Содержание к диссертации
Введение
Глава I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНИХ СПЕЦИАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ 12
I. Роль и место комплексных чисел Б курсе математики средних специальных учебных заведений 13
2. Использование математического аппарата комплексных чисел в предметах общетехнического и специального циклов и его особенности 25
3. Современное состояние обучения комплексным числам в курсе математики средних
специальных учебных заведений 56
4. Пути совершенствования содержания и методики обучения комплексным числам 78
Глава II. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫМ ЧИСЛАМ 99
I. Методика формирования основных понятий комплексных чисел 99
2. Упражнения как средство формирования умений и навыков выполнения действий над комплексными числами 115
3. Система обучения комплексным числам 125
4. Педагогический эксперимент 140
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
- Роль и место комплексных чисел Б курсе математики средних специальных учебных заведений
- Методика формирования основных понятий комплексных чисел
- Упражнения как средство формирования умений и навыков выполнения действий над комплексными числами
Введение к работе
Решения ХХП съезда КПСО требуют дальнейшего совершенствования системы среднего специального образования. В своем докладе Л.И.Брежнев отметил,что "многое в этой системе можно и нужно улучшать"."Главное сегодня в том, что^бы повысить качество обучения, на деле укрепить связь обучения с жизнью" / 2 /.
Развитие среднего специального образования требует значительного улучшения и совершенствования преподавания всех дисциплин. Их содержание должно соответствовать современному уровню науки и техники и в значительной степени определять уровень профессиональной подготовки будущих техников-специалистов среднего звена.В этой связи большая роль принадлежит математике как фундаментальной науке,обеспечивающей глубокое усвоение всех естественных,общетехнических и специальных дисциплин.Поэтому математическая подготовка учащихся средних специальных учебных заведений должна постоянно улучшаться, методы обучения математике - совершенствоваться.
Преподавание математики в средних специальных учебных заведениях должно способствовать дальнейшему формированию коммунистического мировоззрения учащихся, развитию их мыслительного аппарата.В процессе обучения математике необходимо ознакомить учащихся с ролью и местом математики в современной науке и технике,проиллюстрировать на конкретных примерах с позиций марксистско-ленинской теории познания логику возникновения и развития математических понятий и их связь с практикой.Изложение курса математики должно быть проникнуто современными математическими идеями с использованием
- ч -принятой математической символики и терминологии.
Возросшее значение математики в сложных задачах управления народным хозяйством, автоматизации производственных процессов, планировании, экономике, а отсюда - требования, предъявляемые к математической подготовке учащихся средних специальных учебных заведений, привели к необходимости дальнейшего совершенствования содержания и методики преподавания математики.
Требования к математическому образованию периодически устаревают, поэтому иногда необходим пересмотр школьного математического образования, среднего и высшего, т.е. пересмотр представлений об актуальности и соотношении частей математики как учебной дисциплины, о стандарте математической строгости, об отражении практической применимости математики, об объеме фактического материала, необходимого для работы по специальности на данном современном этапе и т.д.
Происшедшая в последние полтора десятилетия перестройка системы школьного образования выявила необходимость пересмотра программ по математике для средних специальных учебных заведений, что и нашло свое отражение в новой программе, утвержденной Учебно-методическим управлением по среднему специальному образованию 26 декабря 1974 г., а затем с целью унификации требований к знаниям учащихся оказалось целесообразным уточнить структуру и содержание программы, исходя из первоначального опыта работы по новым программам, а также выделить примерный перечень основных знаний, умений и навыков, которыми должен овладеть каждый учащийся в процессе изучения математики, что впервые и было сделано в программе, утвержденной 25 апреля 1978 года.
»_ 5 . -!" - . -- . - - - -
Разработка требований к математическим знаниям, навыкам -и умениям-как результатам .обучения должна-учитывать потребности нашей, социалистической -действительности, т.к.-социальная значимость этих требований зависит от объема - математи-... ческих знаний, прочности сформированных у учащихся математи-? ческих навыков и умений и диапазона их.практической примени-^ мости.Сущность же педагогических требований к знаниям, навыкам и умениям определяется содержанием изучаемого материала, методикой преподавания.
