Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современные научно-методические концепции изучения многогранников в средней школе 15
1. Учение о многогранниках в пропедевтическом курсе геометрии 15
2. Изучение свойств многогранников в курсе планиметрии 20
3. Изучение свойств многогранников в курсе стереометрии 26
Глава 2. Фузионистская концепция как методическая основа изучения свойств многогранников в средней школе 30
1 История фузионистской концепции в методике геометрии 30
2. Концепция структуры и содержания изучения многогранников в средней школе (теоретическая модель) 40
3. Методика наглядно-конструктивного изложения на пропедевтическом уровне 48
4. Методика изучения свойств многогранников в курсе планиметрии, основанная на индуктивном подходе 61
5. Методика изучения свойств многогранников в курсе стереометрии, основанная на индуктивно-дедуктивном подходе 70
6. Организация и результаты экспериментальной работы 103
Заключение 122
Литература 132
Приложение 1 142
Приложение 2 147
Приложение 3 159
Приложение 4 173
- Учение о многогранниках в пропедевтическом курсе геометрии
- Изучение свойств многогранников в курсе планиметрии
- История фузионистской концепции в методике геометрии
Введение к работе
Изменения, происходящие в социальной жизни общества, неизбежно влекут за собой преобразования всех сфер деятельности человека. Новый стиль жизни требует переосмысления содержания образовательной базы: теоретических знаний и практических умений, необходимых для адекватной ориентации в сложных процессах, двигающих развитие культуры и науки в обществе на фоне все более повышающего технического уровня производства и механизмов, призванных облегчить реализацию повседневных потребностей человека. Все это определяет сложившуюся за последнее время тенденцию математизации научных знаний, проникновение математики в различные отрасли науки и различные области практической деятельности людей. Математические методы и математический стиль мышления становится все более необходим людям различных профессий, включая и те виды деятельности, которые относятся скорее к области гуманитарных знаний.
Для того, чтобы максимально реализовать возможности математики как учебного предмета, обучение должно соответствовать возрасту учащихся; пели, методы, содержание обучения должны быть согласованы со способами видения мира ребенком. В связи с этим очень важное значение имеет стремление к созданию методической системы обучения математике, ориентированной не только на общность тех или иных математических теорий и логическую строгость их изложения в школе, но и на возможность развития наглядной интуитивной основы математики, ее понятий, утверждений и задач во взаимосвязи с соответствующим восприятием ребенка окружающего мира, со способами мышления учащихся.
Исторически содержание математических знаний объединяет в себе четыре направления: арифметика, алгебра, математический анализ и геометрия, причем исторически и генетически геометрическая деятельность является первичной интеллектуальной деятельностью человека в целом и каждого человека в отдельности. Геометрия - это не только раздел математики, школьный предмет, это прежде всего феномен общечеловеческой культуры, являющийся носителем собственного метода познания мира.
Занятия геометрией способствуют развитию интуиции, пространственного воображения и других важнейших качеств, лежащих в основе любого творческого процесса. Уроки геометрии играют большую роль для развития пространственного и логического мышления школьников, открывают богатые возможности для воспитания технического творчества учащихся, для показа практических приложений математической науки. Хорошее пространственное воображение нужно конструктору, создающему новые машины, геологу, разведывающему недра земли, архитектору, сооружающему здания современных городов, хирургу, производящему тончайшие операции среди сложной сети кровеносных сосудов и нервных волокон, скульптору, художнику и т.д. Однако, несмотря на огромные возможности, заложенные в предмете геометрия, знания учащихся по геометрии, владение приемами геометрической деятельности, понимание геометрических методов познания мира год от года снижаются, учащимся не интересно на уроках геометрии, процесс обучения превращается для них в скучное разучивание чужих мыслей. Способ изучения геометрии в основной школе справедливо критикуется многими педагогами. Преподаватели считают, что позднее обращение к стереометрии, только в 10-11 классах, лишает учащихся восприятия естественного порядка вещей. Ведь в жизни дети имеют дело с пространственными фигурами, а не с плоскими. Ограничивая мыслительную деятельность учащихся только задачами планиметрии, педагоги невольно искажают пространственные представления, которые формируются у детей к началу изучения геометрии. Все это говорит о необходимости пересмотра методологических, основополагающих принципов изучения геометрии в школе.
В историческом процессе преподавания курса геометрии в общеобразовательной школе можно выделить два направления: 1) раздельное преподавание планиметрии и стереометрии и 2) фузионистское направление, характерной чертой которого является совместное изучение данных предметов, когда плоские и пространственные фигуры изучаются совместно, дополняя и развивая каждую составляющую часть геометрии - планиметрию и стереометрию.
