Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА І. Теоретико-методологические основы
формирования научных понятий у старшеклассников при изучении начал математического анализа
1.1. Роль математического знания как элемента культуры в
становлении личностной картины мира старшеклассника
1.2. Теоретико-методологический анализ математических
понятий в системе математического знания
ВЫВОДЫ 77
ГЛАВА II. Психолого-педагогические основы развивающего обучения старшеклассников в личностно ориентированной системе обучения
Личностно-смысловая сфера учащихся в структуре развивающего обучения старшеклассников
Понимание как дидактическая категория личностно
ориентированного образования
2.3. Особенности структуры деятельности при деятельностно- 115
смысловом подходе к обучению
ВЫВОДЫ
ГЛАВА Ш. Характеристики деятельностно-смьіслового подхода при обучении старшеклассников началам математического анализа
ЗЛ. Закономерности деятельностно-смьіслового подхода в развивающем обучении старшеклассников математическим понятиям высокой степени абстрактности
3.2. Специфика деятельностно-смьіслового подхода при обучении старшеклассников началам математического анализа
ВЫВОДЫ 206
ГЛАВА IV. Методические основы реализации деятельностно-смьіслового подхода при обучении старшеклассников ведущим понятиям курса начал математического анализа
4.1. Дидактико-методические требования к реализации
деятельностно-смьіслового подхода при обучении
старшеклассников началам математического анализа
4.2. Основные условия деятельностно-смьіслового подхода к
обучению старшеклассников ведущим понятиям начал
математического анализа и их реализация в учебном процессе
ВЫВОДЫ 273
ГЛАВА V. Опытно-экспериментальная работа по реализации деятельностно-смьіслового подхода при обучении старшеклассников началам анализа
5.1. Этапы опытно-экспериментальной работы. Критерии и параметры эффективности
5.2. Содержание опытно-экспериментальной работы и анализ 286
ее результатов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 306
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЯ 345
Приложение 1. Серии задач 346
Приложение 2. Структурные схемы 360
Приложение 3. Материалы опросов учащихся 362
Приложение 4. Контрольно-измерительные материалы 363
Приложение 5. Школьный тест умственного развития 369
Приложение 6. Результаты проведенных измерений в
процессе опытно-экспериментальной работы
Приложение 7. Некоторые дидактические материалы 407
Приложение 8. Описание результатов ШТУРа 420
Введение к работе
Ведущей тенденцией современного образовательного процесса и педагогического сознания российского общества является переход к личностной парадигме в образовании, которая с одной стороны, связана с гуманистической традицией в отечественной философии и педагогике, с другой, - вызвана задачами современного общественного развития нашей страны.
Построение человеком научной личностной картины мира, определение им способов адаптации к быстро изменяющимся условиям среды, поиск путей реализации себя в жизни предполагает развитое теоретическое мышление и широкую образованность личности. В связи с этим на первое место выходит задача развития личности учащегося на основе его внутреннего потенциала и в соответствии с гуманистическими культурно-историческими и технологическими достижениями человечества. Решение этой проблемы в педагогической науке чаще всего связывается с переходом к личностно ориентированной образовательной парадигме.
Известны различные трактовки личностно ориентированного образования (Н.А. Алексеев, Е.В. Бондаревская, СВ. Кульневич, В.В. Сериков, А.П. Тряпицына, Г.А. Цукерман, И.С. Якиманская и др.), в которых специальное внимание уделяется становлению личностно-смысловой сферы обучаемых. При этом личностно ориентированное обучение трактуется как развивающее обучение. В этом случае развивающее обучение рассматривается как процесс создания условий для развития ученика, в результате которого отдельные его знания и умения перерастают в целостное новообразование. Ряд психологов (Е.Ю.Артемьева, Д.А. Леонтьев и др.) и педагогов (Е.В. Бондаревская, СВ. Кульневич, В.В. Репкин, В.В. Сериков, А.В. Хуторской и др.) доказали, что наибольшие возможности развития личности
предоставляются за счет переноса акцента с информационного на смысло-поисковое обучение.
Категория «смысл» занимает важное место в современной науке и,
прежде всего, в психологии. Так, Д.А. Леонтьев считает, что данная
категория может претендовать на роль центрального понятия, потому что
она находится на пересечении деятельности, сознания и личности.
Б.С. Братусь считает смысл фундаментом личности; в его исследованиях
показано, что в процессе становления личности ведущая роль
принадлежит так называемой смысловой вертикали - связной системе личностных смыслов. Смысловую вертикаль он соотносит с «утаенным планом сознания» Л.С. Выготского. Категория «смысл» и роль смысла в становлении личности нашли свое отражение также в работах А.А. Леонтьева, O.K. Тихомирова, их учеников и т.д.. В частности, Е.Ю. Артемьева, рассматривая смысл как след деятельности, полагает, что целесообразно в настоящее время обучение рассматривать как один из основных процессов, связанных с присвоением смыслов. Этот тезис приобретает особую актуальность при обучении старшеклассников началам математического анализа, что связано с абстрактностью учебного материала, использованием новой символики, новых математических идей (движения, непрерывного изменения, бесконечности и др.). Постижение идей математического анализа не может опираться только на «алгебраические» (дискретные) методы, оно предполагает опору на интуицию, жизненный опыт учащихся, выработку у них особого аналитического стиля мышления.
В педагогических исследованиях главным образом рассматривались ценностно-смысловые аспекты учебно-познавательной деятельности (Р.А. Утеева, Л.П. Разбегаева и др.), но практически не исследовался смысловой аспект приобретения учащимися личностного опыта в процессе усвоения учебного материала. Лишь в последнее время стали появляться работы, в которых выделяется «смысловой блок» в структуре мышления
7
(Н.Н. Егорова), анализируется его роль при обучении математике (5-6
классы). В образовательных стандартах и программах по математике в
перечне требований к уровню подготовки выпускников старшей школы
категория «смысл» упоминается лишь как знание и понимание
геометрического и физического смысла производной, интеграла, смысла
первообразной, но фактически речь идет о соответствующей
интерпретации таких понятий.
Рассматривая развитие личности в процессе деятельности, необходимо проанализировать соотношение понятий «смысл» и «деятельность», а также уточнить роль деятельности в личностно ориентированном обучении. Некоторые психологи (А.Г. Асмолов, Б.С. Братусь, В.П. Зинченко, Д.А. Леонтьев, А.С. Сухоруков и др.) выделяют две формы (предметная и смысловая) регуляции деятельности. Эти формы регуляции соотносятся с двумя фундаментальными характеристиками деятельности: предметностью и осмысленностью (В.П.Зинченко), предметностью и субъектностью (А.Г. Асмолов). Необходимо отметить, что обе стороны тесно связаны и даже возможны их взаимные трансформации; именно смысловая регуляция соединяет отдельные действия в целостную, значит, и эффективную деятельность.
В исследованиях, посвященных проблеме построения развивающей системы обучения математике через реализацию деятельностного подхода (Х.Ж. Танеева, В. А. Далингера, О.Б. Епишевой, А.В. Ефремова, Т.А. Ивановой, И.П. Лебедевой, В.В. Орлова, З.И. Слепкань и др.) основное внимание уделяется предметной регуляции деятельности по усвоению учебного материала и деятельности целеполагания. Кроме того, развивающий характер спроектированной системы обучения отслеживался в работах названных авторов в основном с помощью критериев качества усвоения материала. Проблемы влияния изучения математики на смысловую сферу личности рассматриваются в исследованиях А.Л. Жохова, И.В. Егорченко, В.М. Туркиной. Однако до сих пор в
8 исследованиях не рассматриваются смысловая подсистема деятельности, проблемы смыслообразования в процессе изучения математики. В то же время психические особенности старшеклассников, у которых превалируют процессы, связанные с постижением смысла жизни, своего места в обществе, поиск «глубинного» смысла явлений и событий, предопределяют адекватную организацию процесса обучения.
Таким образом, можно заметить, что существует, во-первых, противоречие между требованием организации учебного процесса с учетом ведущей роли смысловых структур и процессов в системах, регулирующих осуществление конкретной деятельности, и тем, что оно пока не нашло своего достаточного отражения в конкретных предметных методиках.
