Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Анализ учебной и методической литературы по теме «Векторы» 9
1.1. Определение понятия вектор 9
1.2. Свойства векторов 17
1.2.1. Сумма и разность векторов 17
1.2.2. Переместительный закон сложения векторов 22
1.2.3. Сочетательный закон сложения векторов 24
1.3. Умножение вектора на число 26
1.4. Скалярное произведение векторов и его свойства 29
Глава II. Методика, обеспечивающая преодоление устойчивых трудностей в ходе усвоения учащимися понятия вектора и его свойств 33
2.1. Деятельностныи подход как теоретическая основа повышения эффективности изучения темы «Векторы» 33
2. 2. Способ введения понятия вектор 43
2. 3. Сумма и разность векторов 62
2.3.1. Переместительный закон сложения векторов 70
2.3.2. Сочетательный закон сложения векторов 75
2.4. Умножение вектора на число 77
2.5. Скалярное произведение векторов 88
2.5.1. Скалярное произведение векторов и его свойства 88
2.5.2. Скалярное произведение векторов в координатах 90
2.6. Апробация результатов исследования 95
Заключение 118
Библиография 121
- Определение понятия вектор
- Деятельностныи подход как теоретическая основа повышения эффективности изучения темы «Векторы»
- Способ введения понятия вектор
Введение к работе
Тема «Векторы» появилась в курсе математики школ России сравнительно недавно - в 1963 году. Вопрос о том, должны ли изучаться векторы в школьном курсе, в настоящее время практически не обсуждается. Эта тема важна потому, что, во-первых, позволяет, используя векторы, упростить решение многих задач школьного курса математики, которые другими методами решаются гораздо труднее. Также векторы в школьном курсе геометрии позволяют сделать доказательства многих теорем не только более понятными ученикам, но и более естественными и наглядными, что способствует обучению поиску доказательств теорем и решения задач.
Во-вторых, понятие вектора используется во многих приложениях математики, таких, как современная алгебра и геометрия, теория функций и теория вероятностей. Учебники по таким, на первый взгляд, далеким от математики предметам, как электротехника, радиотехника, теория антенн и др., очень широко используют векторы.
В-третьих, понятие вектора является важным понятием школьного курса физики и играет существенную роль в межпредметных связях математики и физики.
Несмотря на большое внимание, которое уделяется теме «Векторы» в методической литературе, она до сих пор остается одной из самых трудных для учеников тем школьного курса, о чем свидетельствуют исследования таких авторов, как А.Д. Александров, Л.С. Атанасян, Г.П. Бевз, В.Г. Болтянский, В.Ф.Бутузов, М.Б. Волович, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, СБ. Кадомцев, В.М. Клопский, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, И.А.Лурье, А.Ф.Пичурин, В.А. Погорелов, В. И. Рыжик, Г. И. Саранцев, А.Ф. Семенович, А.Д. Семушин, З.А. Скопец, И.М. Смирнова, В.А. Смирнов, Ф.И. Фетисов, Р.С. Черкасов, И.Ф. Шарыгин, И.М. Яглом, М.И. Ягодовский и др., где весьма большое внимание уделяется выявлению трудностей, с которыми сталкиваются ученики при изучении темы «Векторы», и отысканию способов их преодоления.
Методике изучения темы «Векторы» в курсе геометрии средней школы посвящены диссертации С. В. Бабаджанян, С. Р. Джапарова, А.И. Иванова, А.К. Кагазбаевой, Н.Я. Милина, В.Г. Михеевой, Е. В. Старцевой, А. М. Суфиева, Д.И. Хана и др. В этих работах исследовались межпредметные связи физики и математики, вопросы систематизации и закрепления знаний при изучении векторов, использование векторов при решении геометрических задач.
Анализ работ вышеперечисленных исследователей, бессм~*_ учителями и со студентами математического факультета МГТГУ, констатирующий эксперимент позволили выделить в теме «Векторы» то, что вызывает у учащихся наибольшие затруднения:
сам способ введения понятия вектор; определение вектора как направленного отрезка (наиболее распространенное в действующих учебниках) приводит к тому, что для учащихся вектор - это отрезок (геометрическая фигура), хотя и «с направлением»;
свойства сложения векторов, умножения вектора на число, скалярного умножения векторов даются в учебниках в готовом виде, и поэтому учащиеся часто их забывают и путают. Между тем знакомство с этими свойствами может быть организовано таким образом, А^оы ученики сознательно формулировали гипотезу о наличии этих свойств (по аналогии со свойствами, которые им известны по действиям с числами);
трудности вызывают доказательства многих теорем темы (переместительный и сочетательный законы сложения векторов, свойства умножения вектора на число, теоремы о выражении скалярного произведения векторов через координаты векторов и т.д.)
