Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТРЕБОВАНИЯ К СОВЕРШЕНСТВОВАНИЮ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПОДГОТОВКИ УЧЕНИКОВ К ДАЛЬНЕЙШЕМУ ОБУЧЕНИЮ 13
1.1 Понятие преемственности в педагогической и методической литературе 13
1.2. Анализ основных учебников и методических пособий по математике для начальных классов 18
1.3. Анализ психолого-педагогических основ обучения математике в начальной школе 61
ГЛАВА II. ТРЕБОВАНИЯ К ОРГАНИЗАЦИИ УСВОЕНИЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ ... 87
2.1. Подходы к организации усвоения, способствующие пропедевтике дальнейшего обучения 87
2.2. Экспериментальная проверка разработанных материалов 139
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 142
ЛИТЕРАТУРА 147
ПРИЛОЖЕНИЯ 162
- Понятие преемственности в педагогической и методической литературе
- Анализ основных учебников и методических пособий по математике для начальных классов
- Подходы к организации усвоения, способствующие пропедевтике дальнейшего обучения
Введение к работе
Как известно, одной из основных образовательных задач, стоящих перед начальной школой является формирование у детей вычислительных навыков в процессе обучения арифметическим действиям с натуральными числами. Судя по нашим наблюдениям, беседам с учителями, данным, опубликованным в разные годы журналом и газетой «Начальная школа» начальная школа справляется с этой задачей довольно успешно. Неуспевающих среди младших школьников практически нет, а средний балл успеваемости достаточно высок. Между тем при переходе в пятый класс ситуация меняется. Успеваемость падает. Учителя жалуются на плохую подготовку выпускников начальной школы, на то, что дети за лето забывают многое из того, чему их научили раньше.
О неблагополучии с подготовкой выпускников начальной школы к дальнейшему обучению свидетельствует и то, что при изучении математики в пятом классе существенная часть времени отводится на повторение того, что дети должны были усвоить в начальной школе. Между тем, беседы с учителями математики и личные наблюдения диссертанта показывают, что времени на изучение материала в средних и старших классах не хватает.
Несмотря на обучение в начальной школе и повторение в 5 - 6 классах вычислительные трудности многие ученики продолжают испытывать всё время обучения в школе. Достаточно большой процент детей к седьмому классу обращается к калькулятору даже при выполнении простейших вычислений. Одну из причин такого явления мы видим в том, что обучение в начальной школе во многом построено с опорой на механическую память. Яркий пример тому - таблица умножения, на заучивание которой отводится в младших классах много времени, и к повторению которой постоянно возвращаются на протяжении всего обучения в начальной школе. А в средней школе, как только она перестаёт быть одним из главных объектов внимания и осознаваться как нечто насущно необходимое, таблица умножения стремительно забывается. Как будет показано в первом параграфе первой главы, способ запоминания таблицы умножения без заучивания разработан ещё в 50-е годы и описан в работах П.Я. Гальперина и Л.С. Георгиева [37, 38, 39, 40]. Известный советский математик А.Я. Хинчин, постоянно интересовавшийся вопросами преподавания в школе, выписал все виды применяющегося в процессе обучения повторения. Список получился весьма солидный. После чего он с горечью добавил: «Кошмар! Вместо бесконечных повторений нельзя ли учить так, чтобы материал не забывался?» [193, стр. 114]
Доказано, что повторение может быть эффективным только, если оно включено в изучение нового материала [121].Если при изучении новой темы ребёнок вынужден обращаться к тому, что ранее пройдено, то это осознаётся им как всё ещё нужное и, следовательно, не подлежащее забыванию. Если же обучение строится на механической памяти, если изо дня в день, из месяца в месяц решаются однотипные упражнения, то это не только не способствует формированию прочных знаний, не только является недопустимой тратой времени, но приводит ещё к одному серьёзному бедствию.
