Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Профильная школа и преемственность обучения 13
1.1. Элективные курсы в структуре профильного обучения 13
1.1.1. Профильное обучение: цели и задачи 13
1.1.2. Теория и практика профильного обучения 15
1.1.3. Вариативный компонент профильного обучения 22
1.2. Преемственность математического образования в условиях профильного обучения 29
1.2.1. Принцип преемственности обучения и модели его реализации 29
1.2.2. Преемственность в обучении математике 34
1.2.5. Двухуровневая модель элективного обучения математике 38
Глава П. Графы и графовое моделирование как предмет изучения в школе и вузе 45
2.1. Математическая модель и графовое моделирование 45
2.1.1. Модель и метод моделирования 45
2.1.2. Математическое моделирование 47
2.1.3. Графы и графовое моделирование 53
2.2. Теоретические основания введения элементов моделирования в школьное обучение 56
2.2.1. Моделирование в познавательной деятельности человека 56
2.2.2. Формирование деятельности моделирования в процессе обучения 59
2.2.3. Метод моделирования в обучении математике 62
2.3. Графы в школьном и высшем профессиональном образовании 70
2.3.1. Графы в современном вузовском образовании и
проблема преемственности в изучении теории графов 70
2.3.2. Обоснования введения элементов теории графов в школьное математическое образование: ретроспектива и современность 75
2.3.3. Графы в школьных учебниках математики и внеклассной работе по математике 80
Глава III. Двухуровневая модель элективного изучения графов в предпрофильной и профильной школе и ее реализация 88
3.1. Обоснование целесообразности двухуровневого элективного изучения графов 88
3.1.1. Предпосылки создания модели 88
3.1.2. Обоснование модели двухуровневого изучения графов в предпрофильной и профильной школе 91
3.2. Предпрофильный элективный курс «Элементы теории графов» и методика его проведения 96
3.2.1. Цели, задачи, содержание и тематическое планирование курса 96
3.2.2. Кодирование, перекодирование и декодирование информации - основа графового моделирования 100
3.2.3. Обучение приемам анализа и преобразования моделей 111
3.2.4. Пропедевтика как условие преемственности 117
3.3. Элективные профильные курсы и некоторые методические аспекты их проектирования 120
3.3.1. Графы как предмет элективного изучения в профильной школе. 120
3.3.2. Инвариантность и вариативность обучения в разных профилях.. 128
3.4. Экспериментальная проверка эффективности двухуровневой модели
обучения математическому моделированию с помощью графов 141
Заключение 164
Библиографический список использованной литературы 170
Приложения 188
- Профильное обучение: цели и задачи
- Теоретические основания введения элементов моделирования в школьное обучение
- Обучение приемам анализа и преобразования моделей
Введение к работе
Быстродействие и объем памяти современных компьютеров позволили значительно расширить масштабы использования дискретных математических моделей. В настоящее время стираются прежние границы между непрерывной и дискретной математикой; и в самой математике и в ее приложениях все чаще встречаются задачи, при решении которых одновременно используются как непрерывные, так и дискретные модели. Сказанное стало причиной включения элементов дискретной математики в содержание математического образования студентов самых разных направлений обучения в системе высшего и среднего профессионального образования. Школьные же базовые математические курсы по-прежнему нацелены на преимущественное изучение непрерывной математики. Вместе с тем, как показывает практика, у студентов нередко возникают серьезные затруднения в изучении новых для них дискретных объектов, особенно при решении практических и прикладных задач.
Одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов дискретной математики является теория графов. Существует огромное число практических и чисто математических задач, решение которых сводится к изучению больших совокупностей объектов, существенные свойства которых описываются связями и отношениями между этими объектами. Графы помогают наглядно представить подобные связи и отношения, поэтому многие задачи и проблемы теоретического и прикладного характера могут быть сформулированы в терминах графовых моделей. Минимальность используемого при этом «алфавита» (вершины и ребра) значительно упрощает кодирование и обработку имеющейся информации. Благодаря современному компьютеру графовые модели находят все новые и новые приложения в информатике, программировании, физике, химии, биологии, экономике, социологии, лингвистике и пр.
