Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы реализации прикладной направленности обучения стохастике как средства развития вероятностного мышления старшеклассников в условиях профильной дифференциации 13
1.1. Роль и место вероятностно-статистической линии в школьном курсе математики 13
1.2. Психолого-педагогические аспекты формирования и развития вероятностного мышления учащихся 30
1.3. Прикладная направленность школьного курса стохастики и ее влияние на развитие вероятностного мышления учащихся . 46
1.3.1. Стохастические задачи и их роль в развитии ве роятностного мышления учащихся 56
1.3.2. Прикладные задачи стохастики 65
Выводы по первой главе 80
Глава 2. Методические основы реализации прикладной направленности обучения стохастике как средства развития вероятностного мышления старшеклассников в условиях профильной дифференциации 83
2.1. Методические аспекты построения элективного курса по элементам теории вероятностей и математической статистики в контексте профильной дифференциации старшей школы 83
2.1.1. Постановка целей и отбор содержания элективного курса 83
2.1.2. Методы и средства обучения, способствующие развитию вероятностного мышления учащихся на старшей ступени школы в рамках элективного курса 91
2.2. Методические особенности проведения занятий по темам элективного курса 99
2.3. Организация и результаты педагогического эксперимента.. 145
Выводы по второй главе 162
Заключение 164
Библиографический список 167
Приложения 183
- Роль и место вероятностно-статистической линии в школьном курсе математики
- Прикладная направленность школьного курса стохастики и ее влияние на развитие вероятностного мышления учащихся
- Методические аспекты построения элективного курса по элементам теории вероятностей и математической статистики в контексте профильной дифференциации старшей школы
Введение к работе
Актуальность исследования. Достаточно длительный период времени в России вероятностно-статистические знания оставались за пределами школьного обучения. Бурное развитие теории вероятностей и математической статистики в XIX-XX веках, расширение границ их приложения, осознание важности стохастических знаний для современного общества, позволили говорить о возможности включения теоретико-вероятностных знаний в содержание общего среднего образования. В обсуждении этого вопроса на протяжении многих лет принимали участие видные деятели российской науки и образования, среди которых необходимо упомянуть: П.А. Некрасова, В.Я. Буняковского, А.Н. Колмогорова, В.В. Фирсова, Б.В. Гнеденко, И.Г. Журбенко, Е.С. Вентцель, Ю.М. Колягина, Л.О. Бычкову и другие. Пришедший XXI век охарактеризовался включением элементов теории вероятностей, математической статистики и комбинаторики в содержание обязательного минимума математической подготовки учащихся средней общеобразовательной школы, о чем свидетельствует принятое Министерством образования и науки России решение о преподавании в основной школе элементов статистики и теории вероятностей, начиная с 2003/04 учебного года.
В качестве основной цели введения стохастической составляющей в школьный курс математики, ряд исследователей видят в ознакомлении школьников со статистическими закономерностями, закономерностями более широкого типа, чем те, которые составляют классический детерминизм, отмечая, что «для школьного обучения первостепенное значение имеет воспитание вероятностного мышления как антипода мышления детерминистического» [62]. Как справедливо заметил известный венгерский методист Т. Варга, «мир, каким он видится через призму школьных учебников, строго детерминирован, в нем нет места случайности» [35], тогда как в реальной жизни случаю отводится далеко не второстепенная роль. По словам М. Гарднера, теория вероятностей - это «та путеводная нить, которая позво і ляет постичь хаос современной жизни» [44]. Вероятностные законы универсальны, и именно они лежат в основе описания научной картины мира.
В большинстве развитых стран мира уже на протяжении многих лет ведется преподавание элементов теории вероятностей и математической статистики, причем этим разделам уделяется особое внимание. О важности стохастической составляющей в системе современного школьного образования говорит и то, что задания, предлагаемые школьникам в сравнительных международных исследованиях математической грамотности 15-летних учащихся, проводимых организацией экономического сотрудничества и развития (OECD) и направленных на проверку тех знаний, умений и навыков школьников, которые международная общественность считает необходимыми для формирования так называемого «человеческого капитала», содержат среди прочих задания по теории вероятностей и математической статистике. Причем в рамках этой темы, наряду с другими разделами математики, значительное внимание уделяется вопросам, имеющим практическую значимость. Невысокие результаты российских школьников в решении подобных задач позволяют говорить о том, что «поставленная перед российской школой задача подготовить выпускников к свободному использованию математики в повседневной жизни в значительной степени не достигается на уровне требований международных тестов. Одна из причин этого - отсутствие должного внимания к практической составляющей содержания обучения в основной школе» [89].
