Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА В КОНТЕКСТЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТНОГО ПОДХОДА
1. Сущность деятельностного подхода в обучении математике
1.1. Деятельностный подход в философии, психологии и педагогике 11
1.2. Деятельностный подход в методике преподавания математики 21
2. Состояние проблемы обучения геометрии в педвузе в научной и учебной литературе
2.1. Анализ научной литературы по проблеме исследования 28
2.2. Анализ учебной литературы по проблеме исследования 38
3. Методическая система обучения геометрии и её характеристика 57
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1 77
ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ НА ПЕРВОМ КУРСЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА
1. Организация работы по формированию геометрических понятий у студентов педвуза 79
2. Организация работы по изучению геометрических теорем 95
3. Методика работы с геометрическими задачами 106
4. Особенности различных форм организации обучения студентов при изучении геометрии 128
5. Методические аспекты изучения темы «Смешанное произведение векторов» 143
6. Анализ результатов эксперимента 154
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ II 170
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 171
ЛИТЕРАТУРА 173
ПРИЛОЖЕНИЯ 191
- Деятельностный подход в философии, психологии и педагогике
- Анализ научной литературы по проблеме исследования
- Организация работы по формированию геометрических понятий у студентов педвуза
Введение к работе
Одной из тенденций развития современного образования в педагогическом вузе является сокращение количества часов, отводимых на изучение специальных математических дисциплин. Одновременно происходит возрастание требований к качеству знаний, умений и навыков студентов. В связи с этим в теории и методике обучения математике обострились многие проблемы, в том числе проблема, связанная с подготовкой студентов математических специальностей педагогических вузов.
В настоящее время ведётся интенсивный поиск путей совершенствования обучения математике в педвузе. Значительно стимулировало исследования в методике обучения математике использование деятельностного подхода. Идеи деятельностного подхода нашли широкое применение в психологии, педагогике, предметных методиках и др. В психологических исследованиях Л. С. Выготского, П. Я. Гальперина, А. Н. Леонтьева, С.Л. Рубинштейна и других всесторонне исследуется понятие деятельности и её компонентов, их свойства и условия взаимодействия. Педагогические аспекты вопросов деятельностного подхода учащихся и студентов рассматриваются, в частности, в работах Ю.К. Бабанского, А.А. Вербицкого, Т.В. Габай, С.Д. Смирнова, O.K. Филатова, Д.В. Чернилевского, Г. И. Щукиной и др. К проблеме развития идей деятельностного подхода в методике обучения математике обращались такие учёные, как А. А. Столяр, В. И. Крупич, Г. И. Саранцев, О. Б. Епишева, Т. А. Иванова, М. А. Родионов и другие, рассматривающие их в четырёх вариантах: создание ситуации самостоятельного открытия и усвоения способов деятельности; выделение совокупности действий, адекватных их предметному содержанию; учебная деятельность; деятельностный подход как одна из составляющих методологии методики обучения математике.
В условиях современной актуализации идей деятельностного подхода к обучению вариант использования его как одной из составляющих методологии обучения математике является наиболее перспективным. Его реализация
предполагает выстраивание деятельности, адекватной учебному материалу и составляемой мотивационной сферой, различного рода действиями, способами деятельности, контролем и самоконтролем.
Среди специальных математических дисциплин в подготовке учителя математики геометрия занимает важное место в развитии абстрактного мышления и пространственного воображения студентов, столь необходимых им в будущей профессиональной деятельности. Важность во многом определяется современным пониманием предмета геометрии, строгостью его изложения, глубиной и широтой геометрического материала, приложениями в различных областях знаний. Поэтому особенно актуальными становятся вопросы теории и методики обучения различным разделам курса геометрии педвуза. Среди них большое значение для математической подготовки студентов имеет геометрический материал, изучаемый студентами на первом курсе. Так как именно при изучении этого материала систематизируются, обобщаются и осмысливаются многие знания, полученные в школе, но на более высоком научном уровне; закладывается фундамент математической подготовки будущего учителя, качество которого является одним из условий успешной педагогической деятельности.
