Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретико-методические основы обучения геометрическим преобразованиям пространства учащихся старшей школы в условиях профильной дифференциации 14
1. Психолого-педагогические аспекты профильной дифференциации 14
2. Историко-научные аспекты обучения геометрическим преобразованиям пространства в старших классах общеобразовательной школы
3. Методические основы обучения геометрическим преобразованиям пространства в условиях профильной дифференциации
Выводы по первой главе 84
Глава 2. Организация элективного курса «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач» в условиях профильного обучения 86
1. Цели и содержание элективного курса «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач»
2. Методические рекомендации к проведению элективного курса «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач» 105
3. Педагогический эксперимент и анализ его результатов 148
Выводы по второй главе 172
Заключение 173
Библиография 175
Приложения 189
- Историко-научные аспекты обучения геометрическим преобразованиям пространства в старших классах общеобразовательной школы
- Методические основы обучения геометрическим преобразованиям пространства в условиях профильной дифференциации
- Цели и содержание элективного курса «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач»
- Методические рекомендации к проведению элективного курса «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач»
Введение к работе
Актуальность исследования. Современная система образования характеризуется изменением общей парадигмы, одним из основных направлений которой является личностно-ориентированный подход в обучении. Эффективным дидактическим средством, обеспечивающим такую личностную ориентацию, является дифференциация обучения, в частности профильная, которая играет важную роль в профессиональном самоопределении старшеклассников.
Результаты исследований в области профильной дифференциации легли в основу современной Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования. Профильное обучение подразумевает курсы следующих типов: базовые общеобразовательные, профильные общеобразовательные и элективные. В связи с этим актуальной и востребованной становится разработка программ, учебного содержания и его методического обеспечения для обучения на предложенных курсах.
Вышесказанное относится к школьному курсу геометрии и, в частности, к такому разделу, как геометрические преобразования, которые являются одной из ее фундаментальных идей. Несомненно, выбранная тема исследования соответствует мнению В.Л. Матросова, считающего, что самое пристальное внимание должно быть уделено реализации фундаментального ядра содержания общего образования, определенного школьными стандартами. Не случайно В.А. Садовничий, выступая на Педагогической ассамблее в Санкт-Петербурге, вступился за фундаментальное образование, ввиду смещения акцентов от сферы содержания в технологическую сторону.
Большое значение преобразований для науки было установлено в XIX столетии: преобразования могут быть положены в основу определения самого предмета геометрии. Так, Феликс Клейн в известной «Эрлангенской программе» выдвинул новый синтетический принцип, который позволил все разнообразие геометрических систем понять с единой точки зрения. Геометрия определялась как наука, изучающая свойства фигур, не изменяющихся при преобразованиях из той или иной группы. Выбирая различные группы геометрических преобразований (движений, подобия, аффинных, проективных и т.д.), можно получить различные геометрии.
Важность обучения учащихся геометрическим преобразованиям состоит в возможностях их применения к построению школьного курса геометрии и введению определения предмета геометрии на их основе; установлению взаимосвязей с фундаментальными понятиями математики - функции и группы; доказательству теорем и решению геометрических задач. По этому поводу В.Г. Болтянский заметил, что метод геометрических преобразований - важный метод (наряду с умением применять векторный аппарат и логически мыслить), который должны вынести учащиеся из школьного курса геометрии.
Ввиду того, что одна из целей обучения математике на старшей ступени общего образования - развитие пространственного воображения, формирование представлений об идеях и методах математики, обучение преобразованиям пространства является эффективным путем для их достижения.
Однако в настоящее время складывается такая ситуация, что в Государственном образовательном стандарте для старшей школы на базовом и профильном уровнях
обучения выделено одинаковое содержание по рассматриваемой теме: симметрии в кубе, параллелепипеде, призме и пирамиде, понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная). Между тем профильный уровень обучения предусматривает более углубленное изучение тем школьного курса. С нашей точки зрения, при обучении на базовом уровне, требующем выделения минимального содержания учебного материала, достаточно познакомить учащихся с идеей преобразований и дать общие представления о возможностях их применения. На профильном уровне, нацеленном на обеспечение преемственности между общим и профессиональным образованием, изучение преобразований позволит расширить мировоззрение учащихся, познакомить их с еще одним методом решения геометрических задач, а также приблизить обучаемых к введению понятия «группа». Несомненно, это будет востребовано теми, для кого профессиональным направлением станет математика и смежные с ней специальности. В связи с этим требуется более детально разработать методический аспект обучения геометрическим преобразованиям пространства на базовом и профильном уровнях, а также на элективном курсе по математике.