Говоря же в настоящее время о включении основ теории вероятностей и математической статистики в содержание школьного математического образования, Е.А. Бунимович отмечает, что обусловлено это, прежде всего, «значением и местом стохастических понятий и фактов в системе знаний и представлений современного человека, их прикладной и практической значимостью в мире» [144]. Так, применение теории вероятностей и математической статистики в различных областях науки и техники приобретает все возрастающее значение. Например, в социологии и экономике, педагогике, психо логии, демографии, лингвистике и литературоведении строят модели, применяя статистические и вероятностные методы; биология и физика, химия и география дают многочисленные поводы поговорить о статистических закономерностях, с которыми встречаются при изучении природных явлений, при осуществлении химических реакций, при изучении молекулярного строения вещества и т.д.
Анализ существующих к настоящему времени диссертационных исследований по вопросам поиска методических путей реализации стохастической составляющей в школьном курсе математики показал, что в основном работа ведется по следующим направлениям:
- разработка методики формирования стохастических представлений у учащихся в процессе обучения основам теории вероятностей и математической статистики на уровне начальной и основной школы (В.А. Болотюк, Л.О. Бычкова, СИ. Воробьева, В.Д. Селютин, Д.В. Маневич и др.);
- усиление прикладной и практической направленности изучения стохастики в школьном курсе математики за счет формирования комплекса практических умений, связанных с применением стохастических знаний в процессе решения задач, возникающих на практике (Е.А. Бунимович, С.Н. Дворяткина, О.Н. Троицкая, А. Плоцки, В.В. Фирсов, СВ. Щербатых и др-);
- разработка методики стохастической подготовки учителя математики (А.В. Ванюрин, Д.В. Маневич, В.Д. Селютин и др.)
Несмотря на достижения, полученные, как отечественными, так и зарубежными методистами в области преподавания основ теории вероятностей и математической статистики, ряд вопросов остается открытыми. Речь идет о разработке методики преподавания стохастики на старшей ступени школы.
Обучение математике в старших классах школы имеет ряд особенностей. Переход на профильное обучение в X-XI классах в соответствии с Концепцией модернизации российского образования на период до 2010 года, представляет собой радикальную перестройку принятой ранее системы обу чения математике в старшей школе. Курс математики на старшей ступени обучения должен отражать профиль, т.е. показывать возможности применения математического аппарата в будущей профессиональной деятельности школьников, что особенно важно для представителей тех направлений про-филизации, для которых математика не входит в число профильных предметов. Знакомство же учащихся с элементами стохастической составляющей открывает широкие возможности для иллюстрации значимости математики в решении прикладных задач, что способствует получению учащимися представлений о необходимости и универсальности математики и ее методов. Однако нехватка времени, отводимого на изучение математики в классах нематематических профилей, слабое отражение прикладного потенциала стохастики в учебниках и учебных пособиях приводит к тому, что курсы вероятности и статистики часто бывают формальными, содержат лишь набор алгоритмов без их обоснования, что, в свою очередь, не достигает целей развития мышления учащихся.
Таким образом, в настоящее время возникли противоречия между необходимостью формирования и развития вероятностного мышления учащихся, как основной цели введения вероятностно-статистической линии в школьный курс математики, и недостаточным уровнем его развития у выпускников средней школы; а также огромным прикладным потенциалом стохастики и недостаточной его реализацией в курсе математики старшей профильной школы.
Проблема исследования состоит в поиске оптимальной методики обучения учащихся стохастике, способствующей развитию вероятностного мышления старшеклассников, выбравших для себя профили гуманитарных и естественнонаучных направлений.
Объект исследования: процесс обучения в рамках элективного курса учащихся 10-11 классов средней школы гуманитарного и естественнонаучного профиля элементам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.
Предмет исследования: система задач, ориентированная на реализацию прикладной направленности обучения стохастике как средства развития вероятностного мышления учащихся на старшей ступени школы в классах гуманитарного и естественнонаучного профиля в рамках элективного курса.
Цель исследования состоит в разработке теоретически обоснованной методики реализации прикладной направленности обучения стохастике как средства развития вероятностного мышления учащихся в условиях старшей профильной школы в рамках элективного курса.
Гипотеза исследования состоит в том, что обучение стохастике старшеклассников в классах гуманитарного и естественнонаучного профиля в рамках элективного курса будет способствовать развитию вероятностного мышления учащихся, если будут учтены следующие условия:
- реализация прикладной направленности, посредством включения в процесс обучения системы задач и упражнений прикладного характера, позволяющая продемонстрировать возможности математики как аппарата для решения проблем, которые возникают в области будущих профессиональных интересов школьников;
- учет индивидуальных особенностей мышления и способностей представителей каждого профиля.
