Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ УЧАЩИХСЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАХ ЛОГИКИ В РАМКАХ ПРОПЕДЕВТИЧЕСКОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ 12
1.1. История постановки и решения проблемы усиления логической составляющей школьного курса математики 12
1.2. Взаимосвязь образных и понятийных компонентов мышления как основа конструирования логической составляющей пропедевтического курса геометрии 26
1.3. Учет субъектного опыта как один из принципов логической подготовки учащихся при изучении пропедевтического курса геометрии 44
Глава 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ УЧАЩИХСЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАХ ЛОГИКИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПРОПЕДЕВТИЧЕСКОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ 60
2.1. Особенности представления логического материала в содержании учебных математических курсов для 5-6 классов 61
2.2. Отбор содержания логической составляющей пропедевтического курса геометрии 73
2.3. Особенности разработки логической составляющей пропедевтического курса геометрии на уровне учебного материала 92
2.4. Задачи и задания как средство «окультуривания» субъектного опыта учащихся 112
2.5. Эксперимент и обработка его результатов 124
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 150
БИБЛИОГРАФИЯ 153
ПРИЛОЖЕНИЯ 168
- История постановки и решения проблемы усиления логической составляющей школьного курса математики
- Взаимосвязь образных и понятийных компонентов мышления как основа конструирования логической составляющей пропедевтического курса геометрии
- Особенности представления логического материала в содержании учебных математических курсов для 5-6 классов
Введение к работе
В свете модернизации образования, ориентированной на приоритет развивающих целей обучения по отношению к информативным, одной из ведущих образовательных задач выступает развитие мышления, в том числе и логического. Традиционно задача развития логического мышления в процессе обучения связывается с изучением математики, что обусловлено спецификой ее предмета. С другой стороны, логическое мышление, знание элементов логики являются необходимым условием успешного овладения математическими знаниями. Так, по словам А.И. Фетисова «...ни один раздел математики не может быть изложен без постоянного обращения к законам и правилам логики» [155, с. 198].
Сензитивным периодом развития вербально-логического мышления психологами признается возраст 11-12 лет (Л.С. Выготский, Ж. Пиаже, М.Н. Шардаков и др.). В этот период ведущей функцией логических знаний является формирование основ понятийного мышления, которое в науке характеризуется как мышление в понятиях на основе законов логики. Подготовка учащихся к изучению математических понятий за счет создания базы представлений о математических объектах осуществляется в рамках пропедевтических курсов геометрии для 1-6 (5-6) классов следующих авторов: В.А. Гусев, В.А. Панчищина, Н.С. Подходова, И.Ф. Шарыгин и Л.Н. Ерганжиева и др. Для перехода от представлений к понятиям необходима определенная логическая подготовка учащихся, которую целесообразно организовать при изучении математики в 5-6-х классах. Это определяется тем, что понятие в отличие от представлений включает операциональный (логический) компонент (Л.М. Веккер, М.А. Холодная и др.).
Проблема логической подготовки учащихся в ходе изучения математики не является новой для методической науки. Ее решению посвящены работы М.А.Артамонова, Г.Д. Глейзера, А.Н. Колмогорова, Ю.М. Колягина,
И.Л. Никольской, А.И.Фетисова и других. В методической литературе выделяется несколько подходов к решению этой проблемы: выделение логики в отдельный предмет, изучаемый в средней школе (А.Д. Гетманова, А.А Столяр и др.); включение элементов логики в содержание школьного курса математики в качестве содержательно-методической линии (А.Н. Колмогоров, А.Я. Блох, Г.В. Дорофеев) или факультативного курса (И.Л. Никольская и др.); использование методов и средств обучения в процессе изучения математики, способствующих становлению и развитию у учащихся опыта логического оперирования (М.А. Артамонов, В.М. Брадис, И.А. Гибш, В.В. Никитин, А.И. Фетисов и др.).
В последнее время задача логической подготовки учащихся рассматривается как задача выявления и целенаправленной разработки логической составляющей школьных математических курсов. В программе курса математики, разработанного Г.В. Дорофеевым, Г.К. Муравиным, Л.Г. Петерсон логический материал выделен в содержательно-методическую линию «Математический язык и логика». Аналогичный подход принят в проекте концепции 12-ней школы. Элементы логики включены в содержание математики для начальной школы, для 5-6 классов и в проекте стандарта общего среднего математического образования (2004 г.). Однако функции элементов логики в развитии математических знаний учащихся (функциональная направленность элементов логики) не рассматривались в методических работах в качестве основного критерия построения содержания логической составляющей математических курсов и разработки методики логической подготовки учащихся.