Психологами убедительно доказано, что детям младшего школьного возраста совершенно необходимо знать, чему новому они научились [206]. У ребёнка должно быть ощущение продвижения вперёд. Идеально, когда он может каждый день сказать себе и окружающим, что нового он узнал. Хуже, когда это можно сделать лишь в конце недели. А в ныне действующую программу по математике для начальных классов «заложены» месяцы, в течение которых ребёнок не узнаёт ничего нового. Вот что говорит о пагубности низких темпов обучения Ш.А. Амонашвили: «Традиционная педагогика учит: не надо спешить... от простого к сложному, постепенно... Но медленный темп не соответствует психологии детского возраста. Ребёнок изначально подвижен. Медленный темп обучения приводит к замедлению умственного развития детей» [2, стр.57]. Наличие характерных для начальной школы, а затем и пятого класса, малых темпов продвижения в овладении новыми знаниями и длительных периодов, в течение которых дети вообще не имеют возможности сказать себе и другим, чему именно новому их научили, закладывают, по мнению исследователей, прочный фундамент устойчивого нежелания учиться, отсутствия интереса к учению, что, конечно же, не может не сказаться негативно в средних и старших классах. О вреде медленных темпов обучения говорится в работах Эрдниева П.М., Занкова Л.В., Давыдова В.В., Эльконина Д.Б., Истоминой Н.Б. [56, 58, 68, 81, 82, 86, 94, 197, 198, 199, 200, 205]. Выход мы видим в том, чтобы более эффективно изучать действующий материал и за счёт этого включать в работу задачи повышенной трудности, направленные на подготовку к дальнейшему обучению.
Другим большим недостатком традиционного обучения в начальной школе, является то, что программа начальной школы недостаточно учитывает потребности дальнейшего обучения. Многое из того, чему учат в начальной школе, больше нигде не используется, а некоторые вещи откровенно мешают дальнейшему успешному обучению. Приведём лишь один пример.
Учитель начальной школы тратит много времени и сил, чтобы дети усвоили правила отыскания неизвестных компонентов действий. С помощью этих правил решаются уравнения. В пятом классе по наблюдениям диссертанта 30% детей очень плохо знают эти правила и совсем не умеют решать уравнения, около 50% в большинстве случаев правильно воспроизводят правила, но далеко не всегда видят какое именно нужно применить в данном случае и, как правило, решают уравнения «методом подбора», и лишь около 20%» учащихся в большинстве, но не во всех случаях, решают уравнения успешно. А в шестом классе детям предлагается забыть все эти правила и решать уравнения, прибавляя к обеим частям одно и то же число, деля уравнение на одно и то же не равное нулю число и т. д. В психологии отмечается, что овладение негодным приёмом опасно не только потому, что он мало эффективен, но и потому, что он будет серьёзно мешать овладению рациональными приёмами в дальнейшем. (149) Детей приходится переучивать, а это всегда труднее, чем учить. Таким образом, наличие таких тупиковых тем в курсе математики начальной школы мешает осуществлению преемственности в обучении, не готовит к обучению в средних классах и не способствует развитию детей.
