Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 11
1 Развитие идеи функциональной зависимости в школьном курсе математики 11
2 Реализация функциональной содержательно-методической линии в курсе алгебры основной школы 22
3 Теоретическое обоснование выбора технологии обучения 35
3.1 Проблема выбора технологии обучения 35
3.2 Сущность модульного обучения 43
3.3 Методическая система изучения функций в курсе алгебры основной школы в контексте модульного обучения 54
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1 59
ГЛАВА 2 МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ В КОНТЕКСТЕ МОДУЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ 61
1 Модульное изучение функций в основной школе 61
1.1 Методика изучения функций в контексте модульного обучения 61
1.2 Реализация принципов модульного изучения функций 74
2 Мониторинг в изучении функций 102
3 Педагогический эксперимент 117
3.1 Результаты констатирующего исследования 119
3.2 Результаты обучающего эксперимента 127
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2 142
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 146
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 148
ПРИЛОЖЕНИЯ 162
- Развитие идеи функциональной зависимости в школьном курсе математики
- Реализация функциональной содержательно-методической линии в курсе алгебры основной школы
- Модульное изучение функций в основной школе
Введение к работе
В настоящее время в учебных планах, регламентирующих процесс обучения в общеобразовательных учреждениях, наметилась тенденция к сокращению количества часов, отводимых на изучение дисциплин естественно-математического цикла. Одновременно происходит возрастание требований к качеству приобретаемых учащимися знаний, умений и навыков. В связи с этим, в теории и методике обучения математике обострились многие методические проблемы, в том числе, проблема изучения школьниками функций.
Современный школьный курс математики строится на основе содержательно-методических линий. Проблема изучения функциональной содержательно-методической линии в школьном курсе математики широко обсуждается в научной литературе. Различные ее аспекты освещены в работах известных математиков и методистов В. С. Владимирова, Л. С. Понтрягина, А. Н. Тихонова [34], А. Я. Хинчина [169, 166, 170 и др.], В. Л. Гончарова [40 и др.], Г. В. Дорофеева [50 и др.], Е. С. Канина [61 и др.], Г. М. Карпенко [62], Ю. М. Колягина [74 и др.], А. И. Маркушевича [86 и др.], А. Г. Мордковича [103 и др.], Ф. Ф. Нагибина [109, 110], Г. И. Саранцева [138, 137, 139], и др., а также диссертационные исследования Ю. Б. Великанова [31], С. М. Головиной [39], В. А. Гуськова [46], А. И. Жаворонкова [54], В. В. Затакавая [58], И. В. Кисельникова [65], Г. Г. Левитаса [83], А. А. Михеевой [92], М. В. Ткачевой [155], В. П. Черепкова [174] и др.
Авторами рассмотрены различные пути решения указанной проблемы. Так, например, разработана методика применения упражнений в процессе обучения математике, предложены критерии по отбору и конструированию упражнений в процессе формирования понятия функции (Г. И. Саранцев); построена система вычислительных упражнений с графическим контролем (В. А. Гуськов); разработана методика формирования и совершенствования графических представлений учащихся (Е. С. Канин); выделены основные этапы формирования начальных функциональных умений учащихся в средней
школе, разработана методика повышения уровня сформированности функциональных умений, способствующая укреплению внутрипредметных и межпредметных связей в обучении математике (М. В. Ткачева); предложена методика изучения понятия функции на основе взаимно обратных функций (В. П. Черепков); разработаны некоторые вопросы пропедевтики функциональной зависимости (В. А. Гуськов, М. И. Добровольский, А. И. Жаворонков, Н. Н. Забежанская, А. А. Михеева).
Тем не менее в соответствующих публикациях неоднократно указывается на низкий уровень сформированности у учащихся функциональных знаний, умений и навыков. Учащиеся поверхностно усваивают понятие функции, ассоциируя его с формулой. Среди причин, этому способствующих, указываются многие факты: отсутствие у школьников интереса к предмету вообще и изучению функций в частности; изучение каждого нового вида функции, свойств функции фактически вне связи с предыдущим; разрыв между вычислительными и функционально-графическими умениями у учащихся.