Все выше сказанное определяет актуальность проблемы исследования, которая состоит в поиске путей реализации идеи целенаправленной логической подготовки учащихся при изучении математики, ориентированной на решение задачи формирования математических понятий.
Развитие мышления, в том числе и логического, является объектом психологии, поэтому решение этой проблемы требует обращения к психологическим закономерностям развития мышления учащихся. Согласно данным психологии, для любого возраста характерна определенная структура психических процессов с ведущей ролью наиболее интенсивно развивающейся в этот период функции, при этом новая функция развивается и начинает занимать доминирующее положение не иначе как через прежнюю (Л.С. Выготский). Логические компоненты мышления ребенка в возрасте 11-12 лет развиваются на основе образных компонентов и функционируют во взаимодействии с ними, поэтому развитие логического мышления учащихся данного возраста целесообразнее осуществлять на основе активизации образных компонентов мышления как основных носителей логических представлений в данном возрасте.
Решая задачу развития тех или иных компонентов мышления, необходимо учитывать, что развитие ученика в процессе обучения эффективно лишь при формировании личностно значимых знаний, а это невозможно без опоры на опыт ученика. По утверждению И.С. Якиманской, задаваемое в обучении содержание (понятия, правила, приемы) в ходе усвоения обязательно переосмысливается учеником, воспринимается через призму его собственного опыта. Таким образом, новая информация должна согласовываться с имеющимися у ребенка представлениями, понятиями, правилами выполнения действий, эмоциональными кодами - составляющими субъектного опыта ученика. Несовпадения научного знания с содержанием субъектного опыта может стать причиной его отторжения или искажения ребенком. Учащиеся еще до начала обучения в школе имеют жизненные представления об элементах логики, опыт логической организации информации, и этот субъектный опыт учащихся необходимо учитывать в процессе развития представлений об элементах логики.
Итак, при организации логической подготовки учащихся 5-6 классов необходимо учитывать не только функциональную направленность элементов логики, но и субъектный опыт учащихся, а также закономерности формирования и развития определенных компонентов мышления (развитие логических компонентов мышления на основе активизации образных). Но использование субъектного опыта, активизация образных компонентов мышления наиболее эффективно при изучении геометрии, формировании геометрических понятий. Поэтому логическую подготовку учащихся, ориентированную на решение задачи формирования математических понятий, целесообразно организовать на геометрическом материале. Кроме того, такая логическая подготовка на геометрическом материале возможна в силу достаточного числа разработанных пропедевтических курсов геометрии.
Объектом исследования является процесс формирования геометрических понятий на заключительном этапе изучения пропедевтического курса геометрии (в 5-6-х классах).
Предметом исследования является содержание логической составляющей пропедевтического курса геометрии 5-6-х классов и методика формирования представлений об элементах логики и их использования для осуществления перехода от геометрических представлений к геометрическим понятиям в рамках этого курса.
Целью исследования является построение логической составляющей пропедевтического курса геометрии 5-6 классов, направленной на подготовку учащихся к осуществлению перехода от геометрических представлений к геометрическим понятиям.
Гипотеза исследования: разработанная методика развития представлений учащихся об элементах логики в рамках пропедевтического курса геометрии, основанная на реализации принципов:
учета функциональной направленности элементов логики;
учета субъектного опыта учащихся;
3) развития логических компонентов мышления на основе активизации образных
позволит сформировать представления об элементах логики, необходимые для осуществления перехода от геометрических представлений к понятиям; и будет способствовать развитию логического мышления учащихся.
Для решения проблемы исследования и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи исследования:
установить существующие методические подходы к решению проблемы логической подготовки учащихся 5-6 классов;
выявить психолого-педагогические закономерности развития и функционирования логических компонентов мышления у детей в возрасте 11-12 лет;
определить способы выявления и основные положения учета субъектного опыта учащихся в процессе их логической подготовки;
разработать содержание логической составляющей пропедевтического курса геометрии;
разработать учебные материалы, направленные на ознакомление учащихся с элементами логики и их использование для осуществления перехода от геометрических представлений к понятиям в пропедевтическом курсе геометрии;
определить основные требования к разработке задач и заданий, составляющих основу этих учебных материалов;
разработать методику формирования и использования представлений об элементах логики, входящих в состав субъектного опыта учащихся;
осуществить проверку эффективности разработанной методики в условиях экспериментального обучения.