Теоретические и методические основы индивидуализации и дифференциации обучения разрабатывали ведущие отечественные ученые: Н.К. Гончаров, И.М. Осмоловская, Н.С. Пурышева, Е.С. Рабунский, Н.Э. Унт, И.М. Шахмаев, И.С. Якиманская и др., в том числе в математике: В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Г.И. Саранцев, М.В. Ткачева, Р.А. Утеева и др. Исследователи считают, что в процессе обучения необходимо учитывать индивидуальные особенности учащихся. Дифференциация содержания, методов обучения, организационных форм в зависимости от познавательных потребностей, интересов и способностей учащихся является неотъемлемым условием повышения качества обучения. Ставится вопрос об углубленном изучении в старших классах тех предметов, к которым учащиеся проявляют повышенный интерес. Поэтому дальнейшее развитие получили такие направления, как профильная и уровневая дифференциации обучения, вопросами которых занимались известные педагоги: М.И. Башмаков, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, И.М. Смирнова, Н.Е. Федорова и др. Авторами разрабатывались различные концепции обучения математике. Например, в зависимости от уровней знаний и умений учащихся предлагаются базисный, основной и углубленный уровни или общекультурный, прикладной и творческий, выделяются гуманитарный, прикладной и естественно-научный профили, составляются учебные планы и программы обучения для гуманитарного, технического, физико-математического, экономического профилей.
Результаты исследований нашли свое отражение при создании Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования, предусматривающей введение в 10 -11 классах профильного обучения. Целенаправленный переход к нему был произведен с 2006/07 учебного года. В связи с этим востребованными стали исследования Т.П. Афанасьевой, А.В. Баранникова, СР. Броневщук, Е.В. Ворониной, В.В. Гузеева, Н.И. Зильберберга, С.С. Кравцова, АЛ. Кузнецова, ПС. Лернера, В Л Михайловой, Н.В. Мотуренко, Г.А. Сикорской, И.Д. Чечель, С.Н. Чистяковой и др., посвященные вопросам организации и совершенствования профильного обучения старшеклассников. Авторы опираются на положение о необходимости сохранения
единого базового ядра содержания образования для всех учащихся, поэтому в настоящее время исследуется вопрос стандартизации среднего (полного) общего образования. В ходе разработки стандартов определяется содержание учебного материала, который должен быть усвоен учениками на базовом и профильном уровнях для достижения поставленных целей обучения. Формирование содержания предполагает определение его минимума для универсального обучения и обогащение базового содержания в профильных классах.
В настоящее время в профильном обучении эффективно реализуется идея углубленного изучения отдельных предметов, в том числе и математики, с помощью элективных курсов. В результате анализа работ, посвященных организации элективных курсов по математике, в частности по геометрии (Е.А. Ермолаева, А.Ж. Жафярова, Н.Н. Зегшовой, Е.В. Потоскуева, В.В. Прасолова, И.М. Смирновой, СВ. Студилина, Г.Э. Шахвеледова и др.), можно констатіфовать, что разработаны программы и учебные материалы, имеется опыт их проектирования в условиях профильного обучения. Однако остается актуальным вопрос о содержании и условиях эффективной реализации элективных курсов по геометрии, в том числе элективного курса, посвященного геометрическим преобразованиям пространства.
Теоретико-методические основы обучения геометрическим преобразованиям плоскости и пространства представлены в трудах А.Д. Александрова, В.Г. Болтянского, Л.Н Бескина, ВА Гусева, С.Н. Дорофеева, АН Колмогорова, В.М. Клопского, Е.Д. Куланина, ВЛ Мишина, ЯЛ. Понарина, Г.И. Саранцева, ЗА Скопеца, Т.И. Уткиной, АЛ. Фетисова, ИМ. Яглома, МИ. Ягодовского и др. В результате анализа можно сделать вывод о том, что авторы предлагают построение курса геометрии на основе идеи геометрических преобразований, разрабатывают методику изучения преобразований плоскости и пространства, выделяют различное по сложности и объему содержание учебного материала. Однако методика обучения учащихся преобразованиям пространства разработана недостаточно в современных условиях, не осуществляется дифференцированный подход к изложению данной темы на базовом, профильном и элективном курсах, не учитываются внутрипредметные связи математики при введении основных понятий, учащихся не обучают применению преобразований пространства к решению геометрических задач, в которых преобразование не включено в условие.
Сказанное выше определяет актуальность темы настоящего исследования, которая обусловлена сложившимися к настоящему времени противоречиями между: 1) необходимостью перехода к профильному обучению математике в общеобразовательной школе и неразработанностью методики обучения преобразованиям пространства в старших классах на базовом и профильном уровнях; 2) потребностью в элективных курсах по геометрии и отсутствием таковых, связанных с обучением геометрическим преобразованиям пространства;
3) возможностью использования внутрипредметных связей школьных курсов
«Геометрия» и «Алгебра и начала анализа» при обучении преобразованиям
пространства и отсутствием учета таких связей в практике преподавания;
4) возможностью применения преобразований пространства в решении задач, где
преобразование не включено в условие, и неразработанностью подходов к обучению
учащихся решению задач с использованием преобразований пространства.
Указанные противоречия позволили сформулировать проблему исследования: какой должна быть методика обучения геометрическим преобразованиям пространства в старших классах общеобразовательной школы с учетом достижения основных целей и задач профильной дифференциации.
Объектом исследования является процесс обучения математике учащихся на старшей ступени общего образования.
Предметом исследования является процесс обучения геометрическим преобразованиям пространства учащихся старшей школы в условиях профильной дифференциации.
Цель исследования состоит в разработке научно-обоснованной методики обучения геометрическим преобразованиям пространства учащихся старшей ступени общего образования в условиях профильной дифференциации.