Идеи фузионистского подхода к изучению курса геометрии возникли на рубеже 18-19 столетия, когда отмечаются значительные успехи в развитии многих отраслей науки и техники, в том числе и математики. Хотя следует отметить, что идеи фузионистского подхода к изучению математики мы находим еще у великого азиатского мыслителя 11-го века Ибн-Сины (Авиценны 980-1037г.), который объединяет свои труды «Основы планиметрии» и «Основы стереометрии» и делает попытки рассматривать планиметрические и стереометрические понятия совместно [66], Период расцвета идеи фузионизма относится к тому времени, когда в конце 18-го - начале 19-го века были оформлены и систематически изложены новые направления в геометрии. Идеи фузионизма поддерживал немецкий математик Ф.Клейн (1849-1925гг.). Свои геометрические идеи Клейн изложил в работе «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований» (1872г.), известной под названием эрлангенской программы. Клейн стремился раскрыть внутренние связи между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой - с другой, а также между отдельными частями математики, в частности, связь между планиметрией и стереометрией. В курсе лекций, которые он прочел в начале века в Геттингене, было указано на недостатки преподавания геометрии, в частности, отмечена односторонность выбора геометрического содержания, оттеснение на задний план методики формирования пространственных представлений и обращение основного внимания лишь абстрактно логической стороне геометрической дедукции. В России в конце 19-го - начале 20-го века идеи фузионизма широко использовались при разработке многих программ и учебников по геометрии. Дальнейшее теоретическое и практическое воплощение фузионистского подхода в обучении геометрии продолжается в работах многих русских математиков и педагогов: С.П.Шохор-Троцкого, А.М.АстрЯба, А.Р.Кулишера, И.М.Кавуна, С.А.Богомолова и многих других. С.П.Шохор-Троцкий, например, в своем учебнике «Геометрия в задачах», написанным в 1908 году, как книга для учителя, пишет: «Разделение курсов планиметрии и стереометрии в этом учебнике не проведено, так как многие понятия геометрии лучше усваиваются, если это разделение не проведено».
В настоящее время вновь активным образом поднимается вопрос об изменении методологических установок на курс геометрии в школе, в том числе и реализации идей фузионизма в преподавании геометрии. Актуальность идеи совместного изучения планиметрии и стереометрии характеризуется следующими моментами: на основании «Закона об образовании Российской Федерации» обязательным является только девятилетнее образование и, в следствии этого, в рамках основной школы стал отсутствовать базовый компонент математического образования; возникла необходимость в разработке методики совместного изучения планиметрии и стереометрии, чтобы учащиеся к концу 9-го класса получили необходимый объем знаний, умений и навыков, отвечающий требованиям, предъявляемым к нынешним выпускникам общеобразовательной школы; в связи с развитием и реализацией профильной дифференциации обучения, предусмотренной данным законом, во многих школах происходит резкое сокращение количества часов, отводимых на математику, особенно на геометрию, а так как в школе именно в старших классах учащихся знакомят со стереометрией- геометрией в пространстве, то тем самым, учащиеся многих гуманитарных школ и классов не смогут получить полноценное математическое образование; поэтому уже в рамках девятилетней школы очень важно знакомить учащихся с пространственными формами; необходимо учитывать достижения ученых в области физиологии; исследования ученых показали, что именно в младшем возрасте дети имеют тенденцию наиболее ин- тенсивного развития правого (образного) полушария головного мозга, нежели левого (словесного) полушария, а так как наша система раннего обучения письму и счету способствует развитию словесного (левого) полушария головного мозга, то налицо тенденция подавления образного начала мышления- словесным; таким образом встает задача гармоничного развития личности с точки зрения физиологических особенностей развития головного мозга, и геометрии в плане решения этой задачи отводится важная роль, ибо именно геометрии в пространстве принадлежит огромная роль в развитии образного мышления; в настоящее время разрабатываются различные программы и учебники по математике для начальной школы, так как ряд психологических и педагогических исследований показали, что формирование пространственных представлений более интенсивно происходит у младших школьников; исследования показали, что им доступны и понятны задания, связанные с геометрическими фигурами в пространстве; именно по этой причине педагоги-мето диеты уделяют большое внимание при разработке учебников для младших классов геометрическому материалу и, в частности, изображению геометрических фигур в пространстве (В.А.Гусев, Е.В.Знаменская, Л.В.Тарасов и другие).
В настоящее время наиболее интенсивно в плане совершенствования курса геометрии обсуждается (и частично реализовывается) идея фузионистского построения курса геометрии в рамках основной школы (Г.Д.Глейзер, В.А.Гусев). Определяющее значение для совершенствования методики преподавания курса геометрии в средней школе имеют работы Г.Д.Глейзера[43,46], в которых автор наиболее четко высказывается о необходимости внедрения идеи фузионизма в методику преподавания курса геометрии. В.А.Гусевым разрабатывается новый экспериментальный курс «Геометрия 6-9»[52], отличительной чертой которого является идея совместного изучения плоских и пространственных фигур. В учебном пособии для учителей автор замечает: «Все, о чем мы говорим, что мы делаем, относится к пространству. Все примеры, если это возможно, должны быть связаны с пространством. Плоскость - частный случай пространства.»[56]. В последнее время появился целый ряд диссертационных исследований, где идеи фузионизма занимают ведущее место (С.В.Гуревич[50], З.Р.Федосеева[137], В.Н Фрундин[140] и др.).
