формирования геометрических знаний учащихся не нашли должного отражения в исследованиях и требуют дополнительного изучения. Таким образом, актуальность исследования обусловлена практической неразработанностью целостной системы формирования геометрического знания, что в настоящее время является наиболее значимым.
Все это требует дополнительного исследования вопросов реализации инновационно-педагогических технологий при изучении геометрического материала в 4-6-х классах средней общеобразовательной школы.
Исследования и опыт практической работы в школе позволили выявить следующие противоречия:
- между высоким уровнем научных разработок в области инновационных педагогических технологий и неразработанностью данного вопроса в контексте изучения отдельных дисциплин;
- между реальными потребностями общества в эффективной организации и результативности педагогического процесса и подготовленностью современного учителя к реализации технологических инноваций в проектировании, геометрического знания ученика;
- между необходимостью методической поддержки курса геометрии и недостаточностью исследований в этой области, касающихся, в частности, использования практических геометрических задач.
Актуальность и указанные противоречия определили тему исследования, проблема- которого может быть сформулирована следующим образом: каковы теоретические, дидактические и методические аспекты реализации инновационно-педагогических технологий при изучении геометрического материала в 4-6-х классах средней общеобразовательной школы?
Цель исследования - выявить инновационно-педагогические технологии и определить возможности их реализации в учебном процессе при изучении геометрического материала в 4-6-х классах средней общеобразовательной школы.
Объект исследования - инновационно-педагогические технологии обучения математике в средней общеобразовательной школе.
Предмет исследования - процесс внедрения инновационно-педагогических технологий геометрической подготовки учащихся 4-6-х классов средних общеобразовательных школ.
Гипотеза исследования заключается в том, что реализация инновационно-педагогических технологий в учебном процессе при изучении геометрического материала в 4-6-х классах средней общеобразовательной школы будет эффективной, если:
- процесс геометрической подготовки учащихся строится на основе технологического подхода к формированию геометрического знания школьников и в соответствии с инновационной моделью организации учебного процесса, ориентированной на удовлетворение требований социального заказа;
- внедрение инновационных педагогических технологий совершенствования учебного процесса при изучении геометрического материала производится в соответствии с выявленными дидактическими-условиями;
- обеспечено системное использование практических геометрических задач в учебном процессе как инновационо-педагогический подход.
В соответствии с целью и гипотезой исследования решались следующие задачи:
1. Определить возможности применения инновационных педагогических технологий преподавания геометрии в 4-6-х классах и провести адаптацию обогащающей технологии к изучению геометрии.
2. Разработать инновационную модель организации учебного процесса в условиях реализации инновационных педагогических технологий геометрической подготовки учащихся 4-6-х классов и определить наиболее эффективные формы и методы реализации разработанной модели.
3. Разработать и экспериментально проверить эффективность инновационной педагогической технологии использования практических геометрических задач как фактора повышения мотивации к учебной деятельности и развития интеллекта и творческих способностей учащихся.
Теоретико-методологическую основу исследования составили: теория системного и деятельностного подхода к обучению (СИ. Архангельский, Ю.К. Бабанский, И.А. Зимняя, А.Н. Леонтьев, Н.Ф. Талызина и др.); теория педагогических систем и педагогических технологий (В.П. Беспалько, В.М. Монахов, В.Н. Садовский, М.А. Чошанов, М.В.Кларин, В.Ю.Питюков, Н.В. Щуркова и др.); принципы и основы отбора и конструирования содержания образования (В.В. Краевский, B.C. Леднев, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин и др.); психологические теории обучения (М.А. Холодная, П.Я. Гальперин, Л.С. Выготский, Н.Ф. Талызина, Н.Н. Поспелов, Е.Н. Кабанова-Меллер и др.)
Существенное значение для проводимого исследования имели основные положения о роли и значении задачного подхода в процессе обучения (Г.А. Балл, И.Ф. Исаев, Н.В. Кузьмина, Л.И. Мищенко и др.); активизации учебно-познавательной деятельности обучающихся (Ю.К. Бабанский, ВІП. Беспалько, И.А. Зимняя1, С.Л . Рубинштейн и др.).
Цели и задачи исследования определили выбор комплекса методов исследования, основными среди которых являются: теоретико-методологический анализ литературы по проблеме исследования; проектирование и моделирование систем и процессов; анализ программ и действующих учебников; эмпирические методы: наблюдение, анкетирование, тестирование, интервьюирование, собеседование; педагогический эксперимент; статистические методы обработки полученных результатов исследования.