Гипотеза исследования заключается в том, что если при разработке методики обучения геометрическим преобразованиям пространства учащихся старшей школы будут учитываться внутрипредметные связи курса математики, особенности изучения движений пространства в базовом и профильном курсах и композиций движений пространства в профильном и элективном курсах, будет предложен подход к обучению учащихся решению геометрических задач методом геометрических преобразований, построен элективный курс по соответствующей тематике для углубления знаний учащихся, на основе выделенных принципах, то это позволит повысить качество общей математической подготовки выпускников.
Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы решались следующие задачи исследования:
- определить критерии отбора содержания обучения геометрическим
преобразованиям пространства в условиях профильной дифференциации и
принципы построения соответствующего элективного курса;
- разработать методику обучения геометрическим преобразованиям
пространства в условиях профильной дифференциации, выявить особенности
обучения видам движений (изометрий) на базовом и профильном уровнях и
композициям преобразований пространства в профильном и элективном курсах;
составить задачи на введение и формирование базовых понятий курса и определить подход к обучению решению задач с использованием геометрических преобразований пространства, где преобразование не включено в условие;
разработать элективный курс по теме «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач» и его методическое обеспечение (программа курса, требования к математической подготовке учащихся в результате изучения курса, содержание, методы, формы, средства обучения и методические рекомендации по его проведению);
экспериментально проверить эффективность разработанной методики обучения геометрическим преобразованиям пространства в базовом, профильном и элективном курсах.
Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования: изучение и анализ исторической, психолого-педагогической, научной, учебно-методической литературы, диссертационных исследований по тематике данной работы, нормативных документов; наблюдение за учебным
процессом и учебной деятельностью старшеклассников, анкетирование учащихся, индивидуальные и групповые беседы с учителями и учащимися, изучение и обобщение педагогического опыта, педагогический эксперимент, статистические методы обработки результатов эксперимента.
Теоретическую и методическую основу исследования составляют основные положения деятельностного подхода к обучению математике; психолого-педагогические основы индивидуализации и дифференциации обучения математике; построение образовательного процесса в условиях профильного обучения; организация образовательного процесса на элективных курсах в рамках профильного обучения; современные исследования в области теории и методики обучения геометрии; теоретические и методические основы обучения геометрическим преобразованиям пространства.
Научная новизна исследования состоит в следующем:
-
Определены критерии отбора содержания обучения геометрическим преобразованиям пространства в условиях профильной дифференциации (социальной направленности, выделения базового объема содержания, расширения мировоззрения учащихся, фундаментальной значимости) и принципы построения элективного курса по теме исследования (фундаментальности, внутрипредметных связей курса математики, индивидуализации и дифференциации, образовательного и развивающего характера содержания, углубленной направленности).
-
Разработана методика обучения геометрическим преобразованиям пространства в условиях профильной дифференциации, основанная на использовании внутрипредметных связей математики при введении базовых понятий рассматриваемой темы; выделенных требованиях к изучению движений пространства на базовом и профильном уровнях; двух направлениях изучения композиций преобразований пространства (по видам композиций пространства: одноименные и разноименные преобразования и по степени использования композиций при изучении теоретического и практического материала).
-
Составлен комплекс задач на введение, первичное закрепление и применение следующих понятий: геометрическое преобразование пространства, обратное преобразование, обратимое преобразование и композиция преобразований. Разработан подход к обучению учащихся решению задач с использованием преобразований пространства, где в условие задачи не включены преобразования пространства, но которые решаются с их применением на основе выделенных проблемных ситуаций.
-
Разработано методическое обеспечение элективного курса по теме «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач».
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:
- конкретизированы цели обучения геометрическим преобразованиям
пространства для базового, профильного и элективного курсов;
— выделены и обоснованы критерии отбора содержания обучения
геометрическим преобразованиям пространства в условиях профильной
дифференциации;
- определены принципы построения элективного курса «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач», программа курса, требования к математической подготовке учащихся в результате его изучения.
Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что обновлено содержание материала о преобразованиях пространства для учащихся старшей школы, основываясь на учете внутрипредметных связей курса математики; разработаны материалы (комплекс задач на введение, первичное закрепление и применение основных понятий темы и задачи, решаемые с применением метода геометрических преобразований пространства), которые могут быть использованы учителями в курсе геометрии старшей школы при обучении на базовом и профильном уровнях и преподавателями педагогических вузов в практике обучения студентов, а также при создании учебных и методических пособий по геометрии; предложена методика проведения элективного курса «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач», который может быть использован при реализации профильного обучения в старших классах.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается согласованностью разработанной методики с достижениями психолого-педагогической науки и результатами в области методики обучения математике; построением исследования на основе научно-методических работ по проблемам обучения преобразованиям плоскости и пространства; строгостью проведенного анализа и логикой научного исследования; адекватностью используемых методов исследования предмету, цели и задачам исследования; результатами педагогического эксперимента.
На защиту выносятся следующие положения:
1. В основу отбора содержания при обучении геометрическим преобразованиям
пространства следует положить критерии: социальной направленности, выделения
базового объема содержания, расширения мировоззрения учащихся,
фундаментальной значимости — направленные на достижение основных целей и
задач профильного обучения и целей изучения математики в старшей школе.