Одной из основных идей новой концепции школьного математического образования является приоритет развивающей функции обучения математике, что требует учитывать в процессе обучения наиболее чувствительные к развитию определенных компонентов мышления периоды и опираться на личностный опыт учащихся. Таким сенситивным периодом для развития образных компонентов мышления является школьный возраст до
12—13 лет. Исследования психологов показали, что представления о геометрических фигурах находятся в стадии прогрессивного развития до 15 лет, но только с этого возраста учащиеся начинают изучать стереометрию. По окончании начальной школы у учащихся объемные представления более развиты, чем плоскостные, хотя в рамках традиционной программы по математике младших школьников знакомят только с элементами плоской геометрии. У 9—Н-классников, как считают психологи (К.Д.Мдивани, В.Ф.Ломов и др.), преобладают планиметрические представления, хотя в старших классах изучают объемные фигуры. Поэтому и пространственное мышление как разновидность образного мышления целесообразно развивать у учащихся средней школы уже в 5-6 классах, а также при изучении курса планиметрии. А содержание учебного материала, направленного на развитие пространственного мышления, и его изучение должны учитывать основные качества образного мышления: субъективность, многозначность образа, целостность восприятия, динамичность создаваемых образов, В настоящее время в качестве одного из главных критериев математического развития личности многие психологи рассматривают уровень развития пространственного мышления, который характеризуется умением оперировать пространственным образом. Особенности восприятия объектов, усвоения учебного материала требуют при изучении геометрии опираться на жизненный опыт ученика, его практическую деятельность, обязательно включающую осязание.
В последние годы в связи с дифференциацией обучения, появлением школ и классов различной профильной направленности по-новому встают вопросы о целях, содержании, формах и методах обучения математике в школе, о месте и роли каждого школьного предмета.
Заметим, что дифференцированное обучение не новое явление для российской школы. Его истоком можно считать фуркациго - разделение учебных планов с целью специализации учащихся, которая совместима с сохранением общеобразовательного характера школы. Уже в прошлом веке проявлением фуркации было разделение учебных заведений на классические гимназии и реальные училища.
В течении 20-го столетия идеи дифференциации в преподавании математики развивались то в большей, то в меньшей степени. Начиная с 50-х годов термин «дифференциация» прочно вошел в систему обучения, появились новые виды и формы дифференциации. И, наконец, закон Российской Федерации об образовании, принятый в 1992 году, открыл широкие возможности для внедрения различных форм дифференцированного обучения. Определение дифференциации стало шире, чем просто разделение учебных проі-рамм. Начался период комплексного изучения дифференцированного обучения. В употребление вошли два вида дифференциации: уровневая и профильная.
В основе дифференциации лежат индивидуально-психологические особенности учащихся. Исследования этих особенностей составляют специальную область психологии - дифференциальную психологию. Она накопила значительный материал, в том числе экспериментальный и описательный, о вариативности как отдельных психических свойств человека (память, восприятие, внимание, воображение, мышление и т.д.), так и сложных комплексных образований (характер, темперамент, интересы, склонности, мотивации и т.д.). Значительный вклад в разработку исследуемой проблемы внесли труды известного российского психолога Б.М.Теплова и его учеников. Б.М.Теплов считал, что, поскольку основные свойства нервной системы человека довольно устойчивы, они образуют хорошую почву для формирования определенной формы поведения. Практическая задача обучения состоит, таким образом, не в том, чтобы изменять индивидуальные свойства человека, а в том, чтобы для каждого типа нервной деятельности определить наилучшие пути обучения. В связи с этим одно из ведущих мест в его работах заняло исследование понятия «способность». [130]
В прошлые годы вопросам фузиоиистского подхода при изучении геометрии, а так же вопросам изучения свойств многогранников в средней школе был посвящен ряд мето дических исследований. В научно-методических работах А.Эргашева[152], А.А.Постнова[98], Я.М.Жовнира[63], О.Х.Усманова[134], Б.Г.Имранова[70],
Л.И.Кузнецовой, С.В.Гуревич[50], З.Р.Федосеевой[137], В.Н.Фрундина[140] затрагиваются вопросы фузионистской концепции в преподавании геометрии. Методике преподавания темы «Многогранники» посвящены научно-методические работы С.В.Воейковой, А.И.Поспелова, З.Ю.Рийвес, И.М.Смирновой[127], А.И.Тимофеева, М.А.Щукиной и др. Большое внимание уделено задачам на многогранники в работах В.П.Демидова, Р.С.Кочетковой, А.А.Пикус, О.Е.Роинашвили и др. Анализ выполненных исследований позволил сделать вывод о том, что в психолого-педагогической и методической литературе накоплен достаточно большой теоретический материал и практический опыт по изучению свойств многогранников в средней школе. В прошлые годы были сделаны попытки осуществить фузионистский подход при изучении геометрии, однако эти попытки были сделаны вне концепции дифференциации, стандартизации математического образования, а также без использования информационных технологий. Тем не менее, результаты, полученные в этих работах, внесли значительный вклад в методику изучения многогранников в средней школе, раскрыли дальнейшие пути к совершенствованию методики преподавания геометрии на основе фузионистской концепции.
В последние годы произошло усиление требований к логической подготовке учащихся при изучении геометрии. Это нашло свое выражение в том, что курс геометрии стал строиться на аксиоматической основе (А.В.Погорелов. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы). При этом аксиоматика доводится до сознания учащихся с первых уроков, учащиеся должны строить доказательства со ссылкой на аксиомы. Усиление логического компонента математического образования произошло, к сожалению, за счет снижения работы по развитию пространственного мышления школьников. В то время как исследования показывают, что школьники обладают очень низким уровнем пространственного мышления.