Анализ различных работ, посвященных проблемам обучения геометрии в педвузе, показывает, насколько разнообразны подходы к решению этого вопроса. Проблема обучения геометрии тесно связана с общими проблемами вузовского образования. В работах СИ. Архангельского, Л. Г. Вяткина, В. И. Загвязинского, С. И. Зиновьева, И. И. Кобыляцкого, А.Г. Молибога и других рассмотрены обще дидактические аспекты проблемы преподавания в вузе. В последнее время появился ряд трудов, посвященных проблеме изучения математических дисциплин в педагогическом вузе. В частности, вопросам улучшения вузовской математической подготовки будущих учителей математики посвящены работы С. Н. Дорофеева, А. Г. Мордковича, А. И. Нижникова, Г. И. Саранцева, И. С. Сауфанова, Е. В. Силаева, А. Г. Солониной, В. А. Тестова, Г.Г. Хамова и др. Ими обоснованы такие направления
математической подготовки учителей, как формирование творческой активности будущих учителей математики, профессионально-педагогическая направленность преподавания математических дисциплин в педвузе, техноло-гизация учебного процесса, подход к изучению математики как науки о математических структурах, развитие познавательной самостоятельности студентов, генетический подход к обучению, персонализация обучения и др.
Анализ работ, освещающих проблемы обучения геометрии в вузе, показывает, что при создании учебников авторы старались учитывать специфику будущей педагогической деятельности. Некоторые из них включали в изучаемый материал исторические сведения (М.В. Потоцкий, В.Т. Петрова), другие акцентировали внимание на применении изученного в других дисциплинах (Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев, В.А. Ильин и Э.Г. Позняк и др.), третьи при изложении материала обращались к элементарной геометрии (А.В. По-горелов, А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев и др.) и т. д. Однако в проводимых до сих пор исследованиях проблем математического образования будущих учителей главное внимание обращалось на предметные знания, в меньшей степени учитывалась преемственность между школой и вузом и профессионально-педагогическая направленность обучения математике в вузе, основные положения концепции деятельностного подхода. При этом обучение предполагалось осуществлять на моделях, основанных на психолого-педагогических теориях обучения, разработанных главным образом для основной и даже для начальной школы.
Таким образом, актуальность нашего исследования определяется противоречием между необходимостью развития методики обучения геометрии в контексте деятельностного подхода и реальным состоянием обучения студентов в педагогическом вузе.
Проблема исследования заключается в поиске путей и средств совершенствования процесса обучения геометрии на первом курсе педагогического вуза на основе использования основных положений концепции деятельностного подхода.
Цель исследования состоит в разработке методики обучения геометрии студентов первого курса физико-математического факультета педагогического института в контексте деятельностного подхода.
Объект исследования - процесс обучения геометрии в педвузе.
Предметом исследования является методическая система обучения геометрии студентов первого курса педвуза, включающая в себя цели, содержание, профессионально-педагогическую направленность обучения математике в вузе, преемственность между школой и вузом и технологии обучения.
Учитывая выше сказанное, можно сформулировать гипотезу исследования - организация обучения геометрии студентов первого курса педагогического вуза, основанная на положениях деятельностного подхода, включающая действия и эвристики, адекватные изучаемым понятиям и теоремам, учитывающая профессионально-педагогическую направленность обучения в вузе и преемственность со школьным курсом геометрии, позволит улучшить результаты обучения и повысить качество знаний и умений студентов.
Для достижения поставленной цели и проверки поставленной гипотезы необходимо решить следующие задачи:
На основе анализа научной и учебно-методической литературы выявить состояние проблемы обучения геометрии в педагогическом вузе и наметить пути её совершенствования.
Сконструировать на основе проведённых исследований методическую систему обучения геометрии студентов первого курса физико-математического факультета педагогического института в контексте деятельностного подхода и выявить основные её компоненты.
Разработать методику обучения геометрии студентов первого курса педвуза по формированию понятий, работе с теоремой и решению геометрических задач.