Обширный и разнообразный спектр приложений графов приводит к необходимости знакомства с ними специалистов, занятых в самых различных сферах профессиональной деятельности. Поэтому элементы теории графов вошли в учебные планы и программы подготовки будущих специалистов на математических, технических, экономических и многих других специальностях. Изучение графов в профессиональной школе нередко сопряжено у студентов с дополнительными трудностями, возникающими из-за обилия новых специальных терминов (широкий спектр приложений теории графов обусловил богатство ее понятийного аппарата). При этом, как опять же показывает практика, у школьников принятие и осознанное усвоение специфической графовой терминологии не вызывает затруднений.
Важным связующим звеном в системе непрерывного общего и профессионального образования может и должен стать вариативный компонент предпрофильного и профильного обучения. Предпрофильные элективные курсы призваны помочь выпускнику основной школы в предварительном самоопределении относительно дальнейшего обучения в старшей профильной школе и обеспечить пропедевтику дисциплин, которые затем будут изучаться в выбранном им направлении обучения. Играя ведущую роль в построении индивидуальных образовательных траекторий, элективные курсы на этапе профильного обучения могут дополнять и углублять базовые и профильные курсы, обеспечивать межпредметные связи, служить основой внутрипрофильной специализации обучения и его преемственности в системе «профильная школа — вуз». Решению этих задач призваны служить элективные курсы трех типов: предметные, межпредметные и ориентационные.
Анализ содержания реализуемого в школе элективного обучения математике показывает: 1) достаточно случайный выбор тематики предлагаемых учащимся элективов (учителя чаще всего ориентируются либо на темы, с которыми сами хорошо знакомы, либо на имеющиеся в наличии
учебные пособия); 2) доминирование предметных элективов, углубляющих и расширяющих программы базовых курсов алгебры (алгебры и начал анализа) и геометрии, и, в конечном итоге, направленных на подготовку учащихся к итоговой аттестации; 3) отсутствие преемственности между ориентационными курсами в предпрофильной и профильной школе. Вместе с тем, именно постановка на разных ступенях школьного обучения содержательно взаимосвязанных ориентационных элективных курсов поможет более эффективно подготовить выпускников средней школы к освоению образовательных программ высшего профессионального образования и, в конечном итоге, обеспечить действенную преемственность между профильным и профессиональным образованием.
Из сказанного следует, что возрастает актуальность научно-теоретических исследований, посвященных обновлению школьного математического образования с учетом современных тенденций развития математики и расширения ее приложений на основе использования новых информационных технологий. Отмеченные противоречия и недостатки в системе элективного обучения математике в профильной школе и неудовлетворяемые сегодня потребности высшей школы в пропедевтике графовых понятий на этапе школьного обучения составляют проблему исследования и обусловливают ее актуальность.
Объект исследования - вариативный компонент математического образования в предпрофильной и профильной школе.
Предмет исследования - преемственность в элективном обучении математическому моделированию с помощью графов между предпрофильной и профильной школой в условиях многопрофильного обучения на старшей ступени.
Цель диссертационного исследования - выявить потребности вузов, интересы и возрастные возможности учащихся основной и средней школы в изучении элементов теории графов, разработать и теоретически обосновать
двухуровневую систему элективного обучения математическому моделированию с помощью графов в предпрофильной и профильной (математическое, информационно-технологическое и социально-экономическое направления) школе.
Гипотеза исследования: тематически взаимосвязанные элективные курсы, представляющие в школьном математическом образовании область математики, богатую разнообразными практическими приложениями (каковой, например, является теория графов), при соответствующем содержательном наполнении и методической реализации позволят:
на этапе предпрофилъного обучения познакомить девятиклассников с ролью и некоторыми конкретными применениями методов избранного раздела математики в разных сферах профессиональной деятельности, ориентировать его сразу на несколько направлений профильного обучения и, тем самым, помочь выпускнику основной школы в предварительном самоопределении относительно дальнейшего направления обучения в старшей профильной школе, а также заложить фундамент для последующего вариативного изучения понятий и методов этого раздела математики в профильных элективных курсах;
на этапе профильного обучения с учетом специфики направления углубить знания о функциях и месте математического аппарата изучаемого раздела в предполагаемой области профессиональной деятельности, усовершенствовать умения во владении этим аппаратом и, в конечном итоге, более эффективно подготовить выпускников средней школы к освоению образовательных программ высшего профессионального образования.