Опытно-экспериментальная-база исследования. Исследование проводилось в средних общеобразовательных учреждениях города Борисоглеб-ска и района с 2000 по 2005 гг. и охватывало учащихся 4-6-х классов, учителей школ Восточно-экономического округа Воронежской области, всего 495 человек. Исследование проводилось в три этапа.
На первом этапе (2000-2001 гг.) изучалась литература по теме исследования, анализировались различные подходы к понятию педагогической технологии, проводился анализ современных педагогических технологий, уточнялось понятие инновационного вида обучения в современной педагогической науке и обосновывалась необходимость инновационного подхода в реализации содержания геометрии. Сформулированы цели, объект, предмет и гипотеза исследования, поставлены задачи исследования, проведен констатирующий эксперимент.
На этапе констатирующего эксперимента изучалась корректность поставленной задачи исследования, проверялась гипотеза о том, что обучение учащихся геометрии посредством системного использования практических учебных геометрических задач на основе технологичного подхода обеспечивает качественную подготовку учащихся 6 класса к изучению систематического курса геометрии в 7-11-х классах и всецело способствует общему развитию личности.
На втором этапе (2002-2003 гг.) на основе анализа существующих в городе и собственной практике дидактических условий геометрической подготовки учащихся на рассматриваемом этапе обучения создавалась модель организации учебного процесса в условиях реализации инновационно-педагогических технологий обучения математике, определялись формы, методы реализации разработанной модели, разрабатывалась система практических и лабораторных занятий с использованием системы практических геометрических задач, выявлялись дидактические условия активизации индивидуальной и групповой учебной деятельности и уточнялись критерии сформированное™ геометрических знаний учащихся. Проводился обучающий эксперимент, анализ промежуточных результатов. В ходе обучающего эксперимента разработанная методика реализовывалась и корректировалась при изучении геометрического материала в 4-6-х классах средних общеобразовательных школ.
На\ третьем этапе (2004-2005 гг.) обобщались результаты опытно-экспериментальной проверки эффективности разработанной методики; проводился качественный и количественный анализ полученных результатов; формулировались выводы; завершено оформление диссертационной работы. Научная новизна исследования заключаются в том, что: • теоретически обоснована и нашла практическое подтверждение эффективность реализации инновационно-педагогических технологий в учебном процессе современной средней общеобразовательной школы при формировании геометрических знаний учащихся;
• разработана инновационная модель организации учебного процесса при изучении геометрического материала, направленная на формирование геометрических знаний и интеллектуальное развитие учащихся;
• теоретически обоснована и внедрена инновационная технология использования практических геометрических задач при подготовке к изучению систематического курса геометрии.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:
• дополнено научное обоснование современных педагогических технологий в реализации содержания учебного предмета (при изучении геометрического материала);
• определены и обоснованы критерии усвоения геометрических знаний (предметная отнесенность, системность, обобщенность) и уровни готовности учащихся к использованию и дальнейшему совершенствованию геометрической подготовки в условиях реализации современных образовательных технологий (уровень овладения элементарными геометрическими понятиями и представлениями на основе живого созерцания и наглядности, уровень готовности к решению практических геометрических задач, уровень творческой направленности деятельности учащихся по усвоению геометрического материала);
• показан механизм активизации учебно-познавательной деятельности учащихся при реализации инновационных педагогических технологий в процессе геометрической подготовки учащихся в условиях современной школы, основанный на использовании методов, активизирующих познавательную деятельность (проблемный, эвристический, исследовательский, лабораторно-практический, проектный) и форм учебной работы (лабораторные, интегрированные, практические, экскурсии, игры) с использованием индивидуального и группового подхода.
Практическая значимость исследования заключается в том, что:
1. Разработаны рекомендации по выявлению возможностей и реализации инновационно-педагогических технологий в учебном процессе при изучении геометрического материала в 4-6-х классах.
2. Разработана методика подготовки учащихся к активному восприятию систематического курса геометрии, которая внедрена в практику работы школ города Борисоглебска и района и обеспечивает:
• активизацию учебно-познавательной деятельности обучающихся;
• соответствие уровня готовности учащихся к изучению систематического курса геометрии и предъявляемым требованиям к качеству математической подготовки выпускников.
3. Разработанные методики адаптивными могут быть использованы как в процессе изучения курса геометрии в средней школе, так и в процессе подготовки будущих учителей в высших учебных заведениях к будущей профессиональной деятельности.