Проверить экспериментально эффективность разработанной методики обучения геометрии студентов первого курса педвуза.
Для решения сформулированной задачи применялись следующие методы исследования: системный анализ, деятельностный подход, анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы по исследуемой проблеме; анализ программ, школьных и вузовских учебников геометрии, сборников задач по геометрии для педвуза; изучение и обобщение опыта работы преподавателей вузов; анализ контрольных и самостоятельных работ, ответов студентов на занятиях, результатов зачётов и экзаменов; статистическая обработка и анализ результатов педагогического эксперимента со студентами физико-математического факультета педагогических специальностей.
Исследования проводились поэтапно:
На первом этапе осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, анализ учебников геометрии и сборников задач с целью выявления существующих подходов к организации процесса обучения геометрии на первом курсе педвуза, а также возможности использования идей деятельностного подхода для совершенствования этого процесса, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе разрабатывалась методическая система обучения геометрии на первом курсе педвуза, составлялись системы задач по формироьа-нию изучаемых понятий, разрабатывались этапы работы с теоремами курса геометрии, проводился поисковый эксперимент.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики, изучались его результаты, формулировались выводы и оформлялась диссертационная работа.
Научная новизна диссертационного исследования состоит в том, что решение проблемы совершенствования обучения геометрии студентов первого курса педвуза осуществляется на принципиально новой основе - системном представлении целей, содержания, технологии обучения, преемственности между средней школой и вузом, профессионально-педагогической
направленности обучения математики в школе и в вузе. Этот подход позволил расширить теоретические представления о содержании обучения путем выделения совокупности действий и эвристики, адекватные их предметному содержанию; разработать линии преемственности со школьным курсом геометрии и условия их реализации; реализовать профессионально-педагогическую направленность обучения математики в вузе посредством решения геометрических задач, позволяющих осуществить мотивационное обеспечение школьного курса геометрии, умение проводить правдоподобные рассуждения, «открывать» новые способы решения задач, эвристические приемы, осуществлять выбор знаний для решения конкретной задачи и т. п.
Теоретическая значимость исследования состоит в сконструированной методической системе обучения геометрии студентов первого курса педвуза и исследовании её основных компонентов, таких, как цели, содержание, профессионально-педагогическая направленность обучения математики в вузе, преемственность между школой и вузом, технология обучения; в выделении основных этапов работы над понятиями и теоремами вузовского курса геометрии, в раскрытии сущности этих этапов, в выделении действий, адекватным им; в разработке методики обучения геометрии студентов первого курса педвуза, включающей действия, эвристики, адекватные понятиям и теоремам, изучаемым в курсе геометрии.
Выводы, сформулированные в ходе проведённого исследования, расширяют существующие в настоящее время теоретические представления о методике изучения специальных математических дисциплин в педвузе, позволяют рассматривать в единстве формирование предметных знаний и методов их использования.
Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что разработанная автором методическая система обучения студентов первого курса педвуза может быть использована преподавателями математических дисциплин педвузов. Результаты исследований могут быть также использованы при составлении пособий для практических занятий со студентами,
сборников задач для студентов физико-математических факультетов, обу-
Ь чающихся по педагогическим специальностям.
Достоверность и обоснованность результатов и выводов, полученных в ходе проведённого исследования, обеспечиваются опорой на современные положения теории и методики обучения математике, с учётом деятельност-ной концепции обучения, применением методов исследования, адекватных его целям, задачам и логике, экспериментальной проверке выводов с использованием методов математической статистики.
На защиту выносятся следующие положения:
ш 1. Основу методики составляют закономерности функционирова-
ния методической системы обучения геометрии на первом курсе педагогического вуза, построенной в контексте деятельностного подхода, включающей в себя следующие компоненты: цели обучения геометрии, содержание обучения геометрии, преемственность между школой и вузом, профессионально-педагогическую направленность обучения математике в вузе, технологии обучения.
В качестве средств реализации методики формирования понятий, работы с теоремой на выделенных этапах выступают задачи, ориентирован-ные на овладение действиями, адекватными каждому этапу, и их совокупностью.