Исходя из сформулированной гипотезы, для достижения цели исследования были определены следующие задачи: 1. Проанализировать:
— философскую, психолого-педагогическую и методическую
литературу, посвященную генезису научных понятий, моделированию как
методу познания, профильной дифференциации обучения, преемственности в обучении, обновлению школьного и вузовского математического образования;
концепцию, нормативные материалы и методические рекомендации по профильному обучению на старшей ступени общего образования;
потребность высшей профессиональной школы в изучении элементов теории графов на этапе школьного обучения;
- адресованную школьникам учебную и научно-популярную
литературу по теории графов, методические рекомендации по ее
использованию.
2. На основе проведенного анализа обосновать целесообразность
непрерывного двухуровневого элективного изучения графов на этапе
школьного математического образования и разработать соответствующую
методическую модель обучения, отвечающую задачам, стоящим перед
предпрофильной и профильной школой.
3. Выделить и сформулировать цели и задачи элективного изучения
графов и графового моделирования в предпрофильной школе, выполнить
отбор соответствующего учебного материала, разработать его учебно-
тематическое планирование и методику изучения.
Обосновать цели и задачи элективного изучения графов в математическом, информационно-технологическом и социально-экономическом направлениях профильной школы; для каждого из этих направлений провести отбор учебного материала, разработать учебно-тематическое планирование и выявить специфические особенности методики его изучения.
Экспериментально проверить эффективность и продуктивность разработанной двухуровневой модели элективного обучения математическому моделированию с помощью графов в предпрофильной и профильной школе.
Проблемы, цели и задачи обусловили выбор методов исследования: анализ философской, педагогической, психологической и методической литературы по теме исследования; анализ нормативных материалов по внедрению предпрофильного и профильного обучения; беседы с преподавателями вузов и школьными учителями математики, информатики и экономики; проведение педагогического эксперимента, включающее наблюдение уроков в контрольном и экспериментальном классах, их анализ, анкетирование и опросы школьников, тестирование учащихся по результатам обучения; статистическая обработка результатов эксперимента, их описание и теоретическое обобщение; экспертиза разработанных элективных курсов.
Методологической основой исследования являются теория познания, основные положения деятельностного подхода к обучению, концептуальные положения методики обучения математике, концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования.
Этапы исследования. Основной констатирующий, поисковый и формирующий эксперимент проводился на базах гимназии №1 г. Самары и школы №1970 г. Москвы.
На первом этапе (1997-1999 гг.) проходил констатирующий эксперимент: анализировалась степень развития и использования навыков графического моделирования у учащихся основной школы, изучалась и анализировалась научная, психолого-педагогическая и методическая литература, посвященная различным аспектам моделирования, определялась проблематика и актуальность исследования, уточнялась его тема.
Второй этап (2000-2003 г.) включал поисковый и формирующий эксперимент, состоящий: в определении наиболее оптимального возраста для начального знакомства школьников с элементами теории графов; в отборе учебного материала по теории графов, адаптивного возрастным возможностям учащихся 5-6, 7-9 и 10-11 классов; в проведении кружковой (5-6 классы), факультативной и научной работы со школьниками; в создании
учебно-методических разработок для учащихся различных возрастных групп. В связи с изменениями, обусловленными концепцией модернизации российского образования и концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования, в 2003 году была скорректирована тема исследования.
На третьем этапе (2004-2008 гг.) изучались и анализировались нормативные документы по внедрению профильного обучения, корректировались разработанные учебные материалы по теории графов для использования в системе элективного обучения, разрабатывалась модель двухуровневого изучения графов в многопрофильной школе, экспериментально проверялась ее эффективность, и проводился количественный и качественный анализ результатов эксперимента. Научная новизна диссертационного исследования:
1. Разработана и теоретически обоснована двухуровневая модель
элективного изучения в профильной школе раздела математики, имеющего
широкие практические приложения, которая обеспечивает преемственность
между предпрофильными и профильными ориентационными курсами.