Необходимость преодоления выявленных затруднений и устойчивых недостатков, связанных с изучением темы «Векторы» в курсе основной школы, свидетельствует об актуальности темы исследования.
Преодоление противоречий между большой теоретической значимостью темы «Векторы» и ее практической реализацией, которая вьіЗі>.-і„А у учащихся существенные затруднения при изучении, составляет проблему исследования.
Целью работы является разработка методики, которая позволила бы избежать устойчивых затруднений, возникающих у учеников при введении понятия вектора и изучении его свойств. Это позволит сделать изучение темы «Векторы» понятной и доступной для большинства учащихся.
Объектом исследования является процесс обучения геометрии в основной школе.
Предмет исследования — разработка методов и средств обучения, направленных на преодоление устойчивых недостатков в ходе усвоения определений и теорем на примере изучения темы «Векторы» в основной школе.
Гипотеза исследования заключается в том, что приложенный в исследовании способ введения понятия вектора и разработанные на основе деятельностного подхода Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина методика и средства обучения позволят устранить выявленные устойчивые затруднения, возникающие у учеников, и тем самым повысят эффективность изучения темы «Векторы» в курсе основной школы.
Цель, проблема, предмет и гипотеза исследования определили следующие задачи исследования.
Поскольку, несмотря на накопленный на сегодняшний момент опыт организации усвоения материала темы «Векторы», она остается наиболее сложной для учеников, необходимо выявить те устойчивые трудности, с которыми они сталкиваются при изучении этой темы. Это первая задача исследования.
Процесс обучения в большой мере определяется тем, какая психологическая теория лежит в основе организации усвоения. Поэтому второй задачей исследования является рассмотрение существующих психологических теорий, для того чтобы определить, какие из них целесообразно использовать, организуя усвоение темы «Векторы».
Поскольку, как уже отмечалось, определение вектора как направленного отрезка приводит к появлению устойчивых недостатков, возникла необходимость найти такой способ введения понятия вектор, который
позволяет доступно и математически корректно сформировать у учеников данное понятие. Это третья задача исследования.
Четвертая задача исследования - разработать такие подходы к усвоению темы «Векторы», которые позволят не только устранить затруднения, возникающие при традиционных доказательствах теорем, вводящих свойства векторов, но и сделают доказательства этих теорем доступными для учащихся и вместе с тем математически корректными.
Нужно было проверить: 1) устраняют ли разработанный способ введения понятия вектора и предложенные способы доказательства некоторых «векторных теорем» выявленные устойчивые ошибки; 2) доступны ли ученикам разработанные средства обучения. Отсюда следует пятая задача исследования: в ходе педагогического эксперимента убедиться, что разработанная в исследовании методика способствует лучшему усвоению темы «Векторы».
Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:
—теоретические методы, анализ психолого-педагогической, учебно-методической и математической литературы, работ по истории математики, программ по математике средней школы; изучение опыта отечественной школы по проблеме введения определения вектора;
—эмпирические методы: наблюдение, беседы со студентами и учителями, педагогический эксперимент.
Методологической основой исследования явились:
теория учебной деятельности, разработанная в трудах психологов школы Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина;
исследования педагогов по реализации оптимизации учебного процесса;
разработки в области педагогики и методики обучения математике по формированию приемов учебной деятельности и дидактических средств управления этой деятельностью.
7 Научная новизна исследования заключается в совершенствовании методики изучения темы «Векторы»:
Преодолены недостатки введения понятия вектора; дано описание, позволяющее сделать так, чтобы вводимое понятие было математически корректно и, вместе с тем, оказалось в зоне актуального развития ученика. *
Предложены более простые для восприятия и оперирования учащимися доказательства основных теорем темы «Векторы» (переместительного и сочетательного законов сложения векторов, теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и т.д.). В частности, удалось найти доказательства, которые позволили не рассматривать весьма трудные для учеников частные случаи.
В соответствии с рекомендациями психологов формулировки определений и теорем структурированы, что сделало их существенно более понятными ученикам и удобными для оперирования.
Разработаны средства обучения, позволяющие организовать собственную работу учеников, обеспечивают,^-* адекватное оперирование с новыми знаниями.
Теоретическая значимость проведенного исследования определяется тем, что разработаны методические подходы, позволяющие не только дать доступное ученикам, математически корректное описание понятия вектора и более естественные и простые для учеников доказательства векторных теорем, но и способствующие обучению поиску доказательств.