2. Методика обучения геометрическим преобразованиям пространства
учащихся старшей школы в условиях профильной дифференциации имеет ряд
преимуществ по сравнению с традиционной, а именно: она основана на учете
внутрипредметных связей курса математики при введении базовых понятий темы,
задании правила соответствия между точками при описании видов
преобразований, использовании взаимосвязей между видами движений
пространства для доказательства теорем и решения задач. Обучение композициям
преобразований, основанное на выделенных двух направлениях изучения,
направлено на создание базы для последующего изучения понятия «группа» в
соответствующем элективном курсе, что, несомненно, позволит достичь одной из
целей профильного обучения в старших классах.
3. Использование разработанного комплекса задач на введение, первичное
закрепление и применение понятий «геометрическое преобразование
пространства», «обратное преобразование», «обратимое преобразование,
«композиция преобразований», способствует формированию у учащихся базовых
понятий данной темы. Обучение решению задач с применением преобразований
пространства, где преобразование не включено в условие задачи, основано на выделенных проблемных ситуациях и направлено на знакомство учащихся с методом решения задач, наряду с классическим (метод равных и подобных треугольников), алгебраическим, векторным и координатным методами.
4. Элективный курс по теме исследования, построенный на принципах фундаментальности, внутрипредметных связей курса математики, индивидуализации и дифференциации, образовательного и развивающего характера содержания, углубленной направленности, является примером реализации разработанной методики обучения преобразованиям пространства и способствует повышению качества знаний учащихся по геометрии, о чем свидетельствуют результаты педагогического эксперимента.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения диссертации, результаты педагогического эксперимента и сделанные по ним выводы получили отражение на заседаниях кафедры теории и методики обучения математике Московского педагогического государственного университета (2006-2010), на П Международной научной конференции «Актуальные вопросы современной психологии и педагогики» г. Липецка (2009), Seminaire international scientifique sur le theme «Contenu, formes et methodes d'enseignement des enfants doues aux lecons de mathematiques, mformatique, physique et d'autres disciplines» (Международный научный семинар «Содержание, формы и методы обучения одаренных детей на уроках математики, информатики, физики и других дисциплин») Zurich-Leukerbad-Geneve (2010), в выступлении на научно-методическом семинаре «Актуальные проблемы преподавания математики и информатики в школе и педагогическом вузе» (научный руководитель действительный член РАН, действительный член РАО, д. ф.-м. н., проф. В.Л. Матросов), организованном на математическом факультете Московского педагогического государственного университета (2010).
Материалы исследования внедрены в учебно-воспитательный процесс МОУ-СОШ № 14 г. Армавира Краснодарского края, ГБОУ гимназии № 1549 г. Москвы, используются в преподавании дисциплины «Психолого-педагогические основы обучения математике» на математическом факультете Московского педагогического государственного университета.
Основные результаты исследования отражены в 10 публикациях, пять из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и 12 приложений. Общий объем работы составляет 238 с, из них 188 с. занимает основной текст, 50 с. - приложения. Список литературы содержит 205 наименований.
Историко-научные аспекты обучения геометрическим преобразованиям пространства в старших классах общеобразовательной школы
Существование нескольких точек зрения в рассмотрении соотношений данных понятий объясняется, прежде всего, особенностями подходов к исследуемым понятиям. На наш взгляд, наиболее точным является мнение, высказанное на этот счет И.С. Якиманской. Рассматривая дифференциацию как средство и необходимое условие индивидуализации обучения, она подчеркивает невозможность проектирования дифференцированного обучения без знания индивидуальных особенностей каждого ученика. Таким образом, индивидуализация - это основа дифференцированного обучения.
В силу того, что у исследователей нет единого мнения по вопросу определения понятия «дифференциация обучения», то, соответственно, ставятся различные цели дифференциации обучения. Так, В.М. Монахов, В.А. Орлов, В.В. Фирсов выделяют следующие цели: «С психолого-педагогической точки зрения - индивидуализация обучения, основанная на создании оптимальных условий для выявления задатков, развития интересов и способностей каждого школьника. С социальной точки зрения — целенаправленное воздействие на формирование творческого, интеллектуального, профессионального потенциала общества в целях рационального использования возможностей каждого члена общества в его взаимоотношениях с социумом. С дидактической точки зрения — решение назревших проблем школы путем создания новой методической системы дифференцированного обучения учащихся, основанной на принципиально новой мотивационной основе» [115:45]. В свою очередь Г.В. Дорофеев и др. главной целью дифференциации считают «ориентацию на личность ученика, учет потребностей всех школьников — не только сильных, но и тех, кому этот предмет (математика) дается с трудом или чьи интересы лежат в другой области» [57:15]. Нам близка данная точка зрения, так как авторами учитываются не только индивидуально-возрастные особенности личности обучаемых, но и их потребности.