При решении поставленных задач были использованы следующие методы исследования:
анализ и систематизация данных математической, логической, психолого-педагогической, методической и учебной литературы по теме исследования;
теоретическое моделирование учебных средств, направленных на формирование представлений об элементах логики, и их обоснование на основе научных данных и передового педагогического опыта;
экспериментальная апробация учебных средств;
организация и проведение экспериментального обучения с целью практического подтверждения эффекгавности теоретически разработанной методики;
анкетирование, беседа, контрольные срезы с целью сбора эмпирических данных;
количественная и качественная обработка экспериментальных данных на основе использования методов математической статистики.
Исследование проводилось с 1998 по 2004 гг. и включало три этапа.
На первом этапе (1998-2000 гг.) был проведен анализ математической, логической, психолого-педагогической и методической литературы, результатом которого явилось уточнение проблемы исследования и разработка его основных теоретических положений.
На втором этапе (2000-2002 гг.) была разработана методика развития представлений учащихся об элементах логики, проведен поисковый эксперимент с целью корректировки теоретически разработанной методики.
На третьем этапе (2002-2004 гг.) была осуществлена проверка эффективности разработанной методики в ходе формирующего эксперимента; количественная и качественная обработка материалов апробации, сформулированы общие выводы по проведенному исследованию.
Научная новизна исследования заключается в:
постановке проблемы логической подготовки учащихся при изучении математики, ориентированной на решение задачи формирования математических понятий;
разработке основных принципов построения логической составляющей пропедевтического курса геометрии 5-6 класса: 1) принципа функциональной направленности элементов логики; 2) принципа учета субъектного опыта учащихся; 3) принципа развития логических компонентов мышления на основе активизации образных компонентов.
Теоретическая значимость состоит в том, что
выделена специфика взаимодействия логических и геометрических знаний в процессе формирования геометрических понятий при изучении пропедевтического курса геометрии: логические знания составляют основу перехода от геометрических представлений к понятиям, а геометрические знания являются базовыми для развития логических представлений учащихся;
определено функционально значимое содержание логической составляющей пропедевтического курса геометрии 5-6-х классов: логические знания, необходимые для перехода от представлений к понятиям, роль и место элементов логики в структуре курса, особенности образовательно значимых трактовок основных логических терминов;
разработаны основные положения методики развития представлений учащихся об элементах логики, необходимых для осуществления перехода от геометрических представлений к понятиям: 1) процесс развития представлений об элементах логики реализуется в два этапа; 2) деятельность учащихся на каждом этапе направлена на формирование определенных учебных действий через соответствующие этим действиям типы задач и заданий (объектом которых на первом этапе являются элементы логики, на втором - геометрические понятия);
- выделены требования к разработке заданий и задач, направленных
на формирование представлений об элементах логики.
Практическая значимость состоит в том, что
разработаны учебные материалы, способствующие переходу учащихся от геометрических представлений к понятиям и развитию логического мышления учащихся;
выделены уровни развития геометрических понятий (операциональный (логический) компонент), соответствующие определенной ступени становления понятия.
Рекомендации. Материалы могут быть использованы учителями математики в процессе работы в средней школе.
Достоверность результатов исследования обеспечивают: теоретический анализ проблемы, результаты экспериментальной проверки, подтвердившей справедливость основных положений диссертации.
Апробация результатов исследования.
Результаты исследования докладывались на международной научной конференции "56-е Герценовские чтения" (г. Санкт-Петербург, 2003 г.); на Ломоносовских чтениях (г. Архангельск, 2002, 2003 гг.), на методологическом аспирантском семинаре и заседаниях кафедры методики преподавания математики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова; на научно-методическом семинаре кафедры методики обучения математике РГПУ имени А.И. Герцена.
На защиту выносятся следующие положения:
Логическая подготовка учащихся 5-6-х классов при изучении пропедевтического курса геометрии является необходимым условием для осуществления перехода от геометрических представлений к понятиям.
