Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АКСИОМАТИЧЕСКОГО ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ 12
1.1 Исторические подходы к аксиоматическому построению геометрии 13
1.2 Применение аксиоматического метода в курсе геометрии средней школы 28
1.3 Психолого-педагогические аспекты изучения аксиоматического материала в школьном курсе геометрии 75
ВЫВОДЫ 83
ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ 84
11.1 Концепция изучения аксиоматического метода в курсе геометрии средней школы 85
11.2 Программа курса по изучению аксиоматического метода 88
11.3 Основные вопросы по изучению аксиоматического метода в школьном курсе геометрии и методика их изложения 94
11.4 Проверка эффективности разработанного учебно-методического комплекса по изучению аксиоматического метода 160
ВЫВОДЫ 169
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 170
СПИСОК ОСНОВНОЙ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 172
ПРИЛОЖЕНИЯ 185
- Исторические подходы к аксиоматическому построению геометрии
- Применение аксиоматического метода в курсе геометрии средней школы
- Концепция изучения аксиоматического метода в курсе геометрии средней школы
Введение к работе
Современные концепции гуманизации образования ориентируют школу на максимальное развитие и реализацию творческих возможностей учащихся, что требует серьезного изменения содержания образования. Приобретаемые учащимися знания должны отличаться не только востребованностью их в дальнейшей жизни и практической деятельности, но и способствовать интеллектуальному развитию учащихся.
Воспитание и обучение правильно формируют развивающуюся личность лишь тогда, когда педагог организует деятельность ребенка по усвоению человеческого опыта. То есть, обучение в школе должно в сокращенной форме воспроизводить действительный процесс рождения и становления знаний. В этом случае школьники будут осуществлять мыслительные действия, аналогичные тем, посредством которых эти продукты духовной культуры вырабатывались исторически (См. [ 60 ] ). " С точки зрения зарождения, развития и становления математического знания математическая деятельность не сводится лишь к воспроизведению полученных кем-то знаний, а включает в себя процесс поиска, открытия новых фактов и закономерностей" [72,с.25]. В школьной геометрии в решении этих проблем важную роль играет аксиоматический метод.
Вопросы, связанные с этим методом, всегда были в центре внимания математиков. Зародившись в трудах древнегреческих ученых и обобщенный в "Началах" Евклида, аксиоматический метод получил развитие в работах Герона Александрийского ( I в. до н.э. - I в. н.э. ), Порфирия Сирийского ( III в.), Паппа Александрийского ( III в.), Прокла ( V в. ) и других комментаторов "Начал". В средние века аксиоматическому методу были посвящены работы ученых Востока: ал-Джаухари, Сабит ибн Корры, ан-Найру-зи, Ибн ал-Хайсама, ал-Бируни, Омара Хайама и др. Особое развитие аксиоматический метод получил в период Возрождения, когда его стали применять к другим областям знания - физике, этике, юридическим наукам. Несмотря на то, что проблема строгого обоснования геометрии на аксиоматической основе была независимо друг от друга решена на рубеже XIX и XX веков в трудах М.Пиери, Д.Гильберта и В.Ф.Кагана, вопросы, связанные с аксиоматическим методом, остались в центре внимания методической мысли. Нужна ли аксиоматика в школе Если да, то в каком объеме Эти вопросы вот уже на протяжении многих лет остаются открытыми.
Решение проблемы аксиоматического построения школьного курса геометрии в отечественной школе мы находим в учебниках М. Е. Ващенко-Захарченко, С.Е.Гурьева, А.Ю.Давидова, А.П.Киселева, А.Н.Колмогорова, Н.Н.Никитина, А. В. Погорелова, В.А.Гусева, в работах авторских коллективов Л.С. Атанасяна ( В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина); А.Д.Александрова (А.Л.Вернер, В.И. Рыжик); Г.П.Бевза (В.Г.Бевз, Н.Г.Владимирова); В.Г.Болтянского (М.Б.Волович, А. Д. Семушин); В. М. Клопско-го (3. А. Скопец, М. И.Ягодовский); А.Н.Колмогорова (А.Ф.Семенович, Р.С.Черкасов); В.Н.Руденко, Г. А.Бахурина и др.
Курс школьной математики должен быть таким, чтобы он прежде всего побуждал учащихся к постановке вопросов, выдвижению гипотез, создавал бы условия для эффективных поисков. Организация обучения должна обеспечивать не только усвоение программных геометрических знаний и умений, но и способствовать разностороннему развитию личности учащихся, в частности, развитию познавательных способностей, самостоятельности и творческого подхода к учению.