Обоснованность и достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивается его объективной методологической основой, многоуровневым теоретическим анализом проблемы, использованием системы методов и приемов, адекватных цели, гипотезе и задачам исследования, экспериментом, подтвердившим достижение планируемых результатов, воспроизводимостью результатов.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Инновационное обучение геометрии осуществляется с учетом сензи-тивных периодов, направлено на интеллектуальное воспитание школьников и развитие умений анализировать собственное восприятие реального пространства
2. Реализация инновационно-педагогических технологий в ходе проектирования геометрической подготовки учащихся осуществляется в рамках инновационной модели организации учебного процесса, ориентированной на увеличение роли интеллектуального развития и предполагающей пересмотр компонентов школьного образования.
3. Внедрение инновационной технологии использования практических геометрических задач обеспечивает интеллектуальный рост школьников, их личностное развитие в процессе обучения математике.
Апробация и внедрение результатов исследования.
Основные положения работы обсуждались на семинаре кафедры математики и методики ее преподавания ГОУ ВПО «БГПИ» «Структурно- логические схемы математических дисциплин»; с учителями математики города и района, на консультациях, встречах участников методических групп, курсах повышения квалификации; методических объединениях учителей г. Борисог-лебска (2000 - 2005); региональной научно-практической конференции «Информационные и коммуникационные технологии в образовании» ГОУ ВПО «БГПИ» (Борисоглебск, 2000 - 2005); научной конференции преподавателей и студентов ГОУ ВПО «БГПИ» (2000-2005); межвузовской научно - практической конференции (Липецк, 2003). Предложенная методика адаптивна, ее элементы, внедрены в образовательный процесс ряда средних общеобразовательных школ города Борисоглебска и района.
Различные подходы к понятию педагогической технологии
Зарождение идеи технологии педагогического процесса связано, прежде всего, с внедрением достижений научно-технического прогресса в различные области теоретической и практической деятельности. Но прежде чем говорить о современном определении данного понятия, проанализируем некоторые исторические аспекты зарождения понятия педагогической технологии.
Французский гуманист М. Монтень (Г533-1 592), выдвинув тезис: "Где для детей польза, там же должно быть для них удовольствие", разработал ряд педагогических позиций, имеющих принципиальное значение с точки зрения технологии [103]. Так, относительно наставника он замечает: "Желательно, чтобы он не только мог увлекать своим рассказом, но и слушал своего питомца". Одно из важнейших условий в работе с детьми интерпретируется у М. Монтеня в учительскую "способность снизойти до влечений ребенка", которая, по мнению автора, "присуща лишь душе возвышенной и сильной". Рассуждая! о специфике обучения, М. Монтень призывает учитывать индивидуальные особенности детей, так как то, что свойственно возрасту в целом, имеет свои исключения в частном. Высочайшего уровня, технологического общения он достигает при описании "общения с другими", выделив в качестве рекомендаций шесть правил:
1) не выставлять себя напоказ;
2) воздерживаться в расходовании знаний;
3) избегать заносчивости;
4) спорить только с достойным;
5) тщательно отбирать доводы (точные и краткие);
6) склоняться перед истиной. Чешский мыслитель-гуманист, педагог Я.А. Коменский (1592-1670) писал: "Можно и нужно каждого учителя научить пользоваться педагогическим инструментарием, только тогда его работа будет высокорезультативной, а место учителя самым лучшим местом под солнцем" [60].
Его выдающийся труд "Великая дидактика" содержит комплекс технологических решений "краткого", "приятного" и "основательного" обучения детей, чтобы, "играя и-шутя", доводить их "до вершин наук". В сущности, все его "исправления" являются не чем иным, как. разработкой оптимальной технологии обучения. Сюда относятся: урок как форма побуждающего примерами общения; правильное (с точки зрения» суток, физиологии и возраста ребенка) распределение времени; приоритетное развитие умственных способностей и т.п.
Первые идеи технологизации учебного процесса, высказанные в античности, в средневековье и в эпоху Просвещения, получают свое дальнейшее развитие в трудах педагогов более позднего периода.
Швейцарский педагог И.Г. Песталоцци (1746-1827) развивал идею разностороннего и гармоничного воспитания, согласующегося с природой самого ребенка. Настаивая на неразрывности обучения и воспитания, он ввел в педагогику понятие "воспитывающее обучение", совмещающее умственное образование с нравственным воспитанием. И.Г. Песталоцци уделял много внимания созданию в школе благоприятного психологического климата и педагогической технологии, указывая на то, что следовать природе ребенка, в его понимании, - значит творчески разнообразить средства воздействия, а отнюдь не потакать причудам и капризам детства [127].