Мотивация введения понятий и работы с теоремой осуществляется путем использования практических задач с физическим содержанием, историко-математического материала, игровых форм работы и др.
Методика решения геометрических задач предполагает использование задач, решаемых разными методами, вспомогательных задач, а также включением задач, требующих проводить проверку правильности приведенного решения и др.
., На защиту выносятся также методические рекомендации к организации
г!'
и проведению некоторых форм занятий по геометрии в контексте деятельностного подхода.
Апробация основных положений и результатов исследования проводились через публикации статей и тезисов, в форме докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры алгебры и геометрии Балашовского филиала Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского (2000 - 2005 гг.), на ежегодных научно-практических конференциях молодых учёных «Актуальные проблемы науки и образования» (Балашов, 2002 - 2005 гг.), Всероссийской научной конференции «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика» (Саранск, 2002 г.), Всероссийской научной конференции «Предметно-методическая подготовка будущего учителя математики, информатики и физики» (Тольятти, 2003 г.), международной научной конференции «57 Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2004 г.). По теме исследования имеется 8 публикаций.
Внедрение разработанных методических рекомендаций осуществлялось в ходе экспериментальной проверки при проведении занятий по геометрии на первом курсе физико-математического факультета Балашовского филиала Саратовского государственного университета им. Н.Г. Черньїшевскої о.
Структура и содержание работы соответствует логике научного исследования. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений. Основное содержание изложено на 190 страницах машинописного текста. Библиография составляет 183 наименования.
Деятельностный подход в философии, психологии и педагогике
Понятие деятельности является центральным в деятельностном подходе. Наиболее общее определение деятельности дает философская трактовка. Деятельность рассматривается как «специфически человеческий способ отношения человека к миру, процесс творческого преобразования действительности, в котором человек выступает как субъект деятельности, а осваиваемые им явления мира - как ее объекты» [160, с. 23]. В процессе деятельности происходит становление человека, а также формирование человеческого общества и преобразование действительности.
Работы Р. Декарта, Г. Гегеля, И. Канта, Г. Лейбница, И. Фихте, Л. Фейербаха, К. Маркса и других философов легли в основу деятельностного под хода к научному познанию в философии. В философских взглядах Гегеля и
Декарта акцент сделан на утверждение Декарта: «Человек есть мыслящая вещь». Для Гегеля деятельность — прежде всего чистая деятельность мышле ния. Иммануил Кант считал источником деятельности самого человека. К. Маркс в качестве основы жизнедеятельности принимал трудовую деятельность. Им впервые была рассмотрена структура трудовой деятельности, включающая в себя саму деятельность (труд), предметы труда и средства труда. Таким образом, если в работах домарксистских философов понятие деятельности понималось в смысле формирующей активности субъекта, то для марксистской философии (диалектический материализм) характерно понятие деятельности как предметной, реализующейся в практике.
Широкое распространение идей деятельностного подхода к пониманию человека и его мира в нашей философии произошло в 60-70-е годы XX века. В работах философов Г.С. Батищева, М.С. Кагана, B.C. Швырева, Г.П. Щед-ровицкого, Э.Г. Юдина и других были исследованы различные аспекты деятельности, а также развиты идеи деятельностного подхода. Эти исследования послужили основой для разработки различных вариантов, реализующих деятельностный подход. В эти годы марксистко-ленинская идеология была господствующей как в нашей стране, так и в других странах социалистического лагеря. Основу данной идеологии составлял созерцательный подход к познанию, принцип «зеркального отражения», согласно которому познание рассматривалось как усвоение данных опыта, непосредственно очевидных фактов и т. д. Для работ философов этого периода характерно рассмотрение деятельности в качестве механизма, позволяющего реализовать специфически человеческий способ отношения человека к миру. В связи с этим идеи деятельностного подхода, развитые философами, противостояли господствующей идеологии. Это, по мнению В.А. Лекторского [87], послужило одной из причин непопулярности деятельностного подхода в нашей стране.