Построение логической составляющей пропедевтического курса геометрии должно опираться на следующие принципы:
- принцип функциональной направленности элементов логики;
- принцип развития логических компонентов мышления на основе
активизации образных;
- принцип учета субъектного опыта учащихся.
3. Использование методики развития представлений учащихся об элементах логики в пропедевтическом курсе геометрии обеспечит учащимся переход от геометрических представлений к геометрическим понятиям и развитие логического мышления. Методика реализуется в два этапа (этап формирования представлений об элементах логики, этап использования элементов логики в соответствии с их функциональной направленностью) и предполагает организацию деятельности учащихся через постановку соответствующих каждому этапу задач и заданий.
История постановки и решения проблемы усиления логической составляющей школьного курса математики
Термин "логическая составляющая школьного курса математики" введен в методику преподавания математики сравнительно недавно (Т.А. Кон-драшенкова, И.Л. Никольская и др.) в связи с постановкой задачи логической подготовки учащихся и используется для обозначения совокупности логических знаний, входящих в содержание математического образования. Н.Н. Михайлова определяет логическую составляющую как «...суммарную совокупность логических знаний (элементов диалектической, формальной и математической логик), которыми необходимо овладеть» [89, с.8]. В данной работе под логической составляющей математики мы будем понимать содержательно-методическую линию, содержание которой состоит из функционально значимых для развития математических знаний элементов логики.
Такая трактовка термина «логическая составляющая математики» подчеркивает неразрывную связь логики с содержанием математических курсов. Эта связь неоднократно выделялась и ранее многими математиками, методистами. Так, например, А.А. Столяр отмечает, что «математику иногда сравнивают с сооружением, при этом изучаемые ею множества объектов со свойственными им отношениями и операциями сравнивают с кирпичами, а логику - со связующим веществом, цементом» [137, с. 15]. Эту мысль подчеркивал и Р.Ф. Фейнман, который говорил, что "математика - это не просто другой язык ... это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе" [154, с.40]. Таким образом, не вызывает сомнения тот факт, что аппарат логики является естественной составляющей, неразрывно связанной не только с математической теорией, но и со всяким курсом математики.
За счет этой связи процесс изучения математики приводит к естественному накоплению и развитию логической культуры учащихся. Отмечая этот факт, А.Н. Колмогоров утверждал, что «знакомство с началами логики практически в значительной мере происходит на уроках математики» [68, 17]. Так, «при изучении математики приходится много тренироваться в выполнении различного рода логических выводов» [138, с. 197]. На уроках математики учащиеся знакомятся с различными видами определений и теорем. Раскрытию структуры определения способствует деятельность по созданию и усвоению определений различных понятий. Рассмотрение свойств математических объектов связано с образованием высказываний, с нахождением их истинностного значения.
Еще одним достоинством математики, по мнению И.Л. Никольской, является то, что логические формы и отношения в ее содержании выступают "в наиболее чисто нестертом виде". В этой связи изучение элементов логики долгое время не рассматривалось как самостоятельная цель среднего образования. Однако, как показали исследования Г.В. Дорофеева, И.Л. Никольской, А.А. Столяра и др., такой подход недостаточно эффективен как в обеспечении учащихся глубокими математическими знаниями, так и в достижении ими необходимого логического развития. Исследователями отмечается, что непонимание логической составляющей математического предложения приводит к непониманию его математического содержания, затрудняет усвоение учащимися математических знаний, приводит к ошибкам в математической деятельности. К тому же при таком подходе логическая форма в представлении учащихся оказывается неотделимой от содержания, логические понятия и действия остаются при этом несформированными.
В связи с выше сказанным, в методике преподавания математики возникла идея замены естественного развития логических знаний учащихся их целенаправленным формированием в процессе обучения [50; 71; 96; 137].
Проблема целенаправленной логической подготовки в связи с изучением математики давно обсуждается в методико-математической литературе, на различных конференциях и съездах по математическому образованию. Вопрос о необходимости усиления внимания к элементам логики в школьном курсе математики, и прежде всего в геометрии, поднимался на 1-2 Всероссийских съездах преподавателей математики (1911 г., 1913 г.). Так, в своем докладе «Начала логики в курсе школьной геометрии» С.А.Неаполитанский стремился показать необходимость введения в школьный курс математики знакомства с началами логики как небольшого пропедевтического курса к изучению дедуктивной геометрии. Программа школьной геометрии, по его мнению, должна состоять из трех частей: наглядная геометрия, элементы логики как введение в дедуктивную геометрию, дедуктивная геометрия [87].