Необходимо отметить, что категории «смысл» и «значение»
рассматриваются как категории деятельностного подхода в работах
психологов Е.Ю. Артемьевой, Ф.Е. Василюка, В.П. Зинченко,
Д.А. Леонтьева, А.С. Сухорукова, O.K. Тихомирова и др., в педагогических
работах М.Е. Бершадского, О.Ф. Васильевой, А.А. Попова и
И.Д. Проскуровской и др.. Исследования, посвященные смысловой сфере личности, чаще всего выходят на связь категорий смысла и понимания. В настоящее время педагогическому аспекту процесса понимания уделяется все большее внимание. В частности, М.Е. Бершадский анализирует «понимание» как педагогическую категорию. В.П. Зинченко, рассматривая понимание как средство усвоения знаний, считает необходимым сделать его целью обучения. А.А. Попов и И.Д. Проскуровская предлагают рассматривать понятие «смысл» в качестве средства, организующего процессы понимания при обучении старшеклассников. В.М. Туркина выдвинула в качестве одного из требований к организации развивающего обучения математике (на материале 1-7 классов), требование организации «понимающего усвоения» математики, сделав акцент на понимание смысла математического материала. В связи с этим, во-вторых,
9 фиксируется противоречие между психологическим и педагогическим осмыслением категорий «смысл», «значение», «понимание», осознанием их роли в педагогическом процессе (особенно старшей школы, когда у учащихся идет активный процесс становления личностного «образа мира») и недостаточной исследоеанностъю их функций в конкретных предметных методиках.
Некоторые авторы, в частности В.В. Давыдов, пришли к выводу о том,
что деятельность, общение, диалог, знаково-символические системы
нужно рассматривать совместно. Это положение приобретает особую
актуальность при организации усвоения абстрактного учебного
материала (в частности начал математического анализа), где многие
проблемы связаны с недостаточной визуальной поддержкой абстрактных
математических понятий. С повышением уровня абстракции понятия
возрастает роль знака, символа, построения образа для его усвоения
(М.И. Башмаков, В.А. Далингер, Н.А. Резник, АЛ. Цукарь и др.), а также
процессов выявления его смысла. Отличительной особенностью курса
анализа является то, что он служит математической моделью описания
процессов непрерывного механического движения макротел. Однако в
школьном курсе начал анализа изучение ведущих понятий классического
анализа (функция, предел функции, непрерывность функции, производная
и первообразная) ведется дискретными «алгебраическими» методами;
основной упор делается на технику дифференцирования и выполнение
других, по сути «алгебраических» преобразований. Вследствие чего
обнаруживается, в-третьих, противоречие, между содержанием
материала, в котором главным является идея движения, процесса, и традиционной организацией его усвоения, где предпочтение отдается дискретным алгебраическим методам и знаковому представлению (воплощению) информации, не позволяющим в полной мере раскрыть содержательные и образовательные особенности предмета.
Многие философы, психологи, педагоги (А.В. Брушлинский,
Е.К. Войшвилло, Д.П. Горский, В.В. Давыдов, В.П. Зинченко,
Э.В. Ильенков, А.Н. Леонтьев, В.В. Мантатов, А.Л. Никифоров, Г.И. Рузавин, З.И. Слепкань, Н.Ф. Талызина, М.А. Холодная, А.В. Хуторской, Н.И. Чуприкова, С.А. Шапоринский, B.C. Швырев, А.И. Шимина и др.) отмечают ведущую роль понятий в построении индивидом собственной картины мира и определяющую роль понятийного мышления в становлении личности.
Широко известна трактовка учебной деятельности как деятельности в сфере научных понятий (В.В. Давыдов, В.В. Репкин и др.). Особенность оперирования математическими понятиями заключается в том, что в большинстве случаев учащиеся имеют дело с их знаковыми представителями (знаки как бы заменяют собой предметы). Подобное оперирование математическим понятием на «знаковом» уровне часто не способствует раскрытию сущности понятия, его внутренних отношений; постижению смысла явления или процесса, описываемого данным понятием.
Исследованиями отдельных психологов и педагогов (Р. Атаханов, Г.А. Берулава, В.В. Давыдов, Н.И. Чуприкова и др.) доказано, что теоретическое мышление (анализ, планирование, рефлексия) у большинства старшеклассников находится в стадии становления, а уровень его развития зачастую не соответствует задачам овладения абстрактным теоретическим материалом, характерным для учебного содержания курса алгебры и начал анализа. Вместе с тем, нацеленность учебной деятельности в практике развивающего обучения на усвоение теоретических знаний как системы научных понятий, открывает реальные пути для развития новых форм мышления и связанных с ними познавательных интересов личности.
Так, анализ результатов международного тестирования по математике в 1995 и 1999 гг. показал, что учащиеся нашей страны опережают
школьников других стран в применении известных алгоритмов, но
уступают при проверке понимания содержательного смысла
математических понятий и при решении задач. В сравнении с другими странами у российских школьников явно ниже результаты выполнения заданий, связанных с анализом информации, представленной в различной форме (таблицы, диаграммы, графики). Этот же вывод подтверждается результатами Единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике в 2002-2004 годах.
В данном случае, как нам представляется, можно отметить, в-
четвертых, противоречие между низким уровнем развития
теоретического мышления большинства старшеклассников,
необходимостью овладения учащимися абстрактным математическим содержанием и наличия развитого теоретического мышления для понимания окружающего, формирования собственного «образа мира», а также недостаточной проработанностью данного вопроса в педагогической теории и предметных методиках.
Таким образом, актуальность исследования вытекает из
необходимости разрешения перечисленных противоречий, что позволит сделать значительный шаг в направлении организации развивающего обучения старшеклассников. Проблема исследования: преодоление формализма знаний путем организации «понимающего усвоения» старшеклассниками начал математического анализа.
Следует отметить, что организация «понимающего усвоения» старшеклассниками начал математического анализа, в основе которого лежит постижение различных контекстов смысла учебного материала, в существующей психолого-педагогической и методической литературе не обсуждалась.
Методологический аппарат исследования включает объект, предмет, цель, гипотезу, ведущие задачи и методологическую базу исследования.
Объект исследования - процесс обучения старшеклассников началам математического анализа
Предмет исследования — деятельностно-смысловой подход в условиях развивающего обучения старшеклассников началам математического анализа.
Цель исследования: разработать и обосновать теоретическую и
экспериментальную эффективность концепции деятельностно-
смыслового подхода в контексте развивающего обучения
старшеклассников началам математического анализа.
Проблема исследования решалась на основе следующих теоретических положений.
1. Личностно ориентированное образование предполагает специальное
внимание к личностно-сл*ысловой сфере ученика, что возможно в случае
создания комфортных условий, позволяющих ученику раскрыть свой
внутренний потенциал: ситуация успеха, преодоление страха ошибки,
атмосфера взаимопонимания между учениками, между учителем и
учащимися и др.
Личностно ориентированное обучение рассматривается как развивающее: в предметной области «математика» приоритетным является умственное развитие. Необходимыми условиями того, чтобы обучение математике было развивающим, являются направленность обучения на развитие и становление ученика субъектом учения.
Основным структурным элементом процесса личностно ориентированного обучения является учебно-познавательная ситуация.
Категория «смысл» рассматривается как субъективно-объективная категория. Смысл выступает организующим моментом непрерывного мыслительного потока, реализующего отношение к явлениям действительности. Он интегрирует сознательное, разумное отношение к
13 действительности, выступает важным структурообразующим фактором развития (индивидуального и общественного) сознания.
Понимание и смысл теснейшим образом взаимосвязаны: понимание рассматривается как процесс поиска смысла; смысл - в качестве средства, организующего процесс понимания. Личностный смысл является продуктом процесса понимания и в этом заключен его развивающий потенциал.
Теоретическое мышление имеет системную природу и, значит, его формирование обладает значительным развивающим потенциалом.
Изучение в школе начал математического анализа призвано внести новые математические идеи в математическое образование старшеклассников: идеи движения, непрерывного изменения, линеаризации, близости, предельного перехода, бесконечного суммирования.
Понятия рассматриваются в двух аспектах: как ведущие компоненты учебно-познавательной деятельности, и как структурные компоненты мышления. Усвоение математических понятий и развитие теоретического мышления человека - взаимообусловленные процессы.
В процессе формирования математических понятий должны найти отражение их происхождение и развитие, смыслы и значения, возможные интерпретации, построение образа.
ЭТАПЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
1975- 1978гг.- практическое знакомство с проблемой в позиции учителя математики, ассистента кафедры математического анализа Барнаульского государственного педагогического института (БГПИ), руководителя педагогической практики студентов математического факультета БГПИ.
1978 - 1982гг.- работа в процессе выполнения кандидатской диссертации над различными подходами к формированию понятий предела и непрерывности функции при изучении старшеклассниками курса алгебры и начал анализа в школе.