Практическая значимость исследования заключается в том, что
разработанные теоретические положения, связанные с введением понятия
вектор и доказательствами наиболее важных теорем темы, позволят любому
учителю сделать усвоение темы «Векторы» доступной практически для всех
учащихся основной школы. *
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается:
использованием достижений психолого-педагогической науки;
осмыслением педагогического опыта, в том числе опубликованного в методической литературе.
данными педагогического эксперимента, который доказал доступность разработанных материалов для учеников и их эффективность.
На защиту выносится:
Разработанная методика усвоения темы «Векторы», включающая:
1. принципиально новый способ введения понятия вектор, исключающий
понимание вектора как фигуры (бесконечного множества точек);
»
структурированные формулировки определений и теорем, что сделало их существенно более понятными ученикам и удобными для оперирования;
более доступные ученикам доказательства теорем темы «Векторы», позволяющие организовать обучение поиску доказательств теорем и решения задач;
методическое обеспечение активного участия учеников в доказательстве векторных теорем, включающее рабочие тетради, элементы мультимедийного обеспечения, дидактические материалы.
Апробация и внедрение результатов исследования проходило в ГОУ СОШ № 1254 В АО г. Москвы в ходе преподавания автором исследования геометрии (темы «Векторы») учащимся 8-9 классов и в МОУ СОШ j\*3j села Чуево-Алабушки Уваровского района Тамбовской области.
Материалы предлагаемого исследования обсуждались на научно-практической конференции по итогам научной работы (МИГУ, апрель 2003г.; март 2005 г.); в академии повышения квалификации и переподготовки работников образования на курсах по МПМ «Технология преподавания математики, реализующая теорию Л.С. Выготского - А.Н. Леонтьева - П.Я. Гальперина (февраль 2004 г.); на научно-методическом семинаре кафедры методики преподавания математики МШУ (июнь 2005г.).
Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии.
Определение понятия вектор
В России векторы в школьном курсе математики появились в начале 60-х годов XX века. Инициаторами их введения были В.Г. Болтянский и И.М. Яглом.
В 1962 г., еще до выхода учебника [19] для школы, была выпущена книга для учителя [17], которая была рассчитана на то, чтобы учителям было легче разобраться в понятии вектора, которое впервые появлялось в курсе геометрии средней школы. В данном пособии [17] авторы сразу бимечают, что существуют различные подходы к определению понятия вектор. Один из подходов характеризуется тем, что «...вектор с элементарно-геометрической точки зрения есть объект, характеризуемый направлением (т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной. Однако такое определение слишком общее...»[17, с.7]. Определение вектора как параллельного переноса, несмотря на его математическую точность, авторами считается неудовлетворительным, так как «представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах»[17, с.7]. В результате авторы предлагают принять как основное следующее определение «вектором называется семейство всех параллельных между с 5 Л, одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков» [17, с.7]. Но использование данного определения в курсе средней школы считается ими «нецелесообразным», и предлагается определять вектор как направленный отрезок. Авторы уточняют, что учитель должен понимать разницу между вектором как семейством направленных отрезков и одним направленным отрезком. К сожалению, авторы, объясняя, в чем именно разница между вектором - классом и одним направленным отрезком, не уточняют как эту разницу объяснить ученикам.
В 1963 году вышел учебник для школы В.Г. Болтянского и И.М. Яглома [19], где векторы определялись как направленные отрезки. «Часто приходится, кроме обычных отрезков, рассматривать направленные отрезки, считая один из концов отрезка его началом, а второй концом. ... Направленные отрезки называют векторами.» [19, с. 26]. К учебнику прилагалась книга для учителя [20], в ней авторы предупреждают, что трактовка вектора как направленного отрезка является чересчур упрощенной и требует при изложении материала постоянных оговорок, связанных с понятием «равенство» векторов, т.е. следует различать «равные» в смысле совпадающие треугольники и «равные» в смысле конгруэнтные треугольники. Однако и в этом пособии не делается никаких выводов о том, как избежать ошибок и трудностей, связанных с «упрощенной» трактовкой понятия вектора.
«Снижение» строгости в определении понятия вектора авторы пособия [20] считают временным явлением: «В дальнейшем ....мы будем проводить четкое различие между понятием "направленного отрезка" (одного!) и "вектора" (семейства направленных отрезков)» [20, с. 122]. Однако данный учебник просуществовал в школе только два года, и авторы не успели внести какие-либо уточнения в определение понятия вектора.