В условиях реализуемого учителями информационно-объяснительного подхода к обучению понятие функции, свойства функции воспринимаются учащимися формально, не связываются с соответствующими геометрическими образами. Как следствие, учащиеся не могут оперировать изученными понятиями, не могут ответить на достаточно простые вопросы. Между тем правильное и быстрое графическое представление об аналитических объектах и, наоборот, аналитическое задание графических изображений значительно облегчает усвоение многих понятий, развивает математическую интуицию учащихся, является свидетельством развитой математической культуры. В связи с этим, формирование у учащихся понятия функции и обучение построению и чтению графиков функций, а также методам решения задач и графических упражнений выступает как самостоятельная методическая проблема, разрешению которой посвящено наше исследование.
** В условиях современной актуализации деятельностного подхода назрела
необходимость усовершенствования традиционной методики обучения с целью формирования у школьников функциональных знаний и умений на более высоком уровне. Таким образом, возникшее противоречие между состоянием традиционной методики и необходимостью поиска новых путей совершенствования изучения функций определило актуальность нашего исследования. Необходимость разрешения этого противоречия обусловило наше обращение к модульному обучению, так как его сторонники (Г.В.Лаврентьев [80], Н.Б.Лаврентьева [81], П. И. Третьяков [158], Т. И. Царегородцева [173], М. А. Чошанов [175], Т. И. Шамова [176], П. А. Юцявичене [181,182], С. Н. Постельвейт [185], Дж. Д. Рассел [187] и др.) не раз отмечали, что применение на уроках модульного подхода способствует повышению качества усваиваемых учащимися знаний по изучаемому предмету без потери его познавательной ценности и при меньшем потреблении временных ресурсов. Модульное обучение также способствует развитию способности учащихся к самостоятельной учебно-познавательной деятельности.
Проблема диссертационного исследования заключается в нахождении эффективных форм и методов обучения учащихся основной школы функциональным знаниям и умениям в контексте модульного подхода.
Объект исследования - процесс изучения функций в основной школе в контексте модульного подхода.
Предмет исследования - цели, содержание, формы, средства и методы
модульного изучения функций.
Цель исследования состоит в разработке методики модульного изучения функций учащимися основной школы.
В основу исследования положена гипотеза: процесс формирования функциональных знаний, умений и навыков у учащихся основной школы будет более эффективным, если разработать методику изучения функций в контексте модульного обучения, включающую модульные программы,
уровневое представление целей изучения модулей, технологические карты учебных занятий, карточки, инструкции, методику работы учителя с учащимися на уроках, и создать условия для ее реализации в практике основной школы.
Основные задачи исследования следующие:
Проанализировать эволюцию содержания школьного курса алгебры с позиции реализации в нем функциональной содержательно-методической линии и выявить тенденции ее совершенствования.
Разработать и обосновать концепцию модульного изучения функциям в курсе алгебры основной школы.
3. Разработать систему годового мониторинга в усвоении функциональных знаний и умений.
4. Осуществить экспериментальную проверку эффективности модульного изучения функций.
Проблема, цель и задачи исследования обусловили выбор методов исследования, основу которых составили: системный анализ и деятельностный подход; анализ психолого-педагогической, методической литературы, диссертационных исследований, анализ учебных программ, учебников и учебных пособий; обобщение опыта учителей и собственного педагогического опыта; педагогический эксперимент, позволивший изучить состояние данной проблемы в школьной практике обучения алгебре и апробировать предложенную методику изучения функций в основной школе; анализ и обработка результатов эксперимента с помощью статистических методов.