1982 - 1992гг. - изучение состояния школьной и вузовской практики по исследуемой проблеме; поиск направлений решения проблемы на основе анализа философской, психолого-педагогической, математической и методической литературы. Разработка комплекса диагностических материалов; определение концептуальных основ проектирования содержания курса алгебры и начал анализа и условий его реализации; апробация концептуальных подходов в преподавании начал математического анализа в средних общеобразовательных учреждениях г. Барнаула, в Алтайском краевом институте повышения квалификации работников образования (АКИПКРО) и в БГПИ.
Период 1992 - 2001гг. разбивается на несколько этапов: (1992 -1995гг.) проводился анализ научной литературы по проблеме, определялись методологические основы исследования, осмысливался собственный опыт работы в школе и педагогическом вузе, проводились пробные эксперименты в лабораторных условиях (в Алтайском краевом педагогическом лицее). Далее (1995 - 1999гг.) сформулированы основные теоретические положения, определена концепция исследования, определены цели экспериментов различных типов. Результатом данного периода стало создание теоретической концепции деятельностно-смыслового похода при обучении старшеклассников началам математического анализа. В это же время продолжалась опытно-экспериментальная работа, разрабатывались и получили апробацию экспериментальные материалы и учебное пособие; осуществлялось внедрение результатов исследования в ходе личного опыта преподавания в школе и вузе, а также в ходе проведения эксперимента учителями математики, работавшими под руководством автора. Затем (1999 - 2001гг.) осуществлялась корректировка разработанной методики с учетом результатов опытно-экспериментальной работы; методика применялась в классах различных профилей, обобщались и анализировались полученные результаты. Проводимая корректировка была направлена на выявление и
15 уточнение основных положений методики «понимающего усвоения» предмета. Наконец, 2001— 2004гг. - проведение контрольно-проверочного эксперимента и оформление исследования в форме диссертационной работы.
Результаты опытно-экспериментального исследования были
подвергнуты комплексной многоуровневой обработке математико-статистическими методами.
В результате теоретического и экспериментального исследования были сформулированы основные положения теоретической концепции исследования.
Развитие личности в обучении осуществляется за счет формирования теоретического мышления и овладения обобщенными способами деятельности, обогащения смысловой сферы личности новыми смыслами, приобретения нового личностного опыта в процессе преодоления противоречий.
Учебно-познавательные ситуации организуются как средство преодоления противоречия между наличным опытом и новыми фактами. Под учебно-познавательной ситуацией мы понимаем некоторое относительно устойчивое состояние процесса обучения, содержащее осознаваемое всеми участниками противоречие, разрешение которого важно для их совместной деятельности. В процессе развертывания ситуации осуществляется целенаправленное взаимодействие двух субъектов обучения (учителя и учащегося), ведущее к осознанному, «понимающему усвоению» учащимся содержания образования и способствующего развитию теоретического мышления учащегося.
Обучение в старшей школе целесообразно рассматривать как один из основных процессов, связанных с присвоением смыслов. С учетом субъект - объектной природы категорий «смысл» и «деятельность учения» при выборе трактовки понятия «смысл» в обучении математике целесообразно учитывать ряд аспектов. Первый - логико-семиотический, в
соответствии с которым «смысл» есть содержание знакового выражения. Второй — структурно-предметный: «смысл» — система связей элементов структуры, позволяющая соотнести содержание каждого отдельного свойства с целостностью. Постижение смысла связано с выявлением основной идеи понятия и установлением существенных (содержательных) связей между ними. Третий- личностный, отражающий субъективно устанавливаемые и личностно переживаемые связи между людьми, предметами и явлениями, окружающими человека в пространстве и времени, в частности при изучении математики.
«Понимающее усвоение» математики предполагает: постижение различных аспектов (логико-семиотический, структурно-предметный и личностный) смысла математических понятий (фактов); направленность процесса обучения математике на приобретение личностного опыта (соотнесение нового с наличным опытом; осмысление деятельностной предыстории понятия; личностное отношение к понятию, включая эмоциональный опыт; опыт оперирования им).
Из системной природы теоретического мышления следует, что содержание учебного материала целесообразно структурировать генетически: от неразвитых простых образований, содержащих в себе все потенции перехода, к развитой целостной системе.
Для постижения идей курса начал математического анализа недостаточно алгебраического метода изучения. Необходимо организовать осмысление ведущих идей с новых аналитических позиций, связанных с постижением смысла явлений (процессов), описываемых основными понятиями математического анализа. Только при этом условии возможно не формальное, а «понимающее усвоение» предмета, что в свою очередь обеспечит развивающий эффект обучения.
Основные понятия математического анализа являются понятиями высокого уровня абстракции, изучение которых связано с введением новой системы обозначений. Тем самым для организации осознанного
17 усвоения этих понятий возникает необходимость интеграции различных форм представления знаний, раскрытия семиотики математического языка; организации перевода содержания изучаемых фактов со словесно-символического языка на язык образов и обратно.
8. Осознанное усвоение учебного материала, его понимание базируется на личностном опыте учащихся. Средством его актуализации, установления содержательных связей с новым материалом служит повторение, которое организуется с учетом различных смысловых контекстов вводимого нового понятия.
Гипотеза исследования состоит в предположении: развивающее обучение старшеклассников началам математического анализа на основе разработанной концепции деятельностно-смыслового подхода, опирающаяся на:
образовательный потенциал математики как элемента человеческой культуры;
специфику понятий начал математического анализа как структурного элемента математического знания;
обусловленность развития личности развитием теоретического мышления и осознанным усвоением учебного содержания;
выявление смысловой составляющей ведущих понятий начал математического анализа и путей включения ее в личностный опыт учащихся;
использование различных форм представления математических фактов (вербальной, знаково-символической, графической),
будет способствовать преодолению формализма в знаниях учащихся и «понимающему усвоению» математики.
Достижение поставленной цели и проверка сформулированной гипотезы предполагают решение следующих задач:
Проанализировать основные теоретико-методологические подходы к развивающему обучению старшеклассников в предметной области «математика».
Выявить основные противоречия, возникающие в процессе личностно ориентированного обучения старшеклассников в предметной области «математика».
Обосновать теоретико-методологические и психолого-педагогические основы разработанной концепции деятельностно-смыслового подхода к обучению старшеклассников началам математического анализа в контексте развивающего обучения математике.
Выделить особенности математического знания, направления и состояние разработанности вопросов методики обучения старшеклассников началам математического анализа в психолого-педагогической и методической литературе, в практике работы школы.
Разработать концептуальные основы деятельностно-смыслового подхода в контексте развивающего обучения старшеклассников началам математического анализа, выявив и обосновав его дидактико-методические закономерности.
Обосновать требования к реализации разработанной концепции обучения старшеклассников началам математического анализа, ее особенности и условия.
Осуществить экспериментальную проверку эффективности обучения старшеклассников началам математического анализа на основе разработанной концепции, отслеживая влияние такого обучения на достижение учащимися понимания при усвоении абстрактного учебного материала; умственное развитие учащихся и приобретение ими нового личностного опыта.
В структуре методологической базы настоящего исследования выделим несколько уровней.
На философском уровне — это общие принципы познания и категориальный строй науки в целом, положения гуманистической философии (А.Г. Аллахвердян, Э.В. Ильенков, Б.М. Кедров, С.Д. Лобанов, А.Ф. Лосев, Г.И. Рузавин, А.Л. Никифоров, Г. Фреге и др.).
На общенаучном уровне - это теоретические концепции, применяемые к большинству научных дисциплин: системный подход (И.В. Блауберг, А.И. Уемов, Э.Г. Юдин и др.); личностный подход; деятельностный подход (Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, С.А. Рубинштейн, Г.П. Щедровицкий и др.), культурологический подход (Е.В. Бондаревская, СИ. Гессен и др.); диалогический подход (B.C. Библер и др.).
На конкретно-научном уровне — идеи целостного системного подхода к рассмотрению педагогического процесса и педагогических явлений (В.А. Ганзен, B.C. Ильин, В.В. Краевский, И.Я. Лернер, В.Я. Ляудис, В.А. Сластенин и др.); психолого - педагогические концепции развивающего обучения (В.В. Давыдов, Л.В. Занков, Д.Б. Эльконин, И.С. Якиманская и др.); теории общения и учебно-познавательной деятельности (А.В. Брушлинский, В.В. Давыдов, П.Я. Гальперин, А.Н. Леонтьев, А.А. Леонтьев, Д.А. Леонтьев, Н.Ф. Талызина и др.): личностно ориентированного обучения (Е.В. Бондаревская, В.В. Сериков, И.С. Якиманская и др.).