Для решения проблемы исследования и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо решить следующие задачи:
1) на основе теоретического анализа данных психолого-педагогической литературы по теме исследования определить психолого-педагогические основы формирования и развития вероятностного мышления учащихся;
2) провести анализ существующих учебников и учебных пособий, реализующих вероятностно-статистическую линию на старшей ступени школы с точки зрения отражения в них прикладного потенциала стохастики;
провести отбор стохастического содержания и обозначить основные пути реализации прикладной направленности обучения стохастике на стар шей ступени школы в рамках элективного курса для классов гуманитарного и естественнонаучного профиля;
4) разработать систему задач и упражнений прикладного характера с вероятностно-статистическим содержанием (а также требования к этой системе задач), способствующую развитию вероятностного мышления старшеклассников;
5) экспериментально проверить эффективность разработанной методики и системы задач, направленных на развитие вероятностного мышления старшеклассников.
Методологическую основу исследования составляют: основные положения теории познания, операциональная концепция развития интеллекта (Ж. Пиаже); концепция деятельностного подхода в обучении (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн и др.); концепция гуманизации, гуманитаризации и дифференциации образования (В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова, И.Э. Унт, И.С. Якиманская и др.); концепция прикладной направленности обучения математике (Б.В. Гнеденко, В.А. Далингер, Н.А. Терешин, В.В. Фирсов, И.М. Шапиро и др.).
Теоретическую основу исследования составляют: концепция содержания общего и гуманитарного образования (Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, B.C. Леднев, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин, В.В. Фирсов и др.); концепция профильной дифференциации в обучении математике и организации элективных курсов (В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин и др.); исследования по проблемам преподавания математики старшеклассникам (Э.К. Брейтигам, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев и др.); исследования по проблемам математического моделирования (А.Н. Колмогоров, А. Плоцки, В.В. Фирсов, Л.М. Фридман, И.М. Шапиро и др.); теория учебных задач в обучении (В.А. Далингер, Ю.М. Колягин, И.Я. Лернер, Д. Пойа, Л.М. Фридман).
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: 1) теоретические: анализ и систематизация данных психолого-педагогической, методической и учебной литературы по теме исследования; 2) эмпирические: теоретическое и экспериментальное обоснование эффективности разработанной методики; экспериментальное обучение, анкетирование и тестирование учащихся и учителей; 3) экспериментальные: количественная и качественная обработка экспериментальных данных на основе использования методов математической статистики.
Научная новизна исследования состоит в том, что в отличие от работы СВ. Щербатых (2006 г.), посвященной вопросам усиления прикладной и практической направленности изучения стохастики в школе за счет формирования комплекса практических умений, связанных с применением стохастических знаний на всех этапах математического моделирования в процессе решения задач; работы О.Н. Троицкой (2007 г.), посвященной разработке методики использования качественных задач как средства интеграции житейских стохастических знаний учащихся с научными при изучении стохастики в школе; в настоящем исследовании
- показаны методические пути реализации прикладной направленности обучения стохастике, выступающей в качестве средства развития вероятностного мышления учащихся на старшей ступени школы, с учетом выбранного школьниками направления профильной дифференциации, на примере элективного курса для классов гуманитарного и естественнонаучного профиля;
- дополнены требования, предъявляемые к системе задач и упражнений прикладного характера, используемых в процессе обучения стохастике на старшей ступени школы, основанные на учете направления профильной дифференциации, а также выделены принципы отбора прикладных задач.
Теоретическая значимость исследования:
- обосновано влияние разработанной методики реализации прикладной направленности обучения стохастике на старшей ступени школы в условиях профильной дифференциации в рамках элективного курса для учащихся классов гуманитарного и естественнонаучного профиля на развитие вероятностного мышления старшеклассников;
- выделены принципы отбора прикладных задач, дополнены требования, предъявляемые к системе задач и упражнений прикладного характера, используемых в процессе обучения стохастике на старшей ступени школы, основными из которых являются: учет направления профильной дифференциации; реализация межпредметных связей стохастики; наличие задач и упражнений исследовательского характера, а также задач на анализ, построение и интерпретацию вероятностных моделей;
- обосновано влияние разработанной системы задач и упражнений прикладного характера на развитие вероятностного мышления старшеклассников.
Практическая значимость исследования:
- разработана система задач и упражнений прикладного характера, направленная на развитие вероятностного мышления учащихся старших классов гуманитарного и естественнонаучного профиля, которая может быть использована авторами учебных пособий и учебников для учащихся, а также учителями математики общеобразовательных школ, лицеев, гимназий;
- разработан учебно-методический комплекс «Элементы теории вероятностей и математической статистики» для 10-11 классов гуманитарного и естественнонаучного профиля, который может быть использован для преподавания элективных и обязательных курсов в школах, гимназиях, лицеях.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Обучение элементам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики на старшей ступени школы, осуществляемое посредством реализации прикладной направленности стохастики, путем включения в процесс обучения системы задач и упражнений прикладного характера, способствует развитию вероятностного мышления учащихся.