Трудности усвоения систематических курсов алгебры и геометрии, которые начинаются в седьмом классе, также идут из начальной школы. Приведём лишь один пример. Проанализировав учебники математики начальной школы, можно заметить, что авторы избегают включения в изложение материала букв и буквенных выражений. [5, 7, 88, 89, 138, 134] Это вытекает из положения о том, что в силу возрастных особенностей ученикам младших классов практически недоступно абстрактное мышление. Поэтому в преподавании надо опираться главным образом на конкретные примеры, согласующиеся с жизненным опытом ребёнка, наглядные образы и т.д. Буквенные выражения - это слишком абстрактно, то, до чего ребёнок ещё не дорос. Однако неспособность детей этого возраста к абстрактному мышлению сильно преувеличена: его можно и нужно развивать. [36, 55, 61, 68, 119, 197-201]. Из работ Д.Б. Эльконина со всей очевидностью следует, что стимулировать развитие, нужно противопоставляя традиционным наглядным пособиям моделирование, в том числе моделирование математических законов и закономерностей с помощью букв и буквенных выражений. [34, 197] Дети, с начальной школы привыкшие работать с буквами, понимающие, что вместо буквы в буквенное выражение может быть подставлено любое число из рассматриваемого множества, несомненно, будут испытывать гораздо меньше затруднений при изучении алгебры.[18, 57,61,130,166]
О целесообразности ранней пропедевтики материала средней школы говорят многие методисты [70, 201, 204]. В частности Б.П. Эрдниев отмечает, что это "благотворно в смысле достижения целостности знаний,
преемственности" [201, стр.17], считает, что не должно быть никакого ограничения ни в каком классе в "опережении" той или иной программы, в свободном пользовании математическими терминами, названиями, формулами, если это увязывается информационно с изучаемым и оставляет какие-то полезные следы в сознании. Нет необходимости доказывать, насколько ускоряется тем самым усвоение в последствии. [201].
Все рассмотренные примеры касаются содержания курса. Приведём несколько примеров прикладного характера. Операции сложения и вычитания натуральных чисел дети в начальной школе усваивают достаточно хорошо. А при изучении десятичных дробей в пятом классе в примерах на сложение и вычитание самыми распространёнными, долго не изживаемыми ошибками, являются ошибки при записи в столбик. Дело в том, что при изучении сложения и вычитания натуральных чисел, учитель, произнося верные слова о необходимости выполнения сложения и вычитания по разрядам, в действительности обращает основное внимание на выравнивание записей, на то, не сдвинуты ли в записях последние цифры каждого из чисел. Естественно, выполняя рассматриваемые действия, дети тоже думают, прежде всего, о выравнивании записей, совершенно забывая о разрядах. В начальной школе это оправдано, так как последняя цифра любого числа -всегда стоит в разряде единиц. Но когда они "дорастают" до сложения и вычитания десятичных дробей, то пытаются и здесь выравнивать записи. В одной из статей М.Б. Воловича показано, что если правильно организовать обучение сложению и вычитанию натуральных чисел в начальной школе, то в пятом классе таких трудностей не возникнет. [31]
Подобных примеров можно привести достаточно много. Это и умножение и деление на 10, 100, 1000. ..[113], и алгоритм деления в столбик [114], и многое другое. Необходимость перестройки и совершенствования начального образования является одной из актуальных проблем современной школы. Этому вопросу уделяется много внимания в различных психолого-педагогических и методических изданиях [67, 94, 122]. Обучение с самого
начала должно быть систематичным и входить в общую систему непрерывного образования.
Преемственность в обучении, кроме того, является необходимым условием реализации его развивающей функции, которая в настоящий момент выдвигается на передний план [56, 58, 66, 67, 80-82, 87, 94, 199, 201]. В.В. Давыдов, в частности, отмечает, что практическое воплощение идеи развития в реальных педагогических технологиях предполагает выработку особого взгляда на традиционную проблему преемственности различных ступеней образования. Преемственность, по мнению В.В. Давыдова, не должна задаваться как формальная связь само замкнутых образовательных концентров. "Подобная система представляет собой "педагогическую машину", которая в своих рабочих режимах воспроизводит лишь самоё себя. Это вполне закономерно. Ведь именно в узлах связи образовательных ступеней закладывается зона отдалённого развития детей. Поэтому вне целостного видения контуров и характера такой связи попытки конструировать содержание образования, проектировать нормы усвоения учебного материала, заранее обречены на неуспех" [67, стр. 11] В работах В.В. Давыдова и других исследователей отмечается неудовлетворительное состояние этой проблемы в сложившейся практике массового образования [31, 44, 55, 67, 82, 87, 94, 104, 150, 181, 193]. Всё сказанное свидетельствует о неблагополучной ситуации, сложившейся в начальной школе с точки зрения её подготовки к дальнейшему обучению, о недостаточном обеспечении преемственности в обучении между начальной и средней школой. Это говорит об актуальности темы исследования.