В работе мы опирались на исследования по теории и методике обучения математике, связанные с проектированием содержания школьного курса математики (Н.Я. Виленкин, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, А.В. Ефремов, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович и др.); с формированием мировоззрения школьников на уроках математики (Б.В. Гнеденко, А.Л. Жохов, А.И. Маркушевич и др.); с особенностями учебной деятельности в предметной области «математика» (М.И. Башмаков, О.Б. Епишева, В.А. Крутецкий, Е.И. Лященко, З.И. Слепкань, А.А. Столяр и др.), с проблемами усвоения естественнонаучных и математических понятий (А.В. Усова, Г.И. Саранцев и др.), с
20 обучением решению задач (В.А. Далингер, Е.С. Канин, Ю.М. Колягин и
ДРО-
Использованные методы исследования:
теоретические — историко-логический и сравнительно-сопоставительный анализ, обобщение, анализ научной литературы;
- эмпирические — изучение и обобщение педагогического опыта (анкетирование, наблюдение, собеседование), опытно-экспериментальная работа в различных формах; количественные и качественные методы обработки результатов исследования.
Апробация осуществлялась в ходе
многолетнего преподавания курса математического анализа в педвузе;
двенадцатилетней работы автора в школе (Алтайский краевой педагогический лицей);
обобщения опыта педагогической деятельности учителей математики школ города Барнаула и Алтайского края, работающих под руководством автора;
чтения лекций для учителей математики в Алтайском краевом институте повышения квалификации работников образования (АКИПКРО).
Апробация теоретических положений и результатов исследования осуществлялась на Международных и Всероссийских научно-практических конференциях «Герценовские чтения» (г. Санкт-Петербург) (ежегодно с 1993 по 2003гг). Основные положения диссертационного исследования докладывались на Международном конгрессе ЮНЕСКО «Образование и наука на пороге третьего тысячелетия» (Новосибирск-Барнаул, 1995), на Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы непрерывного педагогического образования» (г.
21 Санкт-Петербург, 1996), на Всероссийской научной конференции «Организационно-управленческие инновации в системе педагогического образования» (Барнаул, 1999), на Всероссийских конференциях по актуальным проблемам методики преподавания математики (Барнаул, 2001, 2003), на IY Всероссийской межвузовской научно-практической конференции «Психодидактика высшего и среднего образования» (Барнаул, 2002), на XYIII Всероссийском семинаре преподавателей математики вузов «Содержание и методы обучения математике в школе и вузе на рубеже столетий: исторический и методический аспекты» (Брянск, 1999),.на XXI Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики» (Санкт-Петербург, 2002), на научно-методическом семинаре в Омском государственном педагогическом университете (2002, 2003).
В работе использованы результаты, полученные в процессе исследования, осуществленного в рамках гранта Министерства образования РФ в области педагогики «Интеграция различных форм представления математических фактов в процессе обучения математике в инновационной школе», шифр 97-28-2.13-45 (1997-2000годы, руководитель авторского коллектива). В составе авторского коллектива нами получен грант Министерства образования РФ конкурса КИМов (контрольных измерительных материалов) по математике для ЕГЭ - 2004 года (Федеральная программа развития образования по направлению «Федеральные экспериментальные площадки для введения Единого государственного экзамена» в соответствии с государственным контрактом от 2.04.03 №231 и договором AT 1/ 03 от 03.04.2003).
Внедрение результатов исследования осуществлялось по следующим направлениям:
непосредственная педагогическая деятельность соискателя в Алтайском краевом педагогическом лицее и школах города Барнаула;
консультирование в инновационных образовательных учреждениях;
реализация разработанных материалов через систему повышения квалификации и переподготовки педагогических кадров;
руководство постоянно действующими районными семинарами работников образования г. Барнаула;
разработка методических рекомендаций и использование их в учебном процессе школ г. Барнаула, Алтайского края и БГПУ;
руководство дипломными, магистерскими и диссертационными исследованиями соискателей и аспирантов по специальности 13.00.02-теория и методика обучения и воспитания (математика). Под руководством автора защищены две магистерские диссертации по различным аспектам рассматриваемой проблемы (И.Г. Борисова, Т.В. Ломанчук); ведут диссертационные исследования четыре аспиранта.
Научная новизна исследования состоит в разработке и обосновании нового направления в методике развивающего личностно ориентированного обучения старшеклассников математике - концепции деятельностно-смыслового подхода в контексте развивающего обучения старшеклассников началам математического анализа. В связи с этим:
выделены основные противоречия личностно ориентированного обучения старшеклассников в предметной области «математика», свидетельствующие о целесообразности использования названного подхода;
обоснована необходимость интеграции методологической, психологической, педагогической и методической составляющих решения проблемы преодоления формализма в знаниях путем организации «понимающего усвоения» старшеклассниками начал математического анализа;
выделены особенности предметного содержания курса начал математического анализа, учет которых способствует организации развивающего обучения старшеклассников и осознанному усвоению учащимися учебного материала;
сформулированы и обоснованы основные положения и закономерности концепции деятельностно-смыслового подхода в контексте развивающего обучения старшеклассников началам математического анализа, доказана эффективность процесса обучения началам анализа, построенного с учетом выделенных закономерностей;
уточнены понятия «понимающее усвоение» математики, «учебно-познавательная ситуация» при обучении математике старшеклассников, «актуализированный способ» формирования абстрактного математического понятия;
выделены аспекты категории «смысл», постижение которых целесообразно использовать для организации «понимающего усвоения» абстрактных понятий начал математического анализа;
выделены функции символизации при обучении старшеклассников началам математического анализа, реализация которых способствует постижению различных аспектов смысла изучаемых понятий;
выявлены умственные действия, овладение которыми дает учащимся возможность использовать учебно-познавательные ситуации для осмысленного усвоения нового знания;
разработана и экспериментально проверена методика обучения старшеклассников началам математического анализа на основе деятельностно-смыслового подхода.
Теоретическая значимость результатов исследования:
разработано теоретическое обоснование концепции деятельностно-
смыслового подхода в контексте развивающего обучения
старшеклассников началам математического анализа;
получил развитие понятийный аппарат методики обучения началам
математического анализа; при этом уточнены понятия
«понимающее усвоение» математики, «учебно-познавательная
ситуация» при обучении математике старшеклассников,
«актуализированный способ» формирования математического
понятия;
выделены аспекты категории «смысл» {логико-семиотический,
структурно-предметный и личностный), обоснована
целесообразность их использования в развивающем обучении
старшеклассников математике;
раскрыты новые пути реализации развивающей функции обучения
математике старшеклассников и способы организации
«понимающего усвоения» абстрактных понятий в школе
(воплощение идеи единства предметной и смысловой регуляции
деятельности при усвоении школьниками абстрактных
математических понятий; создание учебных ситуаций, содержащих
противоречия, преодоление которых способствует постижению
смысла математических понятий и фактов, формированию общих
приемов учебно-познавательной деятельности, развитию
теоретического мышления учащихся).
Практическая значимость исследования:
1. Результаты исследования внедрены в практику работы педагогических (математических) классов школ города Барнаула и Алтайского края (программа для математических классов педагогического лицея опубликована в приложении «Математика» к газете «Первое сентября», 1994, №18). Данная программа реализуется во многих профильных классах школ города и края.
2. Разработано методическое обеспечение для реализации деятельностно-смыслового подхода в контексте развивающего обучения старшеклассников началам математического анализа. Основные
25 материалы представлены в авторских методических пособиях, которые активно используются учителями математики школ г. Барнаула и Алтайского края.
3. Дано обоснование эффективности (подтвержденной педагогическим
экспериментом) использования данного подхода в школьной практике. В
частности, обучение на основе разработанного подхода дает
положительную динамику качества усвоения учащимися учебного
материала и способствует их умственному развитию, что подтверждается
результатами опытно - экспериментальной работы и результатами ЕГЭ по
Алтайскому краю.
4. Разработаны учебные материалы (задачи и задания к ним,
лабораторные, самостоятельные и контрольные работы); примеры
диалогового построения обучения с учетом закономерностей и специфики
реализации деятельностно-смыслового подхода к обучению началам
анализа.
5. Подобраны и сконструированы задачи, направленные на постижение
смысла изучаемого абстрактного понятия, что способствует умственному
развитию личности средствами предметного содержания. Данные
материалы опубликованы в учебных пособиях автора.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются:
адекватностью применения современной научной методологии, опорой на фундаментальные психолого-педагогические и методические исследования;
согласованностью методологических, психолого-педагогических и методических положений, составляющих концепцию исследования, их адекватностью целям, предмету и задачам исследования и соответствием концепциям базисных наук;
26 - экспериментальной проверкой всех основных теоретических выводов и апробацией соответствующих материалов в школах различных типов и классах различных профилей; критической оценкой результатов;
применением методов математической статистики с целью определения статистической надежности и достоверности полученных количественных показателей.