Методологической основой исследования явились методология педагогической науки, основные положения педагогической психологии, дидактики и методики математики по проблемам формирования знаний, умений и навыков у учащихся основной школы; концепции деятельностного подхода, модульного обучения; теории формирования математических
понятий, личностно ориентированного обучения, управления учебно-познавательной деятельностью учащихся.
Исследование осуществлялось поэтапно:
На констатирующем этапе (1999-2000 гг.) проводилось изучение состояния исследуемой проблемы в ходе анализа диссертационных исследований, психолого-педагогической, методической и учебной литературы по алгебре основной школы с целью определения основных подходов к изучению функций. Был установлен уровень обученности учащихся по функциональным темам курса, алгебры основной школы, определены цель, предмет, задачи, гипотеза исследования. Изучен практический опыт учителей по применению модульного обучения математике. Проанализировано отношение участников учебно-воспитательного процесса к модульному подходу при изучении математики.
В ходе теоретического этапа (2000-2001 гг.) было разработано и теоретически обосновано модульное изучение функций в основной школе. Был подготовлен экспериментальный материал для педагогического эксперимента.
Экспериментальный этап (2001-2003 гг.) включал организацию и проведение педагогического эксперимента с целью проверки выдвинутой рабочей гипотезы.
Заключительный этап исследования (2003 г.) был посвящен анализу и интерпретации результатов педагогического эксперимента, обобщению результатов всего исследования, текстовому оформлению диссертационных материалов..
Научная новизна исследования заключается в том, что проблема формирования функциональных знаний и умений решается на принципиально новой основе, составляемой системным представлением целей, содержания, методов, средств и форм изучения функций в контексте модульного обучения. Данный подход позволил получить следующие научные результаты: обосновать необходимость введения модульного изучения функций в
основной школе и сформулировать систему принципов обучения; разработать модульные программы, объединяющие вид функции и соответствующие ему типы уравнений, неравенств; выделить инвариант, ориентированный на конструирование задач.
Теоретическая значимость работы состоит: в разработке методики модульного изучения функциональной линии в курсе алгебры основной школы, направленной на развитие способности учащихся к самостоятельной учебно-познавательной деятельности. Эвристичность полученных научных результатов, позволяет развивать и совершенствовать методику обучения алгебре как в основной, так и старшей школе, а также распространить метод исследования на решение проблем изучения других содержательно-методических линий.
Практическая значимость результатов исследования заключается в том, что разработанная методика, методическое обеспечение изучения функций в основной школе в контексте модульного подхода могут быть непосредственно использованы учителями в школьной практике в целях повышения эффективности уроков алгебры; авторами научно-методических пособий для учащихся и учителей; преподавателями педвузов при проведении спецкурса, позволяющего студентам применять его материалы в период педагогической практики и дальнейшей профессиональной деятельности.
Достоверность и обоснованность проведенного исследования, его результатов и выводов обеспечиваются опорой на современные положения теории методики обучения математике, деятельностный подход в обучении, объясняются разнообразием используемых методов исследования и подтверждаются итогами педагогического эксперимента.
Апробация результатов исследования осуществлялась в ходе работы методического семинара-практикума "Моделирование учебных занятий по математике в контексте модульного обучения" (2001-2003 гг.), действовавшего при проведении эксперимента по модульному обучению в школе № 52 г. Кирова; при проведении серии занятий и круглого стола с
учителями Кировской области на базе института усовершенствования учителей; в выступлении на научно-методическом семинаре кафедры математического анализа и методики преподавания математики Вятского государственного гуманитарного университета (2002, 2003 гг.); на заседании проблемной группы Сахзаводской средней школы п. Ракитное-1 (Белгородская область); при организации модульного изучения функций; в Аркульской общеобразовательной школе (Кировская область), Краснояружской средней школе №1 (Белгородская область); в обобщении опыта практической работы учителем математики на Всероссийском конкурсе "Учитель года России - 99"; в опубликовании материалов исследования в межвузовских сборниках, методических пособиях и сборниках тезисов межрегиональных научно-практических конференций. Результаты исследования обсуждались на III Межрегиональной научно-практической конференции "Российские регионы: проблемы современного образования" (г. Киров, 2000 г.), II Межрегиональной научной конференции "Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России" (г. Киров, 2001 г.), Всероссийской научной конференции "Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика" (г. Саранск, 2002 г.).