Представление о технологизации педагогического процесса продолжало развиваться и наиболее полное его отражение было получено в работах А.С. Макаренко (1888-1939). Необходимо отметить, что именно А.С. Макаренко стоял у истоков технологизации в педагогике. Одним из основных моментов его педагогического наследия является разработка и реализация технологического подхода в педагогической теории и практике. В деле воспитания, по его замечанию, сохраняется подход, при котором успех зависит только от мастерства и энтузиазма педагога, что подтверждает цитата: "Воспитательное дело есть дело кустарное, а из кустарных производств - самое отсталое" [86].
В своей всемирно известной «Педагогической поэме» он писал, что «наше педагогическое производство никогда не строилось по технологической логике, а всегда по логике моральной проповеди». Он считал, что именно поэтому в педагогике того времени отсутствуют все важные отделы педагогического производства: технологический процесс, учет операций, конструкторская, работа, применение конструкторов и приспособлений, нормирование, контроль, допуски и браковка.
Создание модели организации учебного процесса
Основным назначением обогащающей модели обучения является интеллектуальное воспитание учащихся на основе обогащения индивидуальной умственной деятельности каждого ребенка в процессе изучения математики. Интеллектуальное воспитание в исследованиях психолога М.А. Холодной, чьи труды были положены в основу обогащающей модели, рассматривается как специфическая форма организации учебного процесса и внешкольной деятельности учащихся, в рамках которой каждому ребенку оказывается индивидуализированная педагогическая помощь с целью совершенствования его интеллектуальных возможностей [173]. Обогащение умственной деятельности означает, во-первых, формирование основных его компонентов и, во-вторых, рост его индивидуального своеобразия.
Важнейшим условием интеллектуального воспитания-, учащихся является перестройка содержания школьного образования как ключевого элемента учебного процесса. Поэтому в "обогащающей модели" обучения основное внимание было уделено созданию специальных учебных пособий. Тексты этих пособий, отражая структуру научного математического знания, в то же время по форме, содержанию и особенностям своей организации являются "проекцией" основных линий интеллектуального развития личности.
Соответственно в рамках предлагаемого подхода решаются две задачи:
1) создание условий для актуализации развития умственной деятельности конкретного ученика (учет предпочитаемых способов кодирования информации, особенностей имеющейся базы знаний, уровня сформированности житейских и научных понятий, резервов обучаемости и т.д.);
2) создание условий для усложнения, обогащения индивидуальной умственной деятельности ученика в максимально возможных пределах.
При проектировании процесса организации геометрической подготовки учащихся нами учитывались параметры, заложенные в социальном заказе, включающие как внешние факторы, формирующие социальный заказ на подготовку творчески активного резерва в условиях повышения уровня матема тического образования, так и потребности личности в приобретении конкурентоспособных знаний и требования общества к уровню математической подготовки.
Вопрос о том, что и как изучается в том или ином школьном учебном предмете, соотносится в первую очередь с социальным заказом, который делает общество образованию. Если в недавние годы социальный заказ нацеливал педагогическую-общественность на то, что главное в образовании - обучение, передача информации, то сегодня главное в образовании - развитие, формирование общей культуры человека, способного, в частности, самостоятельно добывать и перерабатывать информацию. Поэтому если раньше учили математике, то «сегодня учат и математике, и математикой [89].
Актуальность вышеперечисленного определяется не только социальным заказом, но и потребностями индивида к самоопределению и самовыражению в условиях современного развития общества.
Эти качества впоследствии обеспечивают выпускникам конкурентоспособность на рынке труда, востребованность обществом, социальную защищенность.
Реализация социального заказа, обусловленного внедрением инновационных педагогических технологий, впитавших лучшие достижения педагогической науки и практики, в прогресс обучения геометрии обеспечивает:
подготовку учащихся к изучению систематического курса геометрии.
подготовку культурного человека, способного самостоятельно добывать и перерабатывать информацию.
Опираясь на общие цели образования и на проанализированный социальный заказ, определим цели изучения геометрии. Это такое овладение ею, при котором геометрия стала бы для учащегося:
- особым языком описания действительности;
- особым средством решения практических задач;
- специфической системой построения знания; - источником общих методов познания и решения проблем;
- одной из областей деятельности, в которой вырабатываются культурные и нравственные ценности;
- одним из средств реализации и развития индивидуальных интеллек туальных возможностей.
Как известно всякая цель - это мысленное («идеальное») предвосхищение человеком результата будущих действий: Такое предвосхищение может иметь различную психологическую форму: наглядного образа будущего результата, схематического его описания, определения требований, которым должен удовлетворять планируемый результат (О. К. Тихомиров) [165].