Возникает противоречие между потребностями общества в высокообразованных людях и невозможностью удовлетворить эту потребность при организации непрерывного образования, в частности из-за того, что не обеспечивается преемственность преподавания в начальной и средней школе. Преодоление этого противоречия является проблемой данного исследования.
Для решения обозначенной проблемы необходимо решить ряд частных задач.
Прежде всего, необходимо разобраться, каковы особенности ныне действующих учебников математики для начальной школы и методических пособий, что именно препятствует обеспечению преемственности в обучении. Отсюда вытекает первая задача исследования: проанализировать действующие программы и учебники математики для младших классов с целью выявления потенциальных возможностей повышения эффективности подготовки детей к дальнейшему обучению и обеспечения преемственности обучения.
Чтобы преодолеть выявленные противоречия, необходимо разобраться, какие возможности предоставляет для этого педагогическая психология и педагогика. Отсюда вторая задача исследования: проанализировать психолого-педагогическую литературу с целью выявить оптимальные способы, обеспечивающие решение поставленной проблемы.
Выявив причину сбоев в традиционном преподавании и психолого-педагогические основы преодоления этих сбоев, необходимо разобраться, каким образом ликвидировать отмеченные недостатки, то есть, как организовать обучение математике в начальной школе таким образом, чтобы обеспечить преемственность со средней школой. Отсюда третья задача исследования: разработать требования и определить условия организации усвоения с точки зрения повышения эффективности обучения и обеспечения преемственности начальной и средней школы, разработать материальное обеспечение решения поставленной задачи. В данной работе это сделано на материале одной из центральных тем начальной школы "Умножение и деление натуральных чисел".
Технология, которую мы используем в данной работе, прошла многолетнее экспериментальное апробирование. Вместе с тем, необходимо убедиться, что разработанные материалы доступны детям и позволяют строить обучение с учётом пропедевтики материала средних классов. Отсюда
- четвёртая задача исследования: экспериментально опробовать разработанные материалы.
Объект исследования: математическая подготовка учащихся начальной школы.
Предмет исследования: преемственность преподавания математики в начальной и средней школе.
Цель исследования: разработка методических подходов к преподаванию математики в начальной школе, обеспечивающих пропедевтику дальнейшего обучения на материале темы "Умножение и деление натуральных чисел".
Гипотеза исследования: если, не изменяя содержания курса математики начальной школы, правильно организовать усвоение основных понятий и алгоритмов курса математики начальной школы, то это поможет существенно лучше подготовить учеников к обучению в следующих классах. Методологические и теоретические основы исследования составляют: - работы по философии и методологии математического познания и математического образования (работы Виленкина Н.Я., Воловича М.Б., Глейзера Г.Д., Гнеденко Б.В., Гусева В.А., Дорофеева Г.В., Колмогорова А.Н., Колягина Ю.М., Кудрявцева Л.Д., Хинчина А.Я., Адамар Ж., Вейль Г., Гильберт Д., Клайн М., Пуанкаре А., Рассел Б., Фройденталь Г.) - современные теории повышения эффективности обучения математики (работы В.А. Гусева, В.И. Крупича, Н.Ф. Талызиной, М.Б. Воловича и др-); - теории деятельностного подхода и развивающего обучения (работы Л.С. Выготского, В.В. Давыдова, Д.Б. Эльконина, Л.В. Занкова, Н.Ф. Талызиной, П.Я. Гальперина и др.); - современные подходы к повышению эффективности усвоения определений и вычислительных правил (работы Н.Б. Истоминой, П.М. Эрдниева, Б.П. Эрдниева, В.Я. Ляудис и др.); - теоретические исследования по проблемам логико-дидактических аспектов обучения школьников математике (работы Болтянского В.Г., Гладкого А.В., Грудёнова Я.И, Далингера В.А., Калужнина Л.А., Монахова В.М., Саранцева Г.И., Семушина А.Д., Столяра А.А., Менчинской Н.А.,);
Решение поставленных задач потребовало следующих методов исследования: изучение и анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы, научной литературы монографического характера и научных статей по методике математики, работ по истории математики; анализ действующих учебников по математике и методической литературы; анализ педагогического опыта отечественных и зарубежных преподавателей начальной школы, а также собственного опыта работы автора в школах города Борисоглебска и Борисоглебском государственном педагогическом институте; интервьюирование и тестирование; педагогический эксперимент по проверке эффективности разработанных методов.