2. На примере элективного обучения математическому моделированию с
помощью графов разработано учебно-методическое обеспечение для
практической реализации указанной модели, позволяющее решать
ориентационные и пропедевтические задачи, стоящие перед предпрофильной
и профильной школой, и подготовить выпускника к дальнейшему изучению
теории графов в вузе соответствующего профиля.
Теоретическая значимость диссертационного исследования состоит в психолого-педагогическом и методическом осмыслении теоретических основ двухуровневого изучения математического моделирования с помощью графов в профильной школе; в обосновании потребности включения различных вопросов теории графов в тематику элективных ориентационных и межпредметных курсов математического, информационно-
технологического и социально-экономического направлений профильного обучения.
Практическая значимость исследования заключается в отборе содержания элективных курсов по теории графов для разных этапов и направлений профильного обучения, в разработке соответствующих учебно-тематических планов и методических рекомендаций к ним, в создании учебных пособий для учащихся по теории графов. Предлагаемая в работе модель двухуровневого элективного изучения графов может также служить основой для разработки подобных курсов по иным разделам математики и по другим учебным дисциплинам.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечены применением комплекса методов, адекватных его проблеме, объекту, предмету, целям и задачам; внутренней согласованностью выдвигаемых теоретических положений, их опорой на фундаментальные работы математиков, методистов, философов, педагогов, психологов; характером и итоговыми результатами экспериментальной работы.
Личный вклад автора заключается в разработке и обосновании двухуровневой модели элективного обучения математике и соответствующей методики формирования готовности выпускников профильной школы к изучению математики в предполагаемом направлении дальнейшего профессионального образования, в интерпретации построенной модели на примере теории графов и проведении опытно-экспериментальной работы.
Апробация результатов исследования проводилась в виде выступлений и обсуждений на заседаниях лаборатории математического образования Самарского областного института повышения квалификации и переподготовки работников образования, на кафедре высшей математики и информатики Самарского филиала МГПУ, на научных и научно-практических конференциях и семинарах (Брянск, Киров, Пермь, Самара, Саранск, Тольятти).
На защиту выносятся следующие положения:
Двухуровневая модель элективного изучения графов, включающая предпрофильный курс, содержащий базовые понятия теории графов, и преемственно продолжающие его профильные курсы для математического, информационно-технологического и социально-экономического профилей, позволяет подготовить выпускников профильной школы к дальнейшему успешному изучению графов на соответствующих специальностях высшего профессионального образования.
Наиболее продуктивная методика знакомства школьников с графами и моделированием с помощью графов должна основываться на генетическом подходе, построенном на конкретных демонстрациях происхождения и становления графовых понятий, а наиболее естественным способом реализации такого подхода является обучение через решение занимательных и прикладных задач.
3. Цели и задачи профильных элективных курсов обусловлены
требованиями к математической подготовке специалиста в соответствующей
сфере профессиональной деятельности, а в основу отбора их тематического
содержания могут быть положены важнейшие теоретические и прикладные
задачи из этой сферы деятельности.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка и приложений. Основное содержание изложено на 169 страницах машинописного текста; список литературы составляет 171 наименование.
- Публикации. По теме диссертации опубликованы 19 работ, из них 6 статей (2 статьи в соавторстве), 11 тезисов докладов, 2 учебных пособия (1 в соавторстве).
Профильное обучение: цели и задачи
Профильная дифференциация обучения предусматривает объединение учащихся в относительно стабильные группы, процесс обучения в которых идет по особым планам и программам, отличающимся специализированным содержанием, требованиями к знаниям и умениям школьников. Она основана на добровольном выборе школьниками профиля обучения, исходя из их познавательных интересов, способностей, достигнутых результатов обучения и профессиональных намерений.