Итак, рассмотрев возможные варианты определения понятия вектора, авторы посчитали нецелесообразным определять данное понятие ни как параллельный перенос, ни как семейство (класс) направленных отрезков, а остановились на упрощенном определении, хотя и понимали, что оно ведет к постоянным оговоркам. К сожалению, В.Г. Болтянский и И.М. Яглом, уточняя, о каких именно «постоянных оговорках» идет речь, не говорят, как реализовать их предупреждение в практике обучения.
В эти же годы начинается реформирование математического образования школы с доминирующим влиянием теоретико-множественного подхода к введению понятий и их изучению, инициатором и руководителем которого был A.H. Колмогоров. В частности, слово «равно» было синонимом слова «совпадают». Например, два различных треугольника с тремя соответственно равными сторонами предлагалось считать не равными, а конгруэнтными. А вот два равных вектора, отложенные от различных точек, равны, а не конгруэнтны. Однако объяснить эти тонкости ученикам авторы пособий [19,75] и считали совершенно невозможным. Поэтому и пришлось ограничиться лишь не совсем ясными намеками.
Деятельностныи подход как теоретическая основа повышения эффективности изучения темы «Векторы»
Теоретической основой преподавания школьного курса математики и, в частности, темы «Векторы» является ассоциативная теория усвоения.
Первые постулаты ассоциативной психологии были сформулированы Аристотелем, выдвинувшим идею о том, что образы, возникающие без видимой внешней причины, являются продуктом ассоциаций. Закрепление ассоциаций обусловлено частотой их повторения в опыте. Ассоциация - это "связь между психическими явлениями, при которой восприятие, представление одного из них влечет за собой появление другого"[81, с. 24].
В XVIII веке английским врачом Давидом Гартли была сформулирована идея о том, что формирование соответствующих ассоциаций может существенно улучшить качество запоминания, а значит и обучения. Данная идея легла в основу психологического направления, которое получило название ассоцианизм или ассоциативная психология. Уже в XIX веке ассоцианизм подвергся резкой критике и почти полностью прекратил свое существование как научное направление. Но в XX веке он получил развита, . трудах И.М. Сеченова и И.П. Павлова и был принят в качестве официальной психологической теории усвоения в СССР. Позиции ассоциативной теории усвоения как теоретической основы обучения сохраняются в настоящее время, в том числе и при изучении темы «Векторы».
Механизм усвоения в рамках данной психологической теории понимается так: задача учителя заключается в том, чтобы обеспечить восприятие, которое понимается как «целостное отражение предметов, ситуаций и событий, возникающее при непосредственном воздействии физических раздражителей на рецепторные поверхности органов чувств» [81, с. 54]. Таким образом, считается, что если ученики получили достаточно много примеров и контрпримеров, то у них должны сформироваться правильные ппедставления об объектах. Представления - это «образы предметов, сцен, событий, возникающие на основе их припоминания или же продуктивного воображения»[81, с. 257]. На основе сформировавшихся представлений, организовав вычленение общих свойств рассматриваемых объектов и обозначив вычлененные свойства словами, мы, в соответствии с рассматриваемой теорией, формируем понятия. То есть механизм усвоения понимается следующим образом. Вначале формируются восприятия, на их основе - представления, а уже затем понятия.
По данному сценарию: сначала зрительное восприятие, потом представления, представления, описанные словами - понятия, происходит, как было показано в первой главе, формирование понятия вектор:.. Гіствительно, учитель показывает ученикам «отрезки со стрелками», обеспечивая тем самым восприятие того, что впоследствии будет названо вектором. Рассмотрение нескольких «зрительных образов» должно обеспечить формирование представления о векторе. Наконец, «отрезки со стрелками» обозначают словами: направленный отрезок или вектор, обеспечивая тем самым, в соответствии с ассоциативной теорией усвоения, формирование понятия вектор. Зрительный образ - направленный отрезок - закрепляется, как было показано в первой главе, традиционным определением [6, 105].
Из сказанного следует, что при введении понятия вектор нецелесообразно опираться на ассоциативную теорию. Потому что, как было показано в первой главе — это неизбежно приводит к устойчивой ошибке, которая заключается в том, что изображение направленного отрезка воспринимается как сам направленный отрезок, т.е. в понятие вектора включается множество точек, составляющих на рисунке этот направленный отрезок. Отметим, что когда ассоциативная теория усвоения только появилась в школе, она была очень прогрессивной и позволила существенно увеличить эффективность обучения.
Однако в настоящее сделать обучение более эффективным может, с нашей точки зрения, более широкое внедрение в работу школы деятельностного подхода, разработанного психологами школы Л.С. Выготского-А.Н.Леонтьева П.Я. Гальперина. Данный подход адаптирован к нуждам школы в работах [29,30, 83, 121]. Рассмотрим суть деятельностного подхода.