Если говорить о целях собственно педагогического содержания, то с самого начала необходимо подчеркнуть своеобразие того результата (продукта, эффекта), который в этих целях предвосхищается. Ожидаемый результат обучения находит свое выражение в изменении, продвижении, развитии ученика — в развитии его понятий и представлений, его взглядов и убеждений, его практических умений и навыков. При этом на каждом отдельном этапе обучения (на каждом отдельном учебном занятии) учитель имеет дело с некоторыми частными результатами продвижения ученика, которые, однако, вносят свой вклад в общую систему развития его личности.
Определение наиболее эффективных форм и методов обучения математике при реализации модели link3
Охарактеризуем различные комбинации форм организации обучения, которые способствуют наиболее эффективной реализации разработанной модели учебного процесса. Способ организации, в основе которого лежит взаимосвязь групповой и фронтальной форм, заключается в следующем: новый, материал изучается учащимися коллективно в,-типологических группах, каждая из которых работает по своим заданиям, затем учитель организует совместную деятельность учащихся всех групп. Смысл композиции индивидуальной и коллективной форм заключается в том, что учитель посредством заданий обеспечивает переход от индивидуальной к коллективной деятельности. Это можно осуществить посредством вариативных самостоятельных работ. Взаимосвязь групповой и фронтальной форм обусловливает выполнение каждой группой своих заданий с последующим фронтальным обсуждением результатов, анализом ошибок, показом наиболее рациональных способов решения задач.
Общеизвестно, что массовое образование затрудняет развитие индивидуальных задатков детей. Для удовлетворения индивидуальных потребностей учеников, развития их творческих способностей вводятся индивидуальные программы, внеклассные занятия, создаются школы (классы) с углубленным преподаванием отдельных предметов.
В психолого-педагогической литературе постоянно обсуждается проблема учета индивидуально-психологических особенностей школьников. Потребность в этом ощущают и педагоги-практики [144]. Естественно возникает вопрос о том, какие же именно особенности должен учитывать учитель. Их очень много: качественные особенности восприятия (предметность, осознанность, структурность и т.д.); преобладающие виды памяти (зрительная, слуховая, двигательная и т.д.); виды мышления (наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое и т.д.); его качества (гибкость, глубина, широта и т.д.). Мы полагаем, что особое внимание должно быть, прежде всего, направлено на учет индивидуальных особенностей математического мышления. Именно поэтому педагогу важно знать структуру математического мышления.
Согласно психологическим исследованиям [18, 64, 133], структура математического, мышления представляет собой пересечение пяти основных подструктур, характеризуем каждую из них.
Топологическая подструктура обеспечивает замкнутость, компактность, связанность осуществляемых мышлением преобразований, непрерывность трансформаций, мысленное выращивание, вылепливание в представлении требуемого объекта (его образа).
Порядковые подструктуры дают возможность постоянного сопоставления человеком математических объектов и их элементов по таким характеристикам, как больше - меньше, ближе - дальше, часть — целое, изменение направления движения и его характера, положение, форма, конструкция предмета.
Метрические подструктуры позволяют вычленять в объектах и их компонентах количественные величины и отношения (пропорции, численные значения размеров, углов, расстояний).
С помощью алгебраических подструктур человек осуществляет не только прямые и обратные операции над математическими объектами, расчленение и соединение их составляющих, но и замену нескольких операций - одной из определенной совокупности, объединение нескольких блоков предмета в один, выполнение математических преобразований в любой последовательности.
Наконец, проективные подструктуры обеспечивают изучение математического объекта или его изображения с определенного самостоятельно выбранного положения, проецирование с этой позиции объекта на изображение (или изображения на объект) и установление соответствия между ними.
Указанные пять подструктур в математическом мышлении человека существуют не автономно, не изолированно, не равнозначны и не рядоположны, а пересекаются и находятся в определенной зависимости, иерархии по степени значимости и представительности в интеллекте. В соответствии с индивидуальными особенностями каждого та или иная подструктура занимает место главной, ведущей, доминирующей. Она наиболее ярко выражена по сравнению с остальными, более устойчива и лучше развита.
В соответствии со своей ведущей подструктурой человек по-разному воспринимает, оперирует, перерабатывает и воспроизводит математическую информацию. Например, при восприятии математического объекта один ученик прежде всего выделяет метрические соотношения — его интересует вопрос "сколько?". Другой воспринимает в первую очередь топологические инварианты и оперирует ими (непрерывность, замкнутость, связность и т.д.). При этом он акцентирует свое внимание не на количественных, а лишь на качественных отношениях. Очевидно, представитель именно этой группы мог сформулировать известный афоризм: "Нематематики считают, что математики считают".