2.Ключевыми требованиями к системе задач и упражнений прикладного характера, направленной на развитие вероятностного мышления старшеклассников выступают: учет направления профильной дифференциации; реализация межпредметных связей стохастики; наличие задач и упражнений исследовательского характера, а также задач на анализ, построение и интерпретацию вероятностных моделей ситуаций, возникающих в области будущих профессиональных интересов школьников.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивается: комплексным теоретическим анализом проблемы; согласованностью результатов данного исследования с ведущими положениями психолого-педагогических и методических концепций; использованием экспериментальных методов для проверки, подтвердившей справедливость основных положений диссертации; применением методов математической статистики при обработке экспериментальных данных.
Этапы исследования. Экспериментальная проверка теоретических положений диссертации проводилась в 2003-2008 гг. на базе МОУ «Гимназия № 69 им. И.М. Передова» и МОУ «Гимназия № 139» г. Омска (10-11 классы) и состояла из трех этапов: 1) констатирующий; 2) поисковый; 3) обучающий.
На первом этапе (2003-2004 гг.) изучалась психолого-педагогическая, методическая и специальная литература по теме исследования; осуществлялся анализ и обобщение педагогического опыта по проблеме исследования; разрабатывались теоретические основы развития вероятностного мышления учащихся.
На втором этапе (2005-2006 гг.) уточнялись цели и задачи исследования; разрабатывалась программа элективного курса «Элементы теории вероятностей и математической статистики» для 10-11 классов средней школы; осуществлялся поиск методических подходов к развитию вероятностного мышления школьников; разрабатывалась система вероятностно-статистических задач прикладного характера для учащихся 10-11 классов гуманитарного и естественнонаучного профиля.
На третьем этапе (2007-2008 гг.) в ходе опытно-экспериментальной работы проводилась проверка гипотезы о влиянии прикладной направленности обучения стохастике на развитие вероятностного мышления .старшеклассников; выполнялись анализ, систематизация и обобщение результатов опытно-экспериментальной работы, уточнение выводов, оформление результатов исследования.
Апробация результатов исследования осуществлялась на семинаре «Реализация содержательной линии образовательных стандартов «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в средней школе» (Омск, 2007-2008 гг.), на XXXI Региональной научной студенческой конференции «Молодежь III тысячелетия» (Омск, 2007 г.), на II Всероссийской заочной научно-практической конференции «Актуальные вопросы методики преподавания математики и информатики» (Биробиджан, 2007 г.), на XX Международной электронной заочной научной конференции «Новые технологии в образовании» (Воронеж, 2007 г.), на заседаниях кафедры методики преподавания математики ОмГУ им. Ф.М. Достоевского. По теме исследования имеется 10 публикаций, в том числе 3 публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Внедрение выдвинутых в диссертации положений, методических рекомендаций осуществлялось в ходе опытно-экспериментальной работы, проводимой в 10-11 классах МОУ «Гимназия №69 им. И.М. Чередова» и МОУ «Гимназия № 139» г. Омска.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка, состоящего из 199 источников, включая работы автора, и 9 приложений.
Роль и место вероятностно-статистической линии в школьном курсе математики
В настоящее время общеобразовательная школа вместе со всем российским образованием переживает период обновления. При этом одним из основных аспектов модернизации школьного математического образования стало включение теоретико-вероятностных знаний во всеобщее обучение.
Эта необходимость обусловлена:
- во-первых, высоким уровнем развития науки: естественные, гуманитарные и технические науки во многом опираются на статистические концепции и широко используют вероятностно-статистические методы [29];
- во-вторых, социально-экономическими потребностями общества, народным хозяйством (известны примеры, когда игнорирование стохастическим характером некоторых явлений оборачивается колоссальными материальными потерями в энергоснабжении, на транспорте и других сферах народного хозяйства) [57];
- в-третьих, процессами европейской и мировой интеграции неразрывно связанными с взаимным сближением стран и народов, в том числе и в сфере образования (вероятностно-статистическая линия присутствует в качестве самостоятельной содержательной линии в курсах школьной математики практически во всех развитых странах мира).
Согласно исследованиям ряда методистов, «в течение довольно длительного времени обучение математике в школе было ориентировано на изучение законов жёсткой детерминации», а случайный характер многих явле ний действительности оказывался за пределами внимания школьников [33, 159]. На это в своих работах обращают внимание В.А.Булычев, Е.А. Бунимович, Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, А.Н. Колмогоров, Д.В. Маневич, В.Д. Селютин и др. [26, 28, 33, 47-50, 61, 62, 80, 100, 129, 160, 174].