Достоверность результатов исследования обеспечивается обоснованностью и чёткостью выбранных методов исследования, психолого-педагогических позиций, положенных в основу исследования, опытно-экспериментальной работой в процессе личного преподавания и в ходе работы со студентами БГПИ во время педагогической практики.
Новизна исследования заключается в том, что в нём выявлены причины сбоев при реализации преподавания математики в начальной школе по наиболее распространённым учебникам; разработаны новые подходы к организации усвоения основных понятий и алгоритмов темы "Умножение и деление натуральных чисел"; разработана профессионально ориентированная на преподавателя школы и студентов педагогических вузов методическая система обучения основным определениям и алгоритмам данной темы, направленная на повышение эффективности обучения и обеспечение преемственнсти обучения.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что его результаты позволяют по-новому взглянуть на обучение математики7 в начальной школе, тем самым создаются предпосылки для более эффективного решения задач школьного предмета математики как инструмента для развития детей и воспитания мыслящих граждан нашего общества.
Практическая значимость исследования состоит в разработке конкретных материалов, обеспечивающих организацию усвоения основных понятий и алгоритмов темы "Умножение и деление натуральных чисел" с учетом потребностей дальнейшего обучения, в том числе и рабочих тетрадей на печатной основе.
Понятие преемственности в педагогической и методической литературе
В психолого-педагогической и методической литературе существуют различные подходы к пониманию преемственности. В исследованиях [120, 138] преемственность трактуется как связь между отдельными предметами в процессе обучения (физика и математика, математика и черчение, и так далее).
Разумеется, чрезвычайно важно в процессе обучения математике в начальной школе обращать внимание на правильность чтения и написания числительных, на использование в текстовых задачах сведений, которые ученики получили на уроках природоведения и трудового обучения. На наш взгляд установление взаимосвязей между различными предметами, которые изучаются в начальной школе, должно стать проблемой самостоятельного исследования. Установление таких взаимосвязей оказалось вне рамок нашей работы.
В исследованиях [ПО, 138, 153] преемственность трактуется ещё более широко. Например, в [162, с. 185] подчёркивается, что "более широкое понимание преемственности обучения требует рассмотрения: динамики изменения всех основных компонентов методической системы (целей, содержания, форм, методов, средств); логической связи теоретического и практического материала; упорядоченности в изучении различных учебных предметов; оправданности межпредметных связей". К сожалению, во всех работах этого направления не показано, как можно реализовать такое понимание преемственности.
Во многих исследованиях [158, 176, 178] преемственность трактуется как дидактический принцип, обеспечивающий такую систему учебно-воспитательной работы, когда в каждом последующем звене продолжается закрепление, расширение и углубление тех знаний, умений и навыков, которые составляли содержание учебной деятельности на предшествующем этапе.
Иными словами, преемственность рассматривается как принцип, лежащий в основе целой системы учебно-воспитательной работы. Но при этом рассматривается лишь один из компонентов этой системы - содержание учебной деятельности. При таком подходе к проблеме, преемственность отождествляется с использованием полученных ранее знаний при дальнейшем изучении того же самого предмета. Именно этот аспект мы посчитали целесообразным реализовать в нашем исследовании.