В XXI веке, при изменившейся политической и социально экономической ситуации в нашей стране, проблема деятельностного подхода вновь обретает свою актуальность. В последнее время на страницах журнала «Вопросы философии» развернулась дискуссия об актуальности идей деятельностного подхода в философии в настоящее время. По мнению исследователей, деятельностный подход в настоящее время выступает как общая философ 4 ско-мировоззренческая концепция отношения человека к миру
(В.С.Швырев); как один из способов, позволяющих решить проблемы человека и социального института (В.В. Громыко); позволяет понять условия и механизмы продвижения человека к свободе (B.C. Лазарев); использование его деятельностных представлений может дать результаты как в самой философии, так и в других науках о человеке (В.А. Лекторский) и др.
Понятие деятельности, сформированное в философии, послужило толчком для распространения идей деятельностного подхода в психологии.
Эта наука, по сравнению с другими, выдвинулась значительно вперед в анализе человеческой деятельности и достигла наиболее осязаемых результатов.
Психология исследует теоретическую модель деятельности, взаимосвязь деятельности, сознания и личности, механизм влияния деятельности на развитие возможностей человека, психологическую структуру различных видов деятельности, в том числе и учебной, и др. Возможно, именно поэтому многие ученые придерживаются мнения о том, что в психологии зародилось новое понятие, опирающееся на понятие деятельности и получившее впоследствии от него свое название - деятельностный подход.
В «Психологическом словаре» деятельностный подход определяется как «совокупность теоретико-методологических и конкретно-эмпирических исследований, в которых психика и сознание, их развитие и формирование изучаются в различных формах предметной деятельности субъекта, а у некоторых представителей деятельностные подходы рассматриваются как особые формы (виды) этой деятельности, производные от внешне практических ее форм» [133, с. 93].
Анализ научной литературы по проблеме исследования
Процесс становления вузовской педагогики относится к 60-м годам XX века. Методика обучения математике в высшей школе начинает свое развитие с 80-х годов XX века. В проблеме преподавания математических дисциплин в вузе можно выделить следующие направления: преподавание математических дисциплин в педвузе в контексте общих проблем вузовского преподавания; преподавание математических дисциплин в рамках профессионально-педагогической направленности; обучение математике в контексте рі з-личных методологических подходов и технологий обучения; обучение геометрии в вузе как самостоятельный объект исследования. Охарактеризуем каждое из выделенных направлений подробнее.
Проблема преподавания геометрии в педагогических вузах связана с общими проблемами вузовского образования. В работах Г.Н. Александрова, СИ. Архангельского, Л.Г. Вяткина, В.И. Загвязинского, СИ. Зиновьева, И.И. Кобыляцкого, Н.Д. Никандрова, И.Г. Огородникова, П.И. Пидкасистого, А.Г. Молибога и других рассмотрены общедидактические аспекты процесса обучения в вузе. Отказ от догматического характера обучения, который был свойственен высшей школе на протяжении ряда столетий и сводивший учебную деятельность студентов к механическому заучиванию информации, сообщаемой преподавателем, потребовал совершенствования обучения в высшей школе. Многие дидакты указывали на необходимость усиления внимания методам и средствам организации учебного процесса в вузе. Так, например, И.Г. Огородников [117], исследуя проблемы высшего педагогического образования, важной задачей высших учебных заведений считает повышение эффективности учебного процесса. Другие, в том числе И.Ф. Харламов [173] и Л.Г. Вяткин [39], большое значение придают использованию в процессе преподавания в вузе методики проблемного обучения. В. Каган и Н.Чебышев [177] видят повышение качества результатов обучения в использовании междисциплинарной интеграции изучаемых в вузе дисциплин. Н.Д. Никандров [111], Р.А. Низамов [109] и другие указывают на необходимость совершенствования лекционного преподавания. Авторами исследований особое внимание уделяется проблеме организации самостоятельной работы студентов в вузе. Необходимость такой работы обосновывают, в частности, сокращением часов на лекционные и практические занятия. Отдельные исследователи предлагают внедрить приёмы организации самостоятельной работы в процесс чтения лекционных курсов (Ф.А. Нерода [106] и др.).