Решение этих задач возможно лишь в условиях индивидуальной и дифференцированной организации школьного обучения. Этим проблемам посвящены работы известных отечественных психологов (С.Л.Выготский, В.В.Давыдов, Н.В.Талызина, Л. М. Фридман и др. ), педагогов (Бабанский Ю.К., Скаткин М.Н.), методиков-математи-ков (В.Г.Болтянский, Г.Д.Глейзер, В.А.Гусев, Г. Л. Луканкин, Ю.М.Колягин, И.М.Смирнова и др.). В геометрическом курсе современной школы дифференциация обучения предполагает "одновременное существование как учебников геометрии, построенных на глобальной аксиоматической организации теории, так и учебников, построенных на локальной аксиоматизации и локальной дедукции. Здесь налицо проблема создания таких учебников геометрии, в которых бы разумнее дозировались логический и интуитивный компоненты, так как школьный курс геометрии должен представлять собой "химическое соединение интуиции и логики" " [ 61, с.17 ].
Для решения этой проблемы Министерством Просвещения СССР в 1988г. был объявлен Всесоюзный конкурс учебников по математике. В представленных на конкурс работах авторы и авторские коллективы отразили свои взгляды на проблему строгости аксиоматического построения геометрии и содержание в целом школьного курса. Но в каждом из пробных учебников создатели руководствовались одним - сделать школьную геометрию доступной и интересной каждому ученику.
Нельзя не согласиться с тем, что в условиях массовой школы строгое логическое построение геометрии просто невозможно, да и не является необходимым. Раннее знакомство с аксиоматикой не дает эффекта даже для способных учащихся. Но, тем не менее, изложение геометрического материала, лишенное аксиоматической основы, вряд ли можно считать приемлемым. Обоснования и дока зательства, которые опираются лишь на наглядность и очевидность, не всегда будут верными. Такая геометрия не будет играть существенной роли ни в математическом образовании, ни в общем развитии учащихся.
Поэтому многие работы методистов-математиков посвящены вопросам формирования у учащихся представлений об аксиоматическом методе ( А.И.Грузин [55], А.Е.Захарова [70]. М.А.Исаева [73]. П.В.Мартиросян [94], В. И. Рыжик [127]. В.Е.Шевченко [157] и др.). Внимание в них уделяется не только улучшению содержания курса геометрии, но и модернизации методов и организационных форм предметного обучения. В частности, рассматриваются вопросы, связанные с формированием геометрических понятий, развитием логического мышления и геометрической интуиции, дедуктивного метода познания и мировоззрения в целом ( С.А.Алла-бергенов [3], В.О.Ваганян [35], 3. И. Слепкань[137]. И.М.Смирнова [138], А. А. Столяр [142], Е.Тоцки [147], В.М.Туркина [148], Д.М.Фрейверт [151] и др.). Вместе с тем, анализ имеющейся литературы свидетельствует о том, что оптимальное для настоящего времени решение проблемы систематического курса школьной геометрии еще не найдено.
Опыт практической реализации указанных выше теорий доказал их педагогическую эффективность. Но, наряду с этим, он выявил и недостаточную разработанность методики применения аксиоматического метода в школе. Несмотря на то, что в программу девятого класса школьного курса геометрии [121] в настоящее время включено изучение основ аксиоматического метода, в некоторых действующих и пробных учебниках логическое обоснование геометрии вообще не рассматривается. В других же предлагаетмя лишь обзорный материал по аксиоматическому методу, не соответствующий программе, или вопросы аксиоматики излагаются дос таточно сложно для большинства учащихся, потому что для их изучения нужна специальная подготовка.
Таким образом, глубинные причины использования аксиоматического метода при изложении геометрии в школе остаются без должного внимания. Не уделяется должного внимания познавательно-мировоззренческой роли этого метода, которую можно определить как стремление к знанию, связанное с активным отношением к изучаемому предмету, в процессе которого формируется система взглядов на окружающий мир и его закономерности [73, с.77]. Почти не учитывается значение этого метода в решении ряда образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения. А изучение аксиоматического метода в условиях развивающего обучения способно обеспечить формирование системных знаний и обобщенных уменийи, развитие научного мировоззрения, логического мышления и познавательных способностей, повышение творческой активности и интереса к геометрии. Методика изучения аксиоматического метода в школе, способная устранить указанные недостатки, не разработана.