Следовательно, можно констатировать наличие явного противоречия, сложившегося в теории и практике геометрического образования, между реализацией двух методико-содержательных линий курса: развитие логического мышления учащихся; развитие пространственного мышления учащихся.
Разрешить это противоречие можно различными путями: например, отказаться от аксиоматического метода в курсе геометрии средней школы, либо насытить курс геометрии задачами пространственного типа, либо применением специальной наглядности, либо разработать единый курс геометрии и другими. Не отрицая эти пути, мы выдвигаем другой путь разрешения противоречия: построить методику изучения геометрии в средней школе на основе фузионистской концепции. Сущность этой концепции состоит во взаимосвязанном формировании и развитии у учащихся двумерных и трехмерных представлений.
Таким образом, предпринимаемое нами исследование направлено на разрешение названного выше противоречия путем разработки специальной методики обучения, обеспечивающей гармоничную реализацию двух мето дико-содержательных линий школьного курса геометрии, направленных на развитие логического мышления и пространственного мышления. Этот путь нами разрабатывался на примере создания методики изучения многогранников в средней школе на основе фузионистской концепции. Этим определяется актуальность исследования.
В исследовании поставлена следующая проблема: выявление условий и методических особенностей реализации фузионистскои концепции при изучении многогранников в средней школе.
Цель исследования - разработать дифференцированную методику изучения свойств многогранников в курсах планиметрии и стереометрии, основанную на идеях фу-зионизма.
Объектом исследовании является методика изучения учащимися свойств многогранников на уроках геометрии в средней школе.
Предмет исследования - закономерности, методы и средства дифференциации формирования знаний учащихся средней школы о многогранниках на основе взаимосвязанного изучения свойств двумерного и трехмерного пространства.
В соответствии с целью исследования и теоретическим анализом проблемы можно сформулировать следующую гипотезу исследования.
Гипотеза исследования. При разработке методики изучения многогранников в средней школе мы исходим из предположения: если построить методику изучения геометрии на основе идей фузионизма с одной стороны и, с другой стороны, осуществить дифференцированный подход в развитии пространственного мышления учащихся, применить специальные средства совместного изучения многоугольников и многогранников, то можно добиться качественного усвоения свойств многогранников при достаточно высоком уровне пространственного и логического развития в рамках традиционно сложившейся структуры геометрического образования в России.
Для решения поставленной проблемы и проверки выдвинутой гипотезы предполагалось решить следующие задачи.
Основные задачи исследования:
Проанализировать фузионистские подходы при изучении геометрии в средней школе, возможности разработки методики взаимосвязанного изучения многоугольников и многогранников, основанной на фузионистских принципах.
Выявить особенности методики изучения свойств многоугольников и многогранников в средней школе, основанной на идеях фузионизма.
Разработать дифференцированную методику взаимосвязанного изучения многоугольников и многогранников, основанную на фузионистскои концепции для основной и старшей школы.
Экспериментально проверить эффективность разработанной методики взаимосвязанного изучения многоугольников и многогранников в средней школе на основе фузио-нистской концепции и влияние на развитие логического и пространственного мышления учащихся.
Для решения поставленных задач применялись различные методы: а) теоретические: анализ психолого-педагогической, методической литературы по про блеме исследования; изучение школьных программ и учебников по геометрии, разработка теоретической концепции; б) опытно-экспериментальные: наблюдение за деятельностью учащихся в процессе реше ния учебных задач и анализ ее результатов; организация и проведение экспериментально го обучения, контрольные срезы и тестирование учащихся, анкетирование, беседы с учителями и учащимися, экспертные оценки.
Теоретической основой исследования явились традиционные и современные психолого-педагогические теории, относящиеся к проблеме исследования, в частности: теория развития пространственного мышления школьников вообще и в процессе обучения геометрии в частности. (И.С.Якиманская, Г.Д.Г'лсйзср, И.Г.Вяльцсва и др.); фузионистская концепция преподавания геометрии (Ф.Клейн, С.И.Шохор-Троцкий, Г.Д.Глейзер, В.А.Гусев и др.); теория построения изображений пространственных объектов в школьном курсе геометрии (Н.Ф.Четверухин, С.Б.Гуревич и др.); теория дифференцированного обучения математики (В.Л.Гусев, И.М.Смирнова и др.); концепция развивающего обучения (В.В.Давыдов, И.С.Якиманская и др.).
Исходя из особенностей и характера поставленных задач, исследование проводилось в три этапа (1997-2 ОООгг): изучение и теоретический анализ литературы по проблеме исследования, анализ теоретического материала учебников геометрии, обобщение опыта работы учителей школ, проведение тестирований по заданиям, связанным с многогранниками, для определения общего подхода при рассмотрении многогранников в 5-6 классах и 7-9 классах; разработка методики изучения многогранников в средней школе на основе фузионист-ской концепции, подготовка материала обучающего и контролирующего эксперимента;
3) обучающий и контролирующий эксперимент, проверка эффективности разработанной методики и влияния на развитие пространственного и логического мышления, теоретическое обобщение полученных материалов.