Специфика .обучения-в условиях среднего .специального-образования выявляет.необходимость отражения в курсе математики- и методике .ее-преподавания профиля учебного заведения. Для успешной подготовки кадров .среднего технического звена электротехнических, радиотехнических, электромашинострои -тельных, электромеханических,.радиомеханических, радиоаппа-ратостроительных и многих других специальностей значительную роль..в.курсе-математики техникумов играет тема "Комплексные числа". Отметим также, что комплексные числа необходимы не только для обеспечения общетехнических и специальных дисциплин соответствующим математическим аппаратом, но и для обобщениями развития понятия числа, показа познавательных возможностей математики и повышения общей математической культуры, успешного продолжения образования учащихся в высших учебных заведениях и т.д.
Как известно, мнимые числа появились как чисто математический .формальный результат. Впервые о них упомянул итальянский ученый Д.Кардано (I50I-I576), затем более подробно они были рассмотрены в "Алгебре" Р.Бомбелли (1526-1573), который рассмотрел правила действий над комплексными числами(запи-
-6.- . -- ........
саннымив алгебраической.форме). После.этого, они стали употребляться в различных вопросах алгебры, но приложений в практике не имели. Позднее., Л.Эйлер (1707-1783) ввел в мате-матику символ -, квадрат которого равен -I ( .. -это первая буква латинского слова u7i^c/2atu/s t ЧТо значит "мнимый", "воображаемый").
.--Л.Эйлер вывел формулу ^.- - &XJ? * t-St/ipz^ которая затем была.названа его именем, хотя до Л.Эйлера этой формулой владел английский математик Р.Котес (1б82-171б).Эта формула позволила:
г? доказать периодичность экспоненциальной функции;
- ввести логарифмы комплексных чисел. „ . .
Более строгая теория нового множества чисел, которые были названы комплексными,содержится в трудах немецкого математика К.Гаусса (1777-1855), который также дал их геометрическое толкование, позволившее преодолеть многие трудности в их понимании.
До К.Гаусса геометрическое толкование встречается у датского землемера К.Весселя (I745-I8I8), французского математика Аргана (1768-1822). К.Гаусс в 1831г. дал глубокое обоснование комплексных чисел и их приложений в математике. Полученное Гауссом, Весселем, Арганом геометрическое толкование комплексных чисел выявило причины, объясняющие, почему они так долго не имели практических приложений.
Комплексные числа многие ученые ХУШ и начала XIX веков пытались интерпретировать на прямой линии и применять к таким понятиям, как, например, температура, время и др., не требующих плоскостного изображения.
После работ К.Гаусса позднее, в XIX веке, ученые О.Коши,
- 7 -Г.Риман и К.Вейерштрасс на базе комплексных чисел создали новую математическую дисциплину - теорию функций комплексно-' го переменного, которая играет важную роль в современной математике.
По мере развития науки стало ясно, что без комплексных чисел нельзя обойтись во многих практических делах. Широкое применение нашли комплексные числа в электротехнике,гидродинамике, картографии и многих других отраслях науки и техники.
Уже в нашем столетии комплексные числа успешно применялись русскими и советскими учеными Н.Е.Жуковским, С.А.Чап- ' лыгиным, М.В.Келдышем в теории самолета. Ученые-механики академики М.А.Лаврентьев, М.В.Келдыш, Н.Й.Мусхелишвили, Л.И. Седов и др. являются также видными специалистами по теории функций комплексного переменного. С применением аппарата комплексных чисел в теоретической физике связаны исследования советских академиков Н.Н.Боголюбова, B.C.Владимирова.
В настоящее время трудно указать область физики, механики, технических дисциплин, где не применялись бы комплексные, числа.
Заканчивая краткий экскурс в историю возникновения комплексных чисел, следует отметить, что они имеют большое познавательное и практическое значение. Их изучение в курсе математики средней общеобразовательной и специальной школы является весьма актуальным.