Технология дифференцированного обучения опирается на следующие принципы, описанные в работе И.С. Якиманской и др. [203]: - нацеленность обучения на развитие личности учащегося, определяющая, что формированию способностей, интересов, индивидуального стиля деятельности в процессе обучения придается первостепенное значение; - вариативность обучения, то есть разнообразие содержания, форм и методов обучения, мобильность в выборе уровня обучения в соответствии с индивидуальными возможностями и интересами, осуществляемая за счет получения всеми обязательного и неизменного минимума знаний; - успешность обучения, означающая реальность достижения успехов каждым учеником на уровне своих возможностей, выработка положительной мотивации учения на этой основе; - открытость методической работы учителя, которая обеспечивается предоставлением учащимся информации об уровнях изучения материала, требованиях к знаниям, типах заданий, нормах оценок. Традиционно выделяют два вида дифференциации обучения: внутренняя, или уровневая, и внешняя, или профильная. Кроме этих основных видов в современных педагогических исследования описаны широкая, поисковая, непрерывная, предпрофильная и межпредметная дифференциации. Исследователи едины в том, что в основной школе ведущей формой дифференциации должна быть уровневая, а в старших классах - профильная дифференциация. Проблемы профильной дифференциации обучения традиционно разрабатывались в педагогической науке в контексте проблемы дифференциации обучения и воспитания. В 1950-е гг. крупнейший отечественный педагог-теоретик тех лет Н.К. Гончаров, разрабатывая проблему профильной дифференциации школьного обучения, ввел термин «фуркация», трактуя его как возможные варианты специализированной, производственной подготовки школьников и более углубленное изучение отдельных школьных предметов на основе единого уровня общего образования [40]. Как мы видим, понятие «фуркация» в некоторой степени близко современной трактовке профильного обучения. С течением времени термин «фуркация» был заменен термином «дифференциация». В конце 1970-х — начале 1980-х гг. произошло развитие идеи дифференцированного образования в целостную концепцию (Ю.К. Бабанский, Н.М. Шахмаев), однако в этот период не было акцента на социально-профессиональный аспект дифференциации обучения. Ситуация изменилась в конце 1980-х гг. с началом широкомасштабных реформ в сфере общего образования: постулировалась необходимость введения профильной дифференциации на всех ступенях школьного образования. Появляются работы, посвященные не только вопросам дифференциации обучения, но и многим аспектам профильной дифференциации обучения математике, таких авторов как: В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, И.М. Осмоловская, Е.С. Рабунский, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, И. Унт, Р.А. Утеева и др. Исследователи опираются на положения о необходимости сохранения единого базового ядра в содержании образования для всех учащихся, ставятся цели профильной дифференциации обучения, предлагаются профили обучения учащихся в старшей школе. В конце 90-х гг. прошлого века разрабатываются различные концепции уровневой и профильной дифференциации обучения математике следующими авторами: М.И. Башмаков; В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер; Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, СБ. Суворова, В.В. Фирсов и др.; Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова; Г.И. Саранцев; И.М. Смирнова; Р.А. Утеева и др.
Так, Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, СБ. Суворова, В.В. Фирсов под профильной дифференциацией понимают дифференциацию по содержанию, которая «предполагает обучение разных групп школьников по программам, отличающимся глубиной изложения материала, объемом сведений и даже номенклатурой включенных вопросов» [57:15].
Схожего понимания профильной дифференциации придерживаются авторы другой концепции Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова: «Индивидуализация обучения в старшем звене СШ предполагает предоставление учащимся возможности получить образование в различных направлениях, по разным учебным планам и программам, т.е. осуществление профильной дифференциации на базе фуркации» [80:21]. В основу построения системы профильной дифференциации авторы положили следующие принципы: 1) профильная дифференциация должна вводиться после получения школьниками единого базового образования и утверждения в своих наклонностях; 2) на старшей ступени обучения следует обеспечить возможно большее количество направлений обучения; 3) по каждому учебному предмету целесообразно объединять различные направления обучения в блоки по принципу сходства целей и задач обучения для создания единых программ для каждого блока; 4) при составлении программ и учебников, выборе форм и методов обучения следует учитывать возрастные особенности подростков, склонных к данному виду деятельности, и в то же время не исключать возможности изменить профиль обучения подростку при ошибке в его выборе; 5) математика должна входить в набор обязательных учебных предметов любого из профилей [80:25-26]. Акцентировано внимание на том, что содержание обучения математике должно иметь некоторое общее ядро, расширяющее и дополняющее базовую математическую подготовку. В программу по математике для каждого направления, помимо обязательных, должны быть включены дополнительные разделы, полезные и для применения в будущей профессии и для формирования специальных математических и мыслительных умений, причем часть этих разделов может быть изучена по желанию.
Методические основы обучения геометрическим преобразованиям пространства в условиях профильной дифференциации
Актуальность изучения преобразований подтверждают многие известные педагоги: В.Г. Болтянский, В.А. Гусев, ЯЛ. Понарин, А.И. Фетисов и др. Например, И.М. Яглом пишет: «...в XIX столетии выяснилось, что понятие преобразования играет в геометрии основную роль; оно может быть положено в основу определения самого предмета геометрии. Выдвижение на первый план геометрических преобразований имеет еще ту ценность, что позволит указать некоторые общие методы, дающие ключ к решению сразу многих геометрических задач на построение и доказательство» [202:22]. Подобные решения являются более естественными и более простыми, чем другие, с применением иных методов решения задач.