Научная новизна и теоретическая шачимость исследования заключается в разработке принципов совместного и взаимосвязанного изучения учащимися свойств двумерного и трехмерного пространства, что обеспечивает гармоничность в логическом и пространственном развитии, в условиях сохранения многолетней российской традиции последовательного изучения планиметрии и стереометрии. Фузионистский подход реализован в диссертации в новых условиях: стандартизации и дифференциации математического образования, применения современных информационных технологий.
Практическая значимость исследования. Разработанная в диссертации методика, реализующая идеи фузионистского подхода в условиях современной школы, может быть использована при создании нового поколения учебной литературы для учащихся, методических пособий для учителей и студентов педагогических институтов и университетов, соответствующих этим новым условиям. Применение современных информационных технологий, реализующих фузионистский подход в геометрии, позволяет практически осуществлять дифференциацию обучения.
Обоснованность и достоверность положений и выводов диссертационного исследования обеспечена опорой на анализ опыта реализации идей фузионизма в практике преподавания школьного курса геометрии, психолого-педагогнческих и методических исследований, связанных с проблемой данного исследования. Правильность рабочей гипотезы и разработанных в диссертации положений была подтверждена в ходе неоднократно проводимого педагогического эксперимента в школах №1151, №1414 города Москвы, приводящего к устойчивым положительным результатам.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Методика изучения многогранников в средней школе, основанная на фузионистских принципах, обеспечивает гармоничность развития логического и пространственного мышления, достаточно высокий уровень усвоения геометрических знаний. Она позволяет при этом разумно сочетать российскую традицию последовательного изучения планиметрии и стереометрии с инновационными методами и средствами обучения. Сущность этой методики состоит в параллельном (совместном и взаимосвязанном) изучении свойств двумерных и трехмерных объектов (плоские фигуры рассматриваются расположенными различным образом в пространстве; систематическое привлечение пространственных образов при решении задач; одновременное рассмотрение аналогичных геометрических мест точек плоскости и пространства; систематическое изготовление плоских и пространственных фигур; параллельное рассмотрение геометрических преобразований плоскости и трехмерного пространства и др.).
2. Фузионистские средства и методы обучения при органичном сочетании с дифферен цированным обучением позволяют обеспечить достижение государственного образо вательного стандарта всем учащимся, одновременно существенно развить трехмерное пространственное мышление учащихся, проявляющих повышенный интерес к матема тике.
3. Эффективность применения методики обучения геометрии, основанной на фузионист- ских принципах, обеспечивается применяемым в диссертации комплексом методиче ских средств: тематическое планирование учебного материала и методические рекомендации учителю о преподавании геометрии, основанном на фузионистских принципах; дифференцированные учебные материалы фузионистского характера, включающие определение многогранников и описание их свойств; сборник учебных заданий, содержащий вопросы и задачи разного уровня сложности; средства наглядности фузионистского характера: двумерные и трехмерные модели, изображения, компьютерная программа «Многогранники», разработанная университетом Севильи (Испания).
Эффективность методики изучения геометрии,основанной на идеях фузионизма,была доказана на примере создания методики изучения многогранников в средней школе, основанной на фузионистской концепции.
Основные положения и результаты исследования отражены в трех публикациях автора:
Методика изучения многогранников в средней школе, (Ученые записки. Вып, З.-М.: РАО, 1999).
Изучение темы «Многогранники». Факультатив. (Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября».- 2000.-№9).
Стереометрия стартует с 5 класса. (Математика в школе.-2000.-№5).
I Логика исследования и последовательности этапов экспериментальной работы опре- делили следующую структуру диссертации. Диссертация состоит из введения, 2-х глав, заключения, списка литературы и приложений 1, 2, 3, 4.
Учение о многогранниках в пропедевтическом курсе геометрии
В последнее время педагогами, методистами отмечается снижение геометрической подготовленное ти учащихся. Это проявляется в первую очередь в низком уровне развития пространственных представлений и пространственного мышления учащихся, В статье Н.С.Подходовой «Развитие пространственного мышления учащихся 5-6 классов» [97] выделяются две основные причины такого положения:
1) процесс обучения геометрии в піколе строится преимущественно как изучение некой проекции пауки геометрии, а значит, не всегда учитываются психологические закономерности развития мышления, особенности процесса восприятия, личностный опыт учащихся;
2) пространственное мышление является преимущественно разновидностью образного, но основные качества образного мышления вряд ли могут быть сформированы в рамках традиционной школьной программы по математике.
Уже давно отмечалось, что обучение геометрии начинается слишком поздно. Мнения педагогов и методистов о причинах хронически тяжелой обучаемости школьников геометрии практически не расходятся. В качестве главных причин указывают невысокий уровень пространственного воображения и пространственного мышления учащихся, а также слабое развитие логического аппарата. Закономерно возникает вопрос: кто и когда должен начинать заниматься формированием этих структур мыслительного аппарата, поскольку очевидно, что сами по себе они складываются лишь у единиц. Методической аксиомой можно считать то. что эти структуры в большой мерс формируемы, но их формирование происходит не сразу, не в одночасье. Вряд ли у кого-либо из учителей это положение вызовет сомнения. Однако вопрос о возрасте, наиболее благоприятном для эффективного развития пространственного мышления, решается не столь единодушно. Это видно по тому, как в школьном курсе появляются предметы, которые в той или иной мере требуют пространственных представлений и могут считаться факторами, способствующими становлению пространственного мышления ученика: география в 6 классе, физика в 7. черчение в 7-8, геометрия в 7. стереометрия в 10 классе.