В 40-50 гг. существовало два основных подхода к решению проблемы целенаправленной логической подготовки учащихся. Первый из них связан с включением курса логики в число обязательных предметов, изучаемых в средней школе. Данная попытка восполнить пробел в логическом воспитании учащихся введением логики в качестве специального предмета, по мнению А.А.Столяра, не увенчалась успехом. «Нельзя изучать логику в школе в отрыве от ее применения, особенно в отрыве от математики, где она широко используется» [137, с.21]. "Бесплодность" изучения логики как отдельного предмета отмечает И.Л.Никольская: "приобретаемые таким способом логические знания не становятся органической частью мышления учащихся, оставаясь чисто формальными... и поэтому неприемлемыми" [96, с.4].
Взаимосвязь образных и понятийных компонентов мышления как основа конструирования логической составляющей пропедевтического курса геометрии
В стандарте среднего математического образования (проект) одной из целей обучения математике признается формирование и развитие качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценного функционирования в обществе. Методисты и педагоги выделяют различные виды мышления, развивающиеся в связи с осуществлением математической деятельности: эвристическое, алгоритмическое, пространственное, логическое мышление и др.; их спектр определяется различием функциональной направленности. Логическое мышление определяется в методике математики как мышление в форме понятий, суждений и умозаключений по правилам и законам логики (И.А. Гибш [33], О.Б. Епишева [58] и др.). Г.И. Саранцев, характеризуя логическую составляющую мышления, подчеркивает, что она «включает понимание структуры определения понятия, умение оперировать определением..., умение конструировать новые понятия, понимание логической структуры теоремы понимание сущности доказательства, владение приемами опровержения предложенных обоснований и т.д.» [125, с.32]. Таким образом, необходимость развития логического мышления связывается с формированием умения оперировать математическими понятиями и утверждениями, тем самым подчеркивается его роль в деятельности понятийных компонентов мышления в ходе математической деятельности.
В психологии существует несколько классификаций видов мышления, реализующие представления о нем как о сложном многокомпонентном процессе [145]. В одной из них словесно-логическое мышление рассматривается в триаде: наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое (понятийное) и «характеризуется использованием понятий, логических конструкций, существующих, функционирующих на базе языка, языковых средств» [143, с. 8]. Психологи выделяют два типа связей между видами мышления: функциональные связи (взаимодействие видов мышления в процессе мыслительной деятельности), преемственные связи в процессе развития мышления в онтогенезе. Рассмотрение выделенных типов связей позволит установить основу формирования логических компонентов мышления.
Функциональные связи видов мышления. В реальном мыслительном процессе различные виды мышления переплетены, «взаимно проникают друг в друга и друг в друга переходят», логическое абстрактное мышление неотрывно от всей чувственно-наглядной основы [123]. Как отмечает А.Валлон, «не существует понятия, каким бы абстрактным оно ни было, которое не включало бы какой то сенсорный образ, и не существует образа, каким бы конкретным бы он ни был, который бы не направлял бы слово» [15, с.230-231]. Особенности мышления человека - функционирование его преимущественно в понятийном или образном плане - определяется особенностями или целью деятельности, а также возрастными и индивидуальными психическими особенностями субъекта.
Взаимосвязь образного и понятийного в мышлении отражена и в определении образного мышления, данного И.С. Якиманской. «Мышление в образах есть сложный психический процесс, в котором представлены результаты непосредственного чувственного восприятия реального мира (его наглядного изображения), их понятийной обработки и мысленного преобразования этих результатов под влиянием требований задачи, субъективных установок личности, особенностей прошлого опыта» [23, с.5-6]. Таким образом, умственный образ по своей природе имеет двойной источник детерминации. С одной стороны, он включает результаты теоретического осмысления действительности через овладение общественно-историческим опытом, представленным в системе понятий. С другой - он вбирает в себя чувственный опыт, возникающий при непосредственном контакте с окружающим миром в ходе его практической деятельности, и в этом смысле образ субъективен. Указанные свойства образов необходимо использовать при организации процесса обучения. Опора на образы делает усваиваемые знания эмоционально насыщенными, активизирует творческое воображение ребенка, придает процессу усвоения знаний личностно значимый смысл. Этот факт подтверждается и историческими примерами. Известный не только научными открытиями, но педагогическими находками немецкий математик Эйлер, использовал круги для создания наглядных образов (отношений между понятиями) свойств силлогизмов при обучении немецкой принцессы.