На защиту выносятся следующие положения:
Методическая система изучения функций в основной школе, разработанная в контексте модульного обучения, представляет собой целостность, составляемую взаимосвязью основных компонентов (целевого, содержательного, организационного, технологического, диагностического) и принципов (модульности, осознанной перспективы, открытости, направленности обучения на развитие личности ученика, разносторонности методического консультирования).
Модульный подход является средством совершенствования процесса изучения функциональной зависимости у учащихся основной школы, которое позволяет: учащимся - овладевать системой функциональных знаний и
способов действий, практических (операционных) умений; учителю - развивать
их математическое мышление на основе функционального материала, воспитывать самостоятельность в обучении.
3. Методическое обеспечение процесса изучения функций в основной школе строится на основе модульных программ, являющихся основой для выделения фундаментальных закономерностей, обязательных для понимания темы, успешного и полного усвоения содержания учебного материала, приобретения учащимися прочных знаний, умений и навыков.
На защиту также выносится разработанное методическое обеспечение, включающее инвариант, универсальный для изучения любого вида функций.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка и десяти приложений (с. 162-190). Основное содержание изложено' на 161 странице машинописного текста. Библиографический список включает 188 наименований.
Развитие идеи функциональной зависимости в школьном курсе математики
Функциональная линия школьного курса математики, является одной из ведущих курса алгебры, алгебры и начал анализа. Основной особенностью учебного материала этой линии является то, что с его помощью можно устанавливать разнообразные связи в обучении математике.
Проанализируем ход развития педагогических идей в области преподавания важнейшей составляющей математики - функциональной зависимости.
В течение нескольких столетий понятие функции изменялось и совершенствовалось. Необходимость изучения функциональной зависимости в школьном курсе математики была в центре внимания педагогической печати уже со второй половины XIX века. Большое внимание этому вопросу уделили в своих работах такие известные методисты, как М. В. Остроградский, В. Н. Шкларевич, С. И. Шохор-Троцкий, В. Е. Сердобинский, В. П. Шереметевский.
Первый этап - этап введения понятия функции (в основном, через аналитическое выражение) в школьный курс математики. Например, в учебнике Н. Hi Фусса "Начальные основания чистой математики" в разделе "Основания дифференциального и интегрального исчислений" приводилось следующее определение: "Функцией переменной величины называется выражение, состоящее из сей переменной, соединенной с постоянными величинами" (1812 г.) [28,118].
На собрании комиссии преподавания математики отдела обучения Московского Общества распространения технических знаний В. П. Шереметевский (1891г.) и В. Я. Сердобинский (1892 г.) представили радикальное решение проблемы введения функциональной зависимости в школьную математику в виде рекомендации "построения курса школьной математики на основе идеи функциональной зависимости". Математическая комиссия, функционировавшая в 1900 г. в Министерстве Народного Образования, предусмотрела идею включения в программу функциональной зависимости в связи с изучением элементов аналитической геометрии. Эти предложения начали осуществляться с 1903 г. при обучении математике в Кадетском корпусе, а с 1907 г. - в выпускных классах реальной школы.
Второй этап введения понятия функции в курс алгебры средней школы характеризуется в основном переходом к графическому изображению функциональной зависимости и расширением круга изучаемых функций.