В настоящее время профильная дифференциация обучения на старшей ступени становится одним из важнейших направлений развития школьного образования. В соответствии с распоряжением Правительства Российской Федерации от 29 декабря 2001 г. об одобрении Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года поставлена задача создания на старшей ступени школьного обучения «системы специализированной подготовки (профильное обучение) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и специализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда» [128].
Министерством образования разработана «Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования», в которой, в частности, сказано: «Профильное обучение позволит за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования».
В качестве основных целей, которые должны быть достигнуты в процессе введения профильного обучения, выделяются:
- более углубленное изучение отдельных учебных предметов полного общего образования;
- создание условий для многопрофильной дифференциации содержания обучения старшеклассников, обеспечивающих широкие и гибкие возможности для построения ими индивидуальных образовательных траекторий;
- становление осознанного выбора в отношении - будущей профессиональной деятельности;
- реальное повышение шансов выпускников общеобразовательных учреждений при поступлении в высшие учебные заведения в соответствии с их интересами и профессиональными намерениями;
- расширение возможности социализации выпускников школы в результате более эффективной подготовки к освоению программ высшего профессионального образования.
Иными словами, предполагается, что в результате органичного сочетания фундаментализации и прикладной направленности образования, повышения качества профориентации учащихся и индивидуализации их обучения профилирование позволит создать эффективную мобильную систему взаимодействия старшей ступени школы с различными элементами системы среднего и высшего профессионального образования и тем самым обеспечить действенную преемственность общего и профессионального образования. На начальном этапе разработки теоретического обоснования и нормативной базы профильного обучения основное внимание было уделено решению таких задач как:
— выработка общих положений и принципов организации предпрофильной и профильной подготовки в образовательных учреждениях;
— уточнение понятия профиля и формирование перечня «примерных профилей»;
— разработка общей структуры базисного учебного плана профильной школы;
— создание конкретных моделей организации профильного обучения;
— разработка форм и методов контроля реализации профильного обучения;
— создание материалов для организации экспертизы учебно методического обеспечения профильного обучения и т.п.
Идея дифференциации, в частности профилирования старшей школы, не является чем-то абсолютно новым для отечественного образования. Теоретическому обоснованию основ дифференциации обучения посвящены психолого педагогические исследования Б.Г.Ананьева, Ю.К.Бабанского, А.В.Баранникова, Е.Н.Кабановой-Меллер, З.А.Калмыковой, В.А.Крутецкого, А.А.Кузнецова, А.Н.Леонтьева, О.Б.Логинова, Н.А.Менчинской, И.М.Осмоловской, М.В.Рыжакова, А.В.Хуторского, В.Д.Шадрикова, И.С.Якиманской и др. Достаточно полный исторический обзор развития теории и практики профильной дифференциации можно найти, например, в книге Т.П.Афанасьевой и Н.В.Немовой [4]. (В этой же работе содержится анализ становления и развития профильного обучения в зарубежных школах.) Методические особенности дифференцированного обучения математике рассматривались в работах Н.Я.Виленкина, В.А.Гусева, Г.В.Дорофеева, Ю.М.Колягина, В.М.Монахова, И.М.Смирновой, С.Б.Суворовой, М.В.Ткачёвой, Р.А.Утеевой, В.В.Фирсова и др.
Среди наиболее масштабных экспериментов по введению дифференцированного школьного обучения следует назвать проводимый во второй половине 50-х - начале 60-х годов прошлого века эксперимент Академии педагогических наук. Этот эксперимент проходил по следующим направлениям: физико-математическому, техническому, биолого-агрономическому, социально-экономическому и гуманитарному. Наиболее распространенной формой дифференциации были факультативные занятия, на которые отводились специальные часы в учебном плане. Несмотря на то, что этот эксперимент был прекращен, в школе на долгие годы сохранились использовавшиеся в 60-е годы формы организации дифференцированного обучения: факультативы, спецшколы, спецклассы и классы с углубленным изучением отдельных предметов.