Л.О. Бычкова отмечает, что «однобокий характер представлений школьников относительно многих природных и общественных процессов, не соответствующий уровню развития современной науки» [33]. О том же говорит и Б.В. Гнеденко: «Наша школа с первых и до последних дней школьной жизни знакомит учащихся только с детерминистическим подходом, лишая тем самым своих воспитанников ознакомления с более общими закономерностями, завоевавшими в ряде областей знания и практической деятельности господствующие позиции» [48]. А потому, во введении в школьное обучение элементов теории вероятностей и развитии статистического мышления «нуждаются и методологическое воспитание школьников, и последующая их практическая деятельность, и межпредметные связи ... Именно в школе должны закладываться элементы этих знаний, когда ум подвижен и идеи, сообщенные в эту пору, становятся рабочим инструментом на всю жизнь» [50, с. 64].
Е.А. Бунимович отмечает, что в настоящее время «ориентация на демократические принципы мышления, на многовариантность возможного развития ситуаций и событий, на формирование личности, способной жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно-статистического мышления у подрастающего поколения. Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с элементами описательной статистики, с формированием комбинаторного и вероятностного мышления» [29].
Таким образом, основная цель введения вероятностной линии в школьное образование заключается в развитии вероятностного мышления, вероятностной интуиции учащихся, в формировании адекватных представлений о свойствах случайных явлений. Так, по мнению Л.О. Бычковой, «в том случае, когда при обучении математике вероятностная интуиция не развивается, вместо верных представлений и концепций учащимися усваиваются ложные взгляды, они высказывают ошибочные суждения» [33]. В связи с чем, автор в качестве одной из важнейших задач вероятностно-статистического образования выдвигает «формирование методологически правильных взглядов на природу и общество, отвечающих современной научной картине мира» [33].
История внедрения вероятностно-статистической линии в школьный курс математики охватывает достаточно большой период времени. В своих диссертационных исследованиях В.Д. Селютин [159], Д.В.Маневич [100], СВ. Щербатых [196], А.В. Ванюрин [34] достаточно подробно рассматривают этот вопрос в контексте российской школы. Согласно их исследованиям, попытки включения элементов теории вероятностей и математической статистики в программы различных российских учебных заведений предпринимались многократно, начиная еще с первой половины XIX века. Так, на II Всероссийском съезде преподавателей математики 28 декабря 1913 г. профессор П.А. Некрасов выступил с инициативой введения элементов стохастики в школьный курс математики. При этом за основу он предложил взять программы, действовавшие в те годы в школах Англии. Эти программы включали в себя следующие темы: теория соединений, вероятность, теорема Бернулли, теоремы сложения и умножения вероятностей, математическое ожидание, теорема Чебышева, формулы Байеса, задача о разорении игроков, страхование жизни. Но, тем не менее, реализации идей съезда помешала на-чавшаяся Первая мировая война, а затем революция.
Попытки введения элементов стохастики в школьный курс математики предпринимались и после революции 1917 года. Так, например, разделы, содержащие вопросы теории вероятностей и математической статистики, были включены в программы рабочих факультетов физико-технического и биологического направлений. Но, как показывает история, школа того времени по ряду причин, среди которых нехватка учебников, отсутствие методических пособий, несовершенство методов преподавания и т.д., не могла обеспечить необходимых стохастических знаний учащихся. В начале 60-х годов Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоровым, А.Я. Хинчиным был поставлен вопрос о модернизации школьного математического образования в отечественной школе.
На массовое обсуждение в педагогической печати этого периода времени вопроса о развитии статистического мышления школьников указывает Н.Н. Авдеева: «Дело в том, что с формированием молекулярно-кинетических представлений о строении вещества концепции строгого детерминизма, господствовавшие в естествознании в прошлом веке, начали систематически дополняться статистико-вероятностнои терминологией. В настоящее время достаточно твёрдо укоренился взгляд, что наряду с классическим детерминизмом необходимо рассматривать закономерности более широкого типа — статистического, или вероятностного» [3].
Таким образом, в связи с реформой школьного математического образования, проводимой в 60-е годы, появился целый ряд работ ученых методистов, которые ставили своей целью разработать методику преподавания теории вероятностей как отдельной темы школьного курса математики. Однако в 70-х годах из обязательных программ были исключены даже самые начальные сведения по теории вероятностей в силу неподготовленности школы к их восприятию. Как отмечает Е.А. Бунимович, «материал, предлагаемый школьникам на формально-логическом уровне, оказался чрезвычайно сложным и плохо усваивался учащимися. К тому же неоднократно проводимые исследования знаний учащихся старших математических классов, изучавших формулы комбинаторики и знакомых с классической вероятностной моделью, показали, сколь мало эти знания способствуют развитию вероятностной интуиции и изживанию традиционных вероятностных предрассудков» [30].