Тема "Комплексные числа" - одна из ведущих прикладных тем курса математики для техникумов электрорадиоспециализации,ее содержание углубляется в общетехнических и специальных предметах, таких, как "Теоретические основы электротехники",
- 8 -"Основы радиотехники" и других. Именно поэтому вопрос "Вара* жение основных характеристик электрических цепей переменного тока комплексными числами" заложен в рекомендальный части программы курса математики для техникумов. В этой связи вы-явление роли комплексных чисел в общетехнической и специальной подготовке специалистов среднего звена - весьма актуально, представляло определенный научно-методический, практический интерес и явилось первой причиной настоящего исследования.
В научно-методической литературе вопросам прикладной направленности обучения математике в целом уделяется большое внимание, но это, в основном, работы,посвященные вопросам политехнизации средней общеобразовательной школы - работы Монахова В.М., Шварцбурда С.И.;, Ширсова В. В. и других видных советских методистов-математиков. Однако, применительно к системе среднего специального образования, вопросы прикладной направленности курса математики в научно-методической литературе рассмотрены явно недостаточно как в отношении всего курса математики, так и в отношении отдельных тем, в том числе и темы "Комплексные числа".
Как показало изучение программ по математике для средних специальных учебных заведений, тема "Комплексные числа" в течение ряда лет была разбита на две части. При этом, наиболее важная часть темы, содержащая действия над комплексными числами, заданными в показательной форме, формулы Эйлера и прикладные вопросы - не являлась обязательной для изучения частью программы. После перевода средних специальных учебных заведений на новое содержание обучения математике (1975 г.), изучение всего материала комплексных чисел стало носить обя-
- 9 -зательный характер. Следует отметить, что при этом изменилось содержание темы, увеличился объем материала и время на его изучение. Корректировка содержания программы (1978 г.), вызванная большой перегрузкой учащихся, повлекла за собой и некоторое изменение объема и содержания темы "Комплексные числа".
Тщательно проведенный анализ содержания учебного материала темы "Комплексные числа", предлагаемый в различных учебниках и учебных пособиях для техникумов, также показал, что у большинства авторов нет единого четкого представления об объеме и содержании темы "Комплексные числа". Таким образом, при переходе на новое содержание обучения математике в средних специальных учебных заведениях возникла необходимость отыскания оптимального объема и содержания учебного материа» да темы "Комплексные числа".
Исследование методики преподавания математики в средней общеобразовательной и специальной школе показало, что мето» дически достаточно разработана та часть темы "Комплексные числа", которая связана с алгебраической и тригонометрической формами комплексного числа и весьма недостаточно разработаны вопросы, связанные с использованием формул Эйлера,по« казатепьной формы комплексного числа, т.е. как раз той.которая имеет непосредственное применение в технических дисциплинах.
Проведенный анализ содержания учебного материала и методики преподавания исследуемой темы наметил некоторые пути определения планируемых результатов обучения комплексным числам. Это в свою очередь позволило эффективно организовать учебный процесс, построить логическую структуру темы "Коми-
- 10 -лексные числа", выбрать адекватные формы и методы обучения и контроля, управлять процессом усвоения знаний и формирования умений. Отсюда следовала третья причина, обусловливающая настоящее исследование - отсутствие научно-обоснованной методики изложения темы "Комплексные числа" в курсе математики для средних специальных учебных заведений.
Таким образом, вышеизложенное позволило обосновать актуальность настоящего исследования.
Проблемой данного исследования являлось выявление содержания и объема сведений, связанных с комплексными числами и приложениями при обучении математике в системе средних специальных учебных заведений и разработка на этой основе методики обучения комплексным числам?
Поставленная проблема потребовала решения следующих частных задач:
Выявление особенностей использования комплексных чисел как в курсе математики средних специальных учебных заведений, так и в предметах общетехнического и специального циклов с целью определения планируемых результатов обучения комплексным числам.
На основе выявленных планируемых результатов обучения комплексным числам, определение объема и содержания материала комплексных чисел, необходимого для изучения в курсе математики средних специальных учебных заведений.
Выбор и обоснование методов обучения, контроля и управления процессом усвоения, соответствующим планируемым результатам обучения комплексным числам.
Разработка методики обучения комплексным числам в курсе математики средних специальных учебных заведений,в част-
- It -
ности, включающей вопросы методики формирования основных понятий комплексных чисел, разработки системы упражнений как средства формирования навыков и умений действий над комплексными числами.