Положения, выносимые на защиту:
1. Концепция деятельностно-смыслового подхода в контексте
развивающего обучения старшеклассников началам математического
анализа интегрирует следующие составляющие:
методологическая - отражающая идею единства деятельности и познания (в процессе ее осуществления формируются абстрактные математические понятия, их значения и смыслы);
психологическая - отражающая принцип единства наглядно-действенного, наглядно-образного и словесно-логического мышления в процессе познания; принцип взаимосвязи предметно-понятийной и смысловой регуляции деятельности, которые играют роль развивающего фактора в процессе обучения; психологию смысла;
педагогическая - базирующаяся на идее смысло-поискового обучения и принципе преемственности, последовательности и систематичности обучения, отражающем объективно существующие этапы познания;
методическая - построенная на идее организации процесса обучения в виде последовательности учебно-познавательных ситуаций, соответствующих основным этапам процесса формирования математических понятий.
2. Концепция деятельностно-смыслового подхода в контексте
развивающего обучения старшеклассников началам математического
анализа призвана служить основой обучения, ориентированного на
27 «понимающее усвоение математики» старшеклассниками при изучении ими начал математического анализа. При этом необходимо учитывать следующие закономерности:
системно-генетическое построение содержания (структурирование учебного содержания на основе системообразующего понятия курса; выделение основного образовательного объекта темы и образовательных идей двух уровней);
использование различных форм представления знаний;
сопутствующее повторение (как средство установления содержательных связей между новым понятием и усвоенными ранее);
вариативность процесса обучения (уровневая и профильная дифференциация; возможность изменения уровня строгости изложения материала и выбора вида деятельности учащимся);
интерактивное и комфортное обучение школьников.
Данная концепция является отражением личностно ориентированной парадигмы в современном образовательном процессе.
3. К основным дидактико-методическим требованиям реализации деятельностно-смыслового подхода к обучению старшеклассников началам математического анализа относятся:
построение процесса обучения как последовательности взаимосвязанных учебно-познавательных ситуаций;
осуществление актуализированного способа формирования математических понятий (при раскрытии содержания понятий) на основе выявленного опыта учащихся по данной проблеме и направленного на постижение различных контекстов смысла понятия;
выявление структуры учебной деятельности и использование двух форм её регуляции: предметно-понятийной и смысловой при формировании математических понятий;
выявление средств и приемов организации «понимающего усвоения»
абстрактных математических понятий (диалог, интерпретация абстрактных
понятий, рефлексия и др.).
Выполнение перечисленных требований отвечает целям личностно ориентированного образовательного процесса, будет способствовать преодолению формализма знаний учащихся, повысит качество усвоения учебного материала и создаст условия для развития учащихся.
4. Условиями реализации деятельностно-смыслового подхода при обучении математике старшеклассников являются:
выделение смысловых элементов деятельности в процессе формирования математических понятий с учетом установленных аспектов категории «смысл» при обучении математике;
применение диалога как ведущего метода осмысления учебного материала в развивающем обучении школьников началам анализа;
использование различных форм представления содержания понятия через целенаправленную организацию знаково-символической деятельности учащихся;
обучение моделированию реальных ситуаций через различные интерпретации абстрактного математического понятия (задания на творческий поиск возможных истолкований нового знания);
коррекция старшеклассниками собственной учебно-познавательной деятельности через рефлексию полученных знаний и приобретенного опыта в данной предметной области;
решение специально подобранных задач, направленных на актуализацию опыта учащихся по рассматриваемой проблеме, выявление смысловых контекстов понятия и применение понятия;
организация информационно-коммуникационной предметной среды при выполнении лабораторных работ и специальных творческих заданий по математике;
использование информационно-коммуникационных средств как инструмента визуализации изменяющихся процессов, описываемых в курсе начал анализа.
5. Эффективность деятельностно-смыслового подхода (организация понимающего усвоения начал математического анализа) возможна только при соблюдении сформулированных выше закономерностей, требований и условий.
зо ГЛАВА І. ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ НАУЧНЫХ ПОНЯТИЙ У
СТАРШЕКЛАССНИКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ НАЧАЛ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
1.1. РОЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ КАК
ЭЛЕМЕНТА КУЛЬТУРЫ В СТАНОВЛЕНИИ
ЛИЧНОСТНОЙ КАРТИНЫ МИРА СТАРШЕКЛАССНИКА
Путь совершенствования человеческого сообщества неотделим от совершенствования самого конкретного человека и его творческих способностей, а для этого нет другого пути, кроме как обогащения своего мышления и памяти «знанием всех тех богатств, которое выработало человечество».
Идею интеграции естественно-научной и личностной картины мира высказывает, например, В.М. Симонов [256]. Целью естественно-научного образования при этом становится формирование у обучаемых целостного представления о месте, роли и ответственности человека за целостный космогенез. Множественность картин мира, принцип дополнительности становятся в этом случае динамическими критериями построения образования.
Построение индивидуумом научной личностной картины мира предполагает становление развитого мышления. Философ А.В. Иванов [129] выделяет пять важнейших форм повторения истории мышления в умственном онтогенезе индивида: а) бессознательная; б) довербальная неосознаваемая; в) вербально-смысловая, которая может быть как неосознаваемой, так и сознательной формой повторения филогенеза человеческого ума; г) воспроизведение истории мышления в форме систематического (школьного) образования; д) теоретико-рефлексивная
форма повторения. Эти пять последовательных форм воспроизведения филогенеза мышления в онтогенезе подчиняются действию принципа диалектического отрицания, где каждая более высокая форма отрицает предыдущие и в тоже время вбирает их в себя в качестве подчиненного момента.
В философии традиционно выделяются две основные стратегии логико-понятийного познания (соответственно — теоретического мышления): рассудок и разум. Проблема эмпирического или теоретического знания была поставлена в теории познания еще Гегелем. Различая эти типы мышления, он называл их рассудком и разумом. Анализ соотношения между рассудком и разумом имеет давние традиции обсуждения (Николай Кузанский, И. Кант, Г. Гегель, К. Маркс и продолжается поныне -Э.В. Ильенков, Н.С. Автономова, А.В. Иванов).
Рассудочное мышление доминировало в европейской науке и философии XVII - XIX веков и было связано с эмпирической стадией развития естествознания, олицетворяемого механистической галилеево-ньютоновской картиной мира. К отличительным свойствам рассудка А.В.Иванов [129] относит: 1) оперирование четко определенными вербальными понятиями со стремлением установить жесткие родовидовые связи между ними; 2) направленность на выделение абстрактно-всеобщих связей реальности и отвлечение от всего случайного, единичного; 3) доминирование опытно-эмпирических и аналитических методов исследования по сравнению с синтетическими методами; 4) запрет на существование каких-либо противоречий в бытии и соответственно в познающем мышлении; 5) отсутствие развитой рефлексивно-критической установки и вытекающий отсюда интеллектуальный «соблазн» приписать объективному миру ту систему научных абстракций и теорий, которые порождены идеальной деятельностью ученых. Именно рассудочное мышление лежит в основе «научного мифотворчества» и интеллектуальной нетерпимости.
Вместе с тем этот тип мышления имеет достаточно широкую сферу применения: он позволяет в целом успешно ориентироваться в обычном для человека предметном мире. Кроме того, такое мышление достаточно для соотнесения одних предметов с другими, для выделения сходных и различных признаков и т.д., то есть в повседневной жизни. Но существенным ограничением данного типа мышления является то, что оно не может раскрыть сущность явления, установить внутренние связи и закономерности.
Только диалектический разум - высший уровень логико-понятийного мышления - способен теоретически преодолеть ограниченность и мифологемы рассудка.
Именно диалектический разум направлен на целостное познание объекта во всех его связях и опосредствованиях. Разум не игнорирует единичные или случайные свойства, а нацелен на поиск «конкретно-всеобщих законов развития, определяющих генезис и бытие единичных вещей» [129, С. 97]. К отличительным чертам разумного познания относят создание синтетических идей и теорий, учет противоречивых связей развивающихся объектов и, более того, признание необходимости наличия диалектических противоречий в развертывании теоретического мышления. Разумному логико-понятийному познанию присущи рефлексия над предпосылками и условиями собственной познавательной деятельности, критическое соотнесение построенной идеальной модели с существующим миром, диалогичность и возможность корректировки своей интеллектуальной позиции под воздействием мира и доказательных доводов оппонентов.