Реформой 80-х годов элементы теории вероятностей и математической статистики были включены в программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного. По желанию учителей и учащихся в 80-90-х гг. элементы стохастики рассматривались на факультативных занятиях в старших классах средней школы. В настоящее время в соответствии с приказом Министерства образования и науки Российской Федерации № 03-93 ин/13-03 от 23.09.2003 «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы» элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение [18, 157]. Министерство образования РФ рекомендовало образовательным учреждениям начинать преподавание этого материала в основной школе с 2003-2004 учебного года, а с 2006-2007 учебного года этот материал должен был быть включен в программы 5-8 классов. Как отмечал В.А. Болотов, «постепенно изучение этого материала в полном объеме будет осуществляться и в старших классах образовательных учреждений. А пока время на реализацию стохастической линии на старшей ступени обучения может быть выделено за счет элективных курсов, характер и объем излагаемого материала на которых, будет зависеть от профильной программы изучения математики» [18]. Отметим, что в старшей профильной школе роль элективных курсов значительно возрастает, поскольку они направлены на углубление и расширение предметных знаний учащихся, подготовку их к итоговой аттестации, продолжению соответствующего профилю образования в высшей школе и осознанному выбору будущей специальности.
Как отмечает Е.А. Бунимович, «в нашей стране сегодня происходит неизбежный процесс вхождения стохастики как равноправной составляющей в обязательное школьное математическое образование» [29]. Но, тем не менее, по словам М.В. Ткачёвой, «отечественная школа ещё не окончательно определилась с приоритетами как в целях изучения стохастики, так и в отборе содержания стохастического материала» [174].
Как показывает история и исследования большинства отечественных методистов, разработчикам новой содержательной линии во все времена достаточно часто приходилось обращаться к работам своих зарубежных коллег, имеющим более давний опыт преподавания основ стохастики школьникам. В развитых демократических странах с рыночной экономикой и массовым производством воспитанию статистической культуры подрастающего поколения с давних времён уделяется особое внимание. В 1814 г. П. Лаплас писал, что «нет науки более достойной наших размышлений, и было бы полезно ввести её в систему народного образования»» [10]. На IV Международном Математическом Конгрессе (1908 г.) после обсуждения вопроса модернизации школьного математического образования, было принято решение о введении элементов теории вероятностей и математической статистики в массовую школу развитых стран Европы, США и Японии [34, с. 13].
В национальном учебном плане Англии и Уэльса изучению вероятностно-статистического материала отводится значительная часть времени. Учащиеся младших классов должны научиться выполнять группировку объектов, собирать данные и заносить их в таблицу, строить и читать простейшие диаграммы, правильно использовать вероятностную терминологию. Итоговые требования к знаниям учащихся средних классов свидетельствуют о том, что они осваивают различные способы обработки и представления статистических данных, умеют работать с базой данных компьютера, оценивают и вычисляют несложные вероятности. В старших классах от учащихся требуется умение анализировать и интерпретировать данные, представленные в различной форме, проверять простейшие статистические гипотезы [33].
Прикладная направленность школьного курса стохастики и ее влияние на развитие вероятностного мышления учащихся
И. Яглом, изучая положение математики в системе научных дисциплин, отмечает, что «математика в ряду всех наук занимает совершенно особое, принадлежащее лишь ей одной место. Естественные науки — физика, химия, биология, геология и т.д. - изучают мир, в котором мы живем; гуманитарные науки - лингвистика, литературоведение, история, этика, социология - изучают человеческое общество в разных его проявлениях, то есть также нечто реально существующее, поддающееся наблюдениям и даже эксперименту. В противоположность этому математика исследует некоторые абстрактные конструкции. При этом выдающаяся роль математики связана с приложимостью ее как к естественным, так и к гуманитарным наукам, с возможностью «математического моделирования» объектов реального мира» [197, с. 73].
Математические идеи и методы лежат в основе большинства исследований в области биологии, генетики, химии, физики, экономики, языкознания, литературоведения и т.д. Кроме того, «рациональные (мышление) и иррациональные (ощущения) психические функции у большинства людей взаимосвязаны, поэтому подавление одних может ослабить и другие» [163]. Не случайно, методисты отмечают, что значение математического образования в «нематематических» классах должно быть не только не меньше, но даже и больше, чем в математических. В программах по математике для этих классов особое место должны занять вопросы мировоззренческого характера, факты из истории математики, и что самое главное, описания ее приложений в различных областях человеческой деятельности. Ведь, по словам Г.В. Дорофеева, от учащихся естественнонаучных и гуманитарных профилей «не требуется столь глубокого интереса, добровольной «преданности» математике, но они должны быть внутренне убеждены в ее полезности для своей базовой науки — будущие химики, биологи, экономисты, лингвисты должны рассматривать изучение математики, по крайней мере, как «осознанную необходимость»...» [61].