Перейдем к рассмотрению работ, которые посвящены исследованию проблемы преподавания математических дисциплин в рамках профессионально-педагогической направленности. Вузовские курсы математического анализа, алгебры, геометрии и т. п. формировались под влиянием классического университетского образования, специфика подготовки учителя не закладывалась в структуру и оснащение курса. Работы, связанные с формированием профессиональной направленности студентов при изучении специальных математических дисциплин, относятся к 80-м годам XX века. Формирование профессиональной подготовки будущего учителя математики при изучении им специальных дисциплин математического цикла, в том числе и геометрии, нашли свое отражение в исследованиях как математиков, методистов, так и преподавателей, работающих в педвузах. Авторами конструируются различные методические модели и системы в рамках разных математических курсов. Так, одной из первых работ, в которых исследовалась проблема профессионально-педагогической направленности обучения студентов математике, является методическая модель изучения курса математического анализа педвуза, разработанная А.Г. Мордковичем [104]. Им предложены следующие принципы построения обучения студентов математическим дисциплинам: фундаментальности, бинарности, ведущей идеи, непрерывности. Методическая система обучения алгебре и теории чисел в педагогическом вузе с точки зрения профессионально-педагогического подхода (Г.Г. Хамэв [171]) рассматривается в единстве предметной подготовки и профессионально-педагогической направленности. В докторской диссертации Е.В. Силаева [156] исследована проблема совершенствования методической подготовки будущего учителя математики при изучении им систематического курса геометрии в вузе. Им были выделены приемы мыслительной деятельности при решении геометрических задач, которые, по мнению автора, выступают в качестве базы преподавания школьного курса геометрии. Следует отметить направление реализации профессионально-педагогической направленности обучения геометрии студентов педвузов в контексте развития личности (Н.И. Батьканова [21]). Предложенные пути реализации профессионально-педагогической направленности при изучении специальных математических дисциплин позволяют развивать элементы профессионализма, закладываемые в личность будущего учителя различными дисциплинами, способствуют формированию у студентов системного видения и мотивации для будущей педагогической деятельности и др.
Технологизация процесса построения и функционирования обучения в вузе занимает одно из первых мест среди многочисленных направлений развития высшей школы,. которые привлекли в последние два-три десятилетия особое внимание педагогов и работников высшей школы. Исследования В.М. Монахова, А.И. Нижникова, Е.В. Клименко и других акцентируют внимание на разработке технологий обучения, раскрывающих подходы к формированию профессионально-педагогической направленности при изучении математических дисциплин в вузе. Так, В.М. Монаховым [103] была разработана педагогическая технология проектирования траектории профессионального становления будущего учителя и технология проектирования учебного процесса. В работах А.И. Нижникова [108] на примере курса «Математического анализа» была предложена технология проектирования траектории профессионального становления учителя в условиях личностной ориентации образовательных систем. Особенности использования новых информационных технологий для интенсификации процесса обучения математике в технических вузах выявлены в диссертационной работе Е.В. Клименко [75]. Основное назначение разработанных для вуза технологий обучения, по мнению авторов, заключается в таком построении учебного процесса, который позволяет повысить информативную емкость содержания образования без увеличения времени на обучение.
Рассмотрим работы, затрагивающие вопросы обучения математике в контексте различных методологических подходов и технологий обучения. Методика обучения математике студентов педвузов разрабатывалась на основе применения подхода к изучению математики как науки о математических структурах (В.А. Тестов); генетического подхода (И.С. Сауфанов); персонализированного обучения (А.Г. Солонина); развития познавательной самостоятельности студентов (Г.И. Саранцев); реализации преемственности в обучении математических курсов (Ю.В. Сидоров, Л.Ю. Нестерова); совершенствования форм организации учебного процесса и самостоятельной работы студентов (Н.Л. Вельская, Л.Х. Цыбикова) и т. д.