Из всего выше сказанного вытекает проблема исследования: найти пути и средства доступного изучения основ аксиоматического метода в курсе геометрии средней школы. Решение этой проблемы определяет актуальность и выбор темы исследования: "Изучение аксиоматического метода в курсе геометрии 7-9-х классов"
Цель исследования - создание учебно-методического комплекса по изучению аксиоматического метода в средней школе на уроках геометрии и факультативах, направленного на повышение качества знаний и уровня учебно-познавательной деятельности учащихся.
Объектом нашего исследования является процесс геометрической подготовки учащихся 7-9 классов.
Предметом исследования - аксиоматический метод в школьном курсе планиметрии и пути формирования у учащихся умений продуктивно использовать его при изучении геометрии.
Исходя из цели исследования, на основе анализа проблемы и результатов констатирующего эксперимента нами было выдвинута следующая гипотеза: если разработать учебно-методический комплекс, направленный на изучение основ аксиоматики в школьном курсе геометрии, и целенаправленно использовать его в предметном обучении или внеклассной работе по математике, то можно реализовать широкие возможности аксиоматического метода. Это будет стимулировать развитие мышления учащихся, их познавательных способностей и самостоятельности, что не только повысит эффективность обучения, улучшит качество получаемых геометрических знаний и умений, но и будет способствовать формированию научного мировоззрения обучаемых.
В ходе работы необходимо было решить задачи:
1. Рассмотреть различные подходы к применению аксиоматического метода в курсе геометрии и его значение в познании окружающего мира и обучении.
2. Выделить исходные методологические и психологические основы изучения аксиоматического метода в школе, определить его значение в решении образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения.
3. Обосновать и разработать теоретические основы изучения аксиоматического метода в школьном курсе планиметрии.
4. Определить оптимальные условия изучения основ аксиоматики в обучении геометрии.
5. Построить методическую систему изучения аксиоматического метода: разработать программу, учебные, методические и дидактические материалы, обеспечивающие изучение основ акси матики на уроках геометрии и факультативах. 6. Экспериментально проверить эффективность разработанного нового учебно-методического комплекса. Методологическую основу исследования составили психолого-педагогические и методико-математические труды, относящиеся к теме нашей работы, государственные документы по образованию, учебные программы по математике для средней школы.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:
1. Теоретические (анализ философской, психолого-педагогической, математической, методической и дидактической литературы по проблеме; изучение государственных документов по вопросам образования).
2. Общенаучные (педагогическое наблюдение, педагогический эксперимент, беседы, опросы, анкетирование).
3. Общелогические (логико-дидактический анализ действующих программ по геометрии средней школы, историко-логический анализ, сравнение и обобщение учебного материала).
5. Экспериментальные методы (констатирующий, поисковый, обучающий эксперименты по проблеме исследования).
6. Статистические (обработка результатов педагогического эксперимента и их методический анализ).
Исследование проводилось в три этапа.
На первом этапе ( 1993-1995 гг.) было рассмотрено состояние проблемы в науке и практике, проанализирована психолого-педагогическая, учебная и методическая литература, обоснована концепция исследования и составлен план опытно-экспериментальной работы.
На втором этапе исследования ( 1995-1996 гг.) были определены теоретические основы изучения аксиоматического метода в школьном курсе геометрии, разработан пробный вариант учебно-методического комплекса и заложена его экспериментальная проверка.
На третьем этапе ( 1996-1997 гг. ) был начат обучающий эксперимент и проанализированы его первые результаты, что позволило сделать основные выводы об использовании созданного комплекса для изучения основ аксиоматики в средней школе, устранить некоторые имеющиеся недостатки и наметить пути совершенствования работы в этом направлении.
Научная новизна и теоретическая значимость проведенного исследования состоит в том, что определены теоретические основы для разработки учебно-методического комплекса по изучению аксиоматического метода в курсе школьной геометрии, разработаны концептуальные положения, построена методическая система изучения основ аксиоматики в школе.
Практическая ценность результатов исследования заключается в том, что разработан учебно-методический комплекс по изучению основ аксиоматики в школьном курсе геометрии, включающий в себя программу изучения аксиоматического метода на уроках планиметрии ( 9 класс ) и факультативных занятиях; учебные пособия для учителей и учащихся; методические рекомендации по проведению уроков и занятий по аксиоматике, соответствующие изданным пособиям, и дидактические материалы.