Выдающийся немецкий математик Феликс Клейн [73] в знаменитой «Эрлангенской программе» (1872 г.) выдвинул новый синтетический принцип, который позволял все разнообразие геометрических систем понять с единой точки зрения. Он обращает внимание на то, что уже движения, которыми пользуются в евклидовой и неевклидовой геометрии для совмещения равных фигур, подчиняются условиям, характеризующим группу. Геометрюь определяется как наука, изучающая свойства фигур, инвариантных при преобразованиях из той или иной группы. Выбирая различные группы геометрических преобразований (движений, подобия, аффинных, проективных и т.д.), можно получить различные геометрии. Придерживаясь этих идей, П.С. Моденов и А.С. Пархоменко отмечают: «элементарная геометрия имеет дело с такими свойствами геометрических фигур, которые сохраняются при движении (или подобных преобразованиях)» [113:63]. Так, идея геометрических преобразований может быть положена в основу научного определения геометрии.
Для школьного курса геометрические преобразования имеют свое значение: они способствуют развитию пространственного воображения и логического мышления, могут быть положены в основу определения геометрии, на их основе можно ввести понятие «группа», являются одним из эффективных методов решения задач и доказательства теорем. Преобразования находят свое применение в школьных курсах алгебры (построение графиков функций), физики (механика, оптика), химии (кристаллические тела), черчения (построение изображений в различных проекциях) и др., что позволяет укрепить межпредметные связи геометрии с другими науками. Поэтому, все вышесказанное показывает актуальность и важность обучения учащихся геометрическим преобразованиям. 2.1. История введения геометрических преобразований как фундаментальной идеи в школьный курс геометрии:
Движение и, в частности, наложение являлось- основным методом доказательства теорем у Фалеса. В «Началах» Евклида определение равенства фигур основано на совмещении фигур. Он производит перенос отрезков с помощью циркуля и описывает прямые линии и окружности с помощью движений. Однако в тех случаях, когда можно обойтись без движений, он так и поступает.
Как было сказано выше, Ф. Клейн предложил на основе геометрических преобразований построение геометрии,, определив ее. как предмет, изучающий . инварианты некоторой іругшьі преобразований. После публикации этой программы : ученые того времени постарались применить идею о геометрических преобразованиях в школьном курсе геометрии. Одна из первых серьезных попыток построения геометрии на основе движений содержится во французском учебном руководстве Ш; Мере [104]. На первое место автор- выдвигает понятие группы движений: плоскости и на его» основе последовательно осуществляет построение курса геометрии. Работы Ш. Мере оказали существенное влияние на большинство французских учебников по элементарной геометрии того времени. Под этим влиянием в 1905 г. известный французский математик Эмиль Борель написал школьный учебник, в котором применялись преобразования для решения . задач и доказательства теорем. По этому поводу автор отмечает: «...я;попытался . написать геометрию, которая была бы ближе к действительности и которая поэтому , пользуется по преимуществу рассуждениями, основанными на движениях и.. зеркальных изображениях. Получающиеся при этом доказательства кажутся мне более простыми и понятными, чем Евклидовы» [26:11]. ... Вначале XX века в русской школе интерес к изучению геометрических .=: преобразований возрастает, появляются учебники, в которых описана данная тема. :: В.учебнике К.Н. Рашевского [147] (1909 г.) рассмотрены такие преобразования: симметрия относительно точки и прямой, параллельное перенесение, вращение около точки, гомотетия. Но идея геометрических преобразований не охватила всего курса геометрии. Между тем в школьном учебнике для старших классов Б.А. Марковича [100] (1910 г.) показано использование движений при доказательстве теорем и построении курсов планиметрии и стереометрии, где материал представлен подробнее, чем-в [147].
В известном учебнике А.П. Киселева [68, 70], который использовался в России свыше полувека (первое издание вышло в 1892 г., затем он был переработан автором в 1912 и 1923 г.г. и с 1923 г. переиздавался без изменений [72]), преобразования изложены кратко: они не охватывают всего курса геометрии и не применяются к решению задач. Учебник планиметрии включает параграфы: ось симметрии, параллельный перенос, симметрии прямоугольника, ромба, квадрата и правильных многоугольников. Для старших классов вынесена на изучение только симметрия в пространстве.
В 1938 г. был написан новый учебник А.П. Киселева под редакцией НА. Глаголева [35], где последним добавлен ряд параграфов, посвященных осевой и центральной симметриям, гомотетии. На первый план вышли идеи о движении, симметрии, подобии как геометрическом преобразовании. На плоскости описываются симметрия относительно центра и оси, метод параллельного перенесения, метод симметрии. Однако преобразования изложены? кратко, нет примеров их использования-дня доказательства теорем и решения задач.
Н.А. Глаголев издал собственный учебник для средней школы в 1944 г., где роль преобразований более значительна. К рассмотрению центральной и осевой симметрии автор подходит с точки зрения современных научных концепций, определяя последние как точечные соответствия между фигурами. В отличие от учебников других авторов симметрии используются для доказательства ряда теорем (например, признаков равенства треугольников) и для решения задач на построение. В 1958 г. учебник переиздается под редакцией А.А. Глаголева [35], а преобразованиям отводится заметно большее место.