На Международном конгрессе в Риме в 1908 г. Ф. Клейн изложил основные принципы в решении вопроса о месте и роли понятия функции в школьной математике: "Мы,...., стремимся положить в основу преподавания понятие функции, ибо это есть то понятие, которое в течение последних двухсот лет заняло центральное место всюду, где только мы встречаем математическую мысль. Это понятие мы желаем выработать при преподавании столь рано, как это только возможно, постоянно применяя графический метод изображения каждого закона в системе координат (хОу), которая теперь употребляется при всяком практическом применении математики». Истинное значение имеет предложение Ф. Клейна о введении общего понятия функции не в форме абстрактного понятия, а на конкретных примерах, которые «...сделали бы это понятие живым достоянием ученика, но непременно это понятие, как фермент, должно проникнуть во все преподавание математики в средней школе" [67, с. 292].
Реализация функциональной содержательно-методической линии в курсе алгебры основной школы
Все понятия функциональной линии школьного курса математики можно разделить на два взаимосвязанные компонента: функциональные понятия (понятие функции и функциональные свойства) и прикладная направленность (решение уравнений, неравенств, доказательство тождеств, решение текстовых задач на функциональной основе). Практическая направленность функционального материала отвечает основной цели математического образования - воспитание у учащихся умения математически исследовать явления реального мира.
На данный момент существует шесть альтернативных комплектов учебников по алгебре основной школы, которые рекомендованы Министерством образования РФ в качестве учебных пособий по алгебре для основной школы. Это учебники: "Алгебра 7" [6], "Алгебра 8" [10] и "Алгебра 9" [13] под редакцией С. А. Теляковского; "Алгебра 7" [4], "Алгебра 8" [И] и "Алгебра 9" [14] под редакцией А. Н. Тихонова; "Алгебра 7-9" [8] К. С. Муравина и Г.К.Муравина; "Алгебра 7" [102], "Алгебра 8" [105], "Алгебра 9" [107] А. Г. Мордковича; "Алгебра 7" [5], "Алгебра 8" [9],"Алгебра 9" [12] С. М. Никольского и др.; "Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7" [87], "Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8" [88],"Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9" [89] под редакцией Г. В. Дорофеева. Проведем анализ содержания указанных учебников с точки зрения реализации в них функциональной линии, вьщеления потенциальных возможностей методики изучения функций в свете современных требований.
Сопоставим подходы к введению понятия функции, принятые в указанных учебниках. В учебнике под редакцией А. Н. Тихонова функция вводится в 7-м классе на основе рассмотрения текстовой задачи на движение как зависимость переменной S от переменной t [4, с. 121, 189]. В определении не уточняется, какая зависимость рассматривается, однако все примеры в учебнике даны для однозначной зависимости, хотя это и не подчеркнуто.
В учебниках под редакцией С. А. Теляковского [6, с. 44], К. С. Муравина и Г. К. Муравина [8, с. 32] определение функции представлено также в 7-м классе на основе рассмотрения ряда примеров на зависимость между величинами. Функция рассматривается как зависимость одной переменной (зависимой) от другой (независимой), при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Аналогичные определения мы встречаем в учебниках для 8-го класса С. М. Никольского и др. [9], под редакцией Г.В.Дорофеева [88], учебнике для 9-го класса А.Г.Мордковича [107]. Причем у А. Г. Мордковича впервые понятие функции встречается в 7-м классе, как "математической модели (y=f(x)), выражающей зависимость у от х. Эту запись следует понимать так: имеется выражение f(x) с переменной х, с помощью которого находятся значения переменной [102, с.137].
Таким образом, современные учебники отражают конкретно-индуктивный путь введения понятия функции, причем определение, функции связано с рассмотрением только числовых функций, т.к. курс геометрии не строится на основе геометрических преобразований.
Охарактеризуем методические подходы, реализованные в учебниках, с точки зрения последовательности изучения функций.