К сожалению, фиксированные в учебниках [5, 62, 88, 133,143] и в методических пособиях [6, 64, 90, 135, 145] подходы к проблеме преемственности, скорее уводят от решения, нежели позволяют её решить. В подтверждение этого утверждения сошлёмся на мнение учёного, автора многочисленных учебников и методических пособий К.И. Нешкова: "Во многих педагогических и методических исследованиях преемственность понимается как некая связь. Однако представляется эта связь довольно поверхностной, не выражающей основных характеристик преемственности. Более того, часто эта связь отражается во второстепенных деталях, не затрагивающей существа процесса обучения". [139, с.32].
Во многих исследованиях [138, 155] преемственность отождествляется с систематическим повторением. Такое понимание преемственности характерно, например, для многих ныне действующих учебников математики для начальной школы, где запоминание рассматривается как функция большого числа повторений, а повторение осуществляется в результате решения большого количества однотипных упражнений на протяжении всего курса (см.2). Как подчёркивалось во введении, навыки, сформированные в результате такого повторения, стремительно теряются, как только перестают быть предметом целена превленной отработки (например, вычислительные навыки при переходе в пятый класс). В работах К.Н. Нешкова убедительно показано, что повторение только в том случае будет способствовать преемственности, если на каждом новом этапе это не будет повторение тех же самых упражнений, выполняемых теми же самыми способами. В упражнениях на повторение непременно должно появляться новое, отмирать старое, несущественное в соответствии с логикой развития изучаемого понятия и с повышением уровня образования учащихся. [139] Таким образом, преемственность в соответствии с позицией К.И. Нешкова, которую мы разделяем, хотя и требует повторения, но лишь такого, которое обеспечивает непрерывное развитие системы понятий. Для того, чтобы преемственность реально осуществлялась, повторение должно быть органически включено в новую тему и по мере развития темы должно соответственным образом меняться, не сводясь лишь к механическому повторению одних и тех же упражнений.
Анализ основных учебников и методических пособий по математике для начальных классов
В настоящее время существует более 20 учебников математики для начальной школы. В нашем исследовании мы остановимся на анализе следующих учебников: [5, 7, 62, 63, 88, 89, 133, 134, 143, 144], которые достаточно полно отражают основные направления современной методики начального математического образования.
Анализируя эти учебники, мы выделили некоторые общие характеристики, свойственные большинству из них. Прежде всего, это психологическая основа, на которой написаны 5 из рассматриваемых учебников (исключение составляет учебники [62, 63], о которых мы будем говорить отдельно). Такой психологической основой является ассоциативная теория усвоения. Некоторые авторы прямо говорят о том, что при написании учебника они опирались именно на эту психологическую теорию. Например, в статье [87] Истоминой Н.Б., говорится, что её учебник реализует методическую концепцию, ставящую на первое место формирование приемов умственной деятельности: анализа, синтеза, сравнения, классификации, аналогии, обобщения в процессе усвоения математического содержания. Т.к., организация усвоения, связанная с формированием этих приемов умственной деятельности характеризует, прежде всего, ассоциативную теорию усвоения, то это и означает, что в основе написания учебников [88, 89] лежит именно эта психологическая теория.
Реализация ассоциативной теории другими учебниками является важным выводом из анализа особенностей построения курса в этих учебниках, подбора системы задач и т. д., о чем подробно будет говориться ниже. Там же будет показано, что следствием реализации ассоциативной теории является преимущественная направленность на развитие эмпирического мышления школьников.
Анализ учебников показывает, что большинство из них исходят из следующих представлений об особенностях детского мышления: 1) дети младшего школьного возраста мыслят конкретными образами; 2) усвоение материала происходит в ходе выполнения большого количества упражнений. Из этих представлений вытекает то, что проанализированные учебники реализуют объяснительно-иллюстративный метод изложения материала, используют иллюстративную наглядность и содержат обилие однотипных задач.