В 70-80-е годы и в начале 90-х годов профильная дифференциация обучения математике в школе осуществляется в форме факультативов, спецшкол, спецклассов и классов с углубленным изучением математики. Большое внимание уделялось разработке и реализации различных видов уровневой дифференциации. Идеи уровневой дифференциации решали и классы с углубленным изучением математики, факультативные занятия в которых обычно превращались в дополнительные занятия по устранению пробелов в знаниях и умениях учащихся.
Нельзя также не отметить большое внимание к кружковой и, вообще, внеклассной работе по математике в 5-6 классах. Это отражало общую тенденцию школьного обучения в указанный период — раннюю специализацию учащихся. В связи с целями и задачами данного исследования следует остановиться на содержании учебно-методического обеспечения факультативного обучения. В 70-е годы в издательстве «Просвещение» массовыми тиражами выходят учебные пособия для 7-8, 9 и 10 классов. Эти пособия, с одной стороны, обновляли и расширяли содержание основных курсов алгебры (алгебры и начал анализа) и геометрии, с другой стороны, -их углубляли. Однако в факультативных курсах для 8-9, 10 и 11 классов, появившихся в 80-е годы, предпочтение стало отдаваться решению задач повышенной трудности и задач вступительных экзаменов вузов с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов.
Теоретические основания введения элементов моделирования в школьное обучение
Моделирование, психологические механизмы его становления, функционирования и развития, место и роль моделей в познавательной деятельности человека были и остаются предметом многих психологических исследований. Множественность используемых при этом подходов и разнообразие концептуальных оснований обусловили широкий разброс мнений и точек зрения. Постараемся поэтому вычленить то инвариантное ядро, которое содержится в исследованиях, посвященных этим вопросам.
Явно или неявно генезис механизмов моделирования подавляющее большинство авторов связывают со становлением и развитием символической функции. На это указывает, например, В.В.Давыдов, когда отмечает, «что имеющаяся у человека символическая функция заключается в том, что он первоначально выделяет, а затем замещает характерные особенности одного предмета каким-либо другим предметом, который начинает выполнять в деятельности этого человека некоторые общие функции исходного предмета...
Модели — это форма абстракции особого рода, в которой существенные отношения предметов выражены в наглядно воспринимаемых и представляемых связях и отношениях знаковых элементов» [39, С. 128].
В.В.Давыдов приходит к выводу о том, что основой символического замещения является воображение.
Классифицируя мышление по содержанию, выделяют конкретно-действенное (манипулятивное мышление, непосредственно включенное в практическую деятельность), образное (с опорой на образы восприятия или представления) и знаково-символическое (словесно-логическое мышление с опорой на отвлеченные понятия и рассуждения). Раньше других видов мышления у ребенка появляется наглядно-действенное мышление, непосредственно вплетенное в практическую деятельность, осуществляемую с реальными предметами, и неразрывно с ней связанное. Во внешних действиях с предметами-зарождается и формируется внутренний план деятельности (способность выполнять действия в умственном плане без опоры на материальные носители): чувственные образы, сопровождающие эти действия, закрепляются в долговременной памяти и создают основу образного мышления. Лишь после этого происходит становление понятийного словесно-логического мышления. Сегодня практически все психологи единодушны в том, что:
— по мере умственного развития внешний план деятельности не только остается источником этого развития, но и становится его дополнительной внешней опорой (А.Н.Леонтьев, Д.А.Ошанин и др.);
— взаимосвязи предметно-практического, образного и вербально логического отражений действительности играют определяющую роль в структуре человеческого интеллекта (Дж. Брунер, Л.М.Веккер, ПЯ.Гальперин, М.А.Холодная и др.);
- основной характеристикой собственно мыслительного процесса является его двуязычность - непрерывно совершающийся перевод с языка образов (первичных, вторичных, производных от мышления) на язык символов и обратно (Н.И.Жинкин, Л.М.Веккер, А.Н.Соколов и др.);
- образное мышление, благодаря которому обеспечивается восприятие реальности во всей полноте и многообразии, лежит в основе любого творчества (В.П.Зинченко, П.Я.Пономарев, И.С.Якиманская и др.).