Федеральный компонент государственного стандарта общего образования предусматривает одним из основных направлений модернизации общего образования «формирование ключевых компетенций — готовности учащихся использовать усвоенные знания, умения и способы деятельности в реальной жизни для решения практических задач» [157]. Поэтому не случайно, одним из традиционных направлений в преподавании математики является освещение вопросов прикладной направленности. По словам В.В. Фирсова «математическое образование не может не учитывать необходимости отражения прикладных сторон математической науки» [183, № 7, с. 9].
Исследованию вопросов прикладной направленности обучения математике посвящены работы В.В. Фирсова, Ю.М. Колягина, И.М. Шапиро, И.А. Терешина, Г.В. Дорофеева, Б.В. Гнеденко, А. Плоцки, А.Г. Мордковича, В.А. Далингера и др. [47, 55, 60, 66, 82, 130, 166, 171, 183, 191].
Согласно В.В. Фирсову, «существо прикладной направленности среднего математического образования заключается в осуществлении целенаправленной содержательной и методологической связи школьного курса математики с практикой, что предполагает введение в школьную математику специфических моментов, характерных для исследования прикладных проблем математическими методами» [183, № 7, с. 8].
Ю.М. Колягин, В.В. Пикан под прикладной направленностью обучения математике понимает «ориентацию содержания и методов обучения на применение математики в технике и смежных науках; в профессиональной деятельности; в народном хозяйстве и в быту» [82, с. 27].
И.М. Шапиро отмечает, что «прикладная направленность обучения математике предполагает ориентацию его содержания и методов на тесную связь с жизнью, основами других наук, на подготовку школьников к использованию математических знаний в предстоящей профессиональной деятельности» [191]. По мнению Г.В. Дорофеева «под прикладной направленностью понимается обучение применению математического аппарата, как в самом курсе математики, так и в других дисциплинах с использованием методов и приемов, характерных для деятельности в области применения математики» [61].
Обобщая все имеющиеся подходы, заметим, что в настоящем исследовании под прикладной направленностью обучения математике будем понимать «требование к обучению математике, при котором не только будут изучены некоторые факты математической теории, но и показано, как эта теория может быть применена в той или иной предметной области, внешней по отношению к данной теории» [66].
В.В. Фирсов выделяет требования, необходимые для решения проблемы прикладной ориентации курса математики [183, № 7, с. 13]:
- Компоненты математической культуры, вовлекаемые в процесс обучения математике, должны формировать правильные представления о математике и ее приложениях.
- Курс математики в школе должен правильно воспитывать математическую интуицию учащихся, основывающуюся на сознательном понимании происхождения и реальной семантики математических объектов.
- Среднее математическое образование должно приводить к овладению учащимися элементами математической культуры, относящимися ко всем трелі этапам применения математики к решению практических задач.
Н.А. Терешин рассматривает прикладную направленность школьного курса математики «с точки зрения двух важнейших взаимосвязанных, но вполне самостоятельных функций, которые она может реализовать» [171]:
- мировоззренческая, реализующаяся при использовании математики в других школьных учебных предметах, рассмотрении истории возникновения и эволюции математических понятий, их источника, а также при абстракциях различных уровней, знакомстве с элементами математического моделирования реальных состояний или процессов, конструирования и рас смотрения возникающих алгоритмов, программ и т.п. - социально-педагогическая, реализующаяся при профессиональной ориентации школьников, например, математические задачи могут способствовать экономическому или экологическому воспитанию школьников.
Наряду с этими двумя функциями, в учебно-методической литературе выделяют следующие дополнительные функции [143]:
- мотивирующая, которая заключается в побуждении познавательного интереса, инициативы, активизации мыслительных процессов учащихся, осознании жизненной необходимости знаний, приобретаемых при изучении данной учебной дисциплины.
Методические аспекты построения элективного курса по элементам теории вероятностей и математической статистики в контексте профильной дифференциации старшей школы
Согласно действующему стандарту, на изучение стохастической составляющей в 10-11 классах отводится 20 часов учебного времени. При этом предлагается ориентироваться на следующее содержание [157, с. 38]:
- Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных.
- Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.
- Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий. Вероятность и статистическая частота наступления события.