Решение этих задач потребовало привлечения различных методов исследования, а именно:
изучение и анализ научно-педагогической, психологической, методической и математической литературы по теме исследования;
научно-методический анализ действующих учебных программ и учебных пособий по математике;
-анализ действующих планов по специальностям 0704, 0603, ОбП;
изучение учебных программ и учебных пособий по ряду об** щетехнических и специальных дисциплин;
анализ структурно-логической схемы внутрипредметных связей курса математики и темы "Комплексные числа";
анализ структурно-логических схем темы "Комплексные числа"-с рядом предметов общетехнических и специальных дисциплин ;
беседы с преподавателями общетехнических и специальных дисциплин;
разработка учебных материалов для обучения комплексным числам;
проведение исследовательского эксперимента по разработанным учебным материалам;
обсуждение материалов исследования на методических семинарах;
личные наблюдения за работой учащихся.
Роль и место комплексных чисел Б курсе математики средних специальных учебных заведений
На схеме показана временная протяженность процесса обучения выбранных нами для исследования электрорадиодисциплин,в которых тем или иным образом используются комплексные числа.
Как показывает схема № 2, комплексные числа изучаются в курсе математики в конце второго семестра обучения. Тема "Линейные электрические цепи переменного тока" из курса "Теоретические основы электротехники", в которой используются комплексные числа, изучается в начале третьего семестра обучения.
1) курс "Теоретические основы электротехники" является первым потребителем комплексных чисел;
2) ряд дисциплин непосредственно используют сведения о комплексных числах. Это такие дисциплины, как: "Теоретические основы электротехники", "Основы радиотехники и антенны", "Основы автоматики и вычислительной техники" и "Электрора-диоизмерения";
3) у многих дисциплин электрорадиоспециализации непосредственных связей с темой "Комплексные числа" нет, но нами выявлены опосредованные связи этих дисциплин с комплексными числами через предмет "Теоретические основы электротехники";
4) тема "Комплексные числа" обеспечивает необходимым математическим аппаратом дисциплины электрорадиоспециализации, начиная с "Теоретических основ электротехники".
Изучение связей комплексных чисел с электрорадиодисципли-нами дало возможность построить схему № 3 по принципу: математика (комплексные числа)— теоретические основы электротехники —»- специальный цикл (общетехнические, профи -30-лирующие дисциплины).
Схема № 3 является следствием схемы № 2. Здесь более наглядно показаны непосредственные связи комплексных чисел с изучаемым электрорадиоциклом и опосредованные связи, идущие через предмет "Теоретические основы электротехники".
Из схемы № 3 видно, что взаимодействие комплексных чисел и цикла электрорадиодисциплин идет таким образом, что качество знаний дисциплин этого цикла зависит от качества усвоения комплексных чисел. На схеме № 3 наглядно изображены особен» ности использования комплексных чисел в системе среднего специального образования: на основе комплексных чисел изучается курс "Теоретические основы электротехники , а на основе "Теоретических основ электротехники" - многие другие технические дисциплины.
Методика формирования основных понятий комплексных чисел
Формирование понятия числа - одна из важнейших задач методики математики, и один из методологических аспектов философских проблем математики: развития математического познания. Эти проблемы рассмотрены в трудах советских ученых Яновской С.А., Кедровского О.И., Рыбникова К.А., Рузавина Г.И., Тесленко И.Ф. и др. / 37,82,83,99,114 /.
На примере формирования понятия числа можно дать полную концепцию взглядов марксистско-ленинской философии на процесс возникновения и развития научных понятий.
Внимательное изучение произведений В.И.Ленина, а так же современной философской и научно-педагогической литературы, убеждает, что в педагогической практике нельзя отходить от знаменитого тезиса В.И.Ленина: "От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике - таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности"
В этом тезисе сформулирована целая педагогическая концепция, которая, к сожалению, не всегда осуществляется полностью. Многие существующие методики математики освещают преимущественно одну из сторон познания, т.е. "показывают,как в чувственно-предметных математических фактах или объектах найти абстрактно-всеобщее в форме понятия" / 99 /.