Выводы и рекомендации исследования и созданный учебно-методический комплекс по изучению аксиоматического метода могут быть использованы:
- для совершенствования аксиоматического материала учебников и методических пособий по школьной планиметрии;
- при разработке учебных материалов для факультативов и внеклассных занятий по математике;
- для проведения лекций и практических занятий по основам аксиоматического метода в вузах и на курсах повышения квалификации учителей.
Достоверность полученных результатов и выводов обеспечивают теоретико-методологические основы изучения и применения аксиоматического метода; использование комплекса взаимосвязанных методов, соответствующих цели, задачам и логике исследования; педагогический эксперимент и положительные результаты экспериментально-опытной работы.
Основные положения диссертационного исследования изложены и обсуждены на научно-практических конференциях по итогам научно-исследовательской работы в Орловском государственном педагогическом университете в 1994, 1995 и 1996 годах; на конференции учителей математики школ г. Орла ( март, 1995г.); на "Неделе науки - 96" ОГПУ ; на Всероссийской конференции молодых ученых ( г.Орел, апрель, 1996г. ); на Межвузовской областной конференции, проходившей в рамках "Декады науки - 97" ( г.Орел, апрель, 1997г.) ; на заседаниях кафедры геометрии и методики преподавания математики Орловского государственного университета.
Результаты исследования отражены в девяти публикациях автора.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Обоснование возможности и целесообразности формирования у учащихся представлений об аксиоматическом методе и глубинных причинах его использования в школьном курсе геометрии.
2. Учебно-методический комплекс по изучению основ аксиоматического метода в курсе планиметрии ( 7-9 классы ).
3. Дидактические условия и технология практической реализации созданного комплекса в средней школе.
Исторические подходы к аксиоматическому построению геометрии
АКСИОМАТИКА - система аксиом вместе с основными объектами (вещами) и основными отношениями между ними [92,с.12]. Под АКСИОМОЙ понимают высказывание некоторой теории, принимаемое при дедуктивном построении этой теории без доказательства, то есть принимаемое как исходное, отправное для доказательств других положений этой теории (теорем, греческое ) В переводе с греческого аксиома (а ш/хата) - истина, достойная признания [145,с.100]. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД - способ построения научной теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) - аксиомы или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории (теоремы) должны выводится чисто логическим путем, посредством доказательств.
Аксиоматический метод - важнейший научный инструмент познания мира [162,с.10]. Большинство направлений современной математики, теоретическая механика, ряд разделов физики строятся на его основе. В самой математике аксиоматический метод дает логически стройное построение научной теории. Аксиоматически построенная математическая теория находит многократное приложение как в самой математике, так и в естествознании, потому что выводы такой теории справедливы в любом случае, где выполняется эта аксиоматика. Современная точка зрения на аксиоматическое построение какой-либо теории следующая.
1) Выбираются основные (первичные) понятия и отношения данной теории, которые не определяются.так как дальнейший процесс определения более сложных понятий должен иметь начало.
2) выделяются некоторые первичные утверждения - аксиомы, устанавливающие связь между первичными понятиями и отношениями и принимаемые без доказательства. Неизбежность введения системы аксиом обусловлена тем, что при доказательстве любой теоремы приходится опираться на уже доказанные факты, для которых в свою очередь можно выделить более простые и так далее. В результате получается набор утверждений - система аксиом, с помощью которой можно доказать все положения данной теории1. 3) все новые понятия, вводимые в данной теории, определяются через первичные понятия или через ранее определенные понятия и отношения; все новые утверждения теории (теоремы) доказываются на основе ранее введенных понятий и аксиом (или предшествующих теорем). Правила вывода одних истинных предложений из других в рамках данной теории не исследуются, а являются предметом математической логики [ 98,с.404]. Кроме того, в любой аксиоматике подразумеваются известными правила грамматики, натуральные числа и т. п. Аксиоматика, в которой используется только такой необходимый минимум, называется ЗАМКНУТОЙ ( ИСЧЕРПЫВАЮЩЕЙ ). В такой аксиоматике ничто не предполагается известным заранее. Если же при изложении аксиом известным или само собой понятным считается понятие какой-либо другой теории сверх необходимого для формулировок минимума, то аксиоматика называется НЕЗАМКНУТОЙ [11,с.636]. Такие системы аксиом очень удобны, но они не дают исчерпывающих оснований геометрии, так как подразумевают знание других теорий. Например, школьная аксиоматика использует вещественные числа и некоторые другие понятия, поэтому она не является замкнутой.