Представляет интерес характеристика рассудочного и разумного мышления, данная B.C. Швыревым: «...рассудочное мышление- это деятельность в парадигме. Ее горизонт, пределы ее возможностей определяются явной или неявной системой исходных принципов и посылок научного мышления на данном этапе его развития. Разумное же
33 мышление- это мышление, способное критически отнестись к основаниям парадигмы, к явным или неявным исходным посылкам познавательной деятельности на данном уровне ее развития и превзойти этот уровень, расширив горизонт познания благодаря расширению и углублению своих исходных принципов» [318, С. 206].
Несколько с иной стороны к описанию теоретического (разумного) познания подходит психолог: «Всякое теоретическое познание,- пишет Л.С. Рубинштейн,- начинается с констатации фактов, отдельных случаев, с эмпирических данных, и ни с чего другого начинаться не может. Но если познание, не ограничиваясь набором частных случаев, углубляется в их анализ, связанный с абстракцией, и переходит к основанному на них обобщению, оно на известном уровне анализа переходит с внутренней необходимостью в познание теоретическое: это последнее дает новые знания о независимой от нее реальной действительности, недоступные знанию, остающемуся на уровне эмпирических констатации» [239, С. 164].
Известный логик В.А. Смирнов выделяет в проблеме «теоретическое и эмпирическое» две разные проблемы: проблема чувственности и мышления и проблема уровней знания, проблема эмпирического и теоретического знания. Во второй проблеме он выделяет ряд вопросов. К первому он относит вопрос о подразделении утверждений по типу информации. В.А. Смирнов разделяет их на три группы: 1) предложения, описывающие факты; 2) предложения, выражающие регулярности; 3) предложения, выражающие законы, номологические высказывания. «Второй вопрос- вопрос о терминах, в которых формулируются предложения. Считается, что некоторым нелогическим терминам можно дать непосредственную интерпретацию, сопоставить им достаточно бесспорным образом их значение, а другим терминам дать непосредственную интерпретацию нельзя. Первые обычно называют терминами наблюдения, вторые- теоретическими терминами... на этой основе могут быть подразделены и предложения: 1) предложения, не
34 содержащие теоретические термины; 2) предложения, содержащие теоретические термины» [265, С. 236].
В то же время обе названные выше проблемы в «эмпирическом и теоретическом» тесно взаимосвязаны. В эмпирическом познании объект отражен со стороны его внешних связей и проявлений, доступных живому созерцанию. Эмпирическим путем постигается явление, но не его сущность. Теоретическое познание отражает объект со стороны его внутренних связей и закономерностей движения, постигаемых путем рациональной обработки данных эмпирического знания (см. [117]). Аналогичную мысль высказывает В.В. Мантатов: «Теория имеет своей задачей не описание фактов, а адекватное отображение сущности вещей, фундаментальных законов природы. Способом теоретического воспроизведения целостного объекта является метод восхождения от абстрактному к конкретному» [193, С. 116]. Теоретический способ познания связан с содержательным обобщением, и его цель — раскрыть сущность явления.
Восхождение от абстрактного к конкретному есть метод теоретического изображения сущности объекта во всей его конкретной целостности и развитии.
Отметим,-что многие представители естественных наук, характеризуя стиль научного мышления той или иной эпохи, связывают его с определенными философскими положениями. Так, М. Борн выделяет три «философских» периода в истории науки, основанием выделения которых является разделение субъекта и объекта при описании явлений природы. Первый период- «античный стиль», который характеризуется как антропоцентристский; второй период- «ньютоновский стиль», который характеризуется противопоставлением субъекта и объекта познания; третий период - «новый стиль мышления», он связан с введением вероятностных представлений и подчеркиванием активности субъекта [44, С. 266].
Основным отличием теоретического знания (ему соответствует теоретическое или разумное мышление) от эмпирического B.C. Швырев считает «превращение знания в особую реальность, становящуюся предметом специального рода деятельности» [318, С. 112]. Он отмечает, что первой областью науки, развивавшейся в форме теоретического знания, стала математика, математика пифагорейцев. Именно в пифагорейской школе понятие «число» приобрело мировоззренческий статус, став первым идеальным объектом зарождающейся науки. Число из средства решения практических задач, связанных с земными потребностями людей, превращается в ключ к проникновению в сущность мироздания. «Этот перенос числа из области практического сознания в сферу мировоззрения стал важным условием превращения его в идеальный объект, что в свою очередь оказалось предпосылкой формирования математики как теоретической дисциплины» [318, С. 113].
Обратим внимание и на то, что один из вариантов происхождения слова «математика», о котором пишет А. Азимов, от греческого слова «mathein» — учиться, познавать. «Древние греки вообще считали математику (mathematike) и науку, познание (mathema) синонимами» - отмечает А. Азимов [3, С Л 58].
Известно, что «система абстрактных объектов, предварительно обоснованных в качестве идеализированной модели объективно-реальных взаимодействий, образует основное ядро, концептуальный фундамент той или иной естественнонаучной теории. Она выявляет структурные характеристики, существенные свойства изучаемой предметной области.
В свою очередь, эта взаимосогласованная сеть абстрактных объектов служит своеобразным посредником между математическим аппаратом теории, научной картиной мира и физическим экспериментом, обеспечивая переход к эмпирической и категориальной интерпретации» [193, С. 59-60].
Способность математики отображать поведение физической Вселенной всегда удивляла ученых всех времен. Великий астроном XVII века Иоганн
36 Кеплер, открывший законы движения планет, считал, что все законы мироздания записаны на языке искусства геометрии. Немецкий физик XIX века Генрих Герц, доказавший опытным путем существование радиоволн и подтвердивший уравнения электромагнетизма Д.К. Максвелла, говорил о невозможности избавиться от ощущения, что эти математические формулы мудрее человека, их открывшего. Одним из самых выразительных примеров успешного применения математического мышления в физике является эйнштейновская теория гравитации (общая теория относительности), в которой использована теория неевклидовых пространств. Общая теория относительности, квантовая механика-открытия, решающими в которых явилось математическое воображение, основанное на формальном математическом сходстве, математическая интуиция.
«Математика помогает современной физике создать более точную картину мира, поэтому математическая форма выражения законов является наиболее плодотворной в современной теоретической физике» -утверждает B.C. Готт [87, С. 13]. И далее он же пишет: «Математика не только дает физике точный язык для выражения уже приобретенных знаний, для анализа абстрактно-всеобщих характеристик, вскрытых физикой за разнообразием явлений, но и позволяет получать новые выводы и следствия о ранее неизвестных сторонах материальных процессов» [87, С. 14].
Научный подход к познанию мира состоит как раз в том, чтобы вернуться к простоте представления природных явлений и реализовать возможность абстрагирования, которое позволяет представить предмет изучения в его законосообразных, простых отношениях. Уже в Древней Греции «специфической особенностью стиля мышления античной геометрии, как она сложилась в ее наиболее совершенных формах, является переход к конструированию абстрактных понятий» [318, С. 126-127].
Незаменимость абстракций в познании определяется их условностью, их приблизительностью по отношению к реальности, от которой они отвлекаются. Если бы абстракции были идеальной копией материального мира, то они не давали бы никакого нового знания о сущности вещей [193, С. 56]. О роли математических абстракций в научных исследованиях пишет, например, Эдуард Ф. Мур: «Особая ценность математики для биологии состоит не в применении ее как аппарата исследований, а возможности абстрактно подойти к решению фундаментальных проблем и обнаружить связи между принципиально различными явлениями и процессами» [212, С.130]. Именно в силу условности, в силу частичного несоответствия абстракций действительности, они могут образовывать дедуктивные системы, материализовываться в знаковых системах, порождать новые системы абстракций, раскрывающие сущность исследуемых явлений.
Математика в настоящее время все чаще рассматривается как область человеческого знания, в которой изучаются математические модели, в которых отражаются количественные и пространственные отношения. В математике используются, главным образом, идеальные модели: образные или иконические (рисунки, чертежи, схемы, графики и т.д.) и знаково-символические (уравнения, формулы и др.). «Оперативное использование знаков - условие теоретического постижения объективного мира, проникновения в глубь вещей» [193, С. 56].
Законам материального мира в математике соответствуют связи абстрактно-логического характера между математическими понятиями, системность мира отражается в таком понятии современной математики, как «математическая структура».
При описании реального мира процесс абстрагирования в математике по сравнению с естествознанием идет значительно дальше, выделяя какую-то пространственную или количественную характеристику предмета или явления и отвлекаясь от остальных его свойств. Абстрагирование в
38 математике чаще всего осуществляется через ряд последовательных ступеней обобщения. Г.И. Рузавин [241] описывает эти ступени абстрагирования на примере развития понятий числа и функции.