Особенно часто в процессе обучения выпадает вторая сторона - показ того, как от абстрактного мышления переходят к практике. "На каком бы уровне ни проводилось преподавание математики - мы должны показывать все элементы ленинской формулы пути познания" / 21 /.
При построении каких-либо математических теорий, как правило, используются понятия других, ранее построенных теорий. Эти понятия повторяют, видоизменяют, обобщают. Благодаря этому обстоятельству, "объективно присутствующему во всех случаях, не только устанавливают связи, но и достигают,в частности, ясности в понимании основ" / 83 /.
В процессе развития математических знаний, они пополняются такими новыми понятиями, абстрактный характер которых все более усиливается. При усвоении таких понятий чувственно-предметная деятельность учащихся сокращается до минимума, но "при этом одновременно возрастает роль интеллектуальной деятельности" / 99 /.
Методика изучения этих понятий должна основываться на использовании исторических и конкретно-практических данных об их введении, а это позволяет обосновать вопросы связи математики с практикой, что и показывается в конце изучения определенной темы. Но при изучении таких понятий нужно обратить особое внимание на раскрытие логико-математических связей новых абстракций с уже известными учащимся математическими понятиями.
Упражнения как средство формирования умений и навыков выполнения действий над комплексными числами
Проблема постановки и роли упражнений в системе среднего специального образования является одной из важнейших в препон давании математики.
Современная методика преподавания математики считает ведущими функциями упражнений - обучающие, воспитывающие и разви-вающие функции / 44 /. Уточним, что обучающие функции упражнений это функции, направленные на формирование системы математических знаний, умений и навыков учащихся. Обучающие функции упражнений могут быть в свою очередь общего,специального и конкретного характера.
К числу обучающих функций упражнений относятся /44/:
1) формирование у учащихся некоторого понятия;
2) установление различных связей между понятиями;
3) формирование определения понятия;
4) формирование законов, научных идей;
5) установление связей между понятиями, идеями, законами;
6) формирование ведущих умений и навыков;
7) формирование умений и навыков моделирования учебного материала (чертежи, графики, схемы и т.д.);
8) формирование умений и навыков работы с учебной и справочной литературой.
Воспитывающие функции упражнений - это такие функции, которые направлены на воспитание коммунистических убеждений, диалектико-материалистического мировоззрения.
Развивающие функции упражнений - это такие функции,кото- рые направлены на развитие мышления учащихся. Наиболее важными из этих функций, на наш взгляд, являются следующие:
1) умение эффективно использовать наблюдение, сравнение, опыт, анализ, синтез, обобщение и др. методы научного познания ;
2) умение высказывать гипотезы и проверять их;
3) умение устанавливать причинно-следственные связи меж-1 ду отдельными знаниями;
4) умение осуществлять выбор средств и методов для достижения поставленной цели;
5) умение выделить главное;
6) умение оценивать практическую значимость изучаемого материала.
К числу трех указанных функций упражнений, причисляют
также и контролирующие функции, среди которых важно выделить
такие, как / 44 / : I) установлений уровня обученности и обучаемости;
2) проверку способности самостоятельно учиться;
3) установление уровня сформированности познавательных интересов и др.
Функции упражнений в преподавании математики в средних специальных учебных заведениях определяются прежде всего:
1. Целями самого обучения математике.
2. Профилем учебного заведения,
3. Целями, которые преследует преподаватель, предлагая учащимся те или иные упражнения, причем:
а) любое конкретное упражнение, которое решается на определенном этапе обучения, может носить разнообразные функции;
б) ведущее положение той или иной функции данного упражнения имеет динамический характер;
в) в первую очередь нужно реализовать ведущую функцию упражнения.
Разберем более подробно упражнения, необходимые для формирования умений и навыков действий над комплексными числами.
Приведенный выше ( 4, глава I) перечень всех подлежащих усвоению знаний, умений и навыков действий над комплексными числами, а также изучение математических и методических особенностей этих действий, позволяют на этой основе разработать систему упражнений, т.е. тот необходимый минимум,без которого не может быть достигнуто усвоение.