Изучению психологической природы образного мышления, его развития, образа как основной структурной единицы этого мышления посвящены исследования И.С.Якиманской. «Образное мышление - отмечает она — оперирует не словами, а образами: в процессе этого оперирования происходит их воссоздание, перестройка, видоизменение в требуемом направлении. Образы являются в этом виде мышления исходным материалом и основной оперативной единицей, в них фиксируются также результаты мыслительного процесса» [171, С. 10]. Последнее не означает, конечно, что в мыслительных операциях не участвуют словесные формулировки в виде определений, умозаключений, суждений, но в большинстве своем они используются как средство выражения уже выполненных в образах преобразований.
Особый интерес исследователей вызывает организация зрительной информации, которая, в отличие от слуховой, дольше задерживается в поле восприятия и способна охватить большее число параметров. Изучая природу образов зрительной модальности, И.СЯкиманская строит теорию пространственного мышления [171]. И.Я.Каплунович выделяет и описывает два типа зрительных образов: «синтетические образы - сенсорное запечатление объекта» и «конструктивные - фиксирующие главным образом не внешние, а внутренние, значимые, соответствующие проблемным ситуациям, связи». Синтетические образы отражают внешние, яркие характеристики объекта, они широко используются в литературе, изобразительном искусстве. Конструктивные образы выявляют логическую структуру объекта, связи и отношения [60]. В.П.Зинченко рассматривает визуальное мышление как «человеческую деятельность, продуктом которой является порождение новых образов, создание новых визуальных форм, несущих определенную смысловую нагрузку и делающих значение видимым» [54, С. 362]. В качестве примеров достижений образного мышления он приводит планетарную модель атома, двойную спираль генетического кода, генеалогическое дерево и т.д. Здесь мы имеем дело с актуализацией образа-модели во внешнем плане в форме наглядного изображения, названного Д.А.Ошаниным вторичной наглядностью [120]. Визуализация подобных моделей-образов во внешнем плане в виде зримой знаковой модели (схемы, графика, чертежа, графа и т.п.) позволяет оперативно корректировать умственные действия, способствует порождению новых образов.
Знаковые модели, по мнению И.СЯкиманской, «несут в себе больше семантическую, нежели иллюстративную функцию... Использование знаковых моделей как особой формы наглядности особенно важно тогда, когда объектом познания являются предельно формализованные знания и отношения» [171, С. 36]. Они незаменимы в тех случаях, когда нужно отбросить все ненужные и второстепенные детали и увидеть абстрактную математическую зависимость. В этих случаях модель служит опорой, обнажающей эту зависимость.
Обучение приемам анализа и преобразования моделей
Моделирование — сложная знаково-символическая деятельность, включающая в себя целый комплекс составляющих действий: предварительный анализ текста, его перевод на символический язык, построение модели, работа с ней, интерпретация полученных результатов. Чтобы обучение деятельности моделирования было эффективным, необходимо последовательное формирование навыков выполнения каждого из этих действий.
Отработав с помощью составления графических схем приемы предварительного анализа и кодирования информации, мы тем самым освоили этап построения графической модели. Следующий шаг — организация работы с моделью. Заметим, что именно на этом этапе у школьников могут возникнуть затруднения. Используя деятельность моделирования для решения текстовых задач, ребята привыкают к тому, что наиболее сложным является этап построения модели, далее, механизм ее преобразования является простым и известным, как правило, это решение алгебраического уравнения. В случае оперирования графическими моделями нет четких рекомендаций и алгоритмов работы с ними. Обучение анализу и преобразованию таких моделей должно происходить с помощью специально подобранной системы упражнений и задач. Формирование у школьников навыков целенаправленного оперирования графическими структурами позволяет сделать деятельность моделирования более многогранной, избежать формализма в овладении знаниями.
Начать работу с графическими моделями полезно с формирования навыков визуального анализа. С этой целью учащимся предлагаются специально подобранные, так называемые, визуальные задачи. Данные таких задач, как правило, целиком представлены на рисунке. Например, с целью развития навыков визуального восприятия учащимся можно предложить ряд вопросов, связанных с нахождением маршрутов, цепей и циклов на графе:
Показать на рисунке маршруты, соединяющие определенные вершины.