Во всей истории математики он выделяет три больших исторических этапа в развитии ее абстракций. На первом этапе, связанном с возникновением арифметики и геометрии, отвлекаются от конкретной, качественной природы объектов. На втором этапе вводится буквенная символика и происходит переход к алгебре, при этом отвлекаются от конкретных чисел и величин. На третьем этапе (переход к современной математике) отвлекаются не только от конкретной природы объектов, но и от конкретных зависимостей между ними.
Анализ развития математики показывает, что «старое» знание включается как подсистема в новое знание (принцип перманентности). Одним из примеров реализации указанного принципа является построение теории действительного числа на основе расширения числовых множеств.
Специфика математического познания связана и с различным использованием опыта в математике и, например, естествознании. В математике, в частности, в анализе, мы оперируем абстракциями, обращаемся к логике, а не ищем подтверждения в эксперименте или в практической деятельности. Важнейшей особенностью математики, отличающей ее от других наук, является дедуктивный характер ее доказательств.
Наконец, особенностью математики является широкое использование символического языка. Часто, подчеркивая важность этой особенности математики, говорят о том, что математика — это язык науки. Математика дает наиболее четкие примеры символизации: «Всякая функция, разлагаемая в бесконечный ряд, есть символ. Конечный отрезок прямой есть символ бесконечности. По образцу математики мы можем сказать, что познание тем более становится совершенным, чем более оно овладевает приемами эвристической символизации» [193, С. 133].
Творческая функция символизации основана с гносеологической точки зрения на общественно-исторической природе познания (преемственность знания, влияние прошлого опыта и т. д.), с онтологической точки зрения — на материальном единстве мира [193].
При этом В.В. Мантатов исходит «из понимания знаков как социальных сигналов, которые характеризуются такими свойствами, как репрезентация, условность и операциональность. Вкратце можно определить знак как чувственно воспринимаемое явление, которое в процессе практической и теоретической деятельности людей репрезентирует другой, отличный от него предмет» [193, С. 26]. Он рассматривает классификацию знаков с точки зрения их отношения к репрезентируемым объектам. «Это иконические знаки, символы и языковые знаки. Иконические знаки— это копии, изображения обозначаемых предметов. Они находятся в отношении изоморфного соответствия с репрезентируемыми объектами. К ним относятся диаграммы, чертежи, схемы, карты и т. д. Иконические знаки выполняют модельную функцию. Ч. Пирс, как известно, к иконическим знакам относил также алгебраические уравнения, логические формулы и т. д.» [193, С. 26]. Последнее объяснялось тем, что логико-математические формулы, не являясь отображением объекта на уровне элементов, представляют собой структурное изображение репрезентируемой реальности.
Под символом В.В. Мантатов понимает «чувственно воспринимаемое явление, которое в наглядной форме представляет абстрактные идеи и понятия... Символы схватывают самую сущность абстрактных идей, придают им чувственно-наглядную форму» [178, С. 27]. Далее он отмечает, что «символ любого явления есть его обобщение, выходящее за пределы изображаемого, обобщение, создающее бесконечную смысловую перспективу». В то же время он замечает, что границы знаков очень подвижны. В качестве подтверждения этого положения он указывает на то,
40 что математическую формулу, состоящую из языковых знаков, можно рассматривать как иконический знак, так как она изображает структуру репрезентируемых явлений. Ее можно рассматривать и как символ, потому что она выражает собой обобщение, допускающее бесконечное множество единичных интерпретаций. А.Ф.Лосев также рассматривает математические формулы как символы.
«Знаковая интерпретация образует одну из ступеней в осмыслении знаков, которые через ряд промежуточных семантических уровней и, в конечном счете, через язык получают объективную интерпретацию» [193, С. 31]. Переход к условным знакам как адекватному средству выражения наших знаний неизмеримо расширяет операциональные возможности мышления. Его способность к абстрагированию и обобщению и, в конечном счете— к отражению существенных, эмпирически не данных свойств вещей.
Все выдающиеся математики обращали внимание на огромную творческую роль символов в математическом познании. Первым, кто осознавал роль символики в выработке алгоритмов исчислений и старался найти наиболее удобные знаки для понятий логики и математики, был, пожалуй, В.Г. Лейбниц. Его символика была великолепно приспособлена для алгоритмических операций.
Как показала научная практика, употребление знаков является одним из приемов, облегчающих процесс научного исследования. Но главное наверно даже не в этом.
«Почему знаки, а не слова? Потому, что слова лишь сообщают то, о чем надо думать, а знаки выступают как объекты, с которыми можно непосредственно действовать» [68, С. 143]. Нам хотелось бы особо выделить этот момент, являющийся специфически важным для характеристики инструментария построения «образа мира» средствами предметной области «математика».
41 г4Ж&ная.
«Взаимосвязь общего с частным, дедукции с конструктивным
подходом, логики с воображением— именно они составляют самую
сущность живой математики» - отмечает Р. Курант [170, С. 16].
Математика как предмет обладает уникальным потенциалом для развития мышления, опираясь на глубокое и всестороннее изучение природы рассуждений вообще и математических рассуждений, в частности.
Многие понятия, рассматривающиеся в математике, имеют глубокий философский смысл и изучаются в этой науке на протяжении тысячелетий. К ним относятся понятия непрерывного (континуума) и дискретного, конечного и бесконечного, множества, соответствия и др. В частности, известный философ С.Д. Лобанов писал: «Проблема бесконечности заключается в понимании смысла существования бесконечности, и разрешается через выделение ее видов» [180, С. 71] (выделено автором).
Эти понятия важны для понимания мироздания и построения каждой развивающейся личностью собственной картины мира. А.А. Леонтьев пишет: «Можно построить континуум уровней рефлексии глобального мира; предельный уровень такой рефлексии соответствует научному и — еще далее - философскому осмыслению мира» [176, С. 271].
Математика как грань культуры содержит в себе значительный мировоззренческий потенциал, включающий в себя образно-символическое и абстрактно-теоретическое представление мира, специфические способы познания и преобразования мира, мышления человека; математическое моделирование реальных процессов [5, 84, ПО, 147].
В развитии мыслительной деятельности, сознания человека, в образовании связей между предметами и действиями знаково-символические структуры играют опосредующую роль. Символизация играет при этом роль средства осмысления [63, 64, 75, 123, 239].
Развить ученика с помощью математики - значит сделать его адекватным культуре математической деятельности как составной части общей культуры [241, С. 72].
Все сказанное позволяет нам выделить функции символизации, наиболее характерные для математики и ее изучения:
- репрезентирующая или замещающая (знак замещает другой,
отличный от него предмет);
- творческая (преемственность знания, влияние прошлого опыта и
т.д<);
-операциональная (роль символов в выработке алгоритмов);
-опосредующая (связь между предметами и действиями, средство осмысления).
Отметим, что роль математики в развитии общества, его мировоззрения постоянно менялась. В Древней Греции, например, существовало представление, что «мир устроен разумно, по законам математики» (Пифагор, Аристотель и др.). Начиная с XV века до конца XX века, активно шел процесс превращения математических представлений и понятий в общенаучный метод, что привело к грандиозным результатам в развитии науки и общества [5, ПО, 147]. В настоящее время существенно изменяется представление о природе и роли математики, как в жизни общества, так и в образовании его членов: разрастается тенденция перехода от положения о всесильности математики в познании мира к пониманию ее как особого способа познания [110, 147, 148,170, 207, 212].
Наконец, от рассмотрения математики как универсального инструмента познания природы человечество приходит к пониманию того, что такие средства- математики как математические модели-понятия, утверждения, алгоритмы, язык и др. позволяют человеку увидеть и исследовать мышление как деятельность, то есть помогают человеку познавать самого себя, свое место в развивающемся мире. Но знание математики не гарантирует ни использования математики в гуманистических целях, ни
43 приведения с ее помощью «ума в порядок» (М.В. Ломоносов), ни изменения нравственных качеств личности. Для этого требуется специальным образом организованный обществом образовательный процесс.
В связи с тем, что мы исследуем проблему развития личности старшеклассника при изучении ими начал анализа, то остановимся подробнее на особенностях аппарата математического анализа как средстве моделирования процессов изменения и развития.
Математический анализ возник и используется как средство для описания физической картины мира, для описания процессов движения макротел (движения планет), их взаимодействия; произвольных процессов изменения, развития. Математический анализ является важнейшим инструментом исследования скорости изменения различных величин.