Способ введения понятия вектор
Роль ориентировки велика и ответственна. «В проблеме интеллектуальных возможностей ребенка существенное, если не решающее, значение получает четкость и уверенность ориентировки ребенка в задаче и материале действия. Когда ориентиры четко и устойчиво представлены на ориентировочной карте, ребенок ищет их (и только их!) и его не сбивают даже самые яркие, можно сказать, навязчивые свойства и отношения вещей. Поскольку они не отвечают признакам, указанным на ориентировочной карте, ребенок обходит их и обращается к тем признакам, которые не так заметны, но отвечают заданию. Более того, прочие свойства вещей, даже самые броские, дети начинают считать не только в данных заданиях, но и "вообще несущественными"». [37, с.11-12]
Вместе с тем нельзя переоценивать роль этапа ориентировки: понимание того, с каким материалом и каким образом ученику предстоит работать, - не завершение усвоения, а его начало. После того, как ориентировка завершена, т.е. учащиеся, ъо-хЛ аых, поняли, с каким материалом и каким образом им надлежит работать. Во-вторых, получили все необходимые предписания (схему ориентировочной основы действий), надо переходить к следующему этапу организации усвоения - к организации собственных действий учащихся. На рассматриваемом этапе действия организуются в материальном или материализованном виде, т.е. либо непосредственно на подлежащих изучению объектах, либо на их моделях -схемах, чертежах, изображениях и т.п. Особенностью этого этапа усвоения является максимальная замедленность выполнения действий и максимальная их развернутость. Это позволяет ученику, во-первых, осознать все то, что было фиксировано в ходе этапа ориентировки, и не пропустить никакие ориентиры в ходе самостоятельной работы. Во-вторых, работать в форг , позволяющей обучающему проследить за правильностью выполнения им каждой операции. Возможность проконтролировать весь ход адекватного оперирования ученика с подлежащим усвоению материалом и полученные им результаты являются, на наш взгляд, наиболее существенными на этом этапе педагогического процесса. Поэтому материальное или материализованное оперирование мы в дальнейшем будем называть этапом подконтрольной работы.
Ясно, что на данном этапе нужно широко использовать образцы выполнения действий, которые были даны на предыдущем этапе, и вся работа будет строиться в соответствии с ними.
Обычно в условиях пошагового контроля учащимся достаточно один - два раза выполнить нужную работу, чтобы материал в основном запомнился, а сами действия ученик мог выполнять, не сверяя каждый свой шаг со схемой ориентировочной основы действий. При этом учащимся необходимо объяснить, что очень скоро им необходимо будет отказаться от письменного руководства работой - схемы ориентировочной основы, поэтому, хотя они имеют полное право и даже должны на первых порах в нее заглядывать, надо стремиться запомнить и сам материал, и способы работы с ним.
Возможно, что при переходе от объяснений учителя к самостоятельной работе у части учеников возникнут трудности, ошибки и т.п. Они совершенно естественны. Даже в тех случаях, когда ориентировка на первом этапе выполнена безукоризненно, ошибки бывают. Пошаговый коь - о направлен именно на то, чтобы на этом этапе усвоения тщательно выявлять и устранять возникающие ошибки.
Очень важным требованием к организации работы на рассматриваемом этапе является «подключение» речи. Учащиеся должны формулировать словами все то, что они выполняют, оперируя с материальными или материализованными объектами. Ведь следующим этапом усвоения, как показано в работах П.Я. Гальперина, должен быть этап формирования действия в громкой речи. Позднее, в исследовании М.Б. Воловича, выполненном под руководством Н.Ф. Талызиной, было доказано, что вместо устной (громкой) речи, может быть использована речь письменная [121, с.58-59, 68], поэтому следующий этап усвоения стали называть внешнеречевым, а не этапом громкой речи. В дальнейшем необходимо постепенно отказываться от пошагового контроля, так как в условиях классно-урочной формы обучения не удается полностью обеспечить постепенный перевод действия от внешнего, фиксированного с помощью схемы на этапе ориентировки и пооперационно контролируемого в ходе самостоятельной работы учащихся, к внутреннему. Дело в том, что следующим - четвертым - является этап формирования действия во внешней речи про себя. Смысл его в том, что учащиеся, как и на этапе внешней речи, должны рассказывать о ходе выполнения действий, но делать это беззвучно. Ясно, что письменное выполнение проговаривания, которое использовалось на предыдущем этапе, здесь не поможет. Выяснилось, что руководить речью ученика «про себя» учитель в принципе не в состоянии.