В то же время характеристика поэтапного развития ведущих типов мыслительной деятельности ребенка, которую каждый педагог знает наизусть из вузовского курса психологии, говорит о том, что наглядно-образный стиль мышления является ведущим для возраста 6-П (12) лет, т.е. возраст младшего школьника наиболее благоприятен для формирования пространственного мышления, требующего от человека умения свободно оперировать образами. Следовательно, корни проблемы, встающей во весь рост перед учителями в 10-11 классах, следует искать в начальной школе.
Прежде всего отметим, что формирование пространственных представлений не является прерогативой исключительно курса математики, поскольку образы, в которых фиксируется форма, величина, пространственное соотношение фигур в целом или их частей, выстраиваются в сознании ребенка уже с самого раннего детства. Однако задачу формирования этого вида мышления традиционно относят к математическому образованию. Столь же традиционно она связывается с геометрическим материалом как в начальной, так и в средней школах. При этом в начальной школе эту задачу приходится решать на основе исключительно геометрического материала, поскольку ни один из упомянутых выше учебных предметов, требующих определенного набора пространственных представлений (география, физика, черчение и др.), в начальных классах не изучается. В статье А.В.Бслошистой «Почему школьникам так трудно дается геометрия?» [21] представлены результаты анализа нескольких наиболее широко используемых сегодня в начальной школе систем учебных пособий по математике с точки зрения формирования пространственных представлений младшего школьника. На сегодняшний день для начальной школы написано много учебников по математике различных авторов- их принято называть альтернативными в отличие от учебников, по которым начальная школа работала последние 20 лет- их называют традиционными. К последним относятся учебники для трехлетней и четырехлетней начальных школ авторского коллектива, в который входят М.И.Моро, М.А,Байтова, Г.В.Бельтюкова и другие. Анализ как альтернативных, так и традиционных учебников показывает, что геометрические знания рассматриваются в них как нечто второстепенное, не имеющее самостоятельной ценности и дополнительное к арифметическим знаниям. При этом объем геометрических представлений младшего школьника, определенный программой начальной школы, весьма невелик и ограничивается только знакомством с плоскими геометрическими фигурами, не затрагивая отношений между ними на плоскости (не говоря уже о пространстве). В рамках исследования был проведен структурный анализ системы изучения элементов геометрии в четырех наиболее популярных сегодня системах обучения младших школьников математике- это, так называемые, традиционные учебники, т.е. М.И.Моро, М.А.Байтова, Г.В.Бельтюкова и другие системы 1-3 и системы 1-4, а также учебные пособия, разработанные в традициях развивающего обучения школы Л.В.Занкова — учебники И.И.Аргинской и Н.Б.Истоминой. Таким образом, приведенный в данной статье анализ количественных и структурных соотношений в системе изучения геометрических понятий в начальных классах показывает, что плохое качество геометрических знаний школьников во многом обусловлено как структурой соответствующих учебных пособий, так и слабой разработкой самой проблемы формирования геометрических знаний и пространственного мышления младшего школьника.
Подводя итог анализа, хочется отметить, что плохое качество геометрических знаний учащихся есть результат, отражающий не столько ограниченные познавательные возможности младших школьников, сколько недостатки, относящиеся к реализации содержания, преподносимого детям. Формирование пространственного мышления ребенка является важнейшей частью его интеллектуального развития в целом. Хорошее пространственное воображение необходимо и инженеру, и дизайнеру, и программисту, и экономисту, и математику. Вообще трудно придумать область, где оно было бы не нужно. Но следует признать, что задача формировать определенный уровень развития пространственного мышления ребенка до начала изучения стабильного курса математических дисциплин курсом математики начальных классов не выполняется. В дальнейшем же невысокий уровень пространственного мышления и пространственного воображения ученика обычно является для него практически непреодолимым препятствием для постижения курса стереометрии. Нельзя рассчитывать на то, что можно будет сформировать пространственное мышление у 15-летнего школьника, да еще сделать это быстро. В то же нремя и жизненный опыт, и исследования психологов показывают, что эффективно формировать элементы пространственного мышления можно уже у младших дошкольников. А возраст младшего школьника является в принципе наиболее благоприятным для развития пространственного мышления, поскольку наглядно-образный стиль мыслительной деятельности является в этот период ведущим, а, следовательно, этот возраст наиболее благоприятен для формирования как базовой, так и операциональной стороны пространственного мышления.
Изучение свойств многогранников в курсе планиметрии
Способ изучения геометрии в основной школе справедливо критикуется многими педагогами. Преподаватели считают, что позднее обращение к стереометрии, только в 10-11 классах, лишает учащихся восприятия естественного порядка вещей. Ведь в жизни дети имеют дело с пространственными фигурами, а не с плоскими. Ограничивая мыслительную деятельность учащихся только задачами планиметрии, педагоги невольно искажают пространственные представления, которые формируются у детей к началу изучения геометрии.
Изначально учебные дисциплины, преподаваемые в школе, подбирались таким образом, чтобы дать учащимся целостную картину окружающего их мира. Причем изучение новой дисциплины в школе начиналось с того, что ей выделялось строго определенное место, подчеркивающее ее отличие от других дисциплин, но практически не показывающее единства с ними.