Само возникновение математического анализа, его роль в науке связаны с тем, что его аппарат является инструментом изучения «реальных» функций - закономерных связей между величинами; величины же удобно считать непрерывными. Ф. Энгельс так говорил об этом: «Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем» [326, С. 573]. В той же работе он подчеркивает: «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение» [326, С.587]. Анализируя это высказывание, Б.В. Гнеденко [84, С. 46] выделяет три аспекта:
первый — это то, что «именно математический анализ ввел в математику диалектику»;
второй- «значение математического анализа для естествознания и инженерного дела»;
третий- построение математического анализа было подготовлено всем предшествующим развитием математики; Ньютон и Лейбниц не «изобретали» дифференциальное и интегральное исчисление, а завершили его.
Б.В. Гнеденко [84], прослеживая путь развития основных понятий и методов математического анализа со времен Древней Греции до XVI — XVII веков, на конкретных примерах (из области мореплавания, артиллерии, движения планет солнечной системы, развития машинного производства) показывает, что изучение движения, главным образом механического, стало одной из центральных задач периода XVI- XVII века.
Открытие математического анализа привело к появлению новых представлений, установлению новых содержательных связей и обобщений. В частности, до появления дифференциального исчисления вряд ли у кого-то возникали мысли о наличии каких-либо связей между задачами нахождения скорости движения в конкретный момент времени и проведением касательной к кривой. Значительным обобщением стало и появление функциональных зависимостей, которые собственно и стали предметом изучения в анализе. Именно идеи и аппарат математического анализа дали возможность построить современную механику, гидродинамику, теорию упругости.
О том, что изучение математики переменных величин приучает к математическому исследованию явлений природы и процессов техники в их живой изменчивости, а не статической неподвижности; исследованию величин в их взаимной зависимости, писал А.Я. Хинчин [305].
Таким образом, одной из отличительных особенностей курса математического анализа, которая, несомненно, должна найти свое отражение в «школьном» учебном предмете, является наличие инструментария описания процессов движения и изменения.
Но математический анализ, как раздел математики, имеет те же особенности, которые отличают и всю математику.
Особенность математики состоит и в значительном использовании так называемых идеальных объектов. Уже «точка», «прямая», «плоскость» Евклидовой геометрии представляют идеальные объекты, так как образуются посредством идеализации. К идеальным объектам относятся понятия математической бесконечности: потенциальной и актуальной бесконечно малой величины. Анализ бесконечно малых Д. Гильберт [242], называл единой симфонией бесконечного. Значительные трудности в обосновании математического анализа были связаны с пониманием природы этих понятий. Практически все основные понятия математического анализа - понятия бесконечно малой, предела и непрерывности функции, определенного интеграла и сходящегося ряда — тесно связаны с понятием бесконечности. Основные его методы — предельного перехода, дифференцирования и интегрирования— также базируются на перечисленных выше понятиях. Предельный переход является специфическим методом математического анализа, позволяющим отобразить, выразить, описать в четких математических понятиях (предел, непрерывность, производная и т. д.) такие общие идеи, как изменение, непрерывность, неограниченность в сторону уменьшения или увеличения.
Как уже отмечалось, дифференциальное исчисление неразрывно связано с понятием бесконечности. «Очень многие недоразумения связаны именно с тем, что распространено недопонимание идеализированной природы математической бесконечности. Никто же не сокрушается о своем невежестве, когда говорят об угле ровно в шестьдесят градусов, хотя такой угол реально не существует и построить его невозможно» — пишет А.Ф. Никифоров [216, С. 4]. Он же утверждает: «...основными объектами анализа являются воображаемые величины, которым приписывается способность неограниченно уменьшаться или увеличиваться» [216, С. 5]. Далее он отмечает, что никогда в анализе не возникает необходимость
46 уменьшать или увеличивать величину беспредельно, главное состоит в том, что при необходимости переменную можно уменьшать или увеличивать еще дальше. Динамику иррационального числа он видит в том, что его можно выразить с какой угодно точностью с помощью рациональных чисел [216].
Другими словами, в анализе используются абстракции, которые в определенной степени противоречат жизненной интуиции человека, его природному опыту. Абстрактные объекты анализа отражают (содержат в себе) такие свойства реальных процессов, как, например, неограниченное продолжение, увеличение, уменьшение. Эту особенность математического анализа отметил Жан А. Дьедонне: «Мне кажется любопытным и достойным сожаления тот факт, следующий из проведенных экспериментов и удивлявший всех математиков XIX столетия, что намного легче обучать абстрактной математике, чем, например, выработать хорошую «интуицию» в математическом анализе» [100, С. 89].
Подводя итог, отметим специфику математического анализа, который образует содержательную основу школьного курса начал анализа:
он изучает не сами модели реальных изменяющихся процессов или явлений, а общие схемы этих моделей, т.е. модели моделей; идея бесконечного процесса и функциональное мышление (Ф. Клейн) — ценные стороны анализа как образовательного предмета;
предметом исследования в математическом анализе (точнее, той его части, которая служит основой школьного курса начал анализа) является функция действительного переменного; ведущими понятиями являются понятия предела и непрерывности функции, производной, первообразной и определенного интеграла; основными методами — предельного перехода, дифференцирования и интегрирования;
анализ использует специальный универсальный язык; в этом универсальном языке математики у математического анализа есть свои особенности (своя система обозначений, правила оперирования);
его идеи и методы носят общий характер, т. е. используются в других науках (физике, биологии) и в практической деятельности;
основные понятия и методы анализа самым тесным образом связаны с философскими понятиями потенциальной и актуальной бесконечности; опосредованно - с понятием бесконечности мира; с понятиями непрерывного и дискретного, континуума.
Выделенные особенности математического анализа позволяют отметить специфику в отражении картины мира средствами этой математической дисциплины и ее возможное влияние на создание индивидуумом собственного образа мира. Значительный образовательный потенциал курса анализа как учебного предмета составляют ведущие специфические и методологические идеи.
Методологические идеи
Абстрактный характер математики. Математические объекты рассматриваются как результаты абстракции отождествления или идеализации. С этим связана специфика предметной области "математика" и математических методов.
Непрерывность и дискретность. Бесконечность. Актуальная и потенциальная бесконечность.
Общие идеи анализа
Идея расширения числовой прямой продолжает алгебраическую идею развивающейся числовой системы; ее интерпретация— заполнение координатной прямой; в анализе она продолжается добавлением бесконечно удаленных точек.
Идея непрерывности множества действительных чисел. Бесконечность и неограниченность множества действительных чисел; идея континуума.
Функциональная идея. Данная идея отражается в соответствии между элементами двух множеств, в частности, в соответствиях на бесконечных множествах. Она является отражением процессов моделирования
48 изменяющихся процессов. При этом последовательность рассматривается как один из примеров функционального соответствия.
Идея предельного перехода. Один из ее аспектов — расширение понятия значения функции в точке. Операции над пределами и их применение к исследованию непрерывности функции понимаются в контексте создания инструментария реализации данной идеи.
Идея линеаризации, воплощением которой служит понятие производной. Ее интерпретации осуществляются через физический и геометрический смыслы производной. Гладкая кривая служит наглядным образом идеи линеаризации.
Идея квадрируемости (суммирования бесконечного числа бесконечно малых). Представление об этой идее дает понятие определенного интеграла, его физический и геометрический смыслы.
Подводя итог проведенному обзору образовательного потенциала математики (математического анализа, в частности) как составляющей человеческой культуры, отметим:
Математика является одной из первых областей науки, развивавшейся в форме теоретического знания, оказывавшего заметное влияние на мировоззрение соответствующей эпохи. В ней заключен значительный потенциал для развития теоретического мышления.
Математика изучает модели моделей реальных объектов и процессов, что позволяет выделять максимально абстрактно-общие, универсальные их характеристики.
Математика не только помогает естествознанию создать более точную картину мира, но и служит инструментом естественных наук в получении новых выводов о материальных процессах.
Математика рассматривается как особый исследовательский метод познания мира, а соответствующий ему математический метод мышления включает в себя дедукцию, индукцию, обобщение, сравнение, аналогию и т. п.
Процессу абстрагирования в математике принадлежит особое место; он осуществляется через ряд последовательных ступеней; многие основные понятия математики являются результатом абстракции-идеализации.
Спецификой математики является широкое оперативное использование знаков, символического языка. Функции символизации: репрезентирующая, творческая, операциональная, опосредующая.
Отсюда можно сделать вывод о том, что организованное соответствующим образом обучение математике позволит существенно повлиять на развитие творческих способностей человека, его мыслительной деятельности и смысловой сферы, на формирование логико-языковой культуры, способствовать духовно-нравственному становлению личности.