Как было отмечено ранее в 1.3 настоящего исследования, существующая в настоящее время программа по математике, учитывающая наличие вероятностно-статистической линии на старшей ступени школы, слабо отражает прикладной потенциал стохастики, что, в свою очередь не способствует в достаточной мере развитию вероятностного мышления школьников. Умению ставить вероятностные задачи на жизненном материале и решать их средствами стохастики очень трудно научить в те короткие сроки, которые отво дятся на это школьной программой. Однако, как уже неоднократно говорилось в предыдущих параграфах, сделать это необходимо. Поэтому одним из возможных путей решения этой проблемы может служить разработанный нами элективный курс «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики», рассчитанный на учащихся 10-11 классов гуманитарного и естественнонаучного профиля.
Элективные учебные предметы — «обязательные учебные предметы по выбору обучающихся из компонента образовательного учреждения, основная особенность которых заключена в необходимости выбора самим учащимся, что ставит школьника в ситуацию самостоятельного построения индивидуальной образовательной траектории, профессионального самоопределения» [157]. Элективные курсы выполняют 3 основные функции [157]:
1) развитие содержания одного из базовых учебных предметов, что позволяет поддерживать изучение смежных учебных предметов на профильном уровне или получать дополнительную подготовку для сдачи единого государственного экзамена;
2) удовлетворение познавательных интересов обучающихся в различных сферах человеческой деятельности;
3) «надстройка» профильного учебного предмета (такой дополненный профильный учебный предмет становится в полной мере углубленным).
В зависимости от своего назначения элективные курсы делятся на [32]:
1) курсы, являющиеся «надстройкой» профильных курсов и обеспечивающие для наиболее способных школьников повышенный уровень изучения того или иного учебного предмета;
2) курсы, обеспечивающие межпредметные связи и дающие возможность изучать смежные учебные предметы на профильном уровне (например, «Математическая статистика» для учащихся экономического профиля);
3) курсы, призванные помочь школьникам, обучающимся в профильных классах, где один из учебных предметов изучается на базовом уровне, подготовиться к сдаче ЕГЭ по этому предмету на повышенном уровне; 4) курсы, ориентированные на приобретение школьниками образовательных результатов для успешного продвижения на рынке труда (например, курсы «Делопроизводство» или «Деловой английский язык»);
5) курсы, носящие внепредметный или надпредметный характер, - ведь познавательные интересы многих старшеклассников часто могут выходить за рамки традиционных школьных предметов, распространяться на области деятельности вне выбранного профиля обучения (например, элективы типа «Основы рационального питания» или «Подготовка автолюбителя»).
Программа разработанного нами элективного курса «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» включает в себя основные разделы стохастической составляющей школьного курса математики: вопросы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики (Приложение 2). Материал, включенный в программу курса, дополняет основные вопросы стохастической линии отраженные в стандарте. В связи с чем, данный курс может быть отнесен к курсам «надстройки» профильного курса, а также к курсам, реализующим межпредметные связи.
Умение применять математические знания для решения жизненных проблем не может появиться само собой. Этим умениям необходимо обучать целенаправленно. По мнению большинства методистов, еще на этапе предпро-фильной подготовки необходимо создать такую систему курсов по выбору, которая позволила бы основной массе учащихся ознакомиться с наиболее известными приемами и методами применения математических знаний в различных областях науки, техники и жизненных ситуациях. А потому основная цель разработанного нами элективного курса заключается в обучении школьников стохастической составляющей посредством реализации её прикладной направленности. Выделим основные цели курса.
1. Образовательные:
знакомство учащихся с миром случайного; формирование адекватного представления о свойствах случайных явлений и вероятностных представлений об окружающем мире; формирование у школьников умений накапливать и систематизировать представления о свойствах процессов и явлений, в большинстве своем имеющих стохастическую природу;
знакомство с математическими (вероятностными) методами, которые могут быть использованы при решении ряда задач, возникающих в гуманитарных дисциплинах и дисциплинах естественнонаучного цикла.
2. Развивающие:
развитие вероятностного мышления старшеклассников;
целенаправленное развитие у учащихся идеи наличия в природе и обществе статистических закономерностей.
3. Воспитательные:
повышение уровня общей математической культуры учащихся;
воспитание стохастической культуры школьников;
воспитание интереса к математике через показ ее значимости в различных областях знания.
Достижение поставленных целей может быть осуществлено в процессе решения следующих задач:
1. Познакомить учащихся с элементами комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.
2. Расширить математические представления и кругозор школьников.
3. Сформировать у учащихся умения и навыки решения прикладных задач средствами математического моделирования.
4. Сформировать у учащихся понятийный аппарат, необходимый и достаточный для подготовки экспериментальных исследований, первичной и последующей обработки полученных данных для углубленного изучения литературы гуманитарного профиля, а также подготовки и проведения экспериментов в классах биологического и химического профиля.