Нельзя отрицать, что в последнее время стали появляться учебники, в частности, по геометрии, пытающиеся показать связь данного предмета с другими дисциплинами: физикой, географией, черчением. Однако внутри геометрии по-прежнему существует жесткое деление на планиметрию и стереометрию, печально сказывающееся на степени усвоения этого предмета, особенно в старших классах.
Процесс изучения геометрии в школе сводится к двум основным этапам: изучение планиметрии и изучение стереометрии, что подкрепляется наличием соответствующих учебных пособий. В учебном пособии «Геометрия 7-11» А.В.Погорслова [96] и в учебном пособии «Геометрия 7-9» Л.С.Атанасяна [18] вопросы, связанные с многогранниками, в курсе планиметрии не затрагиваются. Хотя в 70-ых годах ситуация была несколько иная. Так, в учебнике Колмогорова «Геометрия 6-8» [76], который в последние годы мало использовался в школе, многогранникам уделяется внимание. Однако, в этом учебнике при знакомстве с многогранниками применен дедуктивный подход: рассматриваются прямая призма и как частные случаи прямой параллелепипед, прямоугольный параллелепипед, куб, а также рассматривается пирамида. Но, на наш взгляд, изучение многогранников в 7-9 классах должно быть на индуктивном подходе. Однако, в этом учебнике хотя и уделяется внимание многогранникам, но не рассматриваются никакие свойства определенного вида многогранника. Основное внимание в этом учебнике при знакомстве с многогранниками уделяется площади поверхности и объему. Задачный материал по теме «Многогранники» связан в основном с нахождением площади поверхности или объема определенного многогранника, хотя в задачном материале к пункту «Прямая призма» встречается практическая работа, связанная с разверткой и изготовлением прямой призмы. На наш взгляд, такие практические работы очень важны для развития пространственного мышления, а главным образом для воспитания технического творчества учащихся. Учебник В.Г.Болтянского «Геометрия. Экспериментальное учебное пособие для 8-го класса» [24] содержит главу «Введение в стереометрию», причем одним из параграфов этой главы является параграф «Многогранники и их изображение на плоскости» В этом параграфе рассматриваются куб, параллелепипед, многогранник с конечным числом сторон, пирамида, призма, а также некоторые правильные многогранники.
К сожалению, в последние годы в учебники редко включали стереометрический материал, в частности, материал о многогранниках. Хотя существует ряд учебников, где многогранникам уделено некоторое внимание. Так, в учебниках А.Д.Александрова, А.Л.Вернера, В.И.Рыжика «Геометрия» для 7 класса средних учебных заведений и «Геометрия 8-9» [7], ориентированном на школы и классы с углубленным изучением математики, многогранникам уделяется некоторое внимание, а именно, в задачном материале встречаются задачи, связанные с многогранниками. Причем в мегодическом пособии А.А.Окунева и других «Строгий мир геометрии» [88] к учебнику А.Д.Александрова, А.Л.Вернера, В.И.Рыжика «Геометрия» для 7 класса средних учебных заведений дано примерное тематическое планирование пропедевтики стереометрии, где особое внимание уделяется многогранникам. Авторы методического пособия, продвигаясь по тексту учебника, указывают к какому его разделу естественно, по их мнению, отнести тот или иной стереометрический материал. Учебники Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжика В.И. «Геометрия 7», «Геометрия 8» и «Геометрия 9» [10]-— [12] содержат обширный стереометрический материал, который изложен, конечно, на наглядном уровне, но охватывает все основные темы элементарной стереометрии. В этом отношении в учебниках Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжика В.И. «Геометрия 7», «Геометрия 8» и «Геометрия 9» [10]— [12] сделано существенное продвижение по сравнению с учебником «Геометрия 8-9» (для школ и классов с углубленным изучением математики) тех же авторов. Те ученики, которые завершат свое общее образование в 9 классе и изучат геометрию по учебникам Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжика В.И. «Геометрия 7», «Геометрия 8» и «Геометрия 9» [10]— [12], получат достаточно полное представление о стереометрии. Эти учебники [10]— [12], по мысли авторов, предназначены для работы в обычных общеобразовательных школах и позволят учителю учесть индивидуальные особенности учеников. Например, в учебник Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжика В.И. «Геометрия 8» включена тема «Параллельность в пространстве». Параллельность в пространстве- обобщение вопроса о параллельности на плоскости, изученного в предыдущей теме. В статье А.А. Окунева «Методические раздумья о преподавании по новому учебнику» (Александ-ровА.Д., ВернерА.Л., Рыжик В.И. «Геометрия 8» М: Мирос, 1995) даются некоторые рекомендации по преподаванию по этому учебнику. В частности, автор статьи предлагает «мастерскую»: параллельность в пространстве. Вот фрагмент «мастерской».
История фузионистской концепции в методике геометрии
В педагогической науке идея фузионизма означает совместное изучение родственных между собой предметов или отдельных разделов одного предмета, в частности, в методике преподавания геометрии - совместное изучение планиметрии и стереометрии.