Далее из названных маршрутов выделить цепи, а также по предложенному рисунку назвать несколько циклов.
Для решения следующего типа задач на установление изоморфизма предложенных графов одного восприятия будет недостаточно, придется проводить визуальный анализ.
Задачи на установление изоморфизма между графами играют важную роль в освоении деятельности моделирования, так как помогают выделить главные не изменяющиеся связи модели - инвариант задачи. Определение такого инварианта - одно из самых важных умений, необходимых школьникам при дальнейшем преобразовании моделей.
Используя визуальный анализ произвольного графа и логические заключения, школьники самостоятельно могут сформулировать два важных свойства:
- сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его ребер;
- в любом графе количество нечетных вершин - четно.
После этого полезно разобрать несколько задач, решаемых с помощью полученных свойств, например:
1. Двенадцать человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий.
2. Докажите, что число площадей любого города, в которых встречается нечетное число улиц — четно.
3. В государстве 100 городов, и из каждого выходит по четыре дороги. Сколько всего дорог в государстве?
4. Может ли в государстве быть 100 дорог, если в нем из каждого города выходит ровно по три дороги?
При решении всех перечисленных задач очень важно перевести данную информацию на графовый язык.
Развитию навыков визуального анализа способствует также решение задач на изображение фигур одним росчерком. Чтобы привести пример эйлерова (уникурсального) графа, можно предложить школьникам провести произвольную кривую, не отрывая карандаша от бумаги. Анализ построенного изображения, а также знакомство с решением известной задачи Эйлера о кенигсбергских мостах позволяет учащимся самостоятельно сделать выводы:
1. Если все вершины графа четные, то его можно начертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение можно начать в любой вершине и закончить его в той же вершине.
2. Если граф имеет только две нечетные вершины, его можно начертить одним росчерком, при этом начать движение нужно в одной нечетной вершине, а закончить в другой.
3. Количество росчерков необходимое для изображения графа с нечетными вершинами равно половине числа нечетных вершин.
Расширению и углублению навыков анализа моделей способствует рассмотрение задач на отыскание гамильтоновых циклов и цепей. Завершая знакомство с задачами на поиск гамильтонова пути в графах, невозможно обойти задачу о странствующем коммивояжере. Нужно отметить, что похожие проблемы приходится решать специалистам, разрабатывающим маршруты доставки товаров в различные магазины или топлива в разные районы страны и т.п. С подобной задачей может столкнуться и каждый из школьников, решив попробовать себя в роли разносчика газет или пиццы.
В следующей задаче нужно найти гамильтонов путь, который можно пройти за кратчайшее время.
Разносчику объявлений необходимо разнести рекламные листовки во все окружающие его дома (рис. 11). Какую дорогу ему нужно выбрать, чтобы затратить как можно меньше времени, если после выхода из своего дома А он должен зайти в торговое представительство П за листовками? (Над каэ)сдым ребром указано время в минутах, необходимое для прохождения этого пути.) Заметим, что подобными вопросами можно усложнить и предыдущие задачи.
Познакомившись с основными характеристиками графов, рассмотрев их некоторые наиболее широко известные виды и решив достаточно большое число задач с помощью анализа построенных моделей, учащиеся готовы перейти к наиболее сложному этапу графического моделирования — преобразованию моделей. Обучение этому действию способствует развитию таких важных качеств как «умение анализировать исходные данные под определенным углом зрения, осуществлять их переосмысление, переконструирование, а также формирует общую творческую направленность» [140].
Традиционно выделяют две формы преобразования графических моделей: достраивание и переструктурирование. В первом случае модель дополняется новыми элементами или наоборот происходит разборка модели, в случае переконструирования бывает достаточно перегруппировать элементы, изменить их расположение друг относительно друга. Деятельность эта носит творческий, неалгоритмический характер, требующий глубокого понимания поставленной проблемы. Поэтому ее формирование - сложная задача, стоящая перед педагогом.