Цели и содержание элективного курса «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач»
Вопрос методики решения задач с использованием геометрических преобразований пространства является недостаточно изученным, несмотря на то, что использование преобразований является одним из эффективных способов решения геометрических задач.
Использование геометрических преобразований пространства как метода решения задач кратко описывает Т.Г. Ходот: «Идея применения метода преобразований состоит в том, что некоторую фигуру заменяют другой, полученной из первой с помощью какого-нибудь преобразования, а затем, используя вместе с данной еще и построенную фигуру, получают требуемый результат» [189:12]. В свою очередь, Я.П. Понарин и З.А. Скопец утверждают, что «.. .овладеть методом геометрических преобразований нелегко, поскольку нельзя указать общих способов использования преобразований в конкретных ситуациях» [132:49]. Термин «метод геометрических преобразований» используется в различной учебно-методической литературе, но вместе с тем назвать это методом нельзя, так как не удается найти разработанных теоретических основ использования преобразований как метода. Важно понимать, что использование преобразований пространства является способом решения геометрических задач наряду с классическим (метод равных и подобных треугольников), алгебраическим, векторным и координатным методами. С помощью преобразований возможно решение задач на построение, доказательство и вычисление. Проанализировав различную учебно-методическую литературу и диссертационные исследования по вопросу методики решения задач с использованием преобразований пространства, можно сделать вывод, что не удается найти разработанной методики решения таковых задач, которая бы подсказывала соответствующий метод и необходимость использования того или иного преобразования. Если даже и есть какие-нибудь положения, связанные с методикой решения таких задач, то они чаще всего идут через примеры конкретных задач. В результате был получен вывод, что задачи, решаемые с использованием геометрических преобразований можно разделить на два вида: 1. задачи, связанные с изучением свойств различных геометрических преобразований пространства, и взаимосвязей между ними; 2. задачи, в формулировки которых не входят геометрические преобразования пространства, но которые решаются с их применением. По первому виду существует огромное количество задач, которые решаются с использованием свойств движений пространства и свойств фигур/тел в пространстве. Но нас интересует более сложная проблема, связанная с задачами второго вида: как обучить учащихся решать задачи с использованием преобразований пространства, где преобразование не включено в условие.
Для того чтобы решить эту проблему, требуется создать некоторый подход, который позволил бы определять, какое преобразование можно использовать при решении той или иной геометрической задачи. Нам представляется, что в данном случае подходит методика рассмотрения проблемных ситуаций, которая существует в различных исследованиях, связанных с проблемным обучением.
Проблемная ситуация тесным образом связана с проблемным обучением. Часто проблемное обучение трактуется через проблемные ситуации, а в некоторых работах проблемные ситуации ставятся на первое место. В исследованиях Ю.М. Колягина, И.Я. Лернера, А.М. Матюшкина, М.И. Махмутова, С.Л. Рубинштейна, Г.И. Саранцева, и др. ставился вопрос взаимосвязи и различия данных двух понятий.
Основные теоретические исследования, посвященные проблемному обучению, были обусловлены исследованиями С.Л. Рубинштейна о роли проблемной ситуации в процессе мышления. По мнению автора «начальным моментом мыслительного процесса обычно является проблемная ситуация» [150:147]. Однако различные авторы определяют и описывают понятие проблемной ситуации по-разному. Так, например, по мнению И.А. Лернера, проблемная ситуация представляет собой «осознанное затруднение, пути преодоления которого требуют поиска новьк знаний, новых способов действий» [91:18].
К условию возникновения проблемной ситуации относится необходимость в раскрываемом новом отношении, свойстве или способе действия. Такая необходимость может определяться непосредственными практическими обстоятельствами выполнения задания. Рассматривая возможности возникновения проблемных ситуаций, A.M. Матюшкин отмечает, что проблемная ситуация возникает в том случае, если учащиеся осознают недостаточность прежних знаний для объяснения нового факта или не знают способа решения поставленной задачи. Проблемная ситуация создается тогда, когда учащиеся ставятся перед необходимостью применения уже усвоенных знаний в новых практических условиях. Потому важным условием создания проблемной ситуации является наличие нескольких различных точек зрения, двух разных видений, то есть проблемотизация, которая помогает учащемуся приблизиться к знаниям.
Проблемные ситуации, как правило, создаются учителем путем указания ученику на причины невыполнения поставленного им практического учебного задания или невозможности объяснить им те или иные продемонстрированные факты. Такое фиксирование проблемной ситуации учителем подчеркивает учебный характер предлагаемого ученику проблемного задания и определяет область поиска требуемого неизвестного. Таким образом, одним из основных средств создания проблемных ситуаций на уроках является проблемная задача. И.Я. Лернер писал, что «проблемная задача представляет собой проблему, решаемую при заданных условиях или параметрах». Подчеркивая отличие проблемной задачи от проблемы, он указывал на то, что «в первой заведомо ограничено поле поиска решения» [91:21]. То есть всякая проблемная задача содержит проблему и, следовательно, проблемную ситуацию, но не всякая проблемная ситуация является задачей. Таким образом, следующими условиями создания проблемной ситуации являются доступность понимания учащимися, посильность выдвигаемой проблемы и заинтересованность учащихся в ее решении. Поэтому нельзя не согласиться с мнением Л.М. Лоповока, который полагает, что отсутствие одного из условий приведет к тому, что проблемная ситуация не будет создана. Все сказанное в различных исследованиях о проблемных ситуациях и необходимость разработки методики решения задач с использованием преобразований пространства, которые не входят в условие задачи, позволили нам выделить те проблемные ситуации, которые позволяют учащимся вместе с учителем понять, какое преобразование может быть использовано при решении задачи. Проблемные ситуации (см. Таблицу 5) были получены исходя из изучения взаимосвязей свойств рассматриваемых геометрических фигур и свойств соответствующих геометрических преобразований пространства.