В историческом процессе преподавания курса геометрии в общеобразовательной школе можно выделить два направления: 1) раздельное преподавание планиметрии и стереометрии и 2) фузионистское направление, характерной чертой которого является совместное изучение данных предметов, когда плоские и пространственные фигуры изучаются совместно, дополняя и развивая каждую составляющую часть геометрии - планиметрию и стереометрию.
Идеи фузионистского подхода к изучению курса геометрии возникли на рубеже 18-І 9 столетия, когда отмечаются значительные успехи в развитии многих отраслей науки и техники, в том числе и математики. Хотя следует отметить, что идеи фузионистского подхода к изучению математики мы находим еще у великого азиатского мыслителя 11 -го века Ибн-Сины (Авиценны 980-1037г.), который объединяет свои труды «Основы планиметрии» и «Основы стереометрии» и делает попытки рассматривать планиметрические и стереометрические понятия совместно [66].
Период расцвета идеи фузионизма относится к тому времени, когда в конце 18-го -начале 19-го века были оформлены и систематически изложены новые направления в геометрии: Эйлером для аналитической геометрии (1748г.); Монжем для дифференциальной геометрии (1795г.); Ж.Понсале для проективной геометрии (1822г.), причем само учение о геометрическом изображении было еще раньше (1799г.) развито и приведено в систему Монжем в виде начертательной геометрии (в связи с необходимостью решения задач в области черчения). Труды Брианшона и Паскаля пополнили учение проективной геометрии. Исследования Г.Монжа, Ж.Понсале, Я.Штейнера, М.Шаля и других ученых в области математики, в частности, в области развития проективной геометрии содействовали идее совместного изучения планиметрии и стереометрии. В 1844 году Бретшнейдер в своих исследованиях отмечал, что долгое задерживание молодого ума на изучении планиметрии затрудняет развитие пространственных представлений и, как следствие, развитие вообще, а также подчеркивает, что раздельное изучение планиметрии и стереометрии не дает тех результатов, которые достигаются при их совместном изучении. Идеи фузиониз-ма поддержал и немецкий математик Ф.Клейн (1849-1925гг.). Свои геометрические идеи Клейн изложил в работе «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований» (1872г.), известной под названием эрлангенской программы. Клейн стремился раскрыть внутренние связи между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой - с другой, а также между отдельными частями математики, в частности, связь между планиметрией и стереометрией. В курсе лекций, которые он прочел в начале века в Геттингене, было указано на недостатки преподавания геометрии, в частности, отмечена односторонность выбора геометрического содержания, оттеснение на задний план методики формирования пространственных представлений и обращение основного внимания лишь абстрактно логической стороне геометрической дедукции. В связи с этим Клейн пишет: «Я желал бы отметить здесь еще одну полезную методическую точку зрения, а именно,... тенденцию к слитному преподаванию планиметрии и стереометрии, цель которого -помешать одностороннему усовершенствованию в планиметрии при одновременном пренебрежении развитию трехмерной пространственной интуиции». В этот период появляются первые попытки разработки учебников, где фузионистское направление в изучении геометрии ярко выражено. Так появляются учебники: в Дании - А.Стина, во Франции Ш.Мере (1874г.), в Италии - Дж.Паоли (1884г.), Лацуари и Бассаии (1898г.). Следует отметить, что в Италии идея фузионизма привлекла внимание с 1867 года в связи с попыткой изменить неудовлетворительное положение с преподаванием геометрии. В 1908 году на Международном конгрессе в Риме итальянцы высказались за слияние планиметрии и стереометрии [в 118].
В конце 19 - начале 20 века идеи фузионизма широко использовались учеными и в России. Так великий русский математик Н.И.Лобачевский в 1933 году издаст учебник «Геометрия», в котором достаточно четко отражены идеи фузионизма[47]. Особенностями изучения курса геометрии в данном учебнике являются такие положения как:
рассмотрение круга совместно с шаром и сферой;
взаимное расположение прямых на плоскости совместно с взаимным расположением плоскостей в пространстве;
изучение многоугольников совместно с многогранниками;
измерение линейных и телесных углов.
B 1865 году М.О.Косинский издает свою работу «Наглядная геометрия» [74], в которой продолжает развивать идеи фузионизма в преподавании геометрии. Следует подчеркнуть такие важные моменты к подходу изучения курса геометрии в данном труде как:
рассмотрение на начальном этапе геометрических тел, а не точки и прямой, как это было ранее;
рассмотрение куба и через него разъяснение таких понятий, как квадрат, грань, ребро, поверхность, линейные, двухгранные и трехгранные углы, горизонтальная, вертикальная и наклонная плоскости, правильный и неправильный многоугольники;
изучение шестигранной призмы и повторение при этом таких же понятий, как и при изучении куба;
сравнение куба с четырехугольными призмами, которые получаются при пересечении куба плоскостью, параллельной одной из граней.
В России в конце 19-го - начале 20-го века идеи фузионизма широко использовались при разработке многих программ и учебников по геометрии. В 1897 году Министерством народного просвещения была разработана программа для мужских гимназий [103], которая предусматривала включение уже в программу 5-го класса материала о взаимном положении линий, плоскостей в пространстве, многогранных углов. В программу 6-го класса предусматривалось включение материала о правильных многогранниках, измерениях площадей поверхностей призмы и пирамиды, подобие призм и пирамид, поверхности и объемы круглых тел.