В учебниках А. Г. Мордковича [102], под ред. Г. В. Дорофеева [87], под редакцией С. А. Теляковского [6] линейные функции являются первым конкретным функциональным материалом, изучаемым в школьном курсе математики. В учебнике К. С. Муравина и Г. К. Муравина [8] сначала рассматривается частный случай линейной функции; у=кх, с последующим выходом к обобщенному понятию линейной функции. В учебнике под редакцией А. Н. Тихонова [4] обе функции рассматриваются отдельно, но авторы указывают на графическую связь между ними ("график функции у=кх+т получается сдвигом графика функции у=кх на т единиц вдоль оси ординат" [4, с. 135]). Получение из аналитического выражения линейной функции у=кх+Ь функции вида y=b, при k=0 является, на наш взгляд, очень важным этапом в формировании математического мышления школьников. Для учащихся - это первый опыт работы с параметрами. Во множестве линейных функций выделятся функция у=х (у=-х), являющаяся частным случаем прямой пропорциональности при к=1(к=-1)и линейной функции, когда к=1(к=-1) и Ь=0. График функции у=х, являясь биссектрисой первого и третьего координатных углов, служит осью симметрии для графиков взаимообратных функций.
Модульное изучение функций в основной школе
Изучение функций в контексте модульного обучения предполагает ориентировку каждого года обучения на конкретную модель реальной действительности. Основная тема 7-го класса — линейная функция, что, с точки зрения моделирования реальных процессов соответствует равномерным процессам. Основная тема 8-го класса — квадратичная функция, моделирующая равноускоренные процессы. Основная тема 9-го класса — обобщение понятия степенной функции. Весь материал функциональных тем курса алгебры основной школы мы разбиваем на отдельные модульные программы, целостно отображающие содержание учебного материала, логически связанные между собой.
Модульная программа "Линейная функция " (7-й класс) включает:
Модуль 1. Линейная функция, ее свойства, график.
Модуль 2. Функция у = х2, ее свойства, график.
Модуль 3. Уравнения и их системы.
Модульная программа "Квадратичная функция" (8-й класс) содержит:
Модуль 1. Функции и их свойства.
Модуль 2. Преобразования графика функции у = f(x).
Модуль 3. Уравнения.
Модуль 4. Неравенства.
Модульная программа "Функции " (9-й класс) объединяет:
Модуль 1. Числовые функции, их свойства, графики.
Модуль 2. Элементы теории тригонометрических функций.
Модуль 3. Преобразования графика функции у = f(x).
Модуль 4. Системы уравнений.
Модуль 5. Рациональные неравенства и их системы.
Каждая модульная программа предусматривает включение целевого и контролирующего модулей. Каждый модуль объединяет вопросы, имеющие логическую связь, на основе которой вычленяются фундаментальные закономерности, обязательные для усвоения и успешной сдачи всего модуля.
Более подробно рассмотрим курс алгебры 8-го класса, преподавание которого мы основываем на приоритетности функционально-графической линии. Все темы курса мы представили в виде блока, включающего в себя три модульных программы (МП):
Тему "Квадратичная функция" мы предлагаем в виде модульной программы (см. рис. 2.1). Значение темы определяется тем, что в нее вводятся новые понятия алгебры и получают развитие ранее сформированные. Самыми важными являются: квадратичная функция, функции вида у=к/х, у = у[Т, .у = , функция, заданная несколькими формулами на различных промежутках (кусочная), их свойства и графики.
В ходе изучения модульной программы учащиеся узнают, что график функции можно строить не только по точкам, но и получать из графика функции, являющейся частным случаем данной, используя преобразование (сдвиг, растяжение); знание свойств и графиков функций является не самоцелью, а инструментом в решении уравнений и неравенств.
Структура модульной программы определяется комплексной целью, в соответствии с которой формулируются интегрирующие и частные дидактические цели каждого модуля, и предусматривает создание условий для организации познавательной деятельности учащихся по установлению связей между частными видами функции, по выявлению их. применения.Данная модульная программа состоит из шести взаимосвязанных, законченных по смысловому значению, модулей.