В методической литературе много внимания уделяется критике иллюстративного метода изложения и традиционной наглядности [30-33, 54, 58, 61, 197, 198, 200, 201]. Недостатки этого подхода отмечают и некоторые из авторов учебников. Например, Л.Г. Петерсон в объяснительной записке к программе по математике для 3-ней и 4 -ней начальной школы отмечает, что традиционный объяснительно-иллюстративный метод и иллюстративная наглядность, на основе которых строится сегодня обучение в начальной школе, недостаточен для решения задач, стоящих перед школой [146]. Иллюстративной наглядности она противопоставляет построение, исследование и применение математических моделей, а базисным принципом построения программы объявляет принцип моделирования. [146] Действительно, в этом учебнике используется значительно меньше иллюстративной наглядности, чем в других. Однако при всем этом в данном учебнике при решении многих вопросов такая наглядность реально присутствует. Например, изложение темы "Деление" целиком построено на наглядно - иллюстративном материале [143]. Моделирование в этом учебнике сводится главным образом к моделированию математических законов с помощью букв и буквенных выражений, чем возможности математического моделирования отнюдь не исчерпываются [31, 40, 54, 57, 61, 166, 167, 198].
Несмотря на общую теоретическую основу, все проанализированные учебники имеют много различий. Учебники [133, 134] являются основными учебниками, имеющими наибольшее распространение в школах нашей страны. Те особенности, о которых говорилось выше, присущи ему в полной мере.
Учебники [5, 7, 88, 89] разработаны в рамках системы начального обучения Л.В. Занкова, которая, по мысли авторов, призвана, прежде всего, обеспе чить достижение максимального результата в общем развитии школьника [6]. Этой основной целью обучения система Л.В. Занкова противопоставляется традиционной системе, направленной в первую очередь на приобретение знаний и навыков [142]. Направленность на общее развитие ребенка проявилась, прежде всего, в нестандартных развивающих задачах, в большом количестве присутствующих в этих учебниках. Так, например, в учебнике [88] это задачи на выявление правила, по которому составлены числовые ряды и продолжение числовых рядов ("По какому правилу составлены ряды чисел? Продолжи их 8,16,32,..." [88, стр.80]), задачи, содержащие несколько вопросов и требующие выяснить, на какие из них можно ответить, пользуясь условием ("Мальчик подарил своим друзьям по 9 марок каждому, и у него осталось на 63 марки меньше, чем было. На какие вопросы можно ответить, пользуясь условием: а)Сколько всего марок подарил мальчик своим друзьям? б) Сколько марок было у мальчика? в) Сколько марок у него осталось? г) Сколько друзей мальчика получили марки? д) Сколько марок он подарил 4-м друзьям?" [88, стр.72]), задания на нахождение "лишнего" числового выражения. Однако, большинство нестандартных задач однотипны, их неоправданно много, они достаточно четко разбиваются на 3 группы, в результате чего теряют свою нестандартность и становятся вполне традиционными для данного курса, направленными на выработку навыка решения задач с использованием соответствующего приема умственной деятельности, против чего и выступает система Л.В. Занкова.