Методические рекомендации к проведению элективного курса «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач»
В своей работе Г.В. Дорофеев [56] делит принципы отбора содержания на внешние (социально обусловленные) и внутренние (обусловленные психолого-педагогическими и методическими требованиями). К внешним относятся два принципа — информационной емкости и социальной эффективности. В соответствии с ними обучение математике должно обеспечить приобретение всеми учащимися объема знаний, достаточного для реализации цели математического образования и формирование кадрового потенциала общества во всех сферах деятельности, требующих математических . знаний и интеллектуальной культуры. К внутренним отнесены принципы интеллектуальной емкости, дифференцированной реализуемости, познавательной емкости и другие. Г.В. Дорофеев разработал механизм отбора содержания, основанного на разделении знаний на целевые (непосредственно отражающие цели обучения математике) и вспомогательные, которые не являются необходимыми в плане достижения целей математического образования, но без предварительного изучения которых, не могут быть освоены целевые знания.
В диссертационном исследовании Е.А. Ермолаева [60] выделена совокупность принципов отбора содержания элективных курсов по геометрии (научности, преемственности, углубленной направленности, обучения эвристикам, дифференциации, прикладной направленности), которые обеспечивают достижение основных целей и задач профильного обучения и преемственность между базовым, профильным и элективным курсами. Е.А. Галанина [30] выдвинула принцип профилизации учебного материала по математике, являющийся недостающим элементом в системе принципов разработки учебного материала, заложенной в основе профильного обучения. Суть этого принципа заключается в преобразовании практического материала на основе использования профильно-ориентированных задач и смыслового наполнения формализованных математических заданий содержанием смежных профильных дисциплин для его ориентации на профессиональную направленность с целью повышения уровня учебной мотивации, формирования осмысленных знаний, прочных умений и навыков обучающихся. Принципы отбора содержания элективных курсов для классов математического профиля сформулировал М.А. Артамонов [11], выделив следующие принципы: личностной направленности, научности, методологичности, проблемности, приемственности, адаптивности и дифференцированности, целостности, гуманитарной направленности. Н.А. Монахова [114], описывая содержательный компонент методической системы обучения геометрическим преобразованиям плоскости, основывается на принципах специальной направленности, фундаментальности, научной и практической значимости, преемственности и прогностичности, сочетания доступности и трудности изложения. В результате анализа литературы нами в основу были положены следующие принципы построения элективного курса «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач»: - принцип фундаментальности требует соотнесения учебного материала с уровнем развития современной науки (главные идейные основы, логическая организация содержания), что позволяет отражать современный уровень развития научного знания. Идея преобразований является одной из фундаментальных областей знания. Так, преобразования могут быть положены в основу определения предмета геометрии и связаны с такими фундаментальными понятиями математики как функция и группа; - принцип внутрнпредметных связей курса математики основывается на взаимосвязанности и взаимообусловленности понятий в курсах смежных тем и курсов внутри одного предмета: в процессе обучения преобразованиям пространства возможно использование внутрипредметных связей геометрии и алгебры. Формирование основных понятий «геометрическое преобразование пространства», «обратное преобразование», «обратимое преобразование» и «композиция преобразований» происходит во взаимосвязи с понятиями «функция», «обратная функция», «обратимая функция» и «сложная функция» соответственно, что показываетих родственность; - принцип индивидуализации и дифференциации дает возможность учащимся получать математическую подготовку разного уровня в соответствии с их индивидуальными особенностями. При проведении элективного курса активно применяется этот принцип при отборе задач, решаемых с использованием преобразований пространства; - принцип образовательного и развивающего характера содержания следует из универсальности математики как науки, всеобщности ее методов, о чем говорит математизация современных областей знаний, а использование математических формул и теорем позволяют выработать личные качества — точность, сжатость, ясность и др; - принцип углубленной направленности способствует формированию более полных, обобщенных и системных представлений о преобразованиях пространства, также позволяет включить в элективный курс материал, не входящий в содержание основного и профильного курсов. Например, более углубленно можно изучать композиции одноименных и разноименных композиций, а также познакомить учащихся с понятием «группа». Элективный курс рекомендуется для учащихся 11 классов. Программа курса рассчитана на 28 занятий, каждое из которых построено по принципу сочетания теоретических сведений с практическими заданиями. На контрольную работу отводится два занятия. Программа включает в себя следующие разделы: Раздел I. Требования к математической подготовке учащихся. Раздел П. Содержание элективного курса «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач». Раздел III. Тематическое планирование. Раздел IV. Перечень заданий по курсу «Геометрические преобразования пространства и их применение к решению задач».