Важнейшим требованием к системе аксиом является ее НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ. Выводы из данных аксиом не должны приводить к возникновению двух взаимно исключающих утверждений. Противоречивая аксиоматика не может служить основой для построения содержательной теории, теряет свою ценность для познания реальной действительности, отраженной в математической модели. Доказательство непротиворечивости системы аксиом сводится к доказательству существования хотя бы одной ее реализации [116,с.180], то есть к указанию некоторого непустого множества, в котором для конкретных неопределяемых объектов и отношений выполнены все аксиомы данной теории. Однако этот способ позволяет лишь свести вопрос о непротиворечивости данной теории к вопросу о непротиворечивости какой-либо другой теории. Строгое доказательство, как показал австрийский математик К.Гедель, вообще говоря, невозможно. Но, используя несколько модифицированную логику, удается строго доказать непротиворечивость почти всех математических теорий [98,с.405].
Применение аксиоматического метода в курсе геометрии средней школы
Несмотря на недостатки и достаточно сложное в методическом плане изложение, "Начала" Евклида до конца XVIII в. оставались почти единственным источником геометрического познания. Главная причина этого заключена прежде всего в высоком достоинстве творения древнегреческого ученого. Знание "Начал" было неотъемлемой частью классического образования, так как, по мнению педагогов, геометрия способствовала развитию и укреплению дисциплины ума. В педагогической литературе того времени "Начала" сопоставлялись с Библией, что придавало творению Евклида облик неоспоримого авторитета.
Во второй половине XVIII в. образование охватило широкие слои населения, поэтому назрела необходимость разработки более доступных учебных пособий по геометрии. Результатом работы в этом направлении стало появление так называемых школьных изданий "Начал" Евклида. Они выходили на разных языках и были снабжены дополнениями и пояснениями для учащихся. В школьный курс включались планиметрия и стереометрия, то есть первые шесть книг, Книга X и Книга XI "Начал". Были изданы учебные пособия по геометрии шотландских математиков Симеона (1687-1768) и Плейфера (1748-1819) в Англии, нидерландского ученого Лоренца (1853-1928) в Германии, Дешаля (1621-1678) во Франции. Французский математик Лежандр (1752-1833) переработал "Начала" в курс элементарной геометрии, а под руководством Лакруа (1765-1843) вышло пособие по углубленному изучению геометрии. На русском языке "Начала" выходили в переводе математика-педагога Курганова Н.Г.(1722-1796), ученого Петрушевского Ф.И.(1785-1848), математика Ващенко-Захарченко М.Е. (1825-1912), Мордухай-Болтовского Д. Д. (1876-1952).
В школьных изданиях "Начал" широко использовались арифметика и алгебра, был включен материал по измерению величин, некоторые формулировки аксиом и постулатов были упрощены. Так, вместо пятого постулата Евклида использовали теорему Плейфера :" Через данную точку Р можно провести лишь одну прямую, параллельную данной прямой 1", которая является эквивалентом постулата, но более проста по содержанию. Именно эта теорема используется в современных школьных курсах.
Традиционный принцип построения школьного курса геометрии по классической схеме Евклида - добиваться убедительных рассуждений, опираясь прежде всего на построение, а лишь затем на аксиомы. Этот принцип был положен в основу учебников геометрии А.П.Киселева. Исторический опыт "Начал", перенесенный автором в свои учебные пособия способствовал их огромной популярности на протяжении многих лет.
В "Началах" Евклида можно обнаружить истоки различных подходов к доказательству свойств геометрических фигур. По Евклиду, фигуры в геометрии существуют лишь тогда, когда они построены. Значит, два треугольника будут равны, если будет построен треугольник, равный первому и совпадающий со вторым. Именно такой подход к доказательству признаков равенства треугольников используется в учебнике А.Д.Александрова [7] и в различных изданиях учебных пособий А. В. Погорелова [114], [115], [118].
Но при доказательстве равенства треугольников Евклид пользуется их наложением, то есть интуитивным понятием движения, как мысленного переноса одного треугольника для совмещения его с другим. Возможность этого обусловлена Аксиомой 7 и Постулатом 4 "Начал" [ см. 106, с. 39-40]-. Такой подход к доказательству равенства фигур используется в учебниках А.П.Киселева [76] и Л.С.Атанасяна [41].
Доказательство равенства фигур в учебнике А.Н.Колмогорова [83] основано на указании перемещения, переводящего одну фигуру в другую, но признаки конгруэнтности треугольников в нем не доказываются. Способ доказательства равенства по такому пути дан в учебнике В.Г.Болтянского [27].