Подходы к организации усвоения, способствующие пропедевтике дальнейшего обучения
Как было показано в первой главе, методика введения понятия умножения практически во всех ныне действующих учебниках примерно одинакова: умножение определяется как сумма одинаковых слагаемых, а введение нового действия мотивируется с помощью рассмотрения содержательных задач, позволяющих наглядно показать, что чем больше слагаемых в сумме вида а+а+...+а, тем более громоздкой и неудобной становится запись. Мы полностью согласны с подобным подходом и подробно останавливаться на этом не будем. Рассмотрим лишь вопросы, связанные с устранением недостатков, присутствующих при организации усвоения этой темы (о них подробно говорилось в первой главе). Главным из них мы считаем недостатки в организации работы с определением умножения и, как следствие, одностороннее и зачастую поверхностное усвоение этого понятия школьниками. Как было показано в первой главе, работа, которая организуется в рассмотренных учебниках, сводится главным образом к тому, что сумму п одинаковых слагаемых а можно заменить произведением an. Однако этого совершенно недостаточно для полноценного усвоения понятия умножения на натуральное число. Неслучайно в большинстве учебников рассматриваются задачи, в которых требуется перейти от записи вида а-п к записи вида а+а+...+а (п слагаемых). Авторы учебников, вероятно, исходят из того, что дети, наученные заменять сумму произведением, легко справятся и с обратным переходом. Однако психологические и методические исследования [55, 56, 41, 43, 48] показали, что это совсем не так: работа, которой целенаправленно не учат, сама собой большинством учеников не усваивается. Следовательно, замене произведения суммой необходимо целенаправленно учить. Это очень важно как для решения образовательных задач, стоящих непосредственно перед начальной школой, так и для пропедевтики дальнейшего обучения.
Действительно, усвоенность замены произведения суммой одинаковых слагаемых необходима для конструирования таблицы умножения. Как было показано в первой главе, к подобному приёму обращаются практически все авторы рассмотренных учебников. Однако, за исключением учебника [187], определение операции умножения не указывает на возможность подобной работы. Кроме того, неформальное усвоение понятия умножения необходимо для осмысленного решения содержательных задач на умножение, о чём будет говориться ниже.
Обучение способу работы с определением на примере определения умножения тем более важно, что в дальнейшем ученикам надо будет постоянно сталкиваться с определениями и теоремами, записанными с помощью знака равенства. Наиболее типичным примером подобного материала являются формулы сокращенного умножения. Как известно, работа с этими Формулами традиционно вызывает определённые трудности. Всё это говорит о том, что и в средней школе формулы продолжают восприниматься "односторонне", "слева направо". Таким образом, задача обучения школьников правильной работе с формулой, определением или правилом, записанным в виде равенства, является одной из важнейших задач обучения, начинать решать которую необходимо уже в начальной школе. Исходя из сказанного, усвоение определения умножения можно рассматривать как материал, позволяющий обеспечить пропедевтику такого общеучебного навыка, как работа с любыми равенствами. Чем лучше будет усвоено определение умножения в начальной школе, тем лучше ученик окажется подготовленным к обучению в следующих классах.
Традиционная методика не отвечает на вопрос о том, каким образом обеспечить полноценное усвоение определения умножения. Поэтому мы обратились к технологии, описанной во втором параграфе первой главы. В соответствии с этой технологией необходимо обеспечить ориентировку в материале, подконтрольную работу с проверкой правильности выполнения каждого шага каждым учеником, постепенный переход к самоконтролю. Ориентировка в материале включает в себя мотивацию введения нового понятия. Как уже отмечалось, мы согласны с организацией этого этапа работы в рассмотренных учебниках. Поэтому подробно останавливаться на этом не будем. В соответствии с рассматриваемой технологией, новое определение необходимо фиксировать в такой краткой схематической форме, которая может обеспечить практически безошибочную работу без предварительного заучивания. Эта запись должна включать образцы пользования определением, то есть замену суммы одинаковых слагаемых произведением и произведение - суммой одинаковых слагаемых. Как было показано в первой главе, наиболее эффективно такая работа может быть организована в тетради с печатной основой. Краткая схематическая запись определения умножения и фрагмент ТПО с заданиями, предназначенными для первоначальной работы с определением умножения, представлены в приложениях, (фрагмент 1)
Дальнейшая работа с определением умножения может заключаться в переходе от максимально развёрнутых к обычным записям. Рассматриваемая технология рекомендует, чтобы контроль снимался постепенно. Фрагмент тетради для данного этапа работы представлен в приложениях, (фрагмент 2)