Мышление в образах входит как существенный компонент во все без исключения виды человеческой деятельности, какими бы развитыми и отвлеченными они ни были. Оно характерно и для процесса математических открытий, так как мыслительный процесс, использующий образы, протекает быстро во времени, свернуто, поиски ведутся одновременно в нескольких направлениях. При этом часто не исключаются случайные связи, которые нередко приводят к неожиданным решениями. Образное мышление позволяет достичь высоких теоретических обобщений, но в специфической образной форме, которая затем переводится в словесно-логическую.
Особенности представления логического материала в содержании учебных математических курсов для 5-6 классов
Осознание значимости логической подготовки учащихся для успешного изучения систематических курсов привело к многочисленным попыткам целенаправленной разработки логической составляющей курсов математики 5-6 классов.
Как отмечает В.А.Панчищина, один из авторов курса «Геометрия для младших школьников» [101-103], разностороннюю пропедевтику систематического курса, дает соединение «непосредственного знания некоторых свойств и качеств важнейших геометрических понятий, идей и методов... с элементами логической структуры геометрии» [100, с.З].
Г.В.Дорофеев, автор учебника по математике для 5-6 классов, на уровне общего математического образования выделяет следующую группу логических знаний: «Логика: равносильность и следствие, законы дедуктивных рассуждений, доказательство, определение, теорема, аксиоматика» [50, с.34], которую он относит к целевым знаниям, т.е. непосредственно отражающим «цели обучения математике на современном этапе развития школы и общества в целом» [50, с.ЗЗ].
Как подчеркивает В.А.Гусев, курс геометрии, разработанный им, «должен привить правильное представление о доказательстве личностью чего-либо... Целью нашего курса является показ необходимости и потребности доказательства вообще, формирования умений владения основными методами (приемами) доказательств, а также стремление к самостоятельному поиску и проведению доказательств» [43, с.6].
Изучение курса геометрии в 1-6 классах, по мнению Подходовой Н.С., позволит «подготовить учащихся к усвоению систематического курса благодаря наличию умения произвольно создавать и оперировать пространственными образами, сформированности объемов основных понятий, изучаемых в систематическом курсе геометрии, и достаточно широкого запаса их существенных свойств, знакомству с элементами логики» [115, с.347]
Целью данного параграфа является выявление способов реализации логической подготовки учащихся в курсах указанных авторов, а также соотнесение их с выдвинутыми в первой главе методическими принципами. В соответствии с этим выделим позиции анализа:
- форма существования логической составляющей в курсе (явная или неявная);
- характер использования субъектного опыта учащихся;
- характер связи с предметным содержанием курса;
- использование понятий теории множеств.
В современных учебниках по математике для 5-6 классов представлены два подхода к отражению логической составляющей в содержании: явный и неявный, причем наиболее распространенным является второй из них.
«Явные» знания (как правило, в понятиях) задаются учащимся в объективированной (эксплицитной) форме. Обычно любое объективированное научное знание выражается текстом. «Неявное» знание, по мнению М.Полани, выполняет важную функцию в познании: находясь не в фокусе сознания, это знание тем не менее является существенным, т.к. дополняет и обогащает логически оформленное дискурсивное знание [116].
Элементы логики включены неявно в содержание учебного пособия по геометрии для младших школьников (авторы В.А. Панчищина, Э.Г. Гельфман и др.). Как отмечает В.А.Панчищина, в ходе изучения геометрии необходимо «включать в деятельность детей элементы, обеспечивающие переход от первоначальной интуитивной основы к различным логическим конструкциям» [100, с.З].
В качестве ведущего средства, обеспечивающего указанный переход, авторами учебного пособия выбраны описания образцов деятельности, в которых используются те или иные знания логического характера, при этом на логическую составляющую геометрии акцент не делается. Так, в ходе изложения геометрического материала появляются примеры такого дедуктивного умозаключения, как категорический силлогизм: «У квадрата все стороны равны между собой и все углы тоже равны между собой... Многоугольники, у которых все стороны и все углы равны между собой, называют правильными многоугольниками. Следовательно, квадрат является правильным многоугольником...» [102, с.192].