Традиционный школьный курс геометрии воспроизводит содержание первых книг "Начал" - формулировка предложений, а нередко и элементы их доказательств. Тем не менее, более глубокий анализ школьных учебников показывает, что они все дальше уходят от идей Евклида.
Концепция изучения аксиоматического метода в курсе геометрии средней школы
Геометрия призвана достичь некоторые важные цели, которые стоят перед школьным образованием на современном этапе. Одна из них состоит в тренировке и гармоничном развитии мыслительных способностей учащихся. " Человечество не нашло лучшего способа развития интеллектуальных и творческих способностей человека, чем при помощи математики" [ 144, с.7]. Тренировочная цель геометрии - основная. Кроме того, геометрия, как никакой другой школьный предмет, способствует эстетическому развитию учащихся. Она прививает умение ценить интеллектуальные достижения человечества. История развития геометрии - это история культуры, история идей, которая часто остается за пределами школьного образования, в котором предпочтение отдается истории сражений и реформ.
Геометрия как наука зародилась на основе аксиоматики. Эта же традиция сохранилась и в современном школьном курсе, но, как показывает практика, изучению аксиоматического метода не уделяется должного внимания.
На Конференции учителей математики ( Орел, 1995 г., март) было проведено анкетирование, которое выявило следующее. По мнению большинства опрошенных учителей, аксиоматический метод придает строгость школьному курсу геометрии и дает основу для доказательств, "развивает логическое мышление, учит детей рассуждать, делать выводы " ( учитель шк. 39 Вельская Л.А.). Но при его применении возникает много проблем. Основные трудности, с которыми сталкиваются учителя, работающие по учебнику А.В.Погорелова "Геометрия 7-11", - это то, что аксиоматический метод "очень рано вводится" (учитель шк. 4 Абрамова Г.С). Учащиеся не всегда могут правильно использовать аксиоматику при решении задач ( учитель школы-лицея 1 Дмитриева Т.М.), "особенно трудно идет работа по решению задач с помощью аксиом стереометрии методом от противного" (учитель школы-лицея 1 Царева С. А. ). Все это происходит потому, что "учащиеся должны доказывать "вещи", которые им кажутся очевидными ( без всякого доказательства)" ( учитель шк. 15 Черникова Т.И.). На первых этапах изучения геометрии учителю трудно убедить учащихся, не знакомых с аксиоматическим методом, в необходимости таких доказательств, приучить обосновывать каждый шаг, ссылаясь на соответствующую аксиому или теорему. Часто эти трудности сохраняйся и к концу изучения курса планиметрии. Поэтому большинство учителей ( 73% принявших участие в опросе ) отметили необходимость знакомства учащихся с аксиоматическим методом.
Достоинством применения аксиоматики в школьном курсе учителя отметили развитие логического мышления учащихся. Аксиоматический метод может выступать не только как средство обоснованного рассуждения, но и как средство получения знания, так как при аксиоматическом построении какой-либо теории доказанное утверждение можно считать истиной. Но всего этого можно было бы достичь и без применения аксиоматики, тем более, что такое изложение школьной геометрии влечет за собой много трудностей. Нельзя забывать, что знания - это результат прежде всего опыта и наглядности, а не чисто логических рассуждений, которые в школе будут не по силам даже хорошо подготовленным учащимся.
Аксиоматическое изложение геометрии сложилось исторически. Поэтому главным в обучении должно стать не развитие теории из готовой аксиоматики, а процесс создания такой аксиоматики. Аксиомы геометрии достаточно понятны, но, самое главное, они позволяют перейти к неевклидовым геометриям. Занимаясь вопросами аксиоматики на протяжении более двух тысяч лет, человечество в итоге сделало скачок в познании объективной реальности. Об этом, конечно, учащиеся должны знать
Одна из важнейших задач школьного курса математики - формирование научного мировоззрения. Включение в программу школьного курса геометрии в 9 классе вопросов, связанных с аксиоматикой носит информативный характер. Но сама по себе информация не может сформировать мировоззрение: многие выпускники школ все равно представляют неевклидову геометрию плодом ума некоторых математиков. Естественно, за то время, которое отводится программой на изучение этого материала, воспитать научное мировоззрение нельзя, однако после изучения такого курса вряд ли учащиеся будут считать евклидову геометрию единственно возможной моделью окружающей нас действительности. Главная сущность аксиоматического построения состоит в возможности различных интерпретаций геометрии. "Аксиоматический метод в геометрии позволяет окружить его такими важными идеями, знакомство с которыми повышает и значение самого метода" [157, с.219].