Организация работы по формированию геометрических понятий у студентов педвуза
Формирование математических понятий является неотъемлемой частью математического образования будущих учителей математики и одной из составляющих системы научных знаний любого предмета. Различные точ-ки зрения на методику формирования понятий представлены во многих работах [58, 82, 97, 143 и др.]. В них были выделены этапы этого процесса, выявлено их содержание, разработаны условия их реализации, выделены типы упражнений, адекватных понятию и др. Однако большинство этих исследований в основном ориентированы на понятия, изучаемые в средней школе. Разумеется, нельзя механически переносить выделенные этапы формирования математических понятий из средней школы в высшую. Однако нельзя и полностью отказываться от них, особенно на первом курсе, так как это при водит к нарушению преемственных связей. Также неприемлемо изучение понятия начинать с его непосредственной формулировки с последующим переходом к решению задач. Неоправданное несоблюдение правил формирования понятий, в свою очередь, является одной из причин многочисленных ошибок, допускаемых учащимися в ходе практического применения. Ранее ( 1, п. 1.2, глава I) нами была рассмотрена деятельностная концепция формирования математических понятий Г.И. Саранцева. Идеи деятельностного подхода, применяемые к процессу формирования понятий, предполагают прежде всего конструирование методической концепции, основанной на представлении о понятии как специфической деятельности. В связи с этим основной задачей является конструирование структуры деятельности, адекватной математическим понятиям. Она составляется мотивацией введения понятия, ознакомлением с существенными свойствами понятия, усвоением определения поня тия, применением понятия, выяснением связей понятия с ранее изученными понятиями, конструированием новых понятии посредством логических операций с изученными. При этом приобретают ясную трактовку различные элементы деятельности.
Раскроем на примере геометрических понятий, изучаемых на первом курсе педагогического вуза, каждый этап, выделив действия, адекватные им в рамках построенной нами методической системы обучения. Высокая степень абстракции математических понятий требует особого внимания к их формированию. Важное место в этом процессе отводится начальному этапу в изучении понятий -мотивации. На этапе мотивации необходимо подчеркнуть важность открытия нового математического факта, показать целесообразность изучения данного понятия, возбудить интерес учащихся к изучению данного материала. Геометрические темы, изучаемые на первом курсе, позволяют использовать практические задачи с физическим содержанием. Одним из основных понятий, изучаемых студентами, является понятие вектора и операций над векторами. В курсе геометрии рассматриваются следующие основные операции над векторами: сложение, умножение на скаляр, скалярное и векторное произведение и т. д. Действия, производимые над векторами отражают соответствующие операции над векторными величинами в физике.
Например, определение действия сложения векторов имеет в своей основе сложение моментов сил по правилу параллелограмма; понятие произведения вектора на скаляр порождено идеей увеличения силы или скорости в не сколько раз; работа силы, характеризуемой вектором F, вдоль пути, длина и направление которого характеризуется вектором s и равна произведению величин этих двух векторов на косинус угла между ними, т. е. их скалярному произведению; векторное произведение применяется в некоторых вопросах теории электромагнитного поля, связанных с понятием момента силы и т. д.
Взаимосвязь аналитической геометрии с курсом физики позволяет активизировать этап мотивации посредством привлечения к изучаемому материалу сведений из смежных дисциплин. В качестве примера приведем неко торые задачи, которые могут быть использованы на практических занятиях по геометрии при изучении операций над векторами, на этапе мотивации введения понятия:
1. Два трактора, идущие с постоянной скоростью по берегам прямого канала, тянут барку при помощи двух канатов. Силы натяжения канатов =800Н и F2=960H, угол между канатами равен 60. Определить сопротивление воды, испытываемое баркой, если она движется параллельно берегам и известны углы а, Р между канатами и направлением движения. (Сумма векторов.)
2. К вершине куба приложены три силы, равные по величине соответственно 1, 2, 3 и направленные по диагоналям граней куба, выходящих из данной вершины. Найти величину равнодействующей этих трех сил и углы, образованные ею с составляющими силами. (Сумма векторов и скалярное произведение векторов.)
